解排列組合應(yīng)用問(wèn)題的十種思考方法

第1頁(yè)一、優(yōu)先考慮：對(duì)有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考慮其它的元素或其它的位置。例1.(1)由0、1、2、3、4、可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。②)由1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有個(gè)。二、“捆”在一起：有要求元素相鄰(即連排)的排列問(wèn)題，可以先將相鄰的元素看作一個(gè)“整體”與其它元素排列，然后“整體”內(nèi)部再進(jìn)行排列。例2.(1)有3位老師、4名學(xué)生排成一排照相，其中老師必須在一起的排法共有種。(2)有2位老師和6名學(xué)生排成一排，使兩位老師之間有三名學(xué)生，這樣的排法共有三、插空檔：有要求元素不相鄰(即間隔排)的排列問(wèn)題，可以制造空檔插空。例3.(1)五種不同的收音機(jī)和四種不同的電視機(jī)陳列一排，任兩臺(tái)電視機(jī)不靠在…起，(2)6名男生6名女生排成一排，要求男女相間的排法有_種。四、減去特殊情況(即逆向思考):先算暫時(shí)不考慮限制條件的排列或組合種數(shù)，然后再例4.(1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有個(gè)。(2)由0、1、2、3、4、可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。第2頁(yè)(3)集合A有8個(gè)元素，集合B有7個(gè)元素，A∩B有4個(gè)元素，集合C有3個(gè)元素且滿足下列條件：CcAUB,C∩A≠φ,C∩B≠φ的集合C有幾個(gè)。(4)從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4□100米的接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少種參賽方案?例5(1)用1、2、3、口9這九個(gè)數(shù)字，能組成由3個(gè)奇數(shù)數(shù)字、2個(gè)偶數(shù)數(shù)字的不重復(fù)的(2)有8本不同的書(shū)，從中取出6本，獎(jiǎng)給5位數(shù)學(xué)優(yōu)勝者，規(guī)定第一名(僅一人)得2(3)有五項(xiàng)工作，四個(gè)人來(lái)完成且每人至少做一項(xiàng)，共有種分配方法。六、除以排列數(shù)：對(duì)某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去例6(1)有4名學(xué)生和3位老師排成一排照相，規(guī)定兩端不排老師且老師順序固定不變，那么不同的排法有種。(2)由0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字，則這樣的數(shù)共有個(gè)。(3)書(shū)架上放有5本書(shū)(1~5冊(cè)),現(xiàn)在要再插入3本書(shū)，保持原有的相對(duì)順序不變，有.例7.(1)一部電影在四個(gè)單位輪放，每單位放映一場(chǎng)，可以有種放映次序。第3頁(yè)(2)一排有8個(gè)座位，3人去坐，要求每人左右兩邊都有空位的坐法有種。(3)有6個(gè)座位3人去坐，要求恰好有兩個(gè)空位相連的不同坐法有種。八、分情況研究：分情況研究(即分類計(jì)算)復(fù)雜的排列、組合綜合題，常常通過(guò)畫(huà)簡(jiǎn)圖、按元素的性質(zhì)“分類”:按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程“分步”等方法。分情況研究求得結(jié)果，尤其對(duì)含數(shù)字“0”的排列，常分“有0”及“無(wú)0”兩種情況研究，在“有0”時(shí)，排例8.(1)從編號(hào)為了1、2、3□9的九個(gè)球中任取4個(gè)球，使它們的編號(hào)之和為奇數(shù)，再把這四個(gè)球排成一排，共有多少種不同的排法?(2)用0、1、2、39這十個(gè)數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個(gè)奇數(shù)字與兩個(gè)偶數(shù)字的五位(3)用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)的五位數(shù)中，若按從小到大的順序排列23140是第幾個(gè)數(shù)?排列與組合(思考方法1～8訓(xùn)練)一.優(yōu)先考慮1.現(xiàn)有6名同學(xué)站成一排：(1)甲不站排頭也不站排尾有多少種不同的排法?(2)甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法?2.用0,1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，共可以組成多少個(gè)?二.插空3.有6名同學(xué)站成一排：甲、乙、丙不相鄰有多少種不同的排法?4.有4男4女排成一排，要求(1)女的互不相鄰有種排法：(2)男女相間有5.由1、2、3、4、5組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，其中2、3必須排在一起，4、5不能排在第4頁(yè)6.有2位老師和6名學(xué)生排成一排，使兩位老師之間有三名學(xué)生，這樣的排法共有種。7.某小組有6名同學(xué)，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，至少有1名女生入選時(shí)的不同選法有16種，則小組中的女生數(shù)為。8.6名同學(xué)站成一排乙不站排尾有多少種不同的排法?五.先組后排9.有4名學(xué)生參加3相不同的小組活動(dòng)，每組至少一人，有種參加方式。10.從兩個(gè)集合{1,2,3,4}和{5.6,7}中各取兩個(gè)元素組成一個(gè)四位數(shù)，可組成11.書(shū)架上放有6本書(shū)，現(xiàn)在要再插入3本書(shū)，保持原有的相對(duì)順序不變，有種放12.9人(個(gè)子長(zhǎng)短不同)排隊(duì)照相，要求中間的最高，兩旁依次從高到矮共有科13.某人射擊8槍命中4槍，這4槍中恰有3槍連在一起的不同種數(shù)是14.三個(gè)人坐在…排7個(gè)座位上，(1)若3個(gè)人中間沒(méi)有空位，有種坐法。(2)若4個(gè)空位中恰有3個(gè)空位連在一起，有種坐法。八.分情況(即分類)15.用0,1,2,3,4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，若按從小到大的順序排列，則數(shù)1234016.某車間有8名會(huì)車工或鉗工的工人，其中6人會(huì)車工，5人會(huì)鉗工，現(xiàn)從這些工人中選出2人分別干車工和鉗工，問(wèn)不同的選法有多少種?例9.和：(1)用0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?這些三位數(shù)的和是多少?整除：(2)用0、1、2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中第5頁(yè)I、能被5整除的數(shù)有多少個(gè)?Ⅱ、能被3整除的數(shù)有多少個(gè)?Ⅲ、能被6整除的數(shù)有多少個(gè)?倍數(shù)：(3)在1、2、3□100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取不等的兩數(shù)相乘，使它們的積是7的倍數(shù)，這樣的取法共有多少種?(取7,11與取11,7認(rèn)為是同一種取法)(4)在1、2、3□30這三十個(gè)數(shù)中，每取兩兩不等的三個(gè)數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)，共有多少種不同的取法?約數(shù)：(5)數(shù)2160共有多少個(gè)正約數(shù)(包括1和本身在內(nèi))?其中共有多少個(gè)正的偶約數(shù)?十、分配、分組問(wèn)題：解題時(shí)要注意“均勻”與“非均勻”的區(qū)別、分配與分組(分堆)例10.(1)將12本不同的書(shū)I、分給甲、乙、丙三人，每人各得4本有種分法。(2)7本不同的書(shū)I、全部分給6個(gè)人，每人至少一本，共有種不同的分法。Ⅱ、全部分給5個(gè)人，每人至少一本，共有種不同的分法。(3)六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問(wèn)各有多少種分法?a、甲一本、乙二本、丙三本：有種分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有種分法。第6頁(yè)排列與組合(思考方法全訓(xùn)練)1.5名男生和2名女生站成一列，男生甲必須站在正中間，2名女生必須站在甲前面，不2.8人排成一排，其中甲、乙、丙三人中有2人相鄰，但這3人不同時(shí)相鄰的排法有 3.現(xiàn)有6張同排連座號(hào)的電影票，分給3名老師與3名學(xué)生，要求師生相間而坐，則不同的分法4.在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有5.現(xiàn)從某校5名學(xué)生干部中選出4人分別參加上海市“資源”、“生態(tài)”、和“環(huán)保”三個(gè)夏令營(yíng)，要求每個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)至少有選出的一人參加，且每人只參加一個(gè)夏令營(yíng)活7.如果從一排10盞燈中關(guān)掉3盞燈，那么關(guān)掉的是互不相鄰的3盒燈的方法有_8.(1)如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種。(以數(shù)字作答)(2)同室4人各寫了一張賀年卡先集中起來(lái)，然后每人從中取回一張別人送出的賀卡，這4張賀年卡不同的分配方式有種。17.(1)由2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：①這些數(shù)的數(shù)字之和：②這些數(shù)的(2)由0、2、5、7、9這5個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被3整除的四位數(shù)?18.(1)在1、2、3、4、…、50這50個(gè)自然數(shù)中，每次取出2個(gè)(無(wú)論先后),使他們的積是13的倍數(shù)，這樣的取法有多少種?(2)①420共有多少個(gè)正約數(shù)?②14175共有多少個(gè)正約數(shù)?19.六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問(wèn)各有多少種分法?第7頁(yè)20.一般地，現(xiàn)有6n本不同的書(shū)，①分給甲、乙、丙三人，甲得n本、乙得2n本、丙得3n本，則有種分法。②分給三人，一人得n本、一人得2n本、另一人得3n本，則有種分法。③分給三人，甲、乙各得n本、丙得4n本，則有種分法。④分給三人，其中二人各得n本，另一人得4n本，則有種分法。⑤分成三堆，一堆n本、一堆2n本、一堆3n本，則有種分法。⑥分成三堆，有二堆各n本，還有一堆4n本，則有