新疆柯坪縣柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期12月月考試卷高二數(shù)學(xué)（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）注意：1.答題前在試卷和答題卡上填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)、座位號(hào)等信息.2.請(qǐng)按照要求將正確答案填寫(xiě)在答題卡內(nèi).3.試卷整潔，字跡清晰.第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共8題，共40分）1.如圖，在直三棱柱中，棱與直線異面有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】【分析】根據(jù)異面直線的定義即可判斷.【詳解】在直三棱柱的棱所在的直線中，與直線異面的直線有，共3條.故選:C.2.設(shè)為兩個(gè)不同的平面，則的充要條件是（）A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行B.垂直于同一平面C平行于同一條直線D.內(nèi)的任何直線都與平行【答案】D【解析】【分析】根據(jù)面面平行、相交的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，與可能相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，垂直于同一平面，與可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，平行于同一條直線，與可能相交，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，內(nèi)的任何直線都與平行，則，D選項(xiàng)正確.故選：D3.已知球O的體積為，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)球的體積公式求出半徑，即可求出表面積.【詳解】設(shè)球的體積為，則由題可得，解得，則該球的表面積為.故選：D.4.某校高一?高二?高三的學(xué)生人數(shù)分別為800，750，650，為了解學(xué)生的視力情況，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，若樣本中高二學(xué)生的人數(shù)為30，則這次調(diào)查的樣本容量為（）A.88 B.90 C.92 D.94【答案】A【解析】【分析】設(shè)樣本容量為x，然后由分層抽樣的定義列方程求解即可【詳解】設(shè)樣本容量為x，則，解得x=88.故選：A5.如圖所示，在三棱錐中，平面，，則二面角的大小為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面，得到，，根據(jù)二面角的平面角的定義，可得為二面角的平面角，即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)槠矫?，則，，所以即為二面角的平面角.又，所以二面角的平面角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的平面角的定義，以及二面角的求解，其中根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，利用二面角的平面角的定義得到二面角的平面角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（）A.事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件B.事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件D.事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的定義判斷.【詳解】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，在A中，事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件，故A正確；在B中，事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件，故B正確；在C中，事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；在D中，事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件，故D正確．故選：C．7.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】A選項(xiàng)，分和兩種情況，結(jié)合線面垂直得到面面垂直；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到線面垂直，得到面面垂直；C選項(xiàng)，舉出反例；D選項(xiàng)，證明出，結(jié)合，所以，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，如圖1，當(dāng)，時(shí)，因?yàn)椋?，如圖2，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作，則，且因?yàn)椋?，所以，A正確；B選項(xiàng)，如圖3，若，，所以，因?yàn)?，故存在，使得，且，則，因?yàn)椋?，因?yàn)?，故，B正確；則C選項(xiàng)，如圖4，滿足，，，但不滿足，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，如圖5，因?yàn)?，，所以，又，所以，故D正確.故選：C8.2020年12月31日，國(guó)務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制發(fā)布，國(guó)藥集團(tuán)中國(guó)生物的新冠病毒滅活疫苗已獲藥監(jiān)局批準(zhǔn)附條件上市，其保護(hù)效力達(dá)到世界衛(wèi)生組織及藥監(jiān)局相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求，現(xiàn)已對(duì)18至59歲的人提供.根據(jù)某地接種年齡樣本的頻率分布直方圖（如圖）估計(jì)該地接種年齡的中位數(shù)為（）A.40 B.39 C.38 D.37【答案】C【解析】【分析】利用中位數(shù)左右兩邊的小矩形的面積都等于即可求解.【詳解】年齡位于的頻率為，年齡位于的頻率為，年齡位于的頻率為，年齡位于的頻率為，因?yàn)?，而，所以中位?shù)位于，設(shè)中位數(shù)為，則，解得：，故選：C.二、多選題（共4題，每題5分，共20分）9.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.PB⊥BCB.PD⊥CDC.PD⊥BDD.PA⊥BD【答案】ABD【解析】【分析】由矩形，得，若，則平面，又平面，則過(guò)平面外一面有兩條直線與平面垂直，不成立，故不正確．【詳解】解：矩形，矩形，，故正確．若，則平面，又平面，則過(guò)平面外一面有兩條直線與平面垂直，故不正確，故不正確；矩形，，，平面，，故正確；矩形，由三垂線定理得，故正確；故選：．10.下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤命題的是（）A.垂直于同一條直線的兩條直線相互平行 B.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行C.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行 D.垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行【答案】AD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)AD可利用正方體為載體進(jìn)行分析，舉出反例即可判定結(jié)果，對(duì)選項(xiàng)BC根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理進(jìn)行判定即可．【詳解】對(duì)A，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行，不正確，如正方體的一個(gè)頂角的三個(gè)邊就不成立對(duì)B，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；對(duì)C，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行，根據(jù)面面平行的判定定理可知正確；對(duì)D，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行，不正確，如正方體相鄰的三個(gè)面就不成立；故選：AD11.下列圖形中是正四面體(各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)的展開(kāi)圖的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】空間想象直接可知.【詳解】可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)AB可折成正四面體，CD不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊都不能折成正四面體.故選：AB12.下列命題中正確的有（）A.若直線，直線，則B.若直線，，那么直線a就平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線C.若直線，，則D.過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行【答案】BD【解析】【分析】由直線與平面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，若直線，直線，有可能，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若直線，，那么直線a就平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，B正確，對(duì)于C，若直線，，則或，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行，D正確，故選：BD第II卷（非選擇題）三、填空題（共4題，每題5分，共20分）13.如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號(hào)).【答案】①②【解析】【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及兩直線的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特征，可得①②中RS與PQ均是平行直線，④中RS和PQ是相交直線，③中RS和PQ是是異面直線.故答案為：①②.14.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)．則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____，到平面的距離為_(kāi)_____.【答案】①.②.【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則為點(diǎn)到平面的距離；先證明平面，則點(diǎn)到平面的距離等于直線到平面的距離；再證明平面平面，然后過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，則為直線到平面的距離，從而可得答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則且，又平面，所以平面，所以為點(diǎn)到平面的距離，、分別是、的中點(diǎn)，則又，則，又平面，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離等于直線到平面的距離.由平面，則平面，又平面，所以平面平面，且平面平面，則過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，則平面，即為直線到平面的距離，由，則，所以到平面的距離為.故答案為：；15.同時(shí)投擲兩顆大小完全相同的骰子，用表示結(jié)果，記A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于6”，則事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)事件A的描述直接寫(xiě)出事件A的所有可能組合.【詳解】由題設(shè)，事件A包含的基本事件為、、、、、、、、、共10種.故答案為：1016.將一個(gè)斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】旋轉(zhuǎn)后得到圓錐，其中，從而求出幾何體體積.【詳解】將一個(gè)斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到如下的圓錐，其中，故圓錐的體積為.故答案為：.三、解答題（共6題，共70分）17.如圖，某幾何體的下部分是長(zhǎng)?寬均為8，高為3的長(zhǎng)方體，上部分是側(cè)棱長(zhǎng)都相等且高為3的四棱錐，求：（1）該幾何體的體積；（2）若要將幾何體下部分表面刷上涂料（除底面），求需要刷涂料的表面積.【答案】（1）256（2）96【解析】【分析】（1）求出長(zhǎng)方體的體積和四棱錐體積，相加后得到答案；（2）求出幾何體下部分側(cè)面積，得到答案.【小問(wèn)1詳解】長(zhǎng)方體的體積為，四棱錐的體積為，故該幾何體的體積為；【小問(wèn)2詳解】長(zhǎng)方體側(cè)面面積為，故要將幾何體下部分表面刷上涂料（除底面），需要刷涂料的表面積為96.18.某校1200名高三年級(jí)學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)（滿分為100分），為了分析這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)，從這1200人的數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取200人的成績(jī)繪制成如下的統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)根據(jù)表中提供的信息解決下列問(wèn)題：成績(jī)分組頻數(shù)頻率平均分30.01516ab32.1250.12555c0.574620.3188（1）求a，b，c的值；（2）如果從這1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，試估計(jì)這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)及格的概率P（注：60分及60分以上為及格）.【答案】（1）（2）0.81【解析】【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)分析得到a，b，c的值；（2）計(jì)算出抽取的200人的成績(jī)中，數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)及格的頻率，從而估計(jì)出這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)及格的概率.【小問(wèn)1詳解】，解得，故，，【小問(wèn)2詳解】抽取的200人的成績(jī)中，數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)及格的頻率為，故估計(jì)這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)及格的概率.19.做試驗(yàn)“從一個(gè)裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取兩次小球，每次取一個(gè)，構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(x，y)，x為第一次取到的小球上的數(shù)字，y為第二次取到的小球上的數(shù)字”.（1）求這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）寫(xiě)出“第一次取出的小球上的數(shù)字是2”這一事件.【答案】（1）12；（2）{(2，1)，(2，3)，(2，4)}.【解析】【分析】（1）分x=1,2,3,4，分別考慮y的不同情況，即可得到樣本試驗(yàn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）即為x=2時(shí)樣本點(diǎn)的集合，由（1）的分析可得.【詳解】（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=2，3，4；當(dāng)x=2時(shí)，y=1，3，4；同理當(dāng)x=3，4時(shí)，也各有3個(gè)不同的有序數(shù)對(duì)，所以共有12個(gè)不同的有序數(shù)對(duì).故這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12.（2）記“第一次取出的小球上的數(shù)字是2”為事件A，則A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.20.如圖，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）求證：面面．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)連接AC交BD于O，連接OE，由中位線即可得，得證；(2)證明BD⊥平面PAC即可.【小問(wèn)1詳解】連接AC，交BD于O，連接OE，在△CAP中，，∴，又∵平面BDE，平面BDE，∴∥平面BDE；【小問(wèn)2詳解】∵PO⊥底面ABCD，則PO⊥BD，又∵是正方形，則AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.21.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩?防護(hù)服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國(guó)某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中的值；（2）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.01).【答案】（1）；（2）平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33.【解析】【分析】（1）利用頻率之和等于1進(jìn)行求解即可（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可【詳解】（1）由，得.（