全等三角形模型壓軸題綜合訓(xùn)練（一）（解析版）（人教版）

全等三角形模型壓軸題綜合訓(xùn)練（一）一、填空題1．如圖，在等邊中，，是上一點(diǎn)，且，連接，以為腰向右作等腰，，連接，取的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】如圖，在上取點(diǎn)使，連接，，記，的交點(diǎn)為，證明，可得，，再證明，可得四邊形為平行四邊形，可得，，即，重合，即，從而可得答案．【詳解】解：如圖，在上取點(diǎn)使，連接，，記，的交點(diǎn)為，

∵等邊，，，∴，，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∵的中點(diǎn)為，∴，重合，即，∵，，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，等邊中，為邊上的高，點(diǎn)、分別在、上，且，連、，當(dāng)最小時(shí)，度．

【答案】【分析】如圖中，作，使得，連接，，證明，推出，由，可知，，共線時(shí)，的值最小，求出此時(shí)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖中，作，使得，連接，．

是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，共線時(shí)，的值最小，如圖中，當(dāng)，，共線時(shí)，

，，，，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．3．如圖，中，、的角平分線、交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、，，，則下列結(jié)論中正確的是．（填序號(hào)）①平分；②；③；④．【答案】①②③④【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【詳解】①過(guò)點(diǎn)作于，∵平分，平分，，，，，，，點(diǎn)在的角平分線上，故①正確；②∵，，，．在和中，，，，同理：，，，，②正確；③∵平分，平分，，，，③正確；④由②可知，，，，故④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE＋∠BCE＝180°，EF⊥BC交BC于F，AC＝8，BC＝12，則BF的長(zhǎng)為．【答案】10【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝EG，證明Rt△EFC≌Rt△EGC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝CG，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】解：連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖所示：∵D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∴EA＝EB，∵∠ACE＋∠BCE＝180°，∠ACE＋∠ECG＝180°，∴∠ECG＝∠BCE，∵EF⊥BC，EG⊥AC，∴EG＝EF，在Rt△EFC和Rt△EGC中，，∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL），∴CF＝CG，∴12﹣CF＝8＋CF，解得：CF＝2，∴BF＝12﹣2＝10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出EF＝EG是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知中，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，當(dāng)最小時(shí)，線段的值為．

【答案】【分析】以為邊作等邊，連接，可證，可得，則時(shí)，的長(zhǎng)最小，即的長(zhǎng)最小，即可求解．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

，，，，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，是等邊三角形，，，，且，，，，時(shí)，的長(zhǎng)最小，即的長(zhǎng)最小，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．二、解答題6．如圖，為等邊的高，，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，且在射線上時(shí)，求證：．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：．(3)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）為等邊的高，得，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等角對(duì)等邊即可求解；（2）如圖，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，是等邊三角形，，由此證明，即可求解；（3）由（1），（2）的結(jié)論可知，，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵為等邊的高，∴，，，∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，∴，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，∵是等邊三角形，∴，，∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴；

（3）解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下，∵為等邊的高，，∴，，，由（2）可知，，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，∴，∴，由（2）可知，，∴，∴線段的長(zhǎng)度為．

【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，等角對(duì)等邊．掌握和理解這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，向外作和等邊，連接．

(1)如圖1，當(dāng)也是等邊三角形時(shí)，連接，交于點(diǎn)．①試猜想、的關(guān)系，并說(shuō)明理由；②連接，問(wèn)是否平分，為什么？(2)如圖2，當(dāng)是直角三角形（）時(shí)，若，．求證：．【答案】(1)①，且，見(jiàn)解析；②是，見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）①證明，從而得到即可；②作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由①結(jié)論可得：，從而，從而推出，進(jìn)而得出結(jié)果．（2）向外作等邊，連接，由（1）①的結(jié)論可得：，可證得點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)點(diǎn)共線，是線段的垂直平分線，進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①猜想：，理由：和都是等邊三角形，，，，，在和中，，，；②平分，理由：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

由①結(jié)論可得：，．，，平分；（2）證明：向外作等邊，連接，

由（1）①的結(jié)論可得：，是等邊三角形，，，，，，，，，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)點(diǎn)共線，是線段的垂直平分線，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，角平分線的判定等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．8．閱讀下面材料：小胖同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)D為的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，試比較與的大小．小胖通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接和，如圖2：可以得到一對(duì)全等三角形和一個(gè)等腰三角形，從而解決問(wèn)題．

試回答：(1)小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)與的大小關(guān)系是．(2)證明小胖發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．(3)如圖3，，，的面積為12，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C兩點(diǎn)重合），點(diǎn)E、F分別是邊上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)的周長(zhǎng)的最小值是8【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可求解．（2）過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于H，由“”可證，可得，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由三邊關(guān)系可求解；（3）作D關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G和H，連接交于E，交于F，則，周長(zhǎng)的最小值就是的最小值，由點(diǎn)到直線的距離可得，當(dāng)時(shí)，最小，再根據(jù)面積，求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，故答案為：；（2）證明如下，過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于H，

∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴為等腰三角形，即，在中，，∴．（3）如圖3，作D關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G和H，連接交于E，交于F，

由對(duì)稱(chēng)性得，，∴，，∴是正三角形，∴，∴周長(zhǎng)的最小值就是的最小值，由點(diǎn)到直線的距離可得，當(dāng)時(shí)，最小，∵，∴，∴，∴的周長(zhǎng)的最小值是8；【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．9．在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、、重合），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，．

【問(wèn)題探究】如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）求與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）①如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，的大小是否變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，，直接寫(xiě)出的面積，不需證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）相等，見(jiàn)解析；（3）①45度；②4或25【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）結(jié)論：，證明，推出，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（3）①結(jié)論：的大小不變，．證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論；②分兩種情形：點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，分別求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，，在和中，，；（2）解：，理由：，，，，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，．（3）解：①，，，，，，，，，，，，，，，即，，；②如圖2中，當(dāng)，時(shí)，，．如圖3中，當(dāng)，時(shí)，，．

綜上所述，滿足條件的的面積為4或25．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．10．已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰直角和等腰直角，，連接，是的中點(diǎn)，連接、(1)如圖，當(dāng)與在同一直線上時(shí)，求證：；(2)如圖，若，，求，的長(zhǎng)；(3)如圖，當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，(3)見(jiàn)解析【分析】（1）由“”可證，可得，可得，可得，可得結(jié)論；（2）由題意可得，可得是等腰直角三角形，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求，的長(zhǎng)；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，推出、是兩條中位線：，；然后證明，得到，從而證明．【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵，∴，∴，且，∴∴，∵在等腰直角和等腰直角中，，，，∴，∴，，且∴，∴；（2）解：由（1）可知：，∵，，∴，且∴是等腰直角三角形，，且∴；（3）證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，是等腰直角三角形，，∵∴，，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴．同理可得：，．在與中，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．11．中，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若平分，，求的值；(2)如圖2，M是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，當(dāng)平分時(shí)，試探究之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，連接，①求證：；②，，求的值．【答案】(1)3(2)，理由見(jiàn)解析(3)①證明見(jiàn)解析；②12【分析】（1）如圖，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．證明，得到，再證明，即可得到；（2）如圖，分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，由（1）可得，得，再證得到，由此可得結(jié)論；（3）如圖所示，在上截取，證明，得到，，進(jìn)一步證明，則；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于G，則都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性質(zhì)得到則，據(jù)此求出，則，進(jìn)一步求出則．【詳解】（1）解：如圖，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

∵，∴，又∵，∴．在和中，∴．∴；∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴；（2）解：，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

由（1）可得，，∴．∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴．∵．∴．（3）解：①如圖所示，在上截取，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴；

②如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于G，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．已知等腰中，，點(diǎn)D在射線上，連接，在右側(cè)作等腰，且

(1)如圖1，若平分，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)M在線段的垂直平分線上；(3)如圖3，射線與射線交于點(diǎn)G，若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，由角平分線的定義得到，進(jìn)而求出，則可得，利用三角形外角的性質(zhì)可得，即可證明；（2）如圖所示，在上取一點(diǎn)H使得，連接并延長(zhǎng)到T，使得，連接，證明是等腰直角三角形，推出，證明，，進(jìn)而證明，得到，則；證明，得到，進(jìn)而推出，證明，得到，則；證明都是等腰直角三角形，得到，即可證明，則點(diǎn)M在線段的垂直平分線上；（3）如圖所示，延長(zhǎng)到K使得，連接，設(shè)直線與交于M，證明，得到，由三角形內(nèi)角和定理得到，再證明，得到，同理可得，則．【詳解】（1）證明：∵都是等腰直角三角形，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）證明：如圖所示，在上取一點(diǎn)H使得，連接并延長(zhǎng)到T，使得，連接，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；∵是等腰直角三角形，M是的中點(diǎn)，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴點(diǎn)M在線段的垂直平分線上；

（3）解：如圖所示，延長(zhǎng)到K使得，連接，設(shè)直線與交于M，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分，∴同理可得，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．已知．

(1)如圖1，按如下要求用尺規(guī)作圖：①作出的中線；②延長(zhǎng)至E，使，連接；（不要求寫(xiě)出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)如圖2，若是中線．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，若是的中線，過(guò)點(diǎn)B作于E，交于點(diǎn)F，連接．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)作圖見(jiàn)詳解(2)．證明見(jiàn)詳解(3)2【分析】（1）①根據(jù)三角形的中線的定義作出圖形即可．②根據(jù)要求作出圖形即可；（2）結(jié)論：．利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（3）利用全等三角形的性質(zhì)證明，再利用（3）中結(jié)論解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：①如圖1所示，線段即為所求．作法：1．分別以為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，交于兩點(diǎn)，2．連接這兩點(diǎn)與交于點(diǎn)，3．連接，線段即為所求．②如圖1中，線段，即為所求．

作法：1．延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使，2．連接，線段，即為所求；（2）解：與的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，

是中線，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．（3）解：如圖3中，

，，，，，，是中線，，，，，在和中，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的中線的定義，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．14．【問(wèn)題初探】和是兩個(gè)都含有角的大小不同的直角三角板

（1）當(dāng)兩個(gè)三角板如圖（1）所示的位置擺放時(shí)，D、B，C在同一直線上，連接，請(qǐng)證明：【類(lèi)比探究】（2）當(dāng)三角板保持不動(dòng)時(shí)，將三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示的位置，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】如圖（3），在四邊形中，，連接，，，A到直線的距離為7，請(qǐng)求出的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），；（3）【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)判斷出即可得出結(jié)論；（2）先證明得到，，再延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，證明即可得到；（3）過(guò)作交延長(zhǎng)線于，可證得，可得，再由求出和的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）∵和是兩個(gè)都含有角的大小不同的直角三角板，

∴，，，∴，∴；（2），，理由如下：∵，∴，∵，，∴，∴，，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，

∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）過(guò)作交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交于，

∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，，∴，∵A到直線的距離為7，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的判斷方法，解本題的關(guān)鍵是判斷出，是一道難度不大的中考?？碱}．15．已知在中，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．

(1)如圖1，在等邊中，，求證：；(2)如圖2，在中，若，，且，，求的度數(shù)；(3)如圖3，在等邊中，且，在平面內(nèi)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蚨绒D(zhuǎn)得到線段，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．在點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由“”可證，可得，即可求解；（2）由“”可證，推出，，再證明，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：．首先證明．由“”可證，推出，延長(zhǎng)到，使得，則是等邊三角形，由“”可證，推出，，推出是等邊三角形，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：是等邊三角形，，，又，，，；（2）在射線上取一點(diǎn)，使得，

，，