2015年集合和簡易邏輯高考真題難題匯總解析

2015年-集合和簡易邏輯高考真題難題匯總

一.選擇題(共17小題)

1.(2011?北京模擬)現(xiàn)規(guī)定：A是一些點(diǎn)構(gòu)成的集合，若連接點(diǎn)集A內(nèi)任意兩點(diǎn)的線段，

當(dāng)該線段上所有點(diǎn)仍在點(diǎn)集A內(nèi)時(shí)，則稱該點(diǎn)集A是連通集,下列點(diǎn)集是連通集的是()

A.函數(shù)y=2x圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合

B.旋轉(zhuǎn)體表面及其內(nèi)部點(diǎn)構(gòu)成的集合

C.扇形邊界及其內(nèi)部點(diǎn)構(gòu)成的集合

D.正四面體表面及其內(nèi)部點(diǎn)構(gòu)成的集合

2.(2011?遂溪縣-?模)集合P={xlx=a+tr/^，aGN*,beN*}若x€P,y€P時(shí)，有x?y€P,

則運(yùn)算?？赡苁?)

A.加法減法乘法B.加法乘法C.加法減法除法D.乘法除法

3.(2011?青羊區(qū)校級(jí)二模)定義：若平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(xo,yo),總存在正實(shí)數(shù)r,

22

使得集合{(x,y)|J(x-Xq)+(y-yQ)<r}eA,則稱A為一個(gè)開集.給出

下列集合：

①(x,y)lx2+y2=4；

②(x,y)lx+y-2>0；

③(x,y)llx+yl<2：

22

④{(x,y)|0<x+(y~V2)<1J-

其中是開集的是()

A.①④B.②③C.②④D.③④

4.(2014?煙臺(tái)二模)設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+l)(cx2+bx+l).記

集合S=lxlf(x)=0,xGRI,T=lxlg(x)=0,xGRI,若cardS,cardT分別為集合元素S,T

的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是()

A.cardS=l,cardT=0B.cardS=l,cardT=l

C.cardS=2,cardT=2D.cardS=2,cardT=3

5.(2011?廣東)設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果Va,b€S有ab€S,則稱S關(guān)于數(shù)的乘

法是封閉的，若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，TUV=Z,且Va,b,c￡T,有abceT；

Vx,y,zGV,有xyzGV,則下列結(jié)論恒成立的是()

A.T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

B.T,V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

C.T,V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

D.T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的

6.15、設(shè)全集為R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={xlf(x)#0},N={xlg(x)#0},

那么集合

{xlf_(x)_g(x)力}等于J)

A.MPINB.MUNC.MUND.MUN

7.(2005?浙江)設(shè)f(n)=2n+l(n€N),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},記片{n€Nlf

(n)GP},Q={nGNIf(n)6Q},則(pACNQ)U(QCI=()

A.{0,3}B.{1,2}C.{3,4,5}D.{1,2,6,7}

8.(2010?福建)設(shè)非空集合S={xlmsxsn}滿足：當(dāng)xeS時(shí)，有x26S.給出如下三個(gè)命題：

①若m=l,則5={1}；②若m=-L則工WnWl；③若n,，則其中正確命題的

2422

個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

9.(2014?上海)已知互異的復(fù)數(shù)a,b滿足ab/O,集合{a,b)={a2,b2},則a+b=()

A.2B.1C.0D.-1

10.（2013?北京）雙曲線-工=1的離心率大于血的充分必要條件是（）

ID

A.B.m>lC.m>lD.m>2

2

11.（2011?湖北）若實(shí)數(shù)a,b滿足a20,b20,且ab=O,則稱a與b互補(bǔ)，記6（a,

-a-b那么巾（a,b）=0是a與b互補(bǔ)的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要的條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.（2011?上海）若I，石,另均為單位向量,呵=哼,當(dāng)是彳石+彳（如，

泥）的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

13.（2007?北京）對于函數(shù)①f（x）=lg（lx-21+1）,②f（x）=（x-2）2,③f（x）=cos（x+2）,

判斷如下三個(gè)命題的真假：

命題甲：f（x+2）是偶函數(shù)；

命題乙：f（x）在（-8,2）上是減函數(shù)，在（2,+8）上是增函數(shù)；

命題丙：f（X+2）-f（X）在（-8,+8）上是增函數(shù).

能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是（）

A.①③B.①②C.③D.②

2-

14.(2007?遼寧)設(shè)p,q是兩個(gè)命題：p：log.(|x|-3)>0,q：x

-L66

2

則p是口的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

15.（2005?山東）設(shè)集合A、B是全集U的兩個(gè)子集，則AEB是（CuA）UB=U（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

16.(2013?上海)已知a,b,cGR,"b?-4ac<0"是"函數(shù)f(x)=ax?+bx+c的圖象恒在x軸

上方”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

17.（2010?湖北）記實(shí)數(shù)X],X2，…Xn中的最大數(shù)為max{x「X2，...xn},最小數(shù)為min{xi，

X2，…Xn}.已知aABC的三邊邊長為a、b^c（a<b<c）,定義它的傾斜度為t=max{3,—,

bc

￡}?min{0,2&},x,則"t=l"是"ZiABC為等邊三角形”的（）

abca

A.充分但不必要的條件B.必要而不充分的條件

C.充要條件D.既不充分也不必要的條件

二.填空題（共10小題）

18.（2011?瀘州一模）設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算"*"（即

對任意a,beS,對于有序元素對（a,b）,在S中有唯?確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對

任意的a>bGS,有a*（b*a）=b,則對任意a>beS,給出下列關(guān)系式：①（a*b）*a=a；②[a*

（b*a）]*（a*b）=a；③b*（b*b）=b；④（a*b）*[b*（a*b）]=b,其中正確命題的序號(hào)是

（寫出所有正確命題的序號(hào)）.

19.（2011?西區(qū)校級(jí)模擬）非空集合G關(guān)于運(yùn)算e滿足：①對于任意a、b€G,都有a?b€G；

②存在e€G,使對一切a€G都有a?e=e?a=a,則稱G關(guān)于運(yùn)算?為和諧集，現(xiàn)有下列命

題：

①仃:h+環(huán)風(fēng)b為偶數(shù)},?為復(fù)數(shù)的乘法，則G為和諧集；

②仃二{二次三項(xiàng)式},?為多項(xiàng)式的加法，則G不是和諧集；

③若?為實(shí)數(shù)的加法，GUR且G為和諧集，則G要么為0,要么為無限集；

④若?為實(shí)數(shù)的乘法，GUR且G為和諧集，則G要么為0,要么為無限集，其中正確的

有.

20.（2009?陜西）某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參

加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時(shí)參加數(shù)學(xué)和

物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有—

人.

21.（2004?湖北）設(shè)A、B為兩個(gè)集合.下列四個(gè)命題：

①A《BQ對任意xGA,有x任B；

②AZBoACB=0；

③AZB=A邊B；

④A2BO存在x€A,使得xCB.

其中真命題的序號(hào)是.（把符合要求的命題序號(hào)都填上）

22.（2006?四川）非空集合G關(guān)于運(yùn)算?滿足：（1）對任意的a,beG,都有a?beG,（2）

存在e€G,都有a?e=eea=a,則稱G關(guān)于運(yùn)算?為"融洽集".現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：

①仃二｛非負(fù)整數(shù)｝,?為整數(shù)的加法.

②仃;｛偶數(shù)｝,?為整數(shù)的乘法.

③仃二｛平血向量｝,?為平面向量的加法.

@G=｛二次三項(xiàng)式｝,中為多項(xiàng)式的加法.

⑤仃=｛虛數(shù)｝,?為復(fù)數(shù)的乘法.

其中G關(guān)于運(yùn)算?為"融洽集"的是.（寫出所有“融洽集"的序號(hào)）

23.（2007?福建）中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系"、"平行關(guān)系”等等、如果集合

A中元素之間的?個(gè)關(guān)系"-"滿足以下三個(gè)條件：

（1）自反性:對于任意a€A,都有a-a；

（2）對稱性：對于a,bGA,若a-b,則有b-a；

（3）對稱性：對于a,b,cGA,若a-b,b-c,則有a-c、

則稱是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系、例如："數(shù)的相等"是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等

價(jià)關(guān)系（自反性不成立）、請你再列出兩個(gè)等價(jià)關(guān)系：.

24.（2010?湖南）若規(guī)定E=｛ai，a2...aio｝的子集｛與,ak…，ak｝為￡的第k個(gè)子集，

其中k=2kl-1+2k2-l+2k3-l+...+2kn則

（1）｛ai，a3）是E的第個(gè)子集；

（2）E的第211個(gè)子集是.

25.（2013?福建）設(shè)S,T是R的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f（x）

滿足：

（i）T=｛f（x）IxGS｝；（ii）對任意X|,X2GS,當(dāng)x1<X2時(shí)，恒有f（xi）<f（X2）?那么稱

這兩個(gè)集合"保序同構(gòu)"，現(xiàn)給出以下3對集合：

@A=N,B=N*；

②人:3-1SX43｝,B=｛xl-8<x<10｝；

?A=｛xlO<x<l）,B=R.

其中，"保序同構(gòu)"的集合對的序號(hào)是.（寫出"保序同構(gòu)"的集合對的序號(hào)）.

26.(2013?安徽)如圖，正方體ABCD-AiBiCQi的棱長為1,P為BC的中點(diǎn)，Q為線段

CC|上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是_

(寫出所有正確命題的編號(hào)).

①當(dāng)0<CQ<1時(shí)，S為四邊形

2

②當(dāng)CQ」時(shí)，S為等腰梯形

2

③當(dāng)CQ二時(shí)，S與C|D|的交點(diǎn)R滿足CiR」

43

④當(dāng)a<CQ<l時(shí)，S為六邊形

4

⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為當(dāng).

27.(2012?四川)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題：

①若a2-b2=l,則a-b〈l；

②若工-工=1，則a-b<l；

ba

③若IVa-Vb1=1.則la-bivi；

④若菌」3|=1,則la-blVl.

其中的真命題有.(寫出所有真命題的編號(hào))

三.解答題(共3小題)

28.(2003?上海)已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T,對

任意xCR,有f(x+T)=T?f(x)成立.

(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a#l)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f(x)=axGM；

(3)若函數(shù)f(x)=sinkx€M,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

29.(2010?北京)已知集合Sn={XIX=(xi，X2，…，xn),XjG{0,1},i=l,2...n}(n>2)

對于A=(a),a2，...an，),B=(bPX，...bn，)€Sn,定義A與B的差為A-B=(lai-bib

Ia2-bzl,Ian-bnl)；

n

A與B之間的距離為d(A,B)=￡|ax-bx|.

i=l11

(I)當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)人=(0,1,0,0,1),B=(b1,1,0,0),求d(A,B)；

(II)證明：VA,B,CeSn，有A-BCSn，且d(A-C,B-C)=d(A,B)；

(III)證明：VA,B,CGSn.d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶

數(shù).

30.(2007?北京)已知集合人=?,a2,ak(k>2)},其中a￡Z(i=l,2,....k),由A

中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合:S={(a,b)laGA,beA,a+beA},T={(a,b)laeA,bGA,

a-bGA}.其中(a,b)是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n.若對于任意

的a6A,總有-aCA,則稱集合A具有性質(zhì)P.

(I)檢驗(yàn)集合{0,1,2,3}與{-1,2,3}是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，

寫出相應(yīng)的集合S和T；

k(k1)

(H)對任何具有性質(zhì)P的集合A,證明：n<-;

(HI)判斷tn和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

2015年-集合和簡易邏輯高考真題難題匯總

參考答案與試題解析

—.選擇題(共17小題)

1.(2011?北京模擬)現(xiàn)規(guī)定：A是一些點(diǎn)構(gòu)成的集合，若連接點(diǎn)集A內(nèi)任意兩點(diǎn)的線段，

當(dāng)該線段上所有點(diǎn)仍在點(diǎn)集A內(nèi)時(shí)，則稱該點(diǎn)集A是連通集，下列點(diǎn)集是連通集的是()

A.函數(shù)y=2x圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合

B.旋轉(zhuǎn)體表面及其內(nèi)部點(diǎn)構(gòu)成的集合

C.扇形邊界及其內(nèi)部點(diǎn)構(gòu)成的集合

D.正四面體表面及其內(nèi)部點(diǎn)構(gòu)成的集合

考點(diǎn)：集合的含義；棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

專題：壓軸題；新定義.

分析：可用排除法去做，分別考查所給選項(xiàng)中，那個(gè)選項(xiàng)滿足圖象上連接任意兩點(diǎn)的線段上

的其它點(diǎn)仍在這個(gè)圖象匕就可選這一選項(xiàng).

解答：解：I?函數(shù)y=2x圖象上連接任意兩點(diǎn)的線段上的其它點(diǎn)不在函數(shù)y=2x圖象上的，.?.A

不正確.

???如果旋轉(zhuǎn)體內(nèi)部是空腔時(shí)，內(nèi)表面上連接任意兩點(diǎn)的線段上的其它點(diǎn)不在旋轉(zhuǎn)體表

面或其內(nèi)部.，，B不正確

..?如果扇形的圓心角大于180。時(shí)，會(huì)出現(xiàn)連接某些點(diǎn)的線段上的其它點(diǎn)不在扇形邊界

或其內(nèi)部，.?.€：不正確

二利用排除法，應(yīng)該選D

故選D

點(diǎn)評：本題考查了給出新概念，利用新概念解決問題，做題時(shí)要認(rèn)真分析題意，正確解答.

2.(2011?遂溪縣一模)集合P={xlx=a+bV^,a€N*,beN*}若x€P,y€P時(shí)，有x?y€P,

則運(yùn)算?？赡苁?)

A.加法減法乘法B.加法乘法C.加法減法除法D.乘法除法

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷.

專題：計(jì)算題；壓軸題.

分析：設(shè)也x、y的式子，由實(shí)數(shù)的加減乘除運(yùn)算求出x+y,x-y,xy,士都寫為a+b&的

y

形式，由aWN*,bGN*,CEN*,d￡N*分別判斷出所求式子中的數(shù)是否屬于正整數(shù)集，

是則符合題意，不是則不符合題意._

解答：解：設(shè)x=a+bV^，y=c+ch/2，x+y=(a+c)+(b+d)

x-y=(a-c)+(b-d)xy=(ac+2bd)+(ad+bc)

x_(ac-2bd)+(be-ad)y/~2

Vc2-2d2'

VaGN*,b€N*,cGN*,dGN*,

a+bGN,c+dGN,/.x+yGP,

.'.a-cGz,b-dWz,Ax-ygp,

ac+2bdGN,ad+bcEN,xyGP,

--

ac2bd八bead

-7——2eQ，-eQ,

c2-2d2c2-2d2y

.??運(yùn)算?可能是加法乘法，

故選B.

點(diǎn)評：此題考查元素與集合的關(guān)系，結(jié)合了實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算，還有若兩個(gè)數(shù)為整數(shù)，加減乘

除后是否還為整數(shù)，這也是一個(gè)自定義的題目，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，歸納出

規(guī)律.

3.(2011?青羊區(qū)校級(jí)二模)定義：若平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(xo,yo)，總存在正實(shí)數(shù)r,

2

使得集合{(x,y)|J(x-Xq)2+(y-yo)<r]￡A,則稱A為個(gè)開集.給出

下列集合：

①(x,y)lx2+y2=4；

②(x,y)lx+y-2>0；

③(x,y)llx+yl<2；

?{(X,y)|o<x2+(y-近)2<1}?

其中是開集的是()

A.①④B.②③C.②④D.③④

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

專題：壓軸題；新定義；數(shù)形結(jié)合.

分析：根據(jù)開集的定義逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案，：①：A={(x,y)Ix2+y2=4}表示以

原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，以圓上的點(diǎn)為圓心正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面不可能在該圓

上，故不是開集，②是集A中的任一點(diǎn)(xo,yo)，則該點(diǎn)到直線的距離為d,取匚d,

滿足條件，故是開集；③在曲線x+yl=2任意取點(diǎn)(xo,yo),以任意正實(shí)數(shù)r為半徑

22

的圓面，均不滿足{(x,y)|(x-Xq)+(y-yQ)<r)故該集合

不是開集；④該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(xo,yo)，則該點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最短距離

22

為d,取匚d,則滿足，{(x,y)|J(x-Xq)+(y-yQ)<r)故該

集合是開集.

解答：解：①：A={(x,y)Ix?+y2=4}表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，

則在該圓上任意取點(diǎn)(xo,yo),以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足

22<r

{(x,y)|(x-x0)+-)—A

故①不是開集；

(2)A={(X,y)lx+y-2>0}平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x0,y0).則該點(diǎn)到直線的距離

2

為d,取匚d,則滿足，{(x,y)|J(x-Xq)2+(y-yo)<r}A.故該

集合是開集;

(3)A={(x,y)llx+yl<2},在曲線x+y=2任意取點(diǎn)(x(),y0),以任意正實(shí)數(shù)r為半徑

22

的圓面，均不滿足{(X,y)|(x-Xq)+(y-y0)<r)A-故該集合

不是開集；

2

④A={(X,y)|0<x+(y-近)2<]}表示以點(diǎn)(0,&)為圓心，1為半徑

除去圓心和圓周的圓面，在該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(xo,yo),則該點(diǎn)到

圓周上的點(diǎn)的最短距離為d,取匚d,則滿足，

22

[(X,y)Iy/(x-Xq)+(y-yQ)<r)A)故該集合是開集?

故選C.

點(diǎn)評：此題是基礎(chǔ)題.考查學(xué)生的閱讀能力和對新定義的理解，如果一個(gè)集合是開集，則該

集合表示的區(qū)域應(yīng)該是不含邊界的平面區(qū)域.

4.(2014?煙臺(tái)二模)設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+l)(cx2+bx+l).記

集合S=lxlf(x)=0,xGRI,T=lxlg(x)=0,xGRI,若cardS,cardT分別為集合元素S,T

的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是()

A.cardS=I,cardT=0B.cardS=1>cardT=1

C.cardS=2,cardT=2D.cardS=2,cardT=3

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷.

專題：計(jì)算題.

分析：根據(jù)函數(shù)f(x)的解析可知f(x)=0時(shí)至少有一個(gè)根x=-a,然后討論442-4c可

得根的個(gè)數(shù)，從而得到g(x)=0的根的個(gè)數(shù)，即可得到正確選項(xiàng).

解答：解：Vf(x)=(x+a)(x2+bx+c),當(dāng)f(x)=0時(shí)至少有一個(gè)根x=-a

當(dāng)b?-4c=0時(shí)，f(x)=0還有一根x--也只要b*2a,f(x)=0就有2個(gè)根；當(dāng)b=2a,

2

f(x)=0是一個(gè)根

當(dāng)b2-4c<0時(shí),f(x)=0只有一個(gè)根;

當(dāng)b2-4c>0時(shí)，f(x)=0只有二個(gè)根或三個(gè)根

當(dāng)a=b=c=0時(shí)cardS=l,cardT=0

當(dāng)a>0,b=0,c>0時(shí)，cardS=l且cardT=l

當(dāng)a=c=1,b=-2時(shí)，有cardS=2且cardT=2

故選D.

點(diǎn)評：本題主要考查了方程根的個(gè)數(shù)，同時(shí)考查了元素與集合的關(guān)系，分類討論是解題的關(guān)

鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2011?廣東)設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果Va,beS有abeS,則稱S關(guān)于數(shù)的乘

法是封閉的，若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，TUV=Z；,且Va,b,c€T,有abcCT；

Vx,y,zGV,有xyzeV,則下列結(jié)論恒成立的是()

A.T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

B.T,V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

C.T,V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

D.T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷.

專題：集合.

分析：本題從正面解比較困難，可運(yùn)用排除法進(jìn)行作答.考慮把整數(shù)集z拆分成兩個(gè)互不相

交的非空子集T,V的并集，如T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，或T為負(fù)整數(shù)集，V為非

負(fù)整數(shù)集進(jìn)行分析排除即可.

解答：解：若T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，滿足題意，此時(shí)T與V關(guān)于乘法都是封閉的，排

除B、C；

若T為負(fù)整數(shù)集，V為非負(fù)整數(shù)集，也滿足題意，此時(shí)只有V關(guān)于乘法是封閉的，

排除D；

從而可得T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的，A正確.

故選A.

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生理解新定義的能力，會(huì)判斷元素與集合的關(guān)系，是一道比較難的題型.

6.15、設(shè)全集為R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={xlf(x)HO},N={xlg(x)wO},

那么集合

{xlf(x)g(x)=0}等于()

A.MANB.MUNC.MUND.MUN

考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

專題：壓軸題.

分析：由f(x)g(x)=0可知f(*)=0或8(x)=0,所以{xlf(x)g(x)=0}={xlf(x)

=0}U{xlg(x)=0}.

而{xlf(x)=0}與M互為補(bǔ)集關(guān)系，則可選出答案.注意區(qū)分"或"與"且

解答：解：{xlf(x)g(x)=0}={xlf(x)=0或g(x)=0}={xlf(x)=0}U{xlg(x)

=0},

故選D

點(diǎn)評：本題考查集合的基本運(yùn)算，較簡單.注意區(qū)分"或"與"且"的含義.

7.(2005?浙江)設(shè)f(n)=2n+l(n€N),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},記產(chǎn){nCNIf

(n)eP},Q={neNlf(n)eQ},貝ij(pncNQ)u(QACNP)=()

A.{0,3}B.{1,2}C.{3,4,5}D.{1,2,6,7)

考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

專題：壓軸題；新定義.

分析.****

,先根據(jù)新的定義求出p和Q，然后根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義求出pCCNQ和Q^CNP，最

■CAA

后根據(jù)并集的定義求出(pCCNQ)u(QnCNp)即可.

解答：*

解：p={neNlf(n)eP}={0,1,2}；

Q={nGNIf(n)GQ)={1,2,3}；

pnCNQp{0},QnCNp={3}

???（pncNQ）u（QnCNp）={0,3}

故選A

點(diǎn)評：本題主要考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，以及新定義，屬于創(chuàng)新題，考查了閱讀題

意的能力.

8.（2010?福建）設(shè)非空集合s={xlmvxvn}滿足：當(dāng)x€S時(shí)，有x?。.給出如下三個(gè)命題：

①若m=l,貝”={1}；②若m=-』，則LnVl；③若n」，則-返VmVO.其中正確命題的

2422

個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷；集合的確定性、互異性、無序性.

專題：集合.

分析：根據(jù)題中條件：“當(dāng)x€S時(shí)，有x2eS”對三個(gè)命題一-進(jìn)行驗(yàn)證即可：對于①m=l,得

（2^1fn2<n

n&n,②樂_1，JJJIMi對于③若n2，財(cái)L，最后解出不等式，根

h>l2卜-2|l>m2

據(jù)解出的結(jié)果與四個(gè)命題的結(jié)論對照，即可得出正確結(jié)果有幾個(gè).

解答：解：由定義設(shè)非空集合S={xlm4x4n}滿足：當(dāng)x€S時(shí)，有x?eS知，符合定義的參數(shù)

m的值一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保證meS時(shí)，有m2eS即m2>m,

符合條件的n的值一定大于等于0,小于等于1，惟如此才能保證nGS時(shí);有n2GS

即n2<n,正對各個(gè)命題進(jìn)行判斷：

對于①m=l,mJieS故必有,n,n可得n=],S={1},

1nYn

②m=-—,m?二LeS則41解之可得上SnSl；

24-<n4

工》m_

ID2解之可得-^?<m<0,

對于③若n」，財(cái)

22

2

所以正確命題有3個(gè).

故選D

點(diǎn)評：本小題考查集合的運(yùn)算及不等式和不等式組的解法.屬于創(chuàng)新題，解答的關(guān)鍵是對新

定義的概念的正確理解，列出不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式問題解決.

9.(2014?上海)已知互異的復(fù)數(shù)a,b滿足abxO,集合{a,b}={a?,b2},則a+b=()

A.2B.1C.0D.-1

考點(diǎn)：集合的相等.

專題：集合.

分析：根據(jù)集合相等的條件，得到元素關(guān)系，即可得到結(jié)論.

解答：解：根據(jù)集合相等的條件可知，若{a,b}={a2,b2},

f2(2

則，a=a①或a=b②,

22

Lb=b1b=a

fa=O或a=l

由①得《

b=0或b=l

?.?abwO,...awO且bwO,即a=l,b=l,此時(shí)集合{1,1}不滿足條件.

由②得，b=a--.a=b~,則兩式相減得a--b~=b-a,即(a-b)(a+b)=-(a-b),

?.?互異的復(fù)數(shù)a,b,

.".a-b*0,即a+b=-1.

故選：D.

點(diǎn)評：本題主要考查集合相等的應(yīng)用，根據(jù)集合相等得到元素相同是解決本題的關(guān)鍵，注意

要進(jìn)行分類討論.

10.(2013?北京)雙曲線乂2-工=1的離心率大于血的充分必要條件是()

ID

A.B.m>lC.m>lD.m>2

2

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；簡易邏輯._

分析：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以求Hla=l,c=Vl+ff.利用離心率e大于我建立

不等式，解之可得m>l,最后利用充要條件的定義即可得出正確答案.

解答：2

解：雙曲線*2-二=1，說明m>0,

m

a=l,b=Vir?口J得c=Vl+ir?

?；離心率e>五等價(jià)于，二號(hào)〉亞om>1,

二雙曲線X2-二二1的離心率大于血的充分必要條件是m>l.

m

故選C.

點(diǎn)評：本題雖然小巧，用到的知識(shí)確實(shí)豐富的，具有綜合性特點(diǎn)，涉及了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、

幾何性質(zhì)等幾個(gè)方面的知識(shí)，是這些內(nèi)容的有機(jī)融合，是一個(gè)極具考查力的小題.

11.（2011?湖北）若實(shí)數(shù)a,b滿足a>0,b>0,且ab=0,則稱a與b互補(bǔ)，記。（a,b）=^^2^2

-a-b那么（a,b）=0是a與b互補(bǔ)的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要的條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：簡易邏輯.

分析：我們先判斷巾（a,b）=0na與b互補(bǔ)是否成立，再判斷a與b互補(bǔ)=力（a,b）=0

是否成立，再根據(jù)充要條件的定義，我們即可得到得到結(jié)論.

22_a-b=0

解答：解：若巾（a,b）=Va+b-

則J32+b2=（a+b）,

兩邊平方解得ab=0,故a,b至少有一為0,

不妨令a=0則可得Ibl-b=0,故bNO,即a與b互補(bǔ)；

若a與b互補(bǔ)時(shí)，易得ab=O,故a,b至少有一為0,

若a=0,b>0,此時(shí)｛02+匕2-a-b=^^2-b=0,

同理若b=0,a>0,此時(shí).&2+b2-a-b=J&2-a=0,

即巾（a,b）=0,

故”（a,b）=0是a與b互補(bǔ)的充要條件.

故選C.

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是必要條件、充分條件與充要條件的，其中判斷6（a,b）=0=>a

與b互補(bǔ)與a與b互補(bǔ)=e（a,b）=0的真假，是解答本題的關(guān)鍵.

12.（2011?上海）若.，司，司均為單位向量,幅=哼,當(dāng)是彳石+后（0

泥）的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：計(jì)算題；壓軸題.

分析：aI，a2，a3均為單位向量，若司二（率平），式+句+句=他，巫）

不成立；若a]+a2+a3=V6）可推得a1=（'^，，由此可得,

：

解答解：ara2，a3均為單位向量，刀=（乎，害），

若一一/Vs促、—_/1對、

K(亍丁)’(工，不),

則5+司+司=(?，娓)不成立；

若ai，a2.aj均為單位向量，

與+司+彳(病，a)可推得［=(率當(dāng))

所以"a「(坐，當(dāng))"是"ai+a2+a3=(炳，&)"的必要不充分條件，

故選B

點(diǎn)評：本題考查必要條件、充分條件、充要條件的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要全面考慮.

13.(2007?北京)對于函數(shù)①f(x)=lg(lx-21+1).②f(x)=(x-2)2,③f(x)=cos(x+2),

判斷如下三個(gè)命題的真假：

命題甲：f(x+2)是偶函數(shù)；

命題乙：f(x)在(-8,2)上是減函數(shù)，在(2,+8)上是增函數(shù)；

命題丙：f(x+2)-f(X)在(-8,4-00)上是增函數(shù).

能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是()

A.①③B.①②C.③D.②

考點(diǎn)：四種命題的真假關(guān)系；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明.

專題：壓軸題；閱讀型.

分析：要判斷題目中給出的三個(gè)函數(shù)中，使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)，我們

可將題目中的函數(shù)一一代入命題甲、乙、丙進(jìn)行判斷，只要有一個(gè)命題為假，即可排

除，最好不難得到最終的答案.

解答：解:①若f(x)=lg(lx-21+1)則：

f(x+2)是偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為真；

f(x)在(-8,2)上是減函數(shù)，在(2,+8)上是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為真；

但f(x+2)-f(x)在(-8,+8)上不是單調(diào)遞增的；此時(shí)命題丙為假.

②f(x)=(x-2)2則：

f(x+2)是偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為真；

f(x)在(-8,2)上是減函數(shù)，在(2,+8)上是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為真；

但f(x+2)-f(x)=4x-4在(-8,+8)上是增函數(shù)的；此時(shí)命題丙為真.

③若f(x)=cos(x+2),則:

f(x+2)是不偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為假；

f(x)在(-8,2)上不是減函數(shù)，在(2,+8)上不是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為假；

但f(x+2)-f(x)在(-8,+8)上不是單調(diào)遞增的；此時(shí)命題丙為假.

故選D

點(diǎn)評：本題綜合的考查了多個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，在處理的時(shí)候，我們根據(jù)各種函數(shù)的性質(zhì)，對題

目中的結(jié)論逐一進(jìn)行判斷易得結(jié)論，熟練掌握各種基本函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性、奇

偶性、周期性、對稱性等，是解決本題的關(guān)鍵.

2-

14.(2007?遼寧)設(shè)p,q是兩個(gè)命題：p：log.(|x|-3)>0,q：xyx+T>O'

166

2

則p是口的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

專題：計(jì)算題；壓軸題.

分析：首先解兩個(gè)不等式，再判斷不等式解的范圍，判斷p，q條件關(guān)系.

解答:解：

p：VO<lxl-3<1,

.".3<lxl<4,

二-4<x<-3或3Vx<4,

q：(-09,1)|J(A,+8),結(jié)合數(shù)軸知p是q的充分而不必要條件，

32

故選A

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)不等式的求解，多項(xiàng)式不等式的求解，以及命題的充要條件，充分

條件，必要條件的判斷.要認(rèn)真掌握.

15.(2005?山東)設(shè)集合A、B是全集U的兩個(gè)子集，則A&B是(CuA)UB=U()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合；集合思想.

分析：結(jié)合韋恩圖進(jìn)行判定A*B=(CuA)UB=U,而(CuA)UB=U=AUB,從而確定出

A0B與(CuA)UB=U的關(guān)系.

解答：解：A0B=(CuA)UB=U,

當(dāng)A=B時(shí)(CuA)UB=U也成立，故A隼B不成立

.?.A9B是(CuA)UB=U的充分不必要條件

點(diǎn)評：本題主要考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，若AnB,則A是B的充分

條件，B是A的必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2013?上海)已知a,b,c€R,"b?-4ac<0"是"函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象恒在x軸

上方”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：壓軸題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：根據(jù)充要條件的定義可知，只要看"b2-4ac<0"與"函數(shù)f(x)=ax?+bx+c的圖象恒在

x軸上方"能否相互推出即可.

解答：解：若awO,欲保證函數(shù)f(x)=ax?+bx+c的圖象恒在x軸上方，則必須保證拋物線

開口向上，且與x軸無交點(diǎn)；

貝lJa>0且△=b2-4ac<0.

但是，若a=0時(shí)，如果b=0,c>0,則函數(shù)f(x)=ax?+bx+c=c的圖象恒在x軸上方，

不能得到△=『-4ac<0：

反之，-4ac<0"并不能得到"函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方"，如a<

0時(shí).

從而，叱-4ac<0"是“函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”的既非充分又非必

要條件.

故選D.

點(diǎn)評：本題考查的是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，難度一般.學(xué)

生要熟記二次函數(shù)的性質(zhì)方能得心應(yīng)手的解題.

17.(2010?湖北)記實(shí)數(shù)X],X2，...Xn中的最大數(shù)為max{xi，X2，...xn},最小數(shù)為min{xi，

X2，..加}.已知^ABC的三邊邊長為a、b、c(a<b<c),定義它的傾斜度為t=max{3，上，

bc

￡}?min{3，且￡},x,則"t=l"是2ABC為等邊三角形"的()

abca

A.充分但不必要的條件B.必要而不充分的條件

C.充要條件D.既不充分也不必要的條件

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：簡易邏輯.

分析：觀察兩條件的互推性即可求解.

解答：解：若aABC為等邊三角形時(shí)，即a=b=c,則maxf，-}=l=min{-?也，-)

bcabca

則t=1；

假設(shè)aABC為等腰三角形，如a=2,b=2,c=3時(shí)，

則max{盛，—>—)]，

bca2bca3

此時(shí)t=l仍成立，但aABC不為等邊三角形，所以"t=l"是gABC為等邊三角形”的

必要而不充分的條件.

故選B.

點(diǎn)評：本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬中檔題.

二.填空題(共10小題)

18.(2011?瀘州一模)設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算"*"(即

對任意a,beS,對于有序元素對(a,b),在S中有唯?確定的元素a*b與之對應(yīng)).若對

任意的a,beS,有a*(b*a)=b,則對任意a,beS,給出下列關(guān)系式：①(a*b)*a=a；②[a*

(b*a)]*(a*b)=a；③b*(b*b)=b；④(a*b)*[b*(a*b)]=b,其中正確命題的序號(hào)是

②③④(寫出所有正確命題的序號(hào)).

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷.

專題：壓軸題；新定義.

分析：根據(jù)對任意的a,beS,有a*(b*a)=b,由于a,b的任意性，①③可直接判斷，②

可先運(yùn)算a*(b*a)然后即可，④可先運(yùn)算b*(a*b)然后即可

解答：解：根據(jù)a*(b*a)=b,(a*b)*｛[a*(b*a)]*(a*b)｝=a*(b*a)=b,①顯然不正

確，

對②中a*(b*a)=b,原式可變?yōu)閎*(a*b)=a成立;

對③相當(dāng)于已知條件中a替換為b,明顯成立，

對④b*(a*b)=a，原式變?yōu)閍*(b*a)=b成立.

故答案為：②③④

點(diǎn)評：本題主要考查對新定義的理解，在解題中關(guān)鍵是對新定義的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2011?西區(qū)校級(jí)模擬)非空集合G關(guān)于運(yùn)算&滿足：①對于任意a、b€G,都有a?b￡G；

②存在e€G,使對一切a€G都有a?e=e?a=a,則稱G關(guān)于運(yùn)算?為和諧集，現(xiàn)有下列命

題：

①G=｛a+bila,b為偶數(shù)),e為復(fù)數(shù)的乘法，則G為和諧集；

②仃二｛二次三項(xiàng)式｝,?為多項(xiàng)式的加法，則G不是和諧集；

③若?為實(shí)數(shù)的加法，GUR且G為和諧集，則G要么為0,要么為無限集；

④若。為實(shí)數(shù)的乘法，GUR且G為和諧集，則