2023年高考數(shù)學(xué)第38講 怎樣解立體幾何中的探索性問題

第38講怎樣解立體幾何中的探索性問題

一、知識概要

1.立體幾何中的探索性問題

立體幾何中的探索性問題主要是以平行、垂直、距離和角為背景的存在判斷型問題，此類問題

的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形等)是否存在或某一結(jié)

論是否成立。“是否存在”的問題的命題形式有兩種：如果存在，找出一個來；如果不存在，需

要說明理由。這類問題常用“肯定順推”的方法，求解此類問題的難點(diǎn)在于涉及的點(diǎn)具有運(yùn)動

性和不確定性。用立體幾何傳統(tǒng)的方法解難度頗大。而空間向量在解決立體幾何的探索性問題

中扮演著舉足輕重的角色，它是研究立體幾何中的探索性問題的一個有力工具，比如通過待定

系數(shù)法求解其存在性問題，思路簡單、解法固定、操作方便。

2.用空間向量解決立體幾何中的探索性問題

用空間向量解決立體幾何中的探索性問題可以按如下的思維導(dǎo)圖進(jìn)行。

二、題型精析

[例1]

如圖3-134所示.在棱長為2的正方體ABC。-。中,E,F,M,N分別是棱

AB,AD,的,A,D,的中點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別在棱DD],網(wǎng)上移動，且DP=BQ=2(0<2<2).

⑴當(dāng)2=1時，求證:直線BCJ/平面EFPQ;

(2)是否存在2，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在，求出A的值;若

不存在，說明理由.

圖3-134

【策略點(diǎn)擊】

本題為“是否存在”的探索性問題.探究二面角且由靜態(tài)向動態(tài)拓展.第(1)問，當(dāng)a=1時，點(diǎn)P,Q分

別是棱。。,B4的中點(diǎn)，這時二面角是靜態(tài)的，由此證明線面垂直.第⑵問，點(diǎn)P,Q在棱

BB]上移動，這時候二面角是動態(tài)的，探究是否可能存在4的值使所求的二面角為直二面

角.由于問題的載體是正方體，雖然是最基本的幾何體，但許多立體幾何知識被包容于正方體之中,

值得研究并向其他幾何體拓展.

【解】

⑴證明：4=1時,分別為DD{,BB,的中點(diǎn)，如圖3-135所示，取B￡的中點(diǎn)G,DXCX的中點(diǎn)

”.依次聯(lián)結(jié)QG,G",〃P,則E,尸,位于同一正方體截面，且連成正六邊形.

GQ為“BBS的中位線,

BCJ/QG,：.直線Bq//平面EFPQ.

圖3-135圖3-136

(2)如圖3—136所示，設(shè)。,0為正方體上、下底面的中心，連接。。1交PQ于點(diǎn)T.

設(shè)MN的中點(diǎn)為S,EF的中點(diǎn)為R，聯(lián)結(jié)TS,TR,SR.

四邊形PQMN與四邊形PQEb均為等腰梯形，

/.ST±PQ,RT±PQ.：.ZRTS是二面角E-PQ-N的平面角.

因此，只需考察/S77?可否為直角.

顯然00]=SR=2,當(dāng)OT=4時,0丁=2-ZAC=2VI，aS=0R=；AC=￥

由勾股定理，得充2=(2-A)2+-!-,77?2=22+-.

22

當(dāng)NSTR=90時，有（2—2）-■!—+[??.-4—]=4,化簡得丸一-24-I—=0,，4=1±—.

L2」I2J22

存在4=1±[，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角.

【例2】

如圖3—137所示，在三棱柱ABC-ABC1中,AA.QC是邊長為4的正方形，平面ABC1平面

A4,C|C,AB=3,BC=5.

⑴求證：的1平面ABC；

（2）求二面角4—BC「4的余弦值；

⑶證明:在線段80上存在點(diǎn)￡>,使得AD14民并求處的值.

BCt

圖3-137

【策略點(diǎn)擊】

本例第（3）問是與“位置關(guān)系”有關(guān)的存在性問題，與垂直有關(guān).通常假定題中的數(shù)學(xué)對象（這里是在

線段8cl上存在，點(diǎn)。）存在.在這個前提下進(jìn)行邏輯推理,若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說

明假設(shè)成立,即存在，并可進(jìn)一步證明;若導(dǎo)出與日知條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果,則識明假設(shè)不

成立，即不存在.

【解】（1）證明:A4CC為正方形,1AC.

-,1平面ABC,平面A41C。,且A%垂直于這兩個平面的交線AC.:.A4,1平面ABC.

（2）由（1）知⑨1AC,AAt1AB.

由題意知A3=3,BC=5,AC=4,/.ABA.AC.

如圖3—138所示，以4為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-?z,

則B（0,3,0）,A（0,0,4）,旦（0,3,4）<（4,0,4）.

y

圖3T38

n^B=O

設(shè)平面ABG的法向量為n=(x,y,z),則

=o

3y-4z=0,

即</c令z=3,則x=0,y=4,.?.拉=（0,4,3）.

4x=0.''

同理可得，平面&BC|的一個法向量為6=（3,4,0）.

COS<^,/7?>=['[}]=—.由題知二面角4-BC]—用為銳角,

\n\\m\25

，二面角A「BC「B的余弦值為—.

15

（3）證明:設(shè)D（x,y,z）是直線BC】上一點(diǎn)，且BD=ABQ，

（x,y—3,z）=A（4,—3,4）,解得x—42,y=3—32,z=4A.

AD=（44,3—34,4%）,由=0,即9—25%=0,解得2=.

opn9

—e[0,l],/.在線段BC】上存在點(diǎn)。，使得A。_LA民此時,——二4=二.

25BC}25

【例3】

(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第16題)如圖3—139所示,在四棱錐尸一ABQ9中,/%j_平面

ABCD,AD±CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3,E為P￡＞的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且

PF_1

~PC=3'

(1)求證:CQ_L平面PA。；

(2)求二面角b-AE-P的平面角的余弦值；

⑶設(shè)點(diǎn)G在m上，且上=2，判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi),并說明理由.

PB3

p

ffi3-139

【策略點(diǎn)擊】

第（1）問，利用線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理證明即可.第（2）問，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)

系，求出平面R4E與平面AEF的法向量,從而利用空間向量的夫角公式求解.第（3）問是探索性問

題，判斷直線AG是否在平面AE尸內(nèi).要證明直線在平面內(nèi)，可以根據(jù)平面向量基本定理,只需證

明AG可以用AE,AF表示；可以證明AG垂直于平面AEF的法向量,即證明AG的方向向量

與平面AEF的法向量的數(shù)量積為零.

【解】

⑴證明:P4_L平面ABCD,CD在平面ABCD內(nèi)，故PA18.

又CD_LAQ,Rc=A,二CD±平面PAD.

（2）過點(diǎn)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M,

PA±平面ABCD,PA±AM,PA±AD.

如圖3-140所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z，則

A（O,0,0）,B（2,-1,0）,C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）P（0,0,2）.

圖3-140

E為尸￡>的中點(diǎn),...E(0,l,l),,A￡=(0,l』),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2)

22121,4/=人？+2/=1],^，3)設(shè)平面4￡'尸的法向量為

PF=-PC=

33933

y+z=0

n-AE=O,

n=(x,y,2),則<224c

n-AF=O,—x+—y+—z=0.

1333

令z=1,則y=-l,x=-1,于是有M=(-1,—1,1).

又.平面PA力的法向量為P=(1,0,0),.“05<”,0>=匕4=

易知二面角尸一AH—尸的平面角為銳角，，其余弦值為

3

(3)直線AG在平面AEF內(nèi).

【證法一】點(diǎn)G在P3上，且"=Z,PB=(2,-1,—2),

PB3''

24_2：4,AG…PG=冷|

PG=—PB=3，-3

33

由(2)知平面AEF的法向量〃=(一1,—1,1).

422

AG-h=----1--1—=0.直線AG在平面AEF內(nèi).

333

【證法二】：二?點(diǎn)G在尸3上，且一￡=一，P3=(2,-1,一2),

PB3')

:.PG=ZpB=4_2g4),AG=4尸+尸6=([,—|,|)令46=/14￡+〃4尸，則有

3，-3

33

1-1,|U(O,l,l)z±2241

+/解得2=_2,〃=2.

AG=-2AE+2AF,又點(diǎn)A在平面AEF內(nèi).故直線AG在平面AEF內(nèi).

方法提煉

立體幾何中的探索性問題主要有以下4類題型.

1條件追溯型

條件追湖型問題鉆對一個結(jié)論，條件末知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷.此類問題

的求解難點(diǎn)是如何應(yīng)用“執(zhí)果索因''，在"執(zhí)果索因''的過程中，由于結(jié)論明確,需要求出使得結(jié)論成

立的充分條件.

2條件重組型

條件重組型問題的基本特征是,給出了一些相關(guān)命題，但需對這些命題進(jìn)行重新組合，構(gòu)成新的復(fù)

合命題去判斷命題的真假.

3存在判斷型

存在判斷型問題由于具有較高的新穎性,開放性、探索性和創(chuàng)造性，故已成為高考命題的一個熱點(diǎn),

在本講知識概要中已有介紹，這里不再重復(fù)，需要進(jìn)一步說明的是存在判斷婿問題有以下兩類題：

⑴與“位置關(guān)系”有關(guān)的存在性問題；

(2)與“夾角”有關(guān)的存在性問題.

4結(jié)論探索型

結(jié)論探索型問題的基本特征是:給出一定條件與設(shè)計方案,判斷設(shè)計的方案是否符合條件要求，解

決此類問題的難點(diǎn)是“閱讀理解''和"整體設(shè)計''兩個環(huán)節(jié)，因此，應(yīng)做到審得仔細(xì)，找得有法,推得有

理整合過程無可辯駁.

總之，對于探索性問題，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若

有解且滿足題意，則存在;若有解旦不滿足題意或無解則不存在.

三、易錯警示

【例】

如圖3-141所示，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面底面A3CD,側(cè)棱PA=PD=6版

面ABCD為直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,。為中點(diǎn).

(1)求證:P。，平面A8CO；

(2)求異面直線尸3與CD所成角的大?。?/p>

(3)線段AD上是否存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為冷？若存在，求出的值;若不存在,

說明理由.

B

圖3-141

【錯解】

本題的解答常會出現(xiàn)如下錯誤：

(1)面面垂直的性質(zhì)定理不熟悉，條件不能夠?qū)懲暾?

(2)要“先證后算”，然而沒有去證明/PBO即為所求角.

PBCD

(3)向量夾角公式應(yīng)用有誤，如出現(xiàn)cos<P3,CO>=—n—.

尸制CO

(4)線線角是銳角，計算出cos<PB,CD>=--后卻常會寫成力-arccos逅或

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arccos---的形式而與基本概念相矛盾.

【評析及正解】

對于上面易發(fā)生的錯誤(1),面面垂直的性質(zhì)定理是:兩個乎面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直

線與另一個平面垂直.本小題的條件是側(cè)面底面且平面R4O與平面ABCQ的

交線是AQ.要證明的是POLAZ).且P0在平面尸內(nèi)，才能證得P。，平面ABC0.對于(2),

從立體幾何角度講，空間角的計算總是轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)角的計算末宋施的，求異而直線所成角通常

用平移的方法.如何平移，是單移還是雙移，都要論證清楚.兩異面直線所成角的范圍是(0,六，而

轉(zhuǎn)化為平面角后解三角形可能出現(xiàn)鈍角，則必須求其補(bǔ)角.對于(3)用向量法求線線角，必須注意兩

向量夾角的范圍是［0,萬上異面直線所成角的范圍如上所述，兩個概念是有差異的,空間向量的夾

角不一定等于所求的空間角，但它們具有一定的關(guān)系,如若兩條直線4,，2的方向向量4,4的夾

角為a，則/,與12所成的角?？赡艿扔赼，也可能等于7c-a.進(jìn)一步謔，直線與平面所成角的范圍

7T

是0,-，若用向量法求直線與平面所成的角，設(shè)直線/的方向向量為加，平面a的法向量為〃，

_2.

,,\m-ri\

直線與平面所成角為仇則sin。=cos<m,n>\=.則直線與平面所成的角可能等于

\m\\n\

2-a,也可能等于a-工.所以，解立體幾何題目，對相關(guān)數(shù)學(xué)概念一定要有清晰的認(rèn)伏，嚴(yán)格防止

22

出現(xiàn)種種錯解.

正確的解法如下：

【解法一】

⑴在中,PA=O為AD中點(diǎn),P。_L.

又側(cè)面尸J_底面ABC。,平面平面A8CQ=AQPOu平面PAD,

..POJ?平面A3co.

⑵聯(lián)結(jié)B。,在直角梯形A3C￡)中,BC//AD,AD=2AB=2BC.

有ODHBCnOD=BC,:.四邊形OBCD是平行四邊形,；.OB11DC,

由(1)知,POJLOB,ZPBO為銳角，

NPBO是異面直線P3與CD所成的角.

-.AD=2AB=2BC=2,

在Rt.AOB中,AB=1,AO=1,.-.OB=5

在RtcPO4中，AP=y/2,AO=l,:.OP=1.

PQiFy/n

在Rl尸5。中，tan/尸8。=——=—j==——,PBO=arctan—.

BO收22

異面直線m與CD所成的角是arctanY2.

2

(3)假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為由.

設(shè)QD=x，則S0c0=由(2)得8=03=

在RLPOC中,PC=y/0C2+0P2=&，

PC=CD=DP,SPCD=/x(夜)2=￥.

由“s=V得;x)xxl=；x￥x￥，解得x=|<2.

-e?存在點(diǎn)Q滿足題意，此時—.

【解法二】

(1)同解法一.

⑵如圖3—142所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,OD,OP的方向分別為x軸y軸,z軸的正方向，建

立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

依題意，易得A（0,-1,0）,5（1,-1,0）,C（l,0,0）,。（0,1,0）,尸（0,0,1）.

PBDD_-1+(-1)__V6

cos<PB,CD>=

網(wǎng)回73x723

異面直線/也與CO所成角是arccos—

3

（3）假設(shè)存在點(diǎn)。，使得它到平面尸CQ的距離為三.

由（2）知"=（一1,0,1）,8=（-1,1,0），設(shè)平面尸CD的法向量為〃=&，x，zj則

n-CP=0,[-%+Z]=0,

即％=必=4,取玉=1,得平面PCD的一個法向量為

n-CD=0.一X|+Z]=0.

〃=(1,1,1).

設(shè)0(0,y⑼(一掇6l)ce=(-l,y,o).i

由理得中=走

，解得尸一；或y=|（舍去）.

n2J32

此時［4。|=；,也必=：,...存在點(diǎn)。滿足題意此時器=；

四、難題攻略

【例】

有4條長為2的線段和2條長為a的線段，用這6條線段作為棱，構(gòu)成一個三棱錐.問:。為何值時,

可構(gòu)成一個最大體積的三棱雉