數(shù)形結(jié)合在高考解題中

------------數(shù)形結(jié)合在高考解題中的應(yīng)用摘要：數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“形”與“數(shù)”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素。數(shù)形結(jié)合是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題的方法，而應(yīng)作為一種基本的，重要的數(shù)學(xué)思想來(lái)學(xué)習(xí)，研究和掌握運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合能力的提高，有利于從數(shù)與形的結(jié)合上深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，有利于扎實(shí)打好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有利于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，同時(shí)必然促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考題采用此法解決，可起到事半功倍的效果。在高考試題中，選擇題、填空題由于不要求寫(xiě)出解答過(guò)程，命題時(shí)常對(duì)掌握及應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問(wèn)題的能力提出較高的要求，要求考生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，找到簡(jiǎn)捷的思路，快速而準(zhǔn)確地做出判斷，從而得出結(jié)果；對(duì)于要求完整寫(xiě)出解題過(guò)程的解答題，由于包含的知識(shí)量大、涉及的概念多，數(shù)形結(jié)合的思想主要用于思路分析、化簡(jiǎn)運(yùn)算及推理的過(guò)程，以求快速準(zhǔn)確地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。其基本模型有：1、距離函數(shù)2、斜率函數(shù)3、Ax＋By截距函數(shù)4、5、6、雙曲線a．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。b．實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。c．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域，最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；斜率；單位圓；向量；函數(shù)；方程；幾何模型；導(dǎo)數(shù)；復(fù)數(shù)一：數(shù)形結(jié)合思想在解決集合問(wèn)題中的應(yīng)用．1、利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題．一般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素．利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問(wèn)題．如：例1、有48名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時(shí)參加數(shù)理小組的8人，同時(shí)參加數(shù)化小組的6人，同時(shí)參加理化小組的7人，問(wèn)同時(shí)參加數(shù)理化小組的有多少人？C（化）A（數(shù)）C（化）A（數(shù)）B（理）參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如右圖），則三圓的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù)．用n表示集合的元素，則有：即：∴，即同時(shí)參加數(shù)理化小組的有1人．例2、設(shè)，已知IA∩IA∩B3,5,72AB1,94,6,8分析：如圖，用長(zhǎng)方形表示全集I，用圓分別表示集合A和B，用n表示集合的元素，則有：從韋恩圖我們可以直觀地看出：．2、利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算和集合的關(guān)系問(wèn)題．例3、設(shè)?！ぃ??！ぃ?－２０１２４３?！し治?分別先確定集合A，B的元素，，然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來(lái)，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫(xiě)出答案：(公共部分)(整個(gè)數(shù)軸都被覆蓋)(除去重合部分剩下的區(qū)域)(除去覆蓋部分剩下的區(qū)域)例4、已知集合⑴若，求的范圍.⑵若，求的范圍．。a。a３a。－１3①要使，由包含于的關(guān)系可知集合B應(yīng)該。。－１３a3a②覆蓋集合A，從而有:,這時(shí)。。－１３a3a②可解得為所求的范圍．二：方程、函數(shù)中數(shù)形結(jié)合問(wèn)題作為解題方法，“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上包含兩方面的含義：一方面對(duì)“形”的問(wèn)題,引入坐標(biāo)系或?qū)ふ移鋽?shù)量關(guān)系式,用“數(shù)”的分析加以解決；另一方面對(duì)于數(shù)量間的關(guān)系問(wèn)題,分析其幾何意義,借助形的直觀來(lái)解。“數(shù)”中思“形”例1.如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值是什么？解：設(shè)點(diǎn)在圓上，圓心為,半徑等于。如圖，則是點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率。當(dāng)與⊙相切，且切點(diǎn)落在第一象限時(shí)，有最大值，即有最大值。因?yàn)?，=，所以==，所以==。例2.求函數(shù)的最小值。分析： 的值是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)A(0,2)與B(-1,0)的距離之和。由圖知（圖略），當(dāng)且僅當(dāng)P與B重合（即x=-1）時(shí)，推廣：若把動(dòng)點(diǎn)P的活動(dòng)范圍從x軸上放寬到整個(gè)坐標(biāo)平面，就可解下面的思考題：求函數(shù)的最小值。請(qǐng)讀者不妨一試。例3.解方程（2）“形”中覓“數(shù)”例1.求方程的解的個(gè)數(shù)。分析：此方程解的個(gè)數(shù)為的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。因?yàn)?所以在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個(gè)交點(diǎn)。例2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足=π,求的最大值。解：要求的最大值，即求的最小值，由復(fù)數(shù)模的幾何意義知即求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離和的最小值。如圖∵滿足=π∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)的軌跡是以為端點(diǎn)，傾斜角為的射線。由圖可知，最小值為==,故的最大值是=。例3、對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)中的最小值，那么的最大值是（）。分析：如圖，函數(shù)的圖像是圖中的實(shí)線，聯(lián)立，解得：，故本題應(yīng)選A。在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過(guò)程中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價(jià)原則；數(shù)形互補(bǔ)原則；求解簡(jiǎn)單原則。當(dāng)然在教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合的思想時(shí)，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握以下幾點(diǎn)：1.善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。2.正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖。三：利用數(shù)形結(jié)合法解不等式問(wèn)題說(shuō)明近年的高考強(qiáng)調(diào)不等式基礎(chǔ)知識(shí)考查的同時(shí)也很注重?cái)?shù)學(xué)能力的考查和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，其中數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用不可忽視。下面列舉六例說(shuō)明。1.數(shù)形對(duì)照，相互滲透例1.使不等式有解的實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A. B.C. D.分析：表示數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到與4、3所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和。由圖1可得其和最小值為1，故選D。圖1例2.已知，欲使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。分析：欲使恒成立，即恒成立，故。于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求知，當(dāng)直線圖2故。2.由數(shù)想形，直觀顯現(xiàn)例3.解不等式。分析：設(shè)，，由得：因?yàn)?為半徑，在x軸上方的半圓，表示過(guò)原點(diǎn)斜率為1在第一象限的直線，如圖3，由題意轉(zhuǎn)化要求半圓（圓弧）應(yīng)在直線的下方，可得，圖3故原不等式的解集是（2，4]例4.求使不等式成立的x的取值范圍。（03年全國(guó)高考題14）解：，因?yàn)榈膱D象與函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，的圖象是一條過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線由圖4可得圖4例5.已知且，都有實(shí)根，求的取值范圍。解：依題意得即（*）則滿足（*）的點(diǎn)（a，b）在圖5所示的陰影區(qū)域內(nèi)。圖5設(shè)，則所表示的直線系中，過(guò)點(diǎn)A（4，2）的直線在b軸上的截距即為滿足（*）的z的最小值。所以故3.由數(shù)構(gòu)形，抽象變形象例6.設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集是（）A.B.C.D.（04年湖南高考題12）解：設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以上是增函數(shù)因?yàn)榉謩e是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)又所以又是奇函數(shù)，所以故根據(jù)以上特點(diǎn)，不妨構(gòu)造如圖6所示的符合題意的函數(shù)F（x）的圖象，由圖直接觀察出所求解集是圖6故選D。由上幾例可知，在不等式的教學(xué)或復(fù)習(xí)中要有意識(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透。四：立體幾何問(wèn)題構(gòu)建立體幾何模型，研究代數(shù)問(wèn)題，研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等【典例7】若三棱錐A-BCD側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與ΔABC組成的圖形可能是 （ ） 分析：此題將立體幾何與解析幾何巧妙結(jié)合，是對(duì)過(guò)去分離考核的創(chuàng)新?？上瓤紤]特殊圖形，當(dāng)AC⊥平面BCD時(shí)，如圖1，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為P到AB的距離和BC距離相等的點(diǎn)的軌跡，顯然P點(diǎn)軌跡是∠ABC的平分線。當(dāng)AC不垂直平面BCD時(shí)如圖（2）的P到平面DBC和邊BC的距離分別為h，dBC,設(shè)A-BC-D的大小為，故選D.誤點(diǎn)警示：解決此類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵要善于利用空間幾何性質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面幾何中，再利用平面幾何的相關(guān)性質(zhì)就比較容易解決.【變式訓(xùn)練】6.如圖，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE邊長(zhǎng)為α的正三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，EC和平面ABCD成30°角．（Ⅰ）求EA、CD所成的角；（Ⅱ）求二面角E-FC-D的大??；（Ⅲ）求D到平面EFC的距離．五：解析幾何問(wèn)題靈活運(yùn)用解析幾何中的圖象性質(zhì)與方程、不等式間的數(shù)形轉(zhuǎn)化【典例8】若雙曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值集合中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)________.分析：由于說(shuō)明表示過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線的斜率.（注意：這條直線上應(yīng)除去橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)）本題的含義是：過(guò)A且與與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條？【解析】有數(shù)去配形.如圖1，過(guò)A且平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有兩條.過(guò)A作雙曲線的切線，如圖2，這樣的直線也有兩條.：由于直線，而直線與雙曲線交于B、C兩點(diǎn)，所以就本題而言，雙曲線上是應(yīng)當(dāng)去掉B、C兩點(diǎn)的，這樣，過(guò)A且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線還有AB、AC兩條.【變式訓(xùn)練】7.設(shè)k>1,f(x)=k(x－1)(x∈R).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A點(diǎn)，它的反函數(shù)y=f－1(x)的圖象與y軸交于B點(diǎn)，并且這兩個(gè)函數(shù)的圖象交于P點(diǎn).已知四邊形OAPB的面積是3，則k等于()A.3B.C.D.六：利用單位圓中的有線段解決三角不等式問(wèn)題．在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線，余弦線，正切線，并利用三角函數(shù)線可作出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的圖像．如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)線，應(yīng)用它解決三角不等式問(wèn)題,簡(jiǎn)便易行．0xyP0xyP分析：因?yàn)檎揖€在單位圓中是用方向平行于軸的有向線段來(lái)表示．我們先在軸上取一點(diǎn)P，使，恰好表示角的正弦線,過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線交單位圓于點(diǎn),在內(nèi)，分別對(duì)應(yīng)于角，(這時(shí)所對(duì)應(yīng)的正弦值恰好為)．而要求的解集，只需將弦向上平移，使重合(也即點(diǎn)P向上平移至與單位圓交點(diǎn)處)．這樣所掃過(guò)的范圍即為所求的角．原不等式的解集為：．例2、解不等式0x0xPy方向平行于軸的有向線段．先在軸上取點(diǎn)P，使，恰好表示角的余弦線，過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線交單位圓于點(diǎn)，在內(nèi)，分別對(duì)應(yīng)于角，(這時(shí)所對(duì)應(yīng)的余弦值恰好為)．而要求的解集，只需將弦向右平移，使重合(也即點(diǎn)P向右平移至與單位圓交點(diǎn)處)．這樣所掃過(guò)的范圍即為所求的角．原不等式的解集為：．七：總結(jié)1．方法與技巧（1）.數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是：數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)；幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系。因而要徹底明白一些概念及運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；用恰當(dāng)用參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化.（2）.數(shù)形結(jié)合思想包括了“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”兩方面內(nèi)容，千萬(wàn)不要以為數(shù)形結(jié)合就是畫(huà)圖解題，方便迅速，這一方面的的內(nèi)容，我們有許多與圖形有關(guān)內(nèi)容，我們有許多與圖形有關(guān)內(nèi)容也需要通過(guò)準(zhǔn)確的計(jì)算來(lái)解決，在高考中，以數(shù)解形問(wèn)題近幾年有所增加。例如解析幾何就是將幾何問(wèn)題代數(shù)化，通過(guò)計(jì)算來(lái)研究幾何問(wèn)題，通過(guò)方程來(lái)研究圖形的特征。又如，有些問(wèn)題數(shù)形結(jié)合反而繁瑣，通過(guò)計(jì)算反而準(zhǔn)確迅速.例：已知，則所在的象限是_________.分析：該題可用畫(huà)單位圓的來(lái)解決，但比較麻煩，不如利用cos,,知θ在第三象限來(lái)得迅速.（3）.“以形助數(shù)”確實(shí)有著奇特功效，但運(yùn)算的基本功千萬(wàn)不能忽視，不少題目“以形助數(shù)”并不能完全解決問(wèn)題，還要通過(guò)必要的計(jì)算，才能徹底解決問(wèn)題.（4）.數(shù)形結(jié)合的方法有時(shí)會(huì)由于畫(huà)圖的不準(zhǔn)確而導(dǎo)致一些錯(cuò)誤，如一道常見(jiàn)的經(jīng)典錯(cuò)題 例：已知0<a<1，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為： A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)常見(jiàn)的方法是畫(huà)出的圖象易知圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)故方程有2個(gè)實(shí)根故選（B）這種解法是錯(cuò)誤的，舉反例如下：當(dāng)a=時(shí),的圖象的交點(diǎn)是.均適合y=. 又由于y=互為反函數(shù)，故有一交點(diǎn)在直線y=x上，y=的圖象分別與y=的圖象相同，故也有一交點(diǎn)在直線y=x上，另外由圖知兩者有一交點(diǎn)橫坐標(biāo)在x=1右側(cè)，故a=時(shí)，方程有四個(gè)實(shí)根，其中在上有三上交點(diǎn)，是由于圖象無(wú)法畫(huà)得很準(zhǔn)而誤認(rèn)為在上只有一個(gè)交點(diǎn)，因而數(shù)形結(jié)合的方法不是萬(wàn)能的. 總之，由于數(shù)形結(jié)合的思想在高考中考查的比重