專題13 垂美四邊形模型與378、578模型（原卷版）

專題13垂美四邊形模型與378、578模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對角互補模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1、垂美四邊形模型規(guī)定：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形圖1圖2圖3條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，且AC⊥BD；結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半?！咀冃?】條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2【變形2】條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。例1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=3，BC=5，則____________．例2．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形的對角線，互相垂直，若，，則的長為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．例3．（2023·江蘇南通·九年級?？计谥校┒x：對角線互相垂直的四邊形為垂美四邊形．已知垂美四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足AC＋BD＝12，則當AC＝時，四邊形ABCD的面積最大．例4．（2023·湖北·九年級專題練習）學習新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則有以下重要結(jié)論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結(jié)論的證明不難，同學們通過勾股定理即可證明．應用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內(nèi)一點，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_____．例5．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）我們給出如下定義：若一個四邊形中，從一個頂點出發(fā)的兩條邊與一條對角線滿足：兩條邊的平方和等于該對角線的平方，則稱這個四邊形為“爪勾股四邊形”．如圖1，四邊形的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，每個小正方形的邊長為1，，則稱四邊形是“爪勾股四邊形”．（1）如圖1，在正方形網(wǎng)格中找一格點（異于點），使四邊形是“爪勾股四邊形”，并畫出四邊形；（2）如圖2，，，，連接、，且．求證：四邊形是“爪勾股四邊形”．例6．（2022春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．(1)特例感知：如圖1，四邊形ABCD是“垂美四邊形”，如果，，，則______，______．(2)猜想論證：如圖1，如果四邊形ABCD是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．(3)拓展應用：如圖2，分別以的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知，，求GE長．模型2、378和578模型當我們遇到兩個三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時候，通常不會對它們進行處理，實際是因為我們對于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個邊長為8的等邊三角形。條件：當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時；結(jié)論：①這兩個三角形的面積分別為63、103；②3、8與5、8夾角都是60°。例1．（2023·山東八年級課時練習）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例2．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例3．（2023·綿陽市·八年級專題練習）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC邊上的高．例4．（2023·成都市·八年級專題練習）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，則△ABC的面積為（

）A．24 B．56 C．48 D．112例5．（2023·河北·八年級?？茧A段練習）若△ABC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊長分別為5，2x，3x－5，若這兩個三角形全等，則△DEF的周長為______________，x的值為_______________．例6．（2023·重慶·八年級專題練習）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則△ABC的面積為．課后專項訓練1．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，點E是矩形內(nèi)任意一點，連接，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．2．（2023·河南信陽·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，，則四邊形的面積最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．643、當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，則這兩個三角形的面積之和是．4．（2023·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E點在BC上，若CE＝2，則AE的長等于．5．（2023·河北·八年級專題練習）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則AB為．6．（2023春·湖北·八年級期中）定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，，則圖中的“等垂四邊形”是；如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，，，則邊AB長的最小值為．7．（2023春·湖北鄂州·八年級統(tǒng)考期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線，交于，若，，則．

8．（2023春·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=3，BC=5，則．9．（2023·山東·八年級期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝．10．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．

(1)性質(zhì)探究：如圖1，已知四邊形中，，垂足為，求證：；(2)解決問題：已知，，分別以的邊和向外作等腰和等腰．如圖2，當，連接，求．11．（2023·江西九江·八年級統(tǒng)考期末）模型介紹（1）定義：我們把對角線互相垂直的四邊形稱為垂美四邊形．性質(zhì)：垂美四邊形對邊的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，請結(jié)合圖1證明這個結(jié)論．（2）如圖2，在長方形ABCD中，AB=6，P是AD邊上一點，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的長．12．（2023春·陜西西安·七年級陜西師大附中?？计谀┤鐖D1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(2)性質(zhì)探究：如圖1，試探索垂美四邊形兩組對邊、與、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)問題解決：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，連接，，，已知，，求的值．

13．（2023春·廣西南寧·八年級廣西大學附屬中學?？计谥校┤鐖D，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：在下列四邊形中，正方形；矩形；菱形；平行四邊形．是垂美四邊形的是：______（填寫序號）；(2)性質(zhì)探究：如圖，垂美四邊形中，，垂足為，試猜想：兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，且與相交于點，已知，，求長．

14．（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：我們已經(jīng)學習了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是__________．(2)性質(zhì)探究：如圖2，已知四邊形是垂美四邊形，求證：．(3)問題解決：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，交于點，已知，，求的長．15．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谥校┬∶鲗W習了平行四邊形后，對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣一類特殊的四邊形：兩條對角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形．(1)【理解定義】在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四邊形的是．(2)【探究性質(zhì)】如圖1，在垂美四邊形中，對角線相交于點O，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(3)【綜合運用】如圖2，在中，，分別以為腰向外側(cè)作等腰和等腰，且，連接．①圖中哪個四邊形是垂美四邊形？并證明你的結(jié)論．②求的長（直接寫出答案）．16．（2023春·江蘇·八年級專題練習）閱讀理解：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質(zhì)：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點E．求證：AD2+BC2=AB2+CD2證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形∴AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．拓展探究：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=A