2.2圓的對稱性課件蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊

圓的對稱性（1）圓心角、弧、弦之間的關(guān)系在同圓中探究在☉O中，如果∠AOB=∠COD，那么，AB與CD，弦AB與弦CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？⌒⌒·OABCD由圓的旋轉(zhuǎn)不變性，我們發(fā)現(xiàn)：在☉O中，如果∠AOB=∠COD，

那么，，弦AB=弦CD·OAB如圖，在等圓中，如果∠AOB＝∠CO′D，你發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系是否依然成立？為什么？·O′CD在等圓中探究

通過平移和旋轉(zhuǎn)將兩個等圓變成同一個圓，我們發(fā)現(xiàn)：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.⌒⌒1.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.①∠AOB=∠COD②AB=CD⌒

⌒③AB=CDABODC弧、弦與圓心角的關(guān)系定理在☉O中，如果AB=CD，那么圓心角∠AOB與∠COD，弦AB與弦CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？⌒⌒·OABCD在☉O中，如果AB=CD，那么圓心角∠AOB與∠COD，AB與CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？⌒⌒弧、弦與圓心角的關(guān)系①∠AOB=∠COD③AB=CDABODC②AB=CD⌒

⌒①∠AOB=∠COD③AB=CD②AB=CD⌒

⌒

定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？不可以，如圖.ABODC

如圖，AB、CD是☉O的兩條弦．（1）如果AB=CD，那么___________，____________．（2）如果，那么____________，_____

________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．AB=CDAB=CDAB=CD((∠AOB=∠COD∠AOB=∠CODAB=CD((AB=CD((·CABDFO解：∵

例1

如圖，AB是☉O

的直徑，

∠COD=35°，求∠AOE的度數(shù)．·AOBCDE∠AOE=180°-3×35°=75°.證明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形.又∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形,AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.例2

如圖，在☉O中，AB=AC

,∠ACB=60°,求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC.·ABCO⌒⌒

溫馨提示：本題告訴我們，弧、圓心角、弦靈活轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.∵AB=CD，⌒⌒圓心角圓心角相等弧相等弦相等弦、弧、圓心角的關(guān)系定理在同圓或等圓中概念：頂點在圓心的角應(yīng)用提醒①要注意前提條件；②要靈活轉(zhuǎn)化.【小結(jié)】圓的對稱性（2）做一做：剪一個圓形紙片，在圓形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦AB,垂足為P，再將紙片沿著直徑CD對著，比較AP與PB，AC與CB，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？⌒⌒·OABDP線段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點A與點B重合，AP與BP重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC想一想：能不能用所學(xué)過的知識證明你的結(jié)論？·OABDCP已知：在☉O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD，垂足為P.求證：AP=BP，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP.又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC，∴AC=BC，⌒⌒∴AC=BC.（同一個圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧相等）⌒⌒AD=BD.由此易得垂徑定理·OABCDP垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.∵CD是直徑，CD⊥AB，∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.推導(dǎo)格式：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因為沒有垂直是不是，因為CD沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC·OABDCP1.已知：在☉O中，CD是直徑，AB是弦（不是直徑），與CD交于點P，且P是AB的中點.求證：AB⊥CD，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中點，∴AB⊥CD.即AP=BP，∵CD是直徑，CD⊥AB，∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.（垂徑定理）·OABDCP2.已知：在☉O中，CD是直徑，AB是弦，求證：CD垂直平分AB.⌒⌒AC=BC,證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.即△AOB是等腰三角形.⌒⌒AC=BC,∵∴AC=AB.（在同一個圓中，如果弧相等，那么它們所對的弦相等.）∵OC=OC，∴△AOC≌△BOC，∴∠AOC=∠BOC，即OC是∠AOB的角平分線.∴CD垂直平分AB.思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結(jié)論（“知二推三”）垂徑定理的推論·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.例1

如圖，OE⊥AB于E，若☉O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE解析：連接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴cm.例2

如圖，☉O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵

CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得解得x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R≈（m）.即主橋拱半徑約為27.3m.R22+(R-7.23)2

∵

如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm

在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

OABC·垂徑定理