柱體臺(tái)體球體的表面積與體積20220412

柱錐臺(tái)的表面積和體積

則其面積為__________.

復(fù)習(xí)：1.如圖①中，則的面積________

2.已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為寬為,邊上的高為，

圖①△△1３.梯形的上底，下底，高梯形的面積為______________。圓心角,5.如圖扇形的半徑為，則扇形的面積是2弧長(zhǎng)是，——————，也可表示成——————。4.已知圓的半徑為r，則圓的面積為__________。5問(wèn)題：上述幾何體的展開圖與其表面積有什么關(guān)系？1.柱體、錐體、臺(tái)體的表面積正方體、長(zhǎng)方體的表面積就是各個(gè)面的面積之和。探究

棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？棱柱側(cè)面展開圖平行四邊形組成S表=S底+S側(cè)棱錐側(cè)面展開圖三角形組成S表=S底+S側(cè)棱臺(tái)的側(cè)面展開圖梯形組成7S表=S底+S側(cè)

例1.已知棱長(zhǎng)為,各面均為等邊三角形（如圖④）,則它的的三棱錐①底面積為_______,

②側(cè)面積為_______,③表面積為_______.圖④8例2.下圖是一個(gè)幾何體的三視圖(單位:cm)想象對(duì)應(yīng)的幾何體，并求出它的表面積12解：直觀圖是四棱臺(tái),側(cè)面是四個(gè)全等的梯形,上下底面為不同的正方形2、圓柱、圓錐、圓臺(tái)（1）圓柱的表面積1416（2）、圓錐的表面積（3）、圓臺(tái)的表面積OO’OO

圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間的關(guān)系。r’＝r上底擴(kuò)大r’＝0上底縮小

1.看圖回答問(wèn)題

做一做203.以直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為____________.側(cè)面展開圖為正方形，則它的表面積為__________.2.一個(gè)圓柱形鍋爐的底面半徑為,21

４.一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20cm,盆底直徑為15cm,底部滲水孔直徑為1.5cm,盆壁長(zhǎng)15cm.為美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，則

(1)每個(gè)花盆要涂油漆的表面積為___________；

(2)涂100個(gè)這樣的花盆，需要油漆___________毫升.(精確到1毫升,可用計(jì)算器)

22分析

(1)花盆外壁的面積=花盆的側(cè)面積+底面積-底面圓孔面積23(2)涂100個(gè)需漆:y=0.1×100×100=1000(毫升)

答:每個(gè)涂漆面積0.1100個(gè)需涂漆1000毫升.24解:(1)練習(xí)1.一個(gè)圓臺(tái)，上、下底面半徑分別為

10、20，母線與底面的夾角為60°，求圓臺(tái)的表面積.變式:

求切割之前的圓錐的表面積.

面積公式：17情景設(shè)置

取一些書堆放在桌面上(如圖所示)

，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？從以上事實(shí)中你得到什么啟發(fā)？祖暅原理

夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．

問(wèn)題：兩個(gè)底面積相等、高也相等的柱體的體積如何？4.柱體、錐體、臺(tái)體的體積ShSS

棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向得到，因此，兩個(gè)底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）應(yīng)該具有相等的體積．hV柱體=sh柱體錐體

經(jīng)探究得知，棱錐(圓錐)是同底等高的棱柱(圓柱)的，即棱錐(圓錐)的體積：（其中S為底面面積，h為高）

由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于底面面積乘高的．臺(tái)體柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？上底擴(kuò)大上底縮小柱體、錐體、臺(tái)體的體積錐體臺(tái)體柱體小結(jié)例4：如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：cm）.（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；例題講解練習(xí)：已知一正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為4cm,下底邊長(zhǎng)為8cm，高為3cm，求其體積解（略）例5已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱.(1)求圓柱的側(cè)面積;(2)x為何值時(shí),圓柱的側(cè)面積最大?并求出這個(gè)最在值.OO1PAB如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，并且底面是正三角形．如果圓柱的體積是Ｖ，底面直徑與母線長(zhǎng)相等，那么三棱柱的體積是多少？鞏固練習(xí)BACA1B1C1OABCD例5一圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為20cm,母線與軸的夾角為300,上底面的半徑為15cm,求圓臺(tái)的高,下底面的面積及體積.練習(xí):如圖,軸截面是正方形的圓柱,叫等邊圓柱.已知等邊圓柱的底面半徑為r,求等邊圓柱的表面積.O’oABCrOO1

例6、如圖，已知直角梯形ABCD,AB=2,CD=1,BC=1,若分別以梯形的各條邊所在的直線l為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，可得到不同的旋轉(zhuǎn)體。求出它們各自的體積與表面積？BCCDDAAB例題講解球的大圓球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓球的性質(zhì)OO`球心與截面圓的圓心的連線垂直于截面圓球的表面積是2500

，球內(nèi)有兩個(gè)平行截面的面積分別是49

、400,求兩截面距離OO2O1ABOO2O1AB1.3.2球的體積和表面積AOO.1、球的體積B2C2BiCiAO已知球的半徑為R問(wèn)題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.定理:半徑是R的球的體積變式1：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計(jì)算器算得:球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球(即球體):球面所圍成的幾何體。它包括球面和球面所包圍的空間。半徑是R的球的體積：推導(dǎo)方法：

分割求近似和化為準(zhǔn)確和球的表面積第一步：分割O球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：設(shè)“小錐體”的體積為：O2、球的表面積O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積

如果網(wǎng)格分的越細(xì),則:①

由①②

得:②

球的體積:的值就趨向于球的半徑RO“小錐體”就越接近小棱錐。(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的—倍。(2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的—倍。(3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是———。(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是———。練習(xí)一：兩個(gè)幾何體相切:一個(gè)幾何體的各個(gè)面與另一個(gè)幾何體的各面相切.兩個(gè)幾何體相接:一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都在另一個(gè)幾何體的表面上(變式2)把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時(shí),球與正方體有什么位置關(guān)系?球內(nèi)切于正方體側(cè)棱長(zhǎng)為5cm變式3.有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比.作軸截面例2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問(wèn)球O的表面積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=——。變題2.如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=——。關(guān)鍵：找正方體的棱長(zhǎng)a與球半徑R之間的關(guān)系2023/12/1355變式（1）若一個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上,求正方體表面積與球面積的比.（2）球O的內(nèi)接長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別為,求球的體積.2023/12/13561.兩個(gè)球的體積之比是８：２７，求它們的表面積之比________.2.在球面上有4個(gè)點(diǎn)P,A,B,C,若PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=a,則這個(gè)球的表面積為_________.變式練習(xí)4：93、半球的半徑為R，一正方體的四個(gè)頂點(diǎn)在半球的底面上，另四個(gè)頂點(diǎn)在球面上，求正方體的棱長(zhǎng)4、半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的一邊長(zhǎng)為

，求半球的表面積和體積。小結(jié)1.兩種方法:化整為零的思想方法和“分割,求和,取極限”的數(shù)學(xué)方法.2.一個(gè)觀點(diǎn):在一定條件下,化曲為直的辨證觀點(diǎn).3.二個(gè)公式:半徑為R的球的體積是4.解決兩類問(wèn)題:兩個(gè)幾何體相切和相接作適當(dāng)?shù)妮S截面OABC例３.已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，表面積．例題講解2023/12/1361例4．求棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比.2023/12/1362變式.四棱錐P-ABCD的底面為矩形,側(cè)面PAD為正三角形,且面PAD面ABCD,若PD=4,AB=8,求該四棱錐的內(nèi)切球的體積.PABCDM2023/12/13631.已知正三棱錐高為１，底面邊長(zhǎng)為內(nèi)有一球與四個(gè)面都