淺談方程組的特殊解法

淺談方程組的特殊解法晉江東石中學(xué)姚清溫我們知道，求二元一次方程組和三元一次方程組的解，就是要求出方程組中各個(gè)方程的公共解.求解的基本思路是轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，因此，關(guān)鍵是消元.最常見(jiàn)的方法是代入消元法和加減消元法.在運(yùn)用這些方法過(guò)程中，若能根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，實(shí)施一些運(yùn)算和變形的技巧，常能化繁為簡(jiǎn)，迅速求得方程的解，下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明方程組的特殊解法，供參考.一、比較消元法例1.解方程組解：由（1）得：………(3)由（2）得：比較（2）、（4）這兩個(gè)方程，得：∴原方程組的解是方法點(diǎn)撥：它的步驟可以總結(jié)：求同一個(gè)未知數(shù)的表達(dá)式；比較消元；回代求解.使用比較消元時(shí)，必須注意幾點(diǎn):（1）求同一個(gè)未知數(shù)表達(dá)式時(shí)，移項(xiàng)要變號(hào)；（2）比較消元時(shí)，去分母不要漏乘不含分母的項(xiàng).二、整體代入法例2.解方程組解：由（3）得：把（1）代入（4）得：∴原方程組的解是方法點(diǎn)拔：方程組中某個(gè)（或兩個(gè)）未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，可用整體代入法.三、直接加減法例3解方程組解：∴ ∴原方程組的解是例4解方程組∴原方程組的解是方法點(diǎn)撥：（1）二元一次方程組中兩個(gè)未知數(shù)系數(shù)和相等；（2）三元一次方程組中，三個(gè)未知數(shù)排序相同，且系數(shù)有一定規(guī)律.可用直接加減法妙解.四、換元法例5.解方程組∴原方程組的解是例6.解方程組解：設(shè)則原方程組可化為：方法點(diǎn)撥：（1）當(dāng)方程組中某個(gè)方程含有兩個(gè)等號(hào)的等比式；或方程以比例形式出現(xiàn)，可用換元法來(lái)解較簡(jiǎn)便.（2）如方程組每個(gè)方程都含有這兩項(xiàng)，可用換元法.五、消去常數(shù)法例7.解方程組∴原方程組的解是例8.解方程組(2)×5得：15x+20y=100(4)∴原方程組的解是方法點(diǎn)撥：(1)當(dāng)兩個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)相等，可設(shè)法消去常數(shù)項(xiàng)；(2)當(dāng)方程組中某一個(gè)未知數(shù)(如例8中y)與常數(shù)項(xiàng)成比例，可設(shè)法同時(shí)消去這個(gè)未知數(shù)(y)和常數(shù)項(xiàng).六、巧選主元法例9.解方程組∴原方程組的解是例10.已知（x、y、z≠0）求x:y:z的值.解：把看作y已知數(shù)，解關(guān)于x、z的二元一次方程組.解得方法點(diǎn)撥：（1）例9中①、②的x系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，選x、y為主元，求出x、y后，再代入③可獲巧解.（2）例10中把y視為已知數(shù)，以x、z為主元，求x、z后含有y，再求比值?？上.七、配方法例11.求方程組的實(shí)數(shù)解。解：由觀察分析知：x=0,y=0,z=0適合方程組.當(dāng) x≠0,y≠0,z≠0時(shí)，方程組變形為：（1）+（2）+（3），得：配方得：∴∴經(jīng)檢驗(yàn)方程組的實(shí)數(shù)解是：八、構(gòu)造一元二次方程法例12.解方程組解：由（1）知x≠0，y≠0；則原方程組可整理得：即是一元二次方程-10m+24=0的兩個(gè)根.∴（m-4）（m-6）=0∴m=4或m=6.∴可得方程組：（Ⅰ）（Ⅱ）解（Ⅰ）得（Ⅱ）無(wú)解.經(jīng)檢驗(yàn)是原方程組的解.綜上所述，方程組的解法還不止這些，當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)方程組時(shí)，只要沉著冷靜，仔細(xì)觀察它的結(jié)構(gòu)