高中數(shù)學(xué)專題“計(jì)數(shù)原理”教學(xué)研究

高中數(shù)學(xué)“計(jì)數(shù)原理”教學(xué)研究一、對(duì)“計(jì)數(shù)原理”教學(xué)知識(shí)的深層次理解計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題問題的最基本、最重要的方法，它們?yōu)榻鉀Q很多的實(shí)際問題提供了思想和工具.在本章學(xué)生將學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)基本原理、排列、組合、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，進(jìn)行了解計(jì)數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，會(huì)解決簡單的計(jì)數(shù)問題.（一）知識(shí)結(jié)構(gòu)圖1．返璞歸真地看兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，它們實(shí)際上是學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算的推廣，它們是解決計(jì)數(shù)問題的理論基礎(chǔ)．分類加法計(jì)數(shù)和分步乘法計(jì)數(shù)是處理計(jì)數(shù)問題的兩種基本思想方法．2．排列、組合是兩類特殊而重要的計(jì)數(shù)問題，而解決它們的基本思想和工具就是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．教科書從簡化運(yùn)算的角度提出排列與組合的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過具體實(shí)例的概括而得出排列、組合的概念；應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理得出排列數(shù)公式；應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和排列數(shù)公式推出組合數(shù)公式．對(duì)于排列與組合，有兩個(gè)基本想法貫穿始終，一是根據(jù)一類問題的特點(diǎn)和規(guī)律尋找簡便的計(jì)數(shù)方法，就像乘法作為加法的簡便運(yùn)算一樣；二是注意應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理思考和解決問題．3．二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)過程是應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題的典型過程，其基本思路是“先猜后證”．如可以通過對(duì)中n取1，2，3，4的展開式的形式特征的分析而歸納得出；或者直接應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理對(duì)展開式的項(xiàng)的特征進(jìn)行分析．這個(gè)分析過程不僅使學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式的展開式與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理之間的內(nèi)在聯(lián)系獲得認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，而且也為證明猜想提供了基本思路.（二）“計(jì)數(shù)原理”在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位和作用為了更好的把握計(jì)數(shù)原理的要求，首先需要明確整體定位.標(biāo)準(zhǔn)對(duì)計(jì)數(shù)原理這部分內(nèi)容的整體定位如下：“計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計(jì)數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際提供了思想和工具.在本摸塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)基本原理、排列、組合、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，了解計(jì)數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，會(huì)解決簡單的計(jì)數(shù)問題.”為了更好的理解整體定位，需要明確以下幾個(gè)方面的問題：（Ⅰ）兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理是計(jì)數(shù)原理的開頭課，學(xué)習(xí)它所需的先行知識(shí)與學(xué)生已熟知的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系很少，通常教師們或者感覺很簡單，一帶而過；或者感覺難以開頭.中學(xué)數(shù)學(xué)課程中引進(jìn)的關(guān)于排列、組合的計(jì)算公式都是以分類加法計(jì)數(shù)和分步乘法計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)的，而一些較復(fù)雜的排列、組合應(yīng)用題的求解，更是離不開兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，因此必須使學(xué)生學(xué)會(huì)正確地使用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，學(xué)會(huì)正確地使用基本計(jì)數(shù)原理是這一章教學(xué)中必須抓住的一個(gè)關(guān)鍵.（Ⅱ）正確使用兩個(gè)基本原理的前提是要學(xué)生清楚兩個(gè)基本原理使用的條件.而原理中提到的分步和分類，學(xué)生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生，幫助他們分析，找到分類和分步的具體要求——類類互斥，步步獨(dú)立.（Ⅲ）分類加法計(jì)數(shù)原理，分步乘法計(jì)數(shù)原理，單純這點(diǎn)學(xué)生是容易理解的，問題在于怎樣合理地進(jìn)行分類、分步，特別是在分類時(shí)必須做到既不重復(fù)，又不遺漏，找到分步的方法有時(shí)是比較困難的，這就要著重進(jìn)行訓(xùn)練.（三）教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)分析1．本章的重點(diǎn)是分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，排列和組合的意義，以及排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式，二項(xiàng)式定理.2．本章的主要難點(diǎn)是如何正確運(yùn)用有關(guān)公式解決應(yīng)用問題.在解決問題時(shí)，由于對(duì)問題本身和有關(guān)公式的理解不夠準(zhǔn)確，常常發(fā)生重復(fù)和遺漏計(jì)算、用錯(cuò)公式的情況.為了突破這一難點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)一些容易混淆的概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用各個(gè)公式的前提條件，并對(duì)學(xué)生計(jì)算中出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤進(jìn)行認(rèn)真剖析.二、“計(jì)數(shù)原理”的教學(xué)策略第五，在中，共有種不同的同類項(xiàng)，根據(jù)加法原理，其展開式為：（a+b）n=.這樣，我們就通過乘法原理和加法原理證明了二項(xiàng)式定理，這是一種構(gòu)造性的證明，即可以探索出問題的結(jié)果，同時(shí)可以證明出結(jié)果的正確性.4．如何理解“會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.”結(jié)合“楊輝三角”和從函數(shù)的角度來分析二項(xiàng)式系數(shù)的一些性質(zhì)（①對(duì)稱性②增減性與最大值③各二項(xiàng)式系數(shù)的和），在探究以上性質(zhì)的過程中，實(shí)際上是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，在教學(xué)中列舉實(shí)例，將二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)充分應(yīng)用.（三）教學(xué)中的幾個(gè)思維要點(diǎn)要點(diǎn)1：簡單的計(jì)數(shù)問題討論是有限集合所含元素的個(gè)數(shù).排列數(shù)、組合數(shù)都是特定集合所含元素的個(gè)數(shù)，在討論簡單計(jì)數(shù)問題時(shí)，應(yīng)明確所討論的集合中元素的基本特征，這是解決簡單計(jì)數(shù)問題的基點(diǎn).要點(diǎn)2：正確使用基本計(jì)數(shù)原理是學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容的關(guān)鍵.中學(xué)數(shù)學(xué)課程中關(guān)于排列組合的計(jì)算公式都是以基本的計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)的，而一些較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用問題的求解，離不開兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，兩個(gè)基本的計(jì)數(shù)原理是解決簡單計(jì)數(shù)問題的通性通法，排列問題、組合問題以及二項(xiàng)式定理等都是依賴這些通性通法解決的.要點(diǎn)3：理解兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理使用的條件是正確使用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的前提.對(duì)于計(jì)數(shù)原理中的分布和分類，學(xué)生不是一下子就能理解深刻的，需要教師引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到分類和分步的特征和要求：分類要“類類互斥”，分步要“步步獨(dú)立”.（四）典型例題的教學(xué)1．分清兩個(gè)原理掌握分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是復(fù)習(xí)好本章的基礎(chǔ).其應(yīng)用貫穿于本章的始終.正確運(yùn)用兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于：（1）先要搞清完成的是怎樣的“一件事”.例1.4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？分析：要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，四人都報(bào)完才算完成，于是應(yīng)按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有：3×3×3×3=34=81種報(bào)名方法.例2.4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？分析：完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步.而每項(xiàng)冠軍是四人中的某一人，有4種可能情況，于是共有4×4×4=43=64種可能的情況.例3.乘積（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項(xiàng)？分析：因?yàn)檎归_后的每一項(xiàng)為第一個(gè)括號(hào)中的一個(gè)，第二括號(hào)中的一個(gè)與第三個(gè)括號(hào)中的一個(gè)的乘積，所以應(yīng)分三步m1=3,m2=4,m3=5，于是展開后共有m1×m2×m3=3×4×5=60項(xiàng).例4.有4部車床，需加工3個(gè)不同的零件，其不同的安排方法有（）A.34B.43C43D.4分析：事件為“加工3個(gè)零件”，每個(gè)零件都加工完這件事就算完成，應(yīng)以“每個(gè)零件”分步，共3步，而每個(gè)零件能在四部車床中的任一臺(tái)上加工，所以有4種方法，于是安排方法為4×4×4=43=64種，故選B.例5.5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識(shí)講座，每個(gè)同學(xué)可自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是（）A.54B.45C.5×4×3×分析：因?yàn)?名同學(xué)都去聽講座，這件事才能完成，所以應(yīng)以同學(xué)進(jìn)行分步，又因?yàn)橹v座是同時(shí)進(jìn)行的，每個(gè)同學(xué)只能選其中一個(gè)講座來聽，于是有4種選擇，當(dāng)完成時(shí)共有4×4×4×4×4=45種不同的選法，故選B.例6.設(shè)集合A=，B=，則從A集到B集所有不同映射的個(gè)數(shù)是（）A.81B.64C.12D.以上都不正確分析：因映射為從A到B，所以A中每一元素在B中應(yīng)有一元素與之對(duì)應(yīng)，也就是A中所有元素在B中都有象，因此，應(yīng)按A中元素分為4步，而對(duì)于A中每一元素，可與B中任一元素對(duì)應(yīng)，于是不同對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)應(yīng)為3×3×3×3=34=81，故選A.(2)明確事件需要“分類”還是“分步.例7．用1,5,9,13任意一個(gè)數(shù)做分子，4，8，12，16中任意一個(gè)數(shù)作分母，可構(gòu)造多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)？可構(gòu)造多少個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)？解：由分步計(jì)數(shù)原理，可構(gòu)造N=44=16個(gè)不同的分?jǐn)?shù)由分類計(jì)數(shù)原理，可構(gòu)造N=4+3+2+1=10個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)例8.已知集合，，映射,當(dāng)且時(shí)，為奇數(shù)，則這樣的映射f的個(gè)數(shù)是（）A．10個(gè)B．18個(gè)C．32個(gè)D．24個(gè)分析當(dāng)取-1時(shí)，，共有4種取法；當(dāng)取0時(shí)，，有2種取法；當(dāng)取1時(shí)，,顯然是奇數(shù)，共有4種選法.因此，這樣的映射f的個(gè)數(shù)是是：種.(3)“分類”是要注意“類”與“類”之間的獨(dú)立性和并列性.“分步”時(shí)要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性.例9.小李有10個(gè)朋友，其中兩人是夫妻，他準(zhǔn)備邀請(qǐng)其中4人到家中吃飯，這對(duì)夫妻或者都邀請(qǐng)，或者都不邀請(qǐng)，有幾種請(qǐng)客方法?解：請(qǐng)客方法以“這對(duì)夫妻是否被邀請(qǐng)”可分兩類：(1)請(qǐng)其中的夫妻二人，則還須從余下的8人中選請(qǐng)2個(gè)，有種方法.(2)不請(qǐng)其中的夫妻二人，則應(yīng)從其余的8人中選請(qǐng)4人，有種方法.由分類計(jì)數(shù)原理請(qǐng)客方法共有＋＝98種.例10.有10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果.①4只鞋子沒有成雙的；②4只鞋中有2只成雙，另兩支不成雙.解：①從10雙鞋子中選取4雙，有種不同選法；再在每雙鞋子中各取一只，分別有取法，根據(jù)乘法原理，選取種數(shù)為：N==3360（種）②方法1：先選取一雙有種選法，再從9雙鞋種選取2雙鞋有種選法，每雙鞋各取一只，有種選法，根據(jù)乘法原理，選取種數(shù)為：N==1140（種）方法2：先選取一雙有種選法，再從18只鞋中選取2只鞋有，而其中成雙的可能性有9種，根據(jù)乘法原理，選取種數(shù)為：N=（-9）例11.有紅、藍(lán)、綠三種顏色的卡片，每種顏色均有A、B、C、D、E字母的各一張，現(xiàn)每次取出四張，要求字母各不相同，三種顏色齊備，問有多少種不同的取法?分析：每次取出四張，所以有一種顏色的卡片取兩張，這種顏色的取法數(shù)有，確定了顏色之后，再在這種顏色里取兩個(gè)字母，方法數(shù)有；最后，在剩下的兩種顏色的卡片及每種顏色下的三個(gè)字母中分別取一個(gè)，方法數(shù)有：故N=.2.分清是排列問題還是組合問題這兩個(gè)概念共同點(diǎn)都是指從n個(gè)不同元素中進(jìn)行不重復(fù)抽取的情況.分清一個(gè)具體問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵在于看從n個(gè)不同元素取出m（mn）個(gè)元素是否與順序有關(guān)，有序就是排列問題，無序則屬于組合問題.例12．某街道有十只路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：問題等價(jià)于在七只亮著的路燈產(chǎn)生的六個(gè)空檔中放入三只熄掉的路燈，因此滿足條件的關(guān)燈方法有種.例13.有7名同學(xué)排成一排，甲同學(xué)最高，排在中間，其它六名同學(xué)身高不相等，甲的左邊和右邊以身高為準(zhǔn)，有高到低排列，共有排法總數(shù)是分析：此問題相當(dāng)于求六個(gè)元素中取出三個(gè)元素的組合數(shù).所以滿足條件的排法有：例14.從12名隊(duì)員中組隊(duì)打籃球比賽，要求其中一隊(duì)的年齡最小的隊(duì)員也比另一隊(duì)中年齡最大的隊(duì)員要大，問有多少種不同的組隊(duì)方法?分析：從12名隊(duì)員中選兩名觀戰(zhàn)的每一種選法，對(duì)應(yīng)著一種組隊(duì)方法:=66例15.從0，1，……9這十個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且要求百位數(shù)大于十位數(shù)，十位數(shù)大于個(gè)位數(shù)，這樣的三位數(shù)有多少個(gè)？分析：顯然順序只有一種，任取3個(gè)數(shù)的組合數(shù)就是這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，即個(gè).例16.從2，3，5，7四個(gè)數(shù)中任取不同的兩數(shù)，分別作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)問：（1）可得多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？（2）可得多少個(gè)大于1的對(duì)數(shù)值？分析：（1）與順序有關(guān)，是排列問題.；(2)與順序無關(guān)，是組合問題..例17.甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者在與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，......直到有一方隊(duì)員全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程.那么，所有可能出現(xiàn)的比賽過程共有多少種？分析：設(shè)甲隊(duì)：乙隊(duì)：下標(biāo)表示事先安排好的出場順序，若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序，比賽過程可類比為這14個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列.如：最后是勝隊(duì)中不被淘汰的隊(duì)員，如，和未參賽的隊(duì)員，如所以比賽過程可表示為14個(gè)位置中取7個(gè)位置安排甲隊(duì)隊(duì)員，其余位置安排乙隊(duì)隊(duì)員.故比賽過程的總數(shù)：=3432.3.對(duì)復(fù)雜的排列組合問題，能正確解決的關(guān)鍵：做好分類，將復(fù)雜問題簡單化.例18.一天排語、數(shù)、外、生、體、班六節(jié)課（上午4節(jié)，下午2節(jié)），要求：第1節(jié)不排體育，數(shù)學(xué)課一定排在上午，班會(huì)一定排在下午，問這樣的條件下，共有多少種排課表的方法？解法1：以數(shù)學(xué)課分類：（1）數(shù)學(xué)課排在第1節(jié)，則有種（2）數(shù)學(xué)課排在第2，3，4節(jié)之一，則有=108種由（1）（2）知，共有156種解法2：以體育課分類：（1）體育課在上午：=108種（2）體育課在下午：=48.共有156種.例19.在某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，學(xué)號(hào)i（i=1，2，3，4）的四位同學(xué)考試成績，且滿足，則這四位同學(xué)的考試成績的所有可能情況的種數(shù)為解：分兩類：①共有種；②共有種.例20.如果三位數(shù)的十位數(shù)字既大于百位數(shù)字也大于個(gè)位數(shù)字，則這樣的三位數(shù)一共有（）A、240個(gè)B、285個(gè)C、231個(gè)D、204個(gè)分析：①如果三個(gè)數(shù)字是不重復(fù)的：含0：=36；不含0：.共有204個(gè).②如果可以重復(fù)：=36.綜合①②：共有240種.例21.在5名乒乓球隊(duì)員中,其中有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1、2、3號(hào)參加團(tuán)體比賽,則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員,且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有_______種.(以數(shù)作答)解：兩老一新時(shí),有種排法;兩新一老時(shí),有種排法,即共有48種排法.例22.某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè),則該外商不同的投資方案有()A.16種B.36種C.42種D.60種解析：投資于2個(gè)城市的方案有；投資于3個(gè)城市的方案有種.所以，共60種.答案選D.三、學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測正確使用兩個(gè)基本原理的前提是要學(xué)生清楚兩個(gè)基本原理使用的條件。而原理中提到的分步和分類，學(xué)生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生，幫助他們分析，找到分類和分步的具體要求——類類互斥，步步獨(dú)立。分類加法計(jì)數(shù)原理，分步乘法計(jì)數(shù)原理，單純這點(diǎn)學(xué)生是容易理解的，問題在于怎樣合理地進(jìn)行分類、分步，特別是在分類時(shí)必須做到既不重復(fù)，又不遺漏，找到分步的方法有時(shí)是比較困難的，這就要著重進(jìn)行訓(xùn)練。（一）檢測目標(biāo)的制定與實(shí)施1．本部分知識(shí)的核心思想的檢測（1）分類討論思想的應(yīng)用水平檢測檢測試題1：從1,3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中能被5整除的四位數(shù)共有個(gè).分類方法1：有5有0，有5無0，無5有0分類方法2：：個(gè)位為0，個(gè)位為5（再根據(jù)需要細(xì)分，選0與不選0）檢測試題2：在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)在要組成既有主任又有外科醫(yī)生的3人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，有多少種方法？情形1：有外科主任；情形2：沒有外科主任，則必須有內(nèi)科主任，再間接考察.檢測試題3：教練要從6名選手中確定4100接力名單，要求選手甲不能跑第一棒，選手乙不能跑最后一棒，那么有多少種不同的報(bào)名結(jié)果？分類方法：情形1：甲跑最后一棒.情形2：甲跑第二棒或第三棒情形3：甲沒有入選分類方法二：情形1：最后一棒是甲.情形2：最后一棒不是甲，則(最后一棒)4(第一棒)443.（2）轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用水平檢測檢測試題1：7個(gè)人排兩行照相，前排3人，后排4人，有多少種排法？檢測試題2：屋子里散放著7把椅子，7個(gè)人坐，有多少種做法？2．解決本部分知識(shí)的核心方法的檢測在教學(xué)中如何解決學(xué)生一聽就會(huì)，一做就錯(cuò)的問題呢？我們不妨從以下兩個(gè)方面進(jìn)行形成性評(píng)價(jià)及檢測：①程序化的思維模型一般地，面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題時(shí)，人們往往通過分類或分步將它分解為若干個(gè)簡單計(jì)數(shù)問題，在解決這些簡單問題的基礎(chǔ)上，將它們整合起來而得到原問題的答案，這是在日常生活中也被經(jīng)常使用的思想方法．通過對(duì)復(fù)雜計(jì)數(shù)問題的分解，將綜合問題化解為單一問題的組合，再對(duì)單一問題各個(gè)擊破，可以達(dá)到以簡馭繁、化難為易的效果．②模型化的思維方法排列、組合是常用的計(jì)數(shù)問題模型，有了排列、組合等常見模型，可以在反復(fù)應(yīng)用中減少重復(fù)工作量、重復(fù)思維，提高效率.計(jì)數(shù)問題有很多種常見模型，在遇到新的計(jì)數(shù)問題時(shí)，自然有必要去想一想它（或者其一部分）是否可以歸于某個(gè)模型.如：相鄰問題捆綁法例1：A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必須相鄰，那么不同的排法種數(shù)有多少種？相離問題插空法例2：七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是多少種？定序問題縮倍法例3：A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有多少種？標(biāo)號(hào)排位問題分步法例4：將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有多少種？有序分配問題逐分法例5：有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有多少種？多元問題分類法例6：由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少種？特殊元素特殊位置優(yōu)先法例7：1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有______種．多排問題單排法例8：6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是多少種？“至少”問題間接法例9：從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有多少種？選排問題先取后排法例10：四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有多少種？例11：9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要選一組進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？分組是否有序的問題例12：六個(gè)人分成三組，每組兩個(gè)人有多少種分法？每組的人數(shù)分別為1，2，3則有多少種分法.（3）形成性檢測形成性評(píng)價(jià)是在某項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)的過程中，為使活動(dòng)效果更好而不斷進(jìn)行的評(píng)價(jià)，能及時(shí)了解階段教學(xué)的結(jié)果和學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的進(jìn)展情況、存在問題等，以便及時(shí)反饋、及時(shí)調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)工作，獲得最優(yōu)化的教學(xué)效果.形成性作用如下：1．改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)形成性測試的結(jié)果可以表明學(xué)生在掌握教材中存在的缺陷和在學(xué)習(xí)過程中碰到的難點(diǎn)。當(dāng)教師將批改過的試卷發(fā)給學(xué)生并由學(xué)生對(duì)照正確答案自我檢查時(shí)，學(xué)生就能了解這些缺陷和難點(diǎn)，并根據(jù)教師的批語進(jìn)行改正。有時(shí)，當(dāng)教師發(fā)現(xiàn)某個(gè)或某些題目被全班大多數(shù)或一部分學(xué)生答錯(cuò)時(shí)，可以立即組織班級(jí)復(fù)習(xí)，重新講解構(gòu)成這些測試題基礎(chǔ)的基本概念和原理。當(dāng)有些錯(cuò)誤只存在于個(gè)別學(xué)生身上時(shí)，教師可以為其提供適合其特點(diǎn)的糾正途徑。2．確定學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度某門學(xué)科的教學(xué)總是可以劃分為若干個(gè)循序漸進(jìn)、互有聯(lián)系的學(xué)習(xí)單元，學(xué)生對(duì)一個(gè)單元的掌握往往是學(xué)習(xí)下一個(gè)單元的基礎(chǔ)。因此，形成性評(píng)價(jià)可以用來確定學(xué)生對(duì)前邊單元的掌握程度，并據(jù)此確定該學(xué)生下一單元的學(xué)習(xí)任務(wù)與速度。如果形成性測試能有計(jì)劃地進(jìn)行，就可使學(xué)生一步一步地（一個(gè)單元接一個(gè)單元）掌握預(yù)定的教學(xué)內(nèi)容。3．強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)形成性評(píng)價(jià)的結(jié)果可以對(duì)學(xué)生起積極的強(qiáng)化作用。正面的肯定，一方面通過學(xué)生的情感反應(yīng)加強(qiáng)了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)或積極性，另一方面，也通過學(xué)生的認(rèn)知反應(yīng)加固了學(xué)生對(duì)正確答案（概念、法則、原理等）的認(rèn)識(shí)，校正了含糊的理解和不清晰的記憶。要使形成性評(píng)價(jià)發(fā)揮這種強(qiáng)化作用，重要的一點(diǎn)是，形成性測試不要簡單地打等第分?jǐn)?shù)，而應(yīng)通過適當(dāng)形式簡單地讓學(xué)生知道他是否已掌握了該單元的學(xué)習(xí)材料，如已掌握或接近掌握，應(yīng)明確指出；如沒掌握，要盡可能使用肯定性或鼓勵(lì)性的評(píng)語，并提出改進(jìn)建議。4．給教師提供反饋通過對(duì)形成性測試結(jié)果的分析，教師可以了解：自己對(duì)教學(xué)目標(biāo)的陳述是否明確？教材的組織和呈現(xiàn)是否有結(jié)構(gòu)性？講授是否清晰并引導(dǎo)了學(xué)生的思路？關(guān)鍵的概念、原理是否已講清講透？使用的教學(xué)手段是否恰當(dāng)，等等。這些信息的獲得，將有助于教師重新設(shè)計(jì)并改進(jìn)自己的教學(xué)內(nèi)容、方法和形式。以下為老師們提供幾套形成性檢測試題，目的是就如何在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中評(píng)價(jià)學(xué)生的認(rèn)知水平以及學(xué)習(xí)效果，實(shí)現(xiàn)形成性測試在上述中的作用.基本計(jì)數(shù)原理形成性檢測1一、選擇題1．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法為（）種.A．1+1+1=3B．3+4+2=9C．342=24D．以上都不對(duì)2．用1，2，3，4，5可組成()個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù).A．555=75B．333=27C．543=60D．5+5+5=153．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）個(gè).A．40B．38C．45D．504．某同學(xué)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，在鐵餅、標(biāo)槍、鉛球三個(gè)項(xiàng)目中至少選擇一項(xiàng)，至多選擇三項(xiàng)，那么不同報(bào)名方案有（）種.A．3B．6C．9D．75．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已經(jīng)排成節(jié)目單，但在開演前又增加了兩個(gè)節(jié)目，如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）種.A．42B．30C．20D．12二、填空題6．用數(shù)字1，2，3可寫出_______個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)且小于1000的正整數(shù).7．設(shè)異面直線、，上有5個(gè)點(diǎn)，上有6個(gè)點(diǎn)，則過、上的點(diǎn)可確定的不同的平面?zhèn)€數(shù)為_________.8．如圖1-1-1，在43的方格（每個(gè)方格都是正方形）中，共有正方形_________個(gè).9．有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競賽，（1）每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競賽，則有種不同的參賽方法；（2）每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則有種不同的參賽方法；（3）每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則有種不同的參賽方法.三、解答題10．求下列集合的元素個(gè)數(shù)：（1）；（2）.11．某小組有10人，每人至少會(huì)英語和日語中的一門.其中8人會(huì)英語，5人會(huì)日語：（1）從中任選一個(gè)會(huì)外語的人，有多少種選法？（2）從中選出會(huì)英語與會(huì)日語的各1人，有多少種不同的選法？12．現(xiàn)要排一份5天的值班表，每天有1個(gè)人值班，共有5個(gè)人，每個(gè)人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一個(gè)人值班，問此值班表共有多少種不同的排法？13．5張1元幣、4張1角幣、1張5分幣，2張2分幣，可組成多少種不同的幣值（一張不取，即0元0角0分不計(jì)在內(nèi)）？答案：一、選擇題1．B2．A3．C4．D5．A二、填空題6．3+32+33=397．118．209．81，64，24三、解答題10.解（1）分7類：①，有7種取法；②，有6種取法；③，有5種取法；④，有4種取法；⑤，有3種取法；⑥，有2種取法；⑦，只有1種取法.因此由分類加法計(jì)數(shù)原理共有7+6+5+4+3+2+1=28個(gè)元素.（2）分兩步：第１步：先選，有4種可能；第２步：再選有5種可能.因此由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4×5=20個(gè)元素.11．解由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既會(huì)英語又會(huì)日語.因此這10人分成3類：第一類只會(huì)英語有5人，第二類既會(huì)英語又會(huì)日語有3人，第三類只會(huì)日語有2人.（1）N=5＋2＋3，答：任選一個(gè)會(huì)外語的人有10種選法.（2）N=5×2＋5×3＋2×3，答：選出會(huì)英語與會(huì)日語的各1人有31種不同的選法.12．解分五步進(jìn)行：第1步：先排第一天，可排5人中的任一個(gè)，有5種排法；第2步：再排第二天，此時(shí)不能排第一天的人，有4種排法；第3步：再排第三天，此時(shí)不能排第二天的人，仍有4種排法；第4步：同理有4種排法；第5步：同理有4種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同排法有5×4×4×4×4=1280種.13．解分為三種幣值的不同組合：元：0元，1元，2元，3元，4元，5元；角：0角，1角，2角，3角，4角；分：0分，2分，4分，5分，7分，9分；然后分三步進(jìn)行：第一步：從元中選取有6種取法；第二步：從角中選取有5種取法；第三步：從分中選取有6種取法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：6×5×6=180.但應(yīng)除去0元0角0分這種情況，故有不同幣值180－1=179種.基本計(jì)數(shù)原理形成性檢測2一、選擇題1．某團(tuán)支部進(jìn)行換屆選舉，從甲、乙、丙、丁四人中選出三人分別擔(dān)任書記、副書記、組織委員.規(guī)定上屆的甲乙丙三人不能任原職，則不同的任職方法有().A．10B．13C．12D．112．已知直線是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（）.A．60條B．66條C．72條D．78條二、填空題3．有一塊并排10壟的田地中，選擇兩壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選擇壟的方法有_______種方法（用數(shù)字作答）.4．在所有的三位數(shù)中，有且只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)共有_________個(gè).5．將1，2，3填入3×3的方格中，要求每行，每列都不能有重復(fù)的數(shù)字，如圖1-1-2是一種填法，則不同的填法共有_________種.123312231三、解答題6．四個(gè)人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己送出的賀卡，共有多少種不同的方法？7．如圖1-1-3，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四個(gè)區(qū)域擺放鮮花，有4種不同顏色的鮮花可供選擇，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只準(zhǔn)擺放一種顏色的鮮花，相鄰區(qū)域鮮花顏色不同，問共有多少種不同的擺花方案？一、選擇題1．D提示①不含丁，有2種；②含丁的，則第一步丁從三個(gè)職務(wù)中選一種，有3種選法；第二步，另兩個(gè)職務(wù)從甲乙丙三人中選出兩人有3種方法，故共有2+3×3＝11(種).2.A提示圓上橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有（10，0），（6，4），（4，6），（0，10），（-4，6），（-6，4），（-10，0），（-6，-4），（-4，-6），（0，-10），（4，-6），（6，-4）.過任兩個(gè)點(diǎn)的直線有66條，但其中過原點(diǎn)的直線不滿足題意.二、填空題3．12××××××××××××提示分兩步：先選壟，如圖，共有6種選壟方法，第二步，種植兩種作物，因此由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法有6×2=12種.4．243提示可以用下面方法來求解：①△△□，②△□△，③□△△，每類都是9×9種，共有=3×9×9=243個(gè)只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù).5．提示第一步先填1，在第一行中有3種填法，在第二行中有2種填法，在第三行中有1種填法，共有3×2×1種.第二步填2，在第一行中有2種填法，之后每個(gè)數(shù)字都只有一種填法，所以共有3×2×2=12種.三、解答題6．解法一可排出所有的分配方案：①甲取得乙卡，然后類推，按甲、乙、丙、丁各取得的賀卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；②甲取得丙卡，方案為：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；③甲取得丁卡，方案為：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同取法共有3+3+3=9種.法二可分步解決：第1步：甲取一張，有3種取法；第2步：由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法；第3步：由剩余兩人中任一人取，有1種取法；第4步：最后一人取，只有1種取法.由分步計(jì)數(shù)原理得不同取法共有3×3×1×1=9種.7．解給圖中四個(gè)區(qū)域擺放鮮花，有4類辦法：第1類四個(gè)區(qū)域鮮花顏色全不相同，依A、B、C、D的順序依次擺放，共有4×3×2×1＝24種；第2類AC同色，BD不同色，共有4×3×2＝24種；第3類BD同色，AC不同色，共有4×3×2＝24種；第4類AC同色，BD同色，共有4×3＝12種.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N=24+24+24+12=84種不同的擺花方案.排列與組合形成性檢測1一、選擇題1．若2n個(gè)學(xué)生排成一排的排法數(shù)為x，這2n個(gè)學(xué)生排成前后兩排，每排各n個(gè)學(xué)生的排法數(shù)為y，則x、y的關(guān)系為（）.A．.x>yB．x<yC．x=yD．x=2y2．用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）.A．24個(gè)B．30個(gè)C．40個(gè)D．60個(gè)3．五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（）.A．120種B．96種C．78種D．72種4．現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不全相鄰的排法有（）種.A．B．C．D．5．用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）.A．36個(gè)B．48個(gè)C．66個(gè)D．72個(gè)二、填空題6．電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.7．4棵柳樹和4棵楊樹栽成一行，柳樹、楊樹逐一相間的栽法有_____________種.8．解方程，正整數(shù)x=______.9．某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有________種.（用數(shù)字作答）三、解答題10．（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？11．8人排成一排照相，A．B．C三人互不相鄰，D．E也不相鄰，共有多少種排法？12．7人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？答案：一、選擇題1．C2．B3．C【提示】由題意可先安排甲，并按其分類討論：①若甲在末尾，剩下四人可自由排，有種排法；②若甲在第二，三，四位上，則有種排法，由分類計(jì)數(shù)原理，排法共有種.4．B5．D二、填空題6．487．2=11528．69．96三、解答題10.解（1）問題可以看作：7個(gè)元素的全排列＝5040；（2）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×1＝7?。?040；（3）問題可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列——=720；（4）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，所以，共有=240種排列方法；（5）解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種方法，所以一共有＝2400種排列方法.解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有=2400種.11．解A、B、C三人互不相鄰的排法共有種，其中D、E相鄰的有種，所以共有符合條件的排法-=11520種.12．解甲、乙及間隔的3人組成一個(gè)“小整體”，這3人可從其余5人中選，有種；這個(gè)“小整體”與其余2人共3個(gè)元素全排列有種方法，它的內(nèi)部甲、乙兩人有種站法，故符合要求的站法共有種.排列與組合形成性檢測2一、選擇題1．三張卡片的正反面上分別寫有數(shù)字0與2，3與4，5與6，且6可以作9用，把這三張卡片拼在一起表示一個(gè)三位數(shù)，則三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.A．12B．72C2．有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是（）.A．234B．346C．350D．363二、填空題3．用1，2，3，4，5，6，7，8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有________________個(gè)（用數(shù)字作答）.4．15．甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進(jìn)行某種勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出了第1到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”.從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共可能有（用數(shù)字作答）種不同情況.三、解答題5．在7名運(yùn)動(dòng)員中選4名運(yùn)動(dòng)員組成接力隊(duì)，參加接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法共有多少種？6．7位同學(xué)站成一排，求滿足下列要求的排法各有多少種：（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰；（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰；（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾；（4）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)必須站在一起，另外四個(gè)人也必須站在一起.7.用1，2，3，4，5排成一個(gè)數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)a1a2a3a4a5，滿足a1<a2，a2>a3，a3<a4答案：一、選擇題1．C2.B【提示】在排列問題中，站若干排與站一排一樣，故一共可坐的位子有20個(gè)，2個(gè)人就座方法數(shù)為，還需排除兩人左右相鄰的情況，把可坐的20座位排成連續(xù)一行（一排末位B與二排首位C相接），任兩個(gè)座位看成一個(gè)整體，即相鄰的坐法有，但這其中包括B、C相鄰與E、F（前排中間3座的左E、右F）相鄰，而這種相鄰在實(shí)際中是不相鄰的，還應(yīng)再加上.所以不同排法的種數(shù)為：.二、填空題3．576提示把相鄰的兩個(gè)數(shù)捆成一捆，分成四個(gè)空，然后再將7與8插進(jìn)空中有種插法；而相鄰的三捆都有種排法，再它們之間又有種排序方法，故這樣的八位數(shù)共有：（個(gè)）.4．54提示.三、解答題5．解先從7人中任選4人接力，有種方法，排除甲和乙跑中間棒的種方法，但甲、乙二人都跑中間的減了兩次，故再加上二人都跑中間棒的種方法，即（種）.6．解（1）先將甲、乙兩位同學(xué)看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有