人教版九年級數(shù)學上冊 24.13 四點共圓（知識講解）

專題24.13四點共圓（知識講解）【學習目標】理解四點共圓的定義；掌握判斷四點共圓的基本方法，并用于解決證明和計算問題?！疽c梳理】四點共圓常用的方法有：1、對角互補的四邊形，四點共圓；2、外角等于內(nèi)對角的四邊形，四點共圓；3、同底同側(cè)的頂角相等的兩個三角形，四點共圓；4、到定點的距離等于定長的四個點，四點共圓?！镜湫屠}】類型一、四點共圓的判定1．如圖，，分別是的高，求證：、、、四點共圓．【分析】取AB的中點O，連接DO、HO，根據(jù)BD，AH分別是△ABC的高，可得△DAB和△HAB都是直角三角形，斜邊都是AB，而點O為斜邊中點，則有DO＝HO＝AB＝AO＝BO，也就是說以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓，點D、H、B也在這個圓上，即可證明A、B、H、D四點共圓．證明：如圖，取的中點，連接、，∵BD，AH分別是的高，和都是直角三角形，且它們的斜邊都是，∵點為斜邊中點，，也就是說，點、、在以為圓心、為半徑的圓上，即點、、、都在以為圓心、以為半徑的圓上，故可得：、、、四點共圓．【點撥】本題考查了四點共圓，解答本題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證得四點共圓．舉一反三：【變式1】已知四邊形ABCD為菱形，點E、F、G、H分別為各邊中點，判斷E、F、G、H四點是否在同一個圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點共圓；如果不在，說明理由．【答案】點E、F、G、H四點是以AC，BD的交點O為圓心的同一個圓上，證明見分析.【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直，以及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出E、F、G、H到O點距離都等于定長即可.解：如圖，連接AC，BD相交于點O，連接OE，OF，OG，OH，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，∵點E是AB的中點，∴OE＝AB，同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴點E、F、G、H四點是以AC，BD的交點O為圓心的同一個圓上．【點撥】本題主要考查了四點共圓的條件，用到了菱形的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點共圓．【答案】（1）10°；（2）見分析【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和已知條件求得∠C的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度數(shù)；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABC＝∠AED，由四點共圓的判定得出結(jié)論．解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，∵將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點落在BC邊上，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°證明（2）∵將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四點共圓．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、外角定理以及四點共圓的判定，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形對應邊相等，對應角相等．【變式3】如圖，在□ABCD中，∠BAD為鈍角，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求證：A、E、C、F四點共圓；(2)設(shè)線段BD與(1)中的圓交于M、N．求證：BM=ND【分析】（1）只要證明A、E、C、F四點所構(gòu)成的四邊形的對角互補，則該四點共圓；（2）連接AC交BD于O，易得O是該圓的圓心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．解：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∴A、E、C、F四點共圓；（2）由（1）可知，圓的直徑是AC，連接AC交BD于O，∵ABCD是平行四邊形，∴O為圓心，OB=OD，∴OM=ON，∴BM=ND.【點撥】本題主要考查了四點共圓的判定及平行四邊形的性質(zhì)，難度不大，能夠靈活運用所學知識進行推理是解題關(guān)鍵.．類型二、利用四點共圓進行證明或求解2．如圖，A、B、C、D四點共圓，且∠ACB＝∠ACD＝60°．求證：△ABD是等邊三角形．【分析】先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠ADB＝60°＝∠ABD，再用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAD，即可得出結(jié)論．證明：∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，掌握圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵；舉一反三：【變式】如圖所示中，，，分別在邊和上，且，，垂足分別為，，求的長.【答案】【分析】本題關(guān)鍵要建立未知線段和已知線段的關(guān)系，由，，，共圓，和為直徑，于是在中便可以建立和的關(guān)系，求出的長即求出的長.解：連結(jié)，，∵，∴∴，∴由圓的定義知點，，，在以為圓心，為半徑的圓上，作出輔助圓，延長交圓于，連結(jié)，∴

在中，，∴

∴【點撥】雙直角三角形是典型的共圓圖，解題中注意靈活應用.類型三、四點共圓綜合應用3．定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．【答案】（1）①20°；②，理由見分析；（2）證明見分析【分析】（1）①根據(jù)題目定義推出∠E＝∠A，從而得出結(jié)論；②直接根據(jù)求解①過程證明即可；（2）首先根據(jù)題意推出A、B、C、D四點共圓，然后作四邊形ABCD的外接圓交CE于點F，連接AF，DF，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等推出∠AFD＝∠DFE，然后根據(jù)“遙望角”的定義推出∠E＝∠DAF，即可證△DAF≌△DEF，從而得出結(jié)論．（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點共圓，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點F，連接AF，DF，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．【點撥】本題考查新定義問題，涉及三角形角平分線的拓展運用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，理解題目定義，靈活運用“四點共圓”的證明方法是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】在學習《圓》這一單元時，我們學習了圓周角定理的推論：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；事實上，它的逆命題：對角互補的四邊形的四個頂點共圓，也是一個真命題．在圖形旋轉(zhuǎn)的綜合題中經(jīng)常會出現(xiàn)對角互補的四邊形，那么，我們就可以借助“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”，然后借助圓的相關(guān)知識來解決問題，例如：已知：是等邊三角形，點是內(nèi)一點，連接，將線段繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，，并延長交于點．當點在如圖所示的位置時：（1）觀察填空：①與全等的三角形是________；②的度數(shù)為（2）利用題干中的結(jié)論，證明：，，，四點共圓；（3）直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．____________________．【答案】（1）①：②；（2）見分析；（3）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可證△ACD≌△BCE；②根據(jù)已推導出的全等三角形和三角形內(nèi)角和進行角度轉(zhuǎn)化，可得∠AFB的大??；（2）根據(jù)△ACD≌△BCE得，推導得出四邊形CDFE中，從而證共圓；（3）先推導出△BDF是等邊三角形，可證△ABD≌△CBP，得出AD=FC，從而得出數(shù)量關(guān)系．解：（1）①∵△ABC是等邊三角形∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∵將線段繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段∴CE=CD，∠DCE=60°∴△DCE是等邊三角形∴∠DCE=60°∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)②∵△ACD≌△BCE∴∠EBC=∠DAC∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°∴∠FBC+∠BAD=60°∴∠AFB=180°－∠ABC－∠FBC－∠BAF=180°－60°－60°=60°（2）∵．∴，∵，∴．∴，，，四點共圓；（證明不唯一）（3）結(jié)論：,如下圖,連接BD∵△