專題06 導(dǎo)數(shù)（解答題10種考法）講義（解析版）

專題06導(dǎo)數(shù)（解答題10種考法）考法一含參單調(diào)性的分類討論【例11】（2023·海南?？凇まr(nóng)墾中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，則．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得,由，得，故此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，(i)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；(ii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；(iii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，．綜上所述，．【變式】1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）由已知，則，當(dāng)時(shí)，，，則曲線在處的切線方程為，即（2）由（1）知，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由，得，（?。┊?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；綜上可得：①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.2．（2023秋·北京·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)其中．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；極小值答案見(jiàn)解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋畡t，令，可得，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：?jiǎn)握{(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.（2）因?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)可得令，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，)所以函數(shù)在單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為，3．（2023秋·北京順義·高三楊鎮(zhèn)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)：，令解得，又因?yàn)楫?dāng)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以的最小值為.（2），當(dāng)時(shí)，由，得或.①若，則，故在上單調(diào)遞增；②若，則.故當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.③若，則.故當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.考法二討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例2】（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，理由見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，，故，令，故，與在區(qū)間上的情況如下：0+極小值所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)．（2）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，理由如下：（1）當(dāng)時(shí)，．由于，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，，故，令，得，，故，因此恒有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．【變式】1．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┰O(shè)函數(shù)，，其中，曲線在處的切線方程為(1)若的圖象恒在圖象的上方，求的取值范圍；(2)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)．【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1），則，則,又因?yàn)?，解得，，所以；由題意得，對(duì)一切恒成立，分離參數(shù)得，對(duì)一切恒成立，令，則，令，則，，所以函數(shù)過(guò)點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又易知與同號(hào)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，故的取值范圍為；（2）由題意，原方程等價(jià)于分離參數(shù)后的方程，令，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的大致圖象如圖.觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為．2.(2022·廣東廣州檢測(cè))已知a≥1，函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)若a＝1，則f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋2(x－1)．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0．所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．(2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，因?yàn)閒(1)＝0，且f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)有1個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)a＞1時(shí)，f′(x)＝1＋lnx－a＋2a(x－1)＝1＋lnx＋2ax－3a，令g(x)＝1＋lnx＋2ax－3a，因?yàn)閍＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝1＋lneq\f(3,2)＞0，所以存在實(shí)數(shù)x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，使得g(x0)＝0．在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)．所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0滿足f′(x0)＝0，即1＋lnx0＋2ax0－3a＝0．所以f(x0)＝x0lnx0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，因?yàn)閤0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以f(x0)＜0，因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(a,9)＋1－eq\f(ln3,3)＞0，f(3)＝3ln3＋a＋1＞0，所以f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)考法三已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)【例3】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有2個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間.(2)(3)【解析】（1）解：若，則，可得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減，所以，即，所以在遞減，即的單調(diào)減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間.（2）解：由函數(shù)，可得，由題意可得有兩個(gè)不等的正根，設(shè)，若，則在遞增，不符合題意；若，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，可得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不等的正根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）解：由，可得，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，時(shí)，，因?yàn)榍∮?個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式】1．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【解析】（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)?，可得，解得，所以且，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)，函數(shù)取得極小值，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.（2）解：由函數(shù)和，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)，函數(shù)取得極小值，又由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使得與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.3．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程有三個(gè)根，求的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)．【解析】（1）解：由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得或，由得，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；（2）方程有三個(gè)根，即有三個(gè)根，有三個(gè)根，顯然不是方程的根，則有三個(gè)根，即與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，由，可得或，由，可得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖所示：要使與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，只需，的取值范圍是．考法四恒成立與能成立問(wèn)題【例41】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】（1）由題意知：定義域?yàn)?，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，恒成立，大致圖象如下圖所示，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).（2）由題意知：當(dāng)時(shí)，恒成立；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，，又恒成立，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【例42】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見(jiàn)解析【解析】（1）解：因?yàn)椋?，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因?yàn)椋?/p>

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.【變式】1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）若對(duì)任意恒成立，可得，即對(duì)任意恒成立，令，，，令，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，可得.2．（2023秋·四川遂寧·高三四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)答案見(jiàn)解析(3)【解析】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)?，∴，∴時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，；（2）由題：，1°當(dāng)時(shí)：，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；2°當(dāng)時(shí)：∵，∴時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；3°當(dāng)時(shí)：①若即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，②若即，，則在單調(diào)遞增；③若即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；（3）欲使恒成立，只需，根據(jù)(2)的結(jié)論，1°，當(dāng)時(shí)：時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，∴令，得，此時(shí)，；2°當(dāng)時(shí)：①若即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；②若即，時(shí)，，單調(diào)遞增；③若即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；不論上述哪種情況，均有時(shí)，因此，不可能有恒成立，舍去.綜上：的取值范圍為.3．（2023秋·江西·高三臨川一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得或，當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，或時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；或時(shí)，，在上單調(diào)遞增．綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）由題可得，所以，由（1）得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞減，時(shí)，，滿足題意，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由時(shí)，恒成立，則，即，因?yàn)?，，所以，綜上得實(shí)數(shù)的取值范圍為．考法五不等式的證明【例51】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，所以的極大值為，無(wú)極小值；（2）設(shè)，則，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，，所以存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，即為最小值，故，設(shè)，因?yàn)?，由二次函?shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，所以當(dāng)時(shí)，，即．【例52】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)(3)證明見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，不符合題意．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意．綜上所述，的取值范圍為．（3）由（2）可得當(dāng)時(shí)，，即，令，則，所以，以上各式相加得，即，所以．【變式】1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.2．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意知：的定義域?yàn)?，；①?dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）要證，只需證，又，，則只需證；①當(dāng)時(shí)，，，恒成立；②當(dāng)時(shí)，，，，則只需證，即證，令，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，，，，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，又，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即；綜上所述：當(dāng)時(shí)，恒成立，即.考法六三角函數(shù)型【例6】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減(2)【解析】（1）因?yàn)椋?，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)?，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)?，因?yàn)?，所以，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【變式】1．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，求在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）解：由函數(shù)，可得，令，即，可得，解得；令，即，可得，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）解：由（1）知，因?yàn)椋傻?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，單調(diào)遞減；且，則函數(shù)的圖象，如圖所示，又由的零點(diǎn)，即方程的解，即函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象，可得：當(dāng)或時(shí)，與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，與的圖象一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn).2．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為．(1)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的極大值和極小值分別為，，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）依題意，，根據(jù)題意知，在上恒成立，即在上恒成立．令，，則，令，，則，則時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而，，，故，，當(dāng)時(shí)，，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即在上單調(diào)遞減，故，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）令，則，設(shè)，分別為函數(shù)在上的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，所以，，則，且．所以，由，得，其中，，故．設(shè)，，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，即，故．考法七切線問(wèn)題【例7】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【解析】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?【變式】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）的定義域是，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，顯然成立，解得：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．（2），則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．由直線與函數(shù)的圖象相切，則，解得：．顯然直線過(guò)原點(diǎn)，則，所以．整理得，即：，得：．設(shè)，．當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增．又，．所以存在，使得．存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．2．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，曲線在A，B點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求的值；(2)當(dāng)曲線在處的切線與曲線相切時(shí)，若，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以曲線在處的切線方程為．由已知得，，不妨設(shè)，又曲線在點(diǎn)A處的切線方程為，在點(diǎn)B處的切線方程為，兩式相減得，將，，代入得，化簡(jiǎn)得，顯然，所以，所以，又，所以．（2）當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，將點(diǎn)代入，解得，此時(shí)，，根據(jù)題意得，，，即恒成立．令，則，，令，則，易知在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以．若，則，即在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，符合題意；若，則．又，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即，所以此時(shí)存在，使得，不符合題意．綜上可得，a的取值范圍為．3．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù).(1)若是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）的定義域?yàn)榱睿?，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故的取值范圍是.（2）設(shè)曲線的切點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.聯(lián)立，得，必有，記函數(shù)，由題，故當(dāng)時(shí)，.記，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故存在，使得，當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由，得，代入并整理得：同理，記，由（1）知為增函數(shù)，，，又，當(dāng)時(shí)，，有三個(gè)零點(diǎn)，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.考法八極值點(diǎn)偏移【例8】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)的解析【解析】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【變式】1．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù).(1)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個(gè)不同的根、，求證：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）解：由，得.令，，則，令，則.所以，函數(shù)在上單增，故.①當(dāng)時(shí)，則，所以在上單增，，此時(shí)對(duì)恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，故存在使得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）證明：由（1）中結(jié)論，取，有，即.不妨設(shè)，，則，整理得.于是，即.2．（2023·安徽合肥）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由于，則.設(shè)，則，令，解得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)、，不妨設(shè)，則,所以函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的范圍時(shí).（2）由（1）知，、為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，則，在上單調(diào)遞減.下面先證，只需證.由于，所以，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以.由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.要證，只需證，即證.設(shè)函數(shù),則.設(shè)，則,所以在上單調(diào)遞增，，即.所以在上單調(diào)遞增，.故當(dāng)時(shí)，,則,所以,即3（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?由得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對(duì)稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對(duì)數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?，所以，所以，即，所?考法九交點(diǎn)或零點(diǎn)之間的關(guān)系【例9】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．(1)求實(shí)數(shù)a；(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為（），證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解【解析】（1）由題意可得：，顯然，當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取到最大值；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取到最小值，不合題意；綜上所述：，在處取到最大值.因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取到最大值；由題意可得：，解得.（2）由（1）可得：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到最大值，且當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，可得直線與曲線至多有兩個(gè)交點(diǎn)；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取到最大值，且當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，可得直線與曲線至多有兩個(gè)交點(diǎn)；若直線與兩條曲線和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則，此時(shí)直線與曲線、均有兩個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)建，構(gòu)建，且，則，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到最大值，構(gòu)建，則，因?yàn)椋?，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得：當(dāng)時(shí)，，則，所以；當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，則，可得，所以；當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，則，可得，所以；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.結(jié)合題意可得：直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，與的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且，當(dāng)，可得，即，可得，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則，可得所以；當(dāng)，可得，即，可得，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則，可得，所以；綜上所述：，即.【變式】1．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)；證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）方程，即，等價(jià)于，令，其中，則，顯然，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且由時(shí)可得在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，，所以，要證，即證，即證，只需證，因?yàn)?，所以，整理可得，不妨設(shè)，則只需證，即，令，，其中，因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故．2．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）函數(shù)的定義域是，.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上可得，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方程即，得，不妨設(shè)，則，，得，所以.所以要證，即證，即證，即.設(shè)，因?yàn)?，所以，即證（）.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即.考法十根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)【例10】（2023·新疆·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).(1)若，求證：當(dāng)時(shí)