2022年北京外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）（附答案詳解）

2022年北京外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.已知集合4={x||x|<2},集合B=1,2,3},則4n8=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1)D.{-1,0,1,2)

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)72-的共輒復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為（)

A.1B.|C.於D-i

4.已知向量（2,4）,K=（-1,1）,則2萬(wàn)一石=（）

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

5.若。=203,b=log7r3,c=log2siny,貝(J()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

6.記又為等差數(shù)列｛Q九｝的前n項(xiàng)和，若S3=a5,a2-a1=2,則@4=()

A.4B.7C.8D.9

7.是"函數(shù)〃為=5也0+。）在區(qū)間（0弓）上單調(diào)遞減”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知圓/+y2=4截直線(xiàn)y=kQ-2）所得弦的長(zhǎng)度為2,那么實(shí)數(shù)k的值為（）

A.土,B.浮C.V3D.+V3

9.汽車(chē)的“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程.如圖描述了甲、乙、丙

三輛汽車(chē)在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）

04080速度(km/h)

A.消耗1升汽油，乙車(chē)最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車(chē)中，甲車(chē)消耗汽油最多

C.甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油

D.某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省

油

10.2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（nDay）.歷史上，求圓周率〃的方法有多

種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n

充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長(zhǎng)和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的

正6n邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2兀的近似值.按照阿爾?卡西的方法,

兀的近似值的表達(dá)式是（）

A.3n（sin?+tanB.6n（sin?+tan?）

C.3n（sin*+tan拳）D.6n（sin呼+tan，）

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

11.在（2+乃5的展開(kāi)式中，爐的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

12.若函數(shù)/■（;＜）=°有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的一個(gè)取值為.

13.已知"X）是定義在R上的函數(shù)，其值域?yàn)椋?1,+8）,則/（x）可以是.（寫(xiě)出一

個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)表達(dá)式即可）

14.設(shè)雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2）,且與?一/=1具有相同漸近線(xiàn)，則C的方程為；漸

近線(xiàn)方程為

15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—4/iGDi中，E為

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段上，點(diǎn)P到直線(xiàn)AC1的距離

的最小值為.

三、解答題（本大題共6小題，共85.0分）

第2頁(yè)，共17頁(yè)

16.已知在△ABC中，c=2bcosB,C=—.

(1)求B的大小；

(2)在三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求BC邊上的中

線(xiàn)的長(zhǎng)度.

①c=V2h；

②a+b=4；

③△ABC面積為號(hào)

17.如圖，在三棱柱4BC-41B1Q中，CG_L平面ABC,D,E,F,G分別為AC,

8區(qū)的中點(diǎn)，AB=BC=?AC=AAr=2.

(1)求證：4CJ?H5BEF；

(2)求二面角B-CD-G的余弦值；

(3)證明：直線(xiàn)FG與平面BCD相交.

18.A,B,C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得

了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如表(單位：小時(shí))：

力班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

(I)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；

(n)從a班和c班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，a班選出的人記為甲，c班選

出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛

煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；

(in)再?gòu)?B,C三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝苠憻挄r(shí)間分別是7,9,8.25(

單位：小時(shí))，這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為內(nèi),表格中

數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為〃o,試判斷的和內(nèi)的大小.(結(jié)論不要求證明)

19.設(shè)函數(shù)/(x)=^-klnx,k>0.

(I)k=1時(shí)-，求曲線(xiàn)/(x)在點(diǎn)(l,f(l))處的切線(xiàn)方程；

(口)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(HI)證明：若/(x)存在零點(diǎn)，則/(x)在區(qū)間(1,孤］上僅有一個(gè)零點(diǎn).

20.橢圓C；1的右焦點(diǎn)為尸(1,0),離心率為:

a"z

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)戶(hù)且斜率為1的直線(xiàn)交橢圓于M,N兩點(diǎn)，P是直線(xiàn)％=4上任意一點(diǎn).求證：

直線(xiàn)PM,PF,PN的斜率成等差數(shù)列.

21.對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m(niGN,m>2)的有窮正整數(shù)數(shù)列｛a"，記瓦=

max｛a1,a2,...,afe｝(fc=1?2,m),即―為的,a2...%中的最大值，稱(chēng)數(shù)列

｛%｝為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如1,3,2,5,5的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,3,3,5,

5.

(I)若數(shù)列｛即｝的“創(chuàng)新數(shù)列”｛%｝為1，2,3,4,4,寫(xiě)出所有可能的數(shù)列｛斯卜

(口)設(shè)數(shù)列｛4｝為數(shù)列回J的“創(chuàng)新數(shù)列”，滿(mǎn)足耿+bm.k+1=2022(k=

1,2,求證：cik==1,2,

(HI)設(shè)數(shù)列｛%｝為數(shù)列｛6｝的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列出n｝中的項(xiàng)互不相等且所有項(xiàng)的

和等于所有項(xiàng)的積，求出所有的數(shù)列｛即｝.

第4頁(yè)，共17頁(yè)

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查交集的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題.

先求出集合4由此利用交集的定義能求出4nB.

【解答】

解：???集合4={x||x|<2}={x|-2<x<2},

B={-1,0,1,2,3),

AQB={-1,0,1).

故選C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

可得復(fù)數(shù)的共粗復(fù)數(shù)為;-9,即可得解.

【解答】

解：復(fù)數(shù)吉=溫片="3

則復(fù)數(shù)止的共朝復(fù)數(shù)為;-“，

1-1ZZ

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為弓,-3，

故在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2的共視復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于在第四象限.

1—1

故選。.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的

合理運(yùn)用.

根據(jù)古典概型概率公式利用列舉法求解.

【解答】

解：從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，設(shè)另外三位學(xué)生分別為4B,C,

基本事件有（甲、乙），（甲、4）、（甲、B）、（甲、C）、（乙、4）、（乙、B）、（乙、C）、（A,B）,

（4G、（B,C）共10種，

甲被選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)有（甲、乙），（甲、4）、（甲、B）、（甲、C）共4個(gè)，

二甲被選中的概率P=卷=|.

故選B.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用平面向量的數(shù)乘及坐標(biāo)減法運(yùn)算得答案.

本題考查平面向量的數(shù)乘及坐標(biāo)減法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

【解答】

解:由五=（2,4）,b=（-1,1）.得：

2a-b=2（2,4）-（-1,1）=（4,8）-（-1,1）=（5,7）.

故選：A.

5.【答案】A

【解析】解：0<sin：<l,

由指對(duì)函數(shù)的圖象可知：a>l,0cb<1,c<0,

故選:A.

利用估值法知a大于1,b在0與1之間，c小于0.

估值法是比較大小的常用方法，屬基本題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意可知等差數(shù)列｛。工的公差d=2,

3x2

S3=3d]H——x2=Q]+4X2,

第6頁(yè)，共17頁(yè)

解得%=1,

二。4=%+3d=1+6=7,

故選:B.

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解.

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：當(dāng)。=泄，/(x)=cosx,則/在在區(qū)間(0,今上單調(diào)遞減，即充分性成

立，

反之若f(x)在區(qū)間(0,今上單調(diào)遞減，當(dāng)。=92兀時(shí)，〃無(wú))=sin(x+3+2兀)=cosx在

(0卷)上單調(diào)遞減，但此時(shí)]不成立，即必要性不成立，

則是"函數(shù)f(x)=sin(x+8)在區(qū)間(0()上單調(diào)遞減”的充分不必要條件，

故選：A.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷是解決本題

的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：圓心(0,0)到直線(xiàn)的距離為&=舄，

由弦長(zhǎng)公式知，2=274-d2,

.-.4=4[4-(^^)2],

iWk2+r」

解得k=±V3?

故選：D.

先由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求得圓心(0,0)到直線(xiàn)的距離，再由弦長(zhǎng)公式，即可得解.

本題考查直線(xiàn)截圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，熟練掌握弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式是解題的關(guān)鍵,

考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查對(duì)圖表的認(rèn)知和解讀能力，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象數(shù)據(jù)的處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

過(guò)橫軸上某一點(diǎn)做縱軸的平行線(xiàn)，這條線(xiàn)和三條折線(xiàn)的交點(diǎn)的意思是相同速度下的三個(gè)

車(chē)的不同的燃油效率，過(guò)縱軸上某一點(diǎn)做橫軸的平行線(xiàn)，這條線(xiàn)和三條折線(xiàn)的交點(diǎn)的意

思是相同燃油效率下的三個(gè)車(chē)的不同的速度，逐個(gè)判斷即可.

【解答】

解：對(duì)于4由圖象可知當(dāng)速度大于40km小時(shí)，乙車(chē)的燃油效率大于5km/L,

當(dāng)速度大于40km"時(shí)，消耗1升汽油，乙車(chē)的行駛距離大于5km,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由圖象可知當(dāng)速度相同時(shí)，甲車(chē)的燃油效率最高，

即當(dāng)速度相同時(shí)，消耗1升汽油，甲車(chē)的行駛路程最遠(yuǎn)，

二以相同速度行駛相同路程，三輛車(chē)中，甲車(chē)消耗汽油最少，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)速度為80km//i時(shí)，甲車(chē)的燃油效率為lOkm/3

即甲車(chē)行駛10km時(shí)，耗油1升，

故甲車(chē)行駛1小時(shí)，路程為80km,耗油為8升，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)速度小于80km"時(shí)，丙車(chē)燃油效率大于乙車(chē)的燃油效率，

二用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油，故。正確；

故選：D.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)學(xué)中的文化，考查圓的內(nèi)接和外切多邊形的邊長(zhǎng)的求法，考查任意角的三角

函數(shù)定義，考查運(yùn)算能力.

設(shè)單位圓的內(nèi)接正6n邊形的邊長(zhǎng)為a,單位圓的外切正6n邊形的邊長(zhǎng)為b,運(yùn)用圓的性

質(zhì)，結(jié)合直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，可得所求值.

【解答】

解：如圖，設(shè)單位圓的內(nèi)接正6n邊形的邊長(zhǎng)為a,單位圓的外切正6n邊形的邊長(zhǎng)為b,

第8頁(yè)，共17頁(yè)

-rzp.c.360°f.30°

可得Q=2sin——=2sin—,

12nn

b,=…2tan-3-6-0-°=2…tan—30°,

12nn

則2兀7——6na+-——6nb=6,n(,si.n—300+,t.an—30\),

即兀?3n(sin^-+tan等)，

故選：A.

11.【答案】40

5rr

【解析】解：(2+%)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：Tr+1=C^2-x,

所求%3的系數(shù)為：叱22=40.

故答案為：40.

寫(xiě)出二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，利用x的指數(shù)為3,求出r,然后求解所求數(shù)值.

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的求法，考查計(jì)算能力.

12.【答案】“不唯一)

【解析】解：因?yàn)楫?dāng)x20時(shí)，fQ)=而,令/(x)=0,解得x=0,

又因?yàn)閒(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=0僅有一個(gè)零點(diǎn)，

即2,一b=0在(一8,0)上僅有一個(gè)解，

等價(jià)于尹=b在(一8,0)上僅有一個(gè)解，

又因?yàn)?<2工<1,

所以只需滿(mǎn)足0<b<l即可.

故答案為："不唯一).

由題意可知x=0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)X<0時(shí)，函數(shù)/Q)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即

2X=b在(-8,0)上僅有一個(gè)解，根據(jù)2工的范圍求解即可.

本題屬于開(kāi)放型問(wèn)題，考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】/(x)=2X-1

【解析】解：結(jié)合已知基本初等函數(shù)，滿(mǎn)足條件/(%)=2工—1.

故答案為：/(x)=2x-l.

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可直接求解.

本題主要考查了基本初等函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】立一g=1

312

y=±2%

【解析】解：與?—/=1具有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為?一好=m,(mH0),

???雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),

?2

2

Am=---2=1—4=—3,

4

即雙曲線(xiàn)方程為3—％2=一3,即9—\=1,

對(duì)應(yīng)的漸近線(xiàn)方程為y=±2%,

故答案為：1—=1,y=+2x.

利用雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法即可得到結(jié)論.

本題主要考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，利用漸近線(xiàn)之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)

鍵，比較基礎(chǔ).

15.【答案】正

5

【解析】

【分析】

熟練掌握通過(guò)線(xiàn)面平行的性質(zhì)即可得到異面直線(xiàn)的距離是解題的關(guān)鍵，為中檔題.

取B1G的中點(diǎn)F,連接EF,ED1，利用線(xiàn)面平行的判定即可得到QC//平面D1EF,進(jìn)而

得到異面直線(xiàn)2E與CiC的距離，從而得最短距離為

【解答】

如圖所示，取BiG的中點(diǎn)F,連接EF,EQ,

???CCJ/EF,

又EFu平面OiEF,CCi<￡平面DiEF,

第10頁(yè)，共17頁(yè)

CG〃平面DiEF.

二點(diǎn)P到直線(xiàn)CG的距離是兩條異面直線(xiàn)D1E與CG的距離，即直線(xiàn)QC上任一點(diǎn)到平面

。遇尸的距離.

過(guò)點(diǎn)G作C1M1D/,

,平面DiEFJL平面4B1GD1.

:?GM1平面DiEF.

過(guò)點(diǎn)”作MP〃EF交于點(diǎn)P,則MP〃CC

取C】N=MP,連接PN,則四邊形“PNC1是矩形.

可得NP1平面DiEF,

在RtADiGF中，CiM-D1F=D1C1-C1F,得Ci"=^^=誓.

???點(diǎn)P到直線(xiàn)CQ的距離的最小值為學(xué).

故答案為達(dá)

5

16.【答案】解：(1)vc=2bcosB,

由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,WflsinC=stn2B,

「2n

C=—.

V3

，當(dāng)C=2B時(shí)，B=p即C+8=TT,不符合題意，舍去，

：?C+2B=冗,

：?2B=E即B=±

OO

綜上所述：B=%

(2)若選①，c=V26,

V3

由正弦定理可得￡=蝮=4■=次，與已知條件c=矛盾，故A/BC不存在，

bsinB-2

若選②，由⑴知，C=^.A=B=^.

由正弦定理可得

abc2=2=_￡_=2R

s--i-n-A=-s--i-n-B=-s--i-n-C=2R,2121>/3

：?CL=b=R,c=遍R,

???a+b=4,

?,?/?=2,即Q=2,b=2,c=2V3,

??.△ABC存在且唯一確定，

設(shè)BC的中點(diǎn)為D,

???CD=1,

在△立￡）中，運(yùn)用余弦定理，AD2=AC2+CD2-2AC-CD-coszC,^AD2=4+1-

2x2x1x（-i）=7,

可得AD=V7,

BC邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度位.

若選③，面積為SL=2，

■■A=B=~.

6

???a=b,

2

??.S&ABC=1absinC=1ax=乎,解得Q=V3,

2

二由余弦定理可得4Z?2=AC2+CD-2xACxCDxcos—=3+-+V3X—=—,可

3424

得AD=更

2

【解析】（1）根據(jù)已知條件運(yùn)用正弦定理，二倍角公式即可求解.

（2）選①，不滿(mǎn)足正弦定理，△4BC不存在；

選②，a+b=4,結(jié)合已知條件，運(yùn)用正弦定理可求三角形各邊長(zhǎng)度，在△AC。中，

運(yùn)用余弦定理，即可求解；

選③，面積為SMBC=不，通過(guò)三角形面積公式，可求得a的值，再結(jié)合余弦定理，即

可求解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理和三角形的面積公式在解三角形中的運(yùn)用，考查了

學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

17.【答案】（1）證明：F分別是AC,4G的中點(diǎn)，

EF//CCX,

vCCi1平面2BC,

EFJ■平面4BC,

又4cu平面4BC,

:.EF1AC,

,:AB=BC,E是AC的中點(diǎn)，

???BE±AC,

又BEnEF=E,BEu平面BEF,EFu平面BEF,

第12頁(yè)，共17頁(yè)

AC1平面BEF；

(2)解：由(1)可知，EFLAC,BELAC,EF_L平面4BC,

又BEu平面ABC,

???EF1BE,

故以E為原點(diǎn)，以EB,EC,EF為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則8(2,0,0),C(0,l,0),D(0,-1,1),

???BC=(-2,1,0).CD=(0,-2,1).

設(shè)平面BCD的法向量為元=(x,y,z),

元.匣=—2x+y=0

0,即

-n-CD=()'—2y+z=O'

令y=2,可得五=(1,2,4),

又EFLBE,BELAC.

S.EFQAC=F,EFu平面4CC14,4Cu平面/"出,

???EBJ_平面

EB=(2,0,0)為平面CDG的一個(gè)法向量，

..cos<n,EB>=L,；==-=—,

\n\\EB\721X221

由圖形可知，二面角B-CD-Ci為鈍二面角，

二二面角B-CD-的的余弦值為一^；

(3)證明：F(0,0,2),6(2,0,1).

?■FG=(2,0,-1).

:.FG-71=2+0—4=—2豐0，

而與元不垂直，

???FG與平面BCD不平行，

又FG<t平面BCD,

???FG與平面BCD相交.

【解析】本題考查線(xiàn)面垂直的判定，利用空間向量求二面角，空間中直線(xiàn)和平面的位置

關(guān)系，屬于中檔題.

(1)證明EFJLAC,BELAC,即可得出AC1平面BEF；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量的夾角的余弦值進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)題意，利用向量方與平面的法向量不垂直即可得解.

18.【答案】解：(I)由題意得：三個(gè)班共抽取20個(gè)學(xué)生，其中C班抽取8個(gè)，

故抽樣比為喘=或

故C班有學(xué)生8+：=40人，

(n)從4班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，

共有5x8=40種情況，

而且這些情況是等可能發(fā)生的，

當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為6時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有2種情況；

當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為6.5時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；

當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為7時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；

當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為7.5時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；

當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為8時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有4種情況；

故該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率為弋產(chǎn)=I；

408

(也)〃0>Ml-

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，古典概型，屬于中檔題.

(I)由已知先計(jì)算出抽樣比，進(jìn)而可得到C班的學(xué)生人數(shù)；

(n)根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，可求出該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；

(m)根據(jù)平均數(shù)的定義，可判斷出的>Mi.

19.【答案】解：(/)函數(shù)/(x)=J—也以，

/c=l時(shí)，/(%)=--lnxf/(l)=

rw=%-pr(i)=o,

???曲線(xiàn)/(x)在點(diǎn)(1J(1))處的切線(xiàn)方程為y-1=0.

第14頁(yè)，共17頁(yè)

x2

(II)/(%)=——klnx9fc>0.

f(X)=U+4)(x-v@,

xe(0,4)時(shí)，f'(x)<o,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減；X6(4,+8)時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)/(%)單

調(diào)遞增.

%=迎時(shí)，函數(shù)取得極小值，f(迎)=>“nk,無(wú)極大值.

綜上可得：函數(shù)/(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,迎)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.區(qū)間是(死,+8).

%=〃時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，f(迎)=?一無(wú)極大值.

(HI)證明:由(〃)可知：xe(0,迎)時(shí)，函數(shù)”為單調(diào)遞減；(、他+8)時(shí),函數(shù)f(x)

單調(diào)遞增.

尤=%時(shí)，函數(shù)/(X)取得極小值，/(迎)=5—k.

若f(x)存在零點(diǎn)，

則函數(shù)f(x)的極小值/(%)=^-^lnk<0,解得k>e.

???/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

???/(X)在區(qū)間(1,正］上最多有一個(gè)零點(diǎn)，

又/⑴="0,f(?=灣W0,

因此f(x)在區(qū)間(1,迎］上僅有一個(gè)零點(diǎn).

【解析】(1)函數(shù)/(x)=己-kbix,k=l時(shí)，/(x)=y-Inx,/(I)=利用導(dǎo)數(shù)的

運(yùn)算法則可得/'(x),切線(xiàn)斜率((1),利用點(diǎn)斜式即可得出曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(L/(D)處的切

線(xiàn)方程.

(D)/(x)=^-klnx,k>O.f(x)=V=G+警F，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

即可得出單調(diào)區(qū)間與極值.

(HI)由(〃)的結(jié)論可得：x=%時(shí)，函數(shù)/(X)取得極小值，/(?).若f(x)存在零點(diǎn)，則

函數(shù)/(%)的極小值/(迎)W0,解得k范圍，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可得出結(jié)論.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值及最值、切線(xiàn)方程，考查了推理能力與計(jì)

算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可得c=l,e=￡=j

、/a2

解得Q=2,b=yfa2—c2=遍,

則橢圓c的方程為￥+《=1；

43

(2)證明：設(shè)N(x2,y2),P(4,%),

由題意可得直線(xiàn)MN的方程為y=x-1,

代入橢圓方程正+^=1,可得

43

7x2-8%-8=0,

88

+%2==-1，

/,>_yo-yi,y-yz

kpM+kpN--7~~—+-70~~—

q—%]4,—%2

_(y。-X]+1)(4—犯)+Oo-&+1)(4-41)

二(4-XJC4-X2)

_8yo+8+2-二⑶。+5)(9+小)

16+xxx2—4(Xj+x2)

_8y0+8-y-?(y0+5)_2yo

二