二次函數(shù)的應(yīng)用拱橋問題九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題22.9二次函數(shù)的應(yīng)用：拱橋問題〔重難點培優(yōu)〕姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題．答卷前，考生務(wù)必用毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔2021秋?硚口區(qū)期中〕如圖，有一拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m，當(dāng)水面寬增加〔26-4〕mA．2mB．1mC．6mD．〔6-2〕【分析】根據(jù)得出直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再通過把x=6【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，那么通過畫圖可得知O為原點，拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點，∴OA＝OB=12AB＝∵拋物線頂點C坐標(biāo)為〔0，2〕，設(shè)頂點式y(tǒng)＝ax2+2，代入A點坐標(biāo)〔﹣2，0〕，得：a＝﹣，所以拋物線解析式為y＝﹣x2+2，把x=6代入拋物線解析式得出：y＝﹣×6+2＝﹣1∴水面應(yīng)下降的高度是1米，應(yīng)選：B．2．〔2021秋?防城區(qū)期中〕某涵洞的截面是拋物線形狀，如下圖的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-14x2，當(dāng)涵洞水面寬AB為16mA．﹣6mB．12mC．16mD．24m【分析】把x＝8或﹣8直接代入解析式即可解答．【解析】依題意，設(shè)A點坐標(biāo)為〔﹣8，y〕，代入拋物線方程得：y=-14×即水面到橋拱頂點O的距離為16米．應(yīng)選：C．3．〔2021秋?湖里區(qū)校級月考〕如圖，我們把一個半圓與拋物線的一局部圍成的封閉圖象稱為“果園〞，點A，B，C，D分別是“果園〞與坐標(biāo)軸的交點，拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5，AB為半圓是直徑，那么這個“果園〞被y軸截得的弦CD的長為〔〕A．8B．5C．5+5D．5【分析】由題意可求點A，點B，點D坐標(biāo)，即可求AB的長，OD的長，根據(jù)勾股定理可求CO的長，即可得CD的長．【解析】如圖：連接CM，當(dāng)y＝0時，y＝x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕，∴AB＝6，又∵M(jìn)為AB的中點，∴M〔2，0〕，∴OM＝2，CM＝3，∴CO=C當(dāng)x＝0時，y＝﹣5，所以O(shè)D＝5，∴CD＝5+5應(yīng)選：C．4．〔2021秋?大安市期末〕如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂高離水面2m時，水面寬4m，水面下降m，水面寬度增加〔〕A．1mB．2mC．3mD．6m【分析】根據(jù)確定平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再通過把y＝﹣代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，那么通過畫圖可得知O為原點，拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標(biāo)為〔0，2〕，設(shè)頂點式y(tǒng)＝ax2+2，把A點坐標(biāo)〔﹣2，0〕代入得a＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2，當(dāng)水面下降米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y＝﹣時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y＝﹣與拋物線相交的兩點之間的距離，可以通過把y＝﹣代入拋物線解析式得出：﹣＝﹣x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降m，水面寬度增加2米．應(yīng)選：B．5．〔2021?江漢區(qū)校級一?！橙鐖D，隧道的截面由拋物線和長方形OABC構(gòu)成，長方形的長OA是12m，寬OC是4m．按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=-16x2+bx+c表示．在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過A．2mB．4mC．42mD．43m【分析】根據(jù)長方形的長OA是12m，寬OC是4m，可得頂點的橫坐標(biāo)和點C的坐標(biāo)，即可求出拋物線解析式，再把y＝8代入解析式即可得結(jié)論．【解析】根據(jù)題意，得OA＝12，OC＝4．所以拋物線的頂點橫坐標(biāo)為6，即-b2∴b＝2，∵C〔0，4〕，∴c＝4，所以拋物線解析式為：y=-16x2=-16〔x﹣6當(dāng)y＝8時，8=-16〔x﹣6〕解得x1＝6+23，x2＝6﹣23．那么x1﹣x2＝43．所以兩排燈的水平距離最小是43．應(yīng)選：D．6．〔2021?蕭山區(qū)校級模擬〕有一座拋物線形拱橋，正常水位橋下面寬度為20米，拱頂距離水平面4米，如圖建立直角坐標(biāo)系，假設(shè)正常水位時，橋下水深6米，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18米，那么當(dāng)水深超過多少米時，就會影響過往船只的順利航行〔〕A．米B．米C．6米D．7米【分析】根據(jù)，假設(shè)解析式為y＝ax2，把〔10，﹣4〕代入求出解析式．假設(shè)在水面寬度18米時，能順利通過，即可把x＝9代入解析式，求出此時水面距拱頂?shù)母叨龋缓蠛驼Ｋ幌啾葦M即可解答．【解析】設(shè)該拋物線的解析式為y＝ax2，在正常水位下x＝10，代入解析式可得﹣4＝a×102?a=故此拋物線的解析式為y=-125因為橋下水面寬度不得小于18米所以令x＝9時可得y=-此時水深6+4﹣＝米即橋下水深米時正好通過，所以超過米時那么不能通過．應(yīng)選：B．7．〔2021秋?天長市期末〕河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)的關(guān)系式為y=-125x2，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4mA．﹣20mB．20mC．10mD．﹣10m【分析】根據(jù)題意分別求出點A、B的坐標(biāo)，計算即可．【解析】由題意得，﹣4=-125解得，x＝±10，即點A的坐標(biāo)為〔﹣10，﹣4〕，點B的坐標(biāo)為〔10，﹣4〕，這時水面寬度AB為20m，應(yīng)選：B．8．〔2021秋?和平區(qū)期末〕如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂高離水面2m時，水面寬4m．水面下降m，水面寬度增加〔〕A．1mB．2mC．3mD．6m【分析】根據(jù)題意建立適宜的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的解析式，從而可以求得水面的寬度增加了多少，此題得以解決．【解析】如右圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，由可得，點〔2，﹣2〕在此拋物線上，那么﹣2＝a×22，解得a=-∴y=-當(dāng)y＝﹣時，﹣=-解得，x1＝﹣3，x2＝3，∴此時水面的寬度為：3﹣〔﹣3〕＝6，∴6﹣4＝2，即水面的寬度增加2m，應(yīng)選：B．9．〔2021秋?銅陵期中〕如圖，在水平地面點A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，在地面上落點為B，有人在直線AB上點C〔靠點B一側(cè)〕豎直向上擺放假設(shè)干個無蓋的圓柱形桶，試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi)，AB＝4米，AC＝3米，網(wǎng)球飛行最大高度OM＝5米，圓柱形桶的直徑為米，高為米〔網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計〕．當(dāng)豎直擺放圓柱形桶至少〔〕個時，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)．A．7B．8C．9D．10【分析】以拋物線的對稱軸為y軸，水平地面為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)解析式，結(jié)合確定拋物線上點的坐標(biāo)，代入解析式確定拋物線的解析式，由圓桶的直徑，求出圓桶兩邊緣縱坐標(biāo)的值，確定m的范圍，根據(jù)m為正整數(shù)，得出m的值，即可得到當(dāng)網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)時，豎直擺放圓柱形桶個數(shù)．【解析】〔1〕以點O為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系〔如圖〕，∴M〔0，5〕，B〔2，0〕，C〔1，0〕，D〔32，0設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+k，∵拋物線過點M和點B，∴0=4a解得：k＝5，a=-∴拋物線解析式為：y=-54x∴當(dāng)x＝1時，y=15當(dāng)x=32時，y∴P〔1，154〕，Q〔32，設(shè)豎直擺放圓柱形桶m個時網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)，由題意得：3516≤3解得：7724≤m≤12∵m為整數(shù)，∴m的最小整數(shù)值為：8，∴豎直擺放圓柱形桶至少8個時，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)．應(yīng)選：B．10．〔2021?綿陽〕三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當(dāng)水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，假設(shè)大孔水面寬度為20米，那么單個小孔的水面寬度為〔〕A．43米B．52米C．213米D．7米【分析】根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的拋物線，然后即可得到大孔所在拋物線解析式，再求出頂點為A的小孔所在拋物線的解析式，將x＝﹣10代入可求解．【解析】如圖，建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=3設(shè)大孔所在拋物線解析式為y＝ax2+3∵BC＝10，∴點B〔﹣5，0〕，∴0＝a×〔﹣5〕2+3∴a=-∴大孔所在拋物線解析式為y=-350x設(shè)點A〔b，0〕，那么設(shè)頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y＝m〔x﹣b〕2，∵EF＝14，∴點E的橫坐標(biāo)為﹣7，∴點E坐標(biāo)為〔﹣7，-36∴-3625=m〔x﹣b∴x1=65-1m+b∴MN＝4，∴|65-1m+b﹣〔-∴m=-∴頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y=-925〔x﹣b∵大孔水面寬度為20米，∴當(dāng)x＝﹣10時，y=-∴-92=-925〔x∴x1=522+b，x∴單個小孔的水面寬度＝|〔522+b〕﹣〔-522+應(yīng)選：B．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021?長春模擬〕如圖，一個涵洞的截面邊緣是拋物線形．現(xiàn)測得當(dāng)水面寬AB＝m時，涵洞頂點與水面的距離是m．這時，離開水面m處，涵洞的寬DE為26【分析】根據(jù)此拋物線經(jīng)過原點，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2．根據(jù)AB＝，涵洞頂點O到水面的距離為m，那么B點坐標(biāo)應(yīng)該是〔，﹣〕，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式，繼而求出點D的坐標(biāo)及ED的長．【解析】∵拋物線y＝ax2〔a＜0〕，點B在拋物線上，將B〔，﹣〕，它的坐標(biāo)代入y＝ax2〔a＜0〕，求得a=-所求解析式為y=-154再由條件設(shè)D點坐標(biāo)為〔x，﹣〕，那么有：﹣=-154解得：x＝±65所以寬度為26故答案為：2612．〔2021秋?建湖縣期末〕如圖，有一個橫截面邊緣為拋物線的隧道入口，隧道入口處的底面寬度為8m，兩側(cè)距底面4m高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為6m，那么這個隧道入口的最大高度為m〔精確到m〕．【分析】由題意可知各點的坐標(biāo)，A〔﹣4，0〕，B〔4，0〕，D〔﹣3，4〕，又由拋物線的頂點在y軸上，即可設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+c，然后利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式，繼而求得這個門洞的高度．【解析】建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系．由題意可知各點的坐標(biāo)，A〔﹣4，0〕，B〔4，0〕，D〔﹣3，4〕．設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+c〔a≠0〕，把B〔4，0〕，D〔﹣3，4〕代入，得16a解得a=∴該拋物線的解析式為：y=-47x那么C〔0，647∵647m≈m13．〔2021?長春一?！橙鐖D是一座截面邊緣為拋物線的拱形橋，當(dāng)拱頂離水面2米高時，水面l為4米，那么當(dāng)水面下降1米時，水面寬度增加〔26-4〕【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求出解析式，根據(jù)題意計算即可．【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如圖：那么拋物線頂點C坐標(biāo)為〔0，2〕，設(shè)拋物線解析式y(tǒng)＝ax2+2，將A點坐標(biāo)〔﹣2，0〕代入，可得：0＝4a+2，解得：a=-故拋物線解析式為y=-12x當(dāng)水面下降1米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y＝﹣1時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y＝﹣1與拋物線相交的兩點之間的距離，將y＝﹣1代入拋物線解析式得出：﹣1＝﹣x2+2，解得：x＝±6，所以水面寬度為26米，故水面寬度增加了〔26-4故答案為：〔26-414．〔2021?工業(yè)園區(qū)一?！橙鐖D①，“東方之門〞通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州歷史文化．如圖②，“東方之門〞的內(nèi)側(cè)輪廊是由兩條拋物線組成的，其底部寬度均為80m，高度分別為300m和225m，那么在內(nèi)側(cè)拋物線頂部處的外側(cè)拋物線的水平寬度〔AB的長〕為40m．【分析】以底部所在的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得外側(cè)拋物線的解析式，那么可知點A、B的橫坐標(biāo)，從而可得AB的長．【解析】以底部所在的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系：∴C〔﹣40，0〕，D〔40，0〕，設(shè)外側(cè)拋物線的解析式為y＝a〔x+40〕〔x﹣40〕，將〔0，300〕代入，得：300＝a〔0+40〕〔0﹣40〕，解得：a=-∴內(nèi)側(cè)拋物線的解析式為y=-316x將y＝225代入得：-316x2+300＝解得：x＝±20，∴A〔﹣20，225〕，B〔20，225〕，∴AB＝40，∴在內(nèi)側(cè)拋物線頂部處的外側(cè)拋物線的水平寬度〔AB的長〕為40m．故答案為：40．15．〔2021?二道區(qū)校級一?！橙鐖D是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A、B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為8m，AB＝24m，D，E為拱橋底部的兩點，且DE∥AB，假設(shè)DE的長為36m，那么點E到直線AB的距離為10m．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，DE在x軸上，y軸經(jīng)過最高點C，設(shè)拋物線的解析式為y＝a〔x﹣18〕〔x+18〕，OH＝k，用含k的式子表示出點A和點C的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式，得方程組，解得a和k的值，那么k的值即為所求的答案．【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，DE在x軸上，y軸經(jīng)過最高點C，設(shè)AB與y軸交于點H，∵DE＝36m，∴D〔﹣18，0〕，E〔18，0〕，設(shè)拋物線的解析式為y＝a〔x﹣18〕〔x+18〕，∵AB＝24m，∴AH＝BH＝12m，設(shè)OH＝k，那么A〔﹣12，k〕，∵拱橋最高點C到AB的距離為8m，∴C〔0，k+8〕，將點A和點C的坐標(biāo)代入拋物線解析式得：k=解得：a=∴點E到直線AB的距離為10m．故答案為：10m．16．〔2021秋?江都區(qū)期末〕道路的隔離欄通常會涂上醒目的顏色，呈拋物線形狀〔如圖1〕，圖2是一個長為2米，寬為1米的矩形隔離欄，中間被4根欄桿五等分，每根欄桿的下面一局部涂上醒目的藍(lán)色，顏色的分界處〔點E，點P〕以及點A，點B落在同一條拋物線上，假設(shè)第1根欄桿涂色局部〔EF〕與第2根欄桿未涂色局部〔PQ〕長度相等，那么EF的長度是米．【分析】設(shè)B為坐標(biāo)原點，BA所在的直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+bx+c，先分別將點B和點A的坐標(biāo)代入，求得c的值并用a表示b，設(shè)EF＝PQ＝m，用含m的式子分別表示出點E和點P的坐標(biāo)，代入解析式，從而得出關(guān)于a和m的方程組，求解即可．【解析】設(shè)B為坐標(biāo)原點，BA所在的直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+bx+c，將B〔0，0〕代入得：c＝0，∴y＝ax2+bx，∵BA＝2米，∴A〔2，0〕，∴0＝a×22+2b，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax，設(shè)EF＝PQ＝m，那么E〔，m〕，P〔，1﹣m〕，將點E和點P坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：m=解得：m=0.4∴EF＝米，故答案為：米．17．〔2021秋?興城市期末〕某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線y＝﹣2x2+4x〔單位：米〕的一局部，那么水噴出的最大高度是2米．【分析】水噴出的最大高度就是水在空中劃出的拋物線y＝﹣2x2+4x的頂點縱坐標(biāo)，將y＝﹣2x2+4x寫成頂點式即可得出頂點坐標(biāo)，從而求得答案．【解析】由題意可知，水噴出的最大高度就是水在空中劃出的拋物線y＝﹣2x2+4x的頂點縱坐標(biāo)，∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2〔x2﹣2x〕＝﹣2〔x﹣1〕2+2，∴頂點坐標(biāo)為〔1，2〕，∴水噴出的最大高度是2米．故答案為：2．18．〔2021秋?郫都區(qū)期末〕如圖，橋洞的拱形是拋物線，當(dāng)水面寬AB為12m時，橋洞頂部離水面4m．假設(shè)選取拱形頂點C為坐標(biāo)原點，以水平方向為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，此時該拋物線解析式為y=-19【分析】設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，根據(jù)題意得出點B的坐標(biāo)，代入解析式求出a的值即可．【解析】如圖，拱形頂點C為坐標(biāo)原點，以水平方向為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知B〔6，﹣4〕，設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，將點B〔6，﹣4〕代入，得：﹣4＝36a，解得a=-∴y=-19故答案為：y=-19三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021秋?德城區(qū)校級期中〕如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構(gòu)成，AB＝8m，BC＝2m，隧道的最高點P位于AB的中點的正上方，且與AB的距離為4m．〔1〕建立如下圖的坐標(biāo)系，求圖中拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)隧道為單向通行，一輛高4米、寬3米的火車能否從隧道內(nèi)通過？請說明理由．【分析】〔1〕由頂點坐標(biāo)〔4，6〕和點A的坐標(biāo)，即可求解；〔2〕令y＝4，那么有4=-14(x-4【解析】〔1〕由題意可知，拋物線的頂點坐標(biāo)〔4，6〕，設(shè)拋物線的方程為y＝a〔x﹣4〕2+6，又因為點A〔0，2〕在拋物線上，所以有2＝a〔0﹣4〕2+6．所以a=因此有：y=〔2〕令y＝4，那么有4=-解得：x1=4+22，x∴貨車可以通過．20．〔2021?長沙模擬〕疫情期間，按照防疫要求，學(xué)生在進(jìn)校時必須排隊接受體溫檢測．某校統(tǒng)計了學(xué)生早晨到校情況，發(fā)現(xiàn)從7：00開始，在校門口的學(xué)生人數(shù)y〔單位：人〕隨時間x〔單位：分鐘〕的變化情況的圖象是二次函數(shù)的一局部，如下圖．〔1〕求y與x之間的函數(shù)解析式；〔2〕從7：00開始，需要多少分鐘校門口的學(xué)生才能全部進(jìn)校？〔3〕現(xiàn)學(xué)校通過調(diào)整校門口的入校通道，提高體溫檢測效率．經(jīng)過調(diào)整，現(xiàn)在每分鐘可以多通過2人，請問所有學(xué)生能夠在7點30分完成進(jìn)校嗎？請說明理由．【分析】〔1〕用待定系數(shù)法求解即可；〔2〕令y＝0，得：-12x2+16x+34＝〔3〕設(shè)第x分鐘時的排隊等待人數(shù)為w人，那么w＝y(tǒng)﹣2x，從而可得w關(guān)于x的二次函數(shù)，計算當(dāng)x＝30時的w值，那么可得答案．【解析】〔1〕設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+c，根據(jù)題意得：16a解得：a=∴y=-12x2+16〔2〕令y＝0，得：-12x2+16x+34＝解得：x1＝﹣2〔舍〕，x2＝34．；∴從7：00開始，需要34分鐘校門口的學(xué)生才能全部進(jìn)校；〔3〕設(shè)第x分鐘時的排隊等待人數(shù)為w人，由題意得：w＝y(tǒng)﹣2x=-12x2+14當(dāng)x＝30時，w＝4＞0．∴7點30分時所有學(xué)生不能全部完成進(jìn)校．21．〔2021?杭州模擬〕如下圖，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時，寬為20m，假設(shè)水位上升3m，水面就會到達(dá)警戒線CD，這時水面寬為10m．〔1〕建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)洪水到來時，水位以每小時m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時就能到達(dá)拱橋的拱頂？【分析】〔1〕以拋物線的頂點為原點，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意可得點B、D的橫坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，然后可進(jìn)行求解；〔2〕由〔1〕可得CD距拱頂?shù)木嚯x，然后根據(jù)題意可直接進(jìn)行列式求解．【解析】〔1〕以拋物線的頂點為原點，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖：設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，點D的坐標(biāo)為D〔5，m〕，那么B〔10，m﹣3〕，由拋物線經(jīng)過點D和點B，可得：25a解得：a=∴拋物線的解析式為y=-125〔2〕由〔1〕可得CD距拱頂?shù)木嚯x為1m，水位以每小時m的速度上升，從警戒線開始，到達(dá)拱頂?shù)臅r間為10.2=∴從警戒線開始，再持續(xù)5小時就能到達(dá)拱橋的拱頂．22．〔2021?合肥三?！衬秤螛穲@要建造一個直徑為20m的圓形噴水池，方案在噴水池周邊安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱距池中心4m處到達(dá)最高，最大高度為6m．如圖，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系．〔1〕假設(shè)要在噴水池的中心設(shè)計一個裝飾物，使各方向噴出的水柱在此集合，那么這個裝飾物的高度為多少，請計算說明理由．〔2〕為了增加噴水池的欣賞性，游樂園新增加了一批向上直線型噴射的噴水頭，這些噴水頭以水池為圓心，分別以米，3米，米，6米，米為半徑呈圓形放置，為了保證噴水時互不干擾，防止水花四濺，且所有直線噴水頭射程高度均為一致，那么直線型噴水頭最高噴射高度為多少米？〔假設(shè)所有噴水頭高度忽略不計〕．【分析】〔1〕由題意可寫出當(dāng)x＞0時，拋物線的頂點式解析式，用待定系數(shù)法求得其解析式，令x＝0，求得y值，那么可得這個裝飾物的高度．〔2〕根據(jù)拋物線的頂點式解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解析】〔1〕由題意可得，當(dāng)x＞0時，拋物線的解析式為y＝a〔x﹣4〕2+6〔0≤x≤10〕，把〔10，0〕代入得：0＝a〔10﹣4〕2+6，解得：a=-∴拋物線的解析式為y=-16〔x﹣4〕2+6〔0≤x令x＝0，得y=-16∴這個裝飾物的高度為103m〔2〕∵當(dāng)x＞0時，拋物線y=-16〔x﹣4〕2+6的對稱軸為x＝4，分別以米，3∴當(dāng)x＝時，可到達(dá)最高噴射高度，當(dāng)x＝時，y=143∴直線型噴水頭最高噴射高度為1432423．〔2021秋?肥西縣期末〕某跳水運發(fā)動在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時，身體〔看成一點〕在空中的運動路線是如下圖的一條拋物線．跳板AB長為2米，跳板距水面CD高BC為3米，訓(xùn)練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時到達(dá)距水面最大高度4米，現(xiàn)以CD為橫軸，CB為縱軸建立直角坐標(biāo)系．〔1〕求這條拋物線的解析式；〔2〕求運發(fā)動落水點與點C的距離．【分析】〔1〕建立平面直角坐標(biāo)系，列出頂點式，代入點A的坐標(biāo)，求得a的值，那么可求得拋物線的解析式；〔2〕令y＝0，得關(guān)于x的方程，求得方程的解并根據(jù)題意作出取舍即可．【解析】〔1〕如下圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得拋物線的頂點坐標(biāo)為〔3，4〕，點A坐標(biāo)為〔2，3〕，設(shè)拋物線的解析式為y＝a〔x﹣3〕2+4，將點A坐標(biāo)〔2，3〕代入得：3＝a〔2﹣3〕2+4，解得：a＝﹣1，∴這條拋物線的解析式為y＝﹣〔x﹣3〕2+4；〔2〕∵y＝﹣〔x﹣3〕2+4，∴令y＝0得：0＝﹣〔x﹣3〕2+4，解得：x1＝1，x2＝5，∵起跳點A坐標(biāo)為〔2，3〕，∴x1＝1，不符合題意，∴x＝5，∴運發(fā)動落水點與點C的距離為5米．24．〔2021?涼山州模擬〕我州擁有充足的日照、優(yōu)質(zhì)的水源和土壤，非常