高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）：專題5.3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（重難點(diǎn)題型精講）（教師版）

專題5.3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（重難點(diǎn)題型精講）1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)的定義

一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過(guò)變量u,y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x)).(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為=，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.【題型1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法】【方法點(diǎn)撥】1.總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo).2.具體方法：(1)連乘積的形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo).(2)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo).(3)復(fù)雜分式：將分子湊成與分母相關(guān)的形式，化為簡(jiǎn)單分式的和、差，再求導(dǎo).【例1】（2022·陜西·高二階段練習(xí)（文））下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．lnx'=xC．cosx'=sinx【解題思路】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可解得答案.【解答過(guò)程】lnx'=1xcosx'=?sinx故選：D.【變式1-1】（2021·廣西·高二期中（文））下列各式正確的是（

）.A．sin10°'=cosC．sinx'=【解題思路】由基本函數(shù)求導(dǎo)公式，依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)求導(dǎo)驗(yàn)證，只有C正確，故答案為C.【解答過(guò)程】根據(jù)基本函數(shù)求導(dǎo)公式，sin10°cosxsinxx?5故選：C.【變式1-2】（2022·陜西·高二期末（理））已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且滿足f(x)=lnx+xA．323 B．?323 C．4【解題思路】將fx求導(dǎo)，將1代入導(dǎo)數(shù)得f'1的值，再將?1【解答過(guò)程】因?yàn)閒x所以f'所以f'1=2+2f'x=故選：C.【變式1-3】（2022·陜西·高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=t2，g(x)=2A．f'x=0,C．f'x=0【解題思路】根據(jù)基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，可得答案.【解答過(guò)程】由題意，f'故選：A.【題型2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法】【方法點(diǎn)撥】(1)分層：選擇中間變量，寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù)；(2)分別求導(dǎo)：分別求各層函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)；(3)相乘：把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘；(4)變量回代：把中間變量回代.【例2】（2022·河北邢臺(tái)·高三階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．sinπ5'C．tanx'=【解題思路】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算出結(jié)果.【解答過(guò)程】對(duì)于A，sinπ對(duì)于B，x2對(duì)于C，tanx對(duì)于D，ln2x?1故選：C.【變式2-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．x+1x'C．x2ex【解題思路】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【解答過(guò)程】解：x+1x'=1?1x2故選：B.【變式2-2】（2022·河南南陽(yáng)·高二期末（理））下列求導(dǎo)正確的為（

）A．2e?x'C．sinπ5'【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)基本公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【解答過(guò)程】對(duì)于A，2e對(duì)于B，ln2+對(duì)于C，sinπ對(duì)于D，ex故選：D.【變式2-3】（2022·廣東廣州·高二期末）下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果正確的是（

）A．x?1x'C．tanx'=【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依次判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，x?1x'對(duì)于C，tanx對(duì)于D，ln2x?1故選：C.【題型3求曲線的切線】【方法點(diǎn)撥】求切線方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)已知點(diǎn)是否在曲線上，還要注意對(duì)“在”和“過(guò)”的理解.(1)若“在”，則該點(diǎn)為切點(diǎn).(2)若“過(guò)”，則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)；若“過(guò)”曲線外的一點(diǎn)，則該點(diǎn)一定不是切點(diǎn).【例3】（2022·陜西·西安市高二期末（理））曲線y=sinx+ex在A．x?3y+3=0 B．x?2y+2=0 C．2x?y+1=0 D．3x?y+1=0【解題思路】求出函數(shù)y=sin【解答過(guò)程】y=sinx+ex的導(dǎo)數(shù)為y'即有在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=2x+1，即2x?y+1=0.故選：C.【變式3-1】（2022·遼寧葫蘆島·高三階段練習(xí)）函數(shù)fx=x2?4A．x+4y+12=0 B．4x+y+3=0 C．x?4y?12=0 D．4x?y?3=0【解題思路】先求導(dǎo)，再求出f'0和【解答過(guò)程】因?yàn)閒x=x2?4ex+1，所以f'故選：B.【變式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲線f(x)=xlnx在x=e（其中eA．y=2x?e B．y=2x+e C．y=?x 【解題思路】求導(dǎo)，切線斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，點(diǎn)斜式求解即可.【解答過(guò)程】由題知，f(x)=xln所以f'(x)=ln當(dāng)x=e時(shí)，f(e)=所以切點(diǎn)為e,所以切線方程為y?e=2x?故選：A.【變式3-3】（2022·陜西·高二階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=sinx1?2cos2A．0 B．?14 C．32【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【解答過(guò)程】由fx可知f'所以f'故選：D．【題型4已知切線方程求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】當(dāng)曲線的切線方程是已知條件時(shí)，常合理選擇以下三個(gè)條件的表達(dá)式解題：(1)切點(diǎn)在切線上；(2)切點(diǎn)在曲線上；(3)切點(diǎn)在橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.【例4】（2022·寧夏·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)fx=ex+ax在x=0處的切線與直線2x?y?5=0A．?1 B．1 C．12 D．【解題思路】函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，利用直線的平行得到斜率相等，即為關(guān)于a的方程，可求出a的值.【解答過(guò)程】函數(shù)fx=e函數(shù)在x=0處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為f'且切線與直線2x?y?5=0平行，則有1+a=2，可得a=1.故選：B.【變式4-1】（2022·貴州遵義·高三階段練習(xí)（理））若函數(shù)f(x)=ax?2lnx在(1,f(1))處切線方程為x+y+m=0，則實(shí)數(shù)m=（A．?1 B．?2 C．2 D．0【解題思路】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到f'(1)=a?2=?1，求出a=1，得到切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程中，求出【解答過(guò)程】f'(x)=a?2x，則所以f(x)=x?2lnx，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為1,1，將其代入x+y+m=0中，故1+1+m=0，解得：m=?2.故選：B.【變式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函數(shù)f(x)=a2x2+blnxA．2 B．1 C．0 D．﹣2【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線的方程求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a，b，即可得到所求結(jié)論.【解答過(guò)程】解：函數(shù)f(x)=a2x可得在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為f'因?yàn)樵邳c(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是2x?y?1=0，所以f'(1)=a+b=2，解得a=2，b=0，所以ab=0故選：C.【變式4-3】（2022·湖北·高三階段練習(xí)）若直線x+y+m=0是曲線y=x3+nx?52與曲線y=x2A．?30 B．?25 C．26 D．28【解題思路】設(shè)直線x+y+m=0與曲線y=x3+nx?52切于點(diǎn)(a,?a?m)，與曲線y=【解答過(guò)程】設(shè)直線x+y+m=0與曲線y=x3+nx?52與曲線y=x2?3對(duì)于函數(shù)y=x2?3解得b=1或?3所以1?3ln1=?1?m，即對(duì)于函數(shù)y=x則3a整理得a3=?27,a=?3，所以n=?3a故選：C.【題型5函數(shù)圖象的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)函數(shù)圖象、導(dǎo)函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2022·江西·高三開學(xué)考試（理））已知fx=14x2+sinπA． B．C． D．【解題思路】對(duì)函數(shù)fx求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，排除部分答案，接著將x=【解答過(guò)程】解：∵fx∴f'∴f∴f∴f'將x=π6代入f'故選：A．【變式5-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c，設(shè)gx=A．a(chǎn)<b，b<c B．a(chǎn)>b，b>cC．ba>1，b=c D．b【解題思路】求出函數(shù)g'x，再根據(jù)給定圖象與【解答過(guò)程】依題意，gx=e?x(a觀察g'x的圖像得：g'0=c?b=0，即b=c，g所以有ba<1，故選：D.【變式5-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f的值為()A．2 B． C．－ D．－【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的周期π，求出ω，利用振幅求出A，利用導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過(guò)（3π8，-1），求出φ，得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得f（π的值.【解答過(guò)程】依題意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，結(jié)合函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則T＝2πω＝4（3π8-π8∵f′（3π8）＝cos（3π4＋φ）＝－1，且0<φ<π，∴3π4<3π4＋φ<7π4，∴3π4＋φ＝π，即φ＝π4，f(x)＝12sin（2x+π4），所以f（π2）＝故選D.【變式5-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)fx=16xA． B．C． D．【解題思路】求導(dǎo)得到f'x=13x+【解答過(guò)程】fx=16x導(dǎo)函數(shù)f'x當(dāng)x∈0,π時(shí)，f'當(dāng)x∈π,+∞時(shí)，f'故x∈0,+∞時(shí)，f'故選：A.【題型6與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題，一般先理解所給定義與已有的函數(shù)、運(yùn)算的關(guān)聯(lián)性，再通過(guò)所給新定義轉(zhuǎn)化為所學(xué)過(guò)的知識(shí)與方法去轉(zhuǎn)化問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題.【例6】（2022·河北·高二階段練習(xí)）給出以下新定義：若函數(shù)fx在D上可導(dǎo)，即f'x存在，且導(dǎo)函數(shù)f'x在D上也可導(dǎo)，則稱fx在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f''x=fA．fx=ex B．fx=2x【解題思路】求出每一個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，判斷是否f'【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，fx=e對(duì)于B選項(xiàng)，fx=2x,f對(duì)于C選項(xiàng)，fx=x對(duì)于D選項(xiàng)，fx=ln故選：D.【變式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定義滿足方程f'x+fx=1的實(shí)數(shù)解xA．fx=xC．fx=ln【解題思路】根據(jù)f'x+f【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，fx=x2+3即x2+2x+2=0，Δ=4?8<0對(duì)于B選項(xiàng)，fx=ex+1得2ex=0，又ex>0對(duì)于C選項(xiàng)，fx=lnx，則f'又f'1+f對(duì)于D選項(xiàng)，fx=e由fx+f所以sinx+cosx=2因?yàn)?sinx+π所以2sin故選：C.【變式6-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在區(qū)間?ξ∈[a,b]上的函數(shù)f(x)，其圖象是連續(xù)不斷的，若?ξ∈[a,b]，使得f(b)?f(a)=f'(ξ)(b?a)，則稱ξ為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]以上的“中值點(diǎn)”．則下列函數(shù)：①f(x)=x；②2f(x)=x2；③f(x)=ln(x+1)；A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【解題思路】由題意函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上存在一點(diǎn)[ξ,f(ξ)]，使得函數(shù)f(x)在此處的切線的斜率等于(a,f(a))，(b,f(b))兩點(diǎn)所在直線的斜率，判斷各項(xiàng)是否符合要求即可．【解答過(guò)程】①f'(x)=1，而②f'(x)=x，而③f'(x)=1④f'(x)=3(x?故選:A．【變式