電工電子技術(shù)及應(yīng)用 課件 第二章 正弦交流電路

2.1正弦交流電的基本概念2.2正弦交流電的相量表示法2.3單一參數(shù)的正弦交流電路2.4串聯(lián)交流電路2.5交流電路的功率2.6電路的功率因數(shù)2.7電路中的諧振2.8三相交流電路2.1正弦交流電的基本概念交流電路，所謂交流，是指電壓和電流的大小、方向均隨時間作周期性的變化，圖２．１（ｂ）、圖２．１（ｃ）、圖２．１（ｄ）所示為幾種常見的交流信號。交流在人們的生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用。常用的交流電是正弦交流電，即電壓和電流的大小、方向按正弦規(guī)律變化，如圖２．１（ｂ）所示。正弦交流電是目前供電和用電的主要形式。

正弦交流電包括正弦電壓和正弦電流，以電流為例，其波形如圖２．１．１所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中：ｉ為電流的瞬時值，Ｉｍ為電流的最大值或幅值，ω為角頻率，Ψｉ為初相位或初相角。只要最大值、角頻率和初相位一定，則正弦交流電與時間的函數(shù)關(guān)系也就確定了，所以將這三個量稱為正弦交流電的三要素。分析正弦交流電時也應(yīng)從以下三個方面進(jìn)行。1.2.1交流電的周期、頻率和角頻率

正弦量交變一次所需要的時間稱為周期Ｔ，單位為ｓ（秒）。每秒內(nèi)完成的周期數(shù)稱為頻率ｆ，單位是Ｈｚ（赫茲）。所以Ｔ與ｆ是互為倒數(shù)的關(guān)系，即每秒內(nèi)完成的弧度數(shù)稱為角頻率ω，單位為ｒａｄ／ｓ（弧度每秒）。一個周期內(nèi)經(jīng)歷的弧度是２π，所以角頻率與周期、頻率的關(guān)系為

在我國和大多數(shù)國家都采用５０Ｈｚ作為電力標(biāo)準(zhǔn)頻率，有些國家（如美國、日本等）采用６０Ｈｚ。這種頻率在工業(yè)上應(yīng)用廣泛，習(xí)慣上也稱為工頻。除工頻外，某些領(lǐng)域還需要采用其他的頻率，如無線電通信的頻率為３０ｋＨｚ～３×１０４ＭＨｚ，有線通信的頻率為３００～５０００Ｈｚ等。２．１．２交流電的瞬時值、最大值和有效值正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時值，用小寫字母表示，如ｉ、ｕ和ｅ分別表示瞬時電流、瞬時電壓和瞬時電動勢。最大的瞬時值稱為最大值或幅值，用帶下標(biāo)ｍ的大寫字母來表示，如Ｉｍ、Ｕｍ和Ｅｍ分別表示電流、電壓和電動勢的幅值。正弦電流、電壓和電動勢的大小往往不是用它們的幅值來計量，而是用有效值來計量。有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)規(guī)定的，定義為：如果一個交流電流ｉ和一個直流電流Ｉ在相等的時間內(nèi)通過同一個電阻而產(chǎn)生的熱量相等，那么這個交流電流ｉ的有效值在數(shù)值上就等于這個直流電流Ｉ。設(shè)有一電阻Ｒ，通以交變電流ｉ，在一周期Ｔ內(nèi)產(chǎn)生的熱量為同是該電阻Ｒ，通以直流電流Ｉ，在時間Ｔ內(nèi)產(chǎn)生的熱量為根據(jù)上述定義，熱效應(yīng)相等的條件為Ｑａｃ＝Ｑｄｃ，即由此可得出交流電流的有效值為即交流電流的有效值等于瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值的開方，故有效值又稱為均方根值。有效值的定義適用于任何周期性變化的量，但不能用于非周期量。假設(shè)這個交流電流為正弦量則因為所以式（２．１．７）給出的就是交流電流的有效值與最大值的關(guān)系。同理，正弦交流電壓和電動勢的有效值與它們的最大值的關(guān)系為有效值都用大寫字母表示（和表示直流的字母一樣）。式（２．１．７）和式（２．１．８）中的Ｉ、Ｕ和Ｅ分別表示交流電流、交流電壓和交流電動勢的有效值。一般所講的正弦電壓或正弦電流的大小，如交流電壓３８０Ｖ或２２０Ｖ、電器設(shè)備的額定值等，都是指它的有效值。一般交流電表的刻度數(shù)值也是指它們的有效值。２．１．３交流電的相位、初相位和相位差交流電在不同的時刻ｔ具有不同的（ωｔ＋Ψ）值，交流電也就變化到不同的位置。所以（ωｔ＋Ψ）代表了交流電的變化進(jìn)程，因此稱（ωｔ＋Ψ）為在不同的時刻ｔ的相位或相位角。ｔ＝０時的相位稱為初相位或初相位角Ψ。顯然，初相位與所選時間的起點有關(guān)，正弦量所選的計時起點不同，正弦量的初相位就不同，其初始值也就不同。原則上，計時起點是可以任意選擇的，不過，在進(jìn)行交流電路的分析和計算時，同一個電路中所有的電流、電壓和電動勢只能有一個共同的計時起點。因而只能任選其中某一個的初相位為零的瞬間作為計時起點。這個初相位被選為零的正弦量稱為參考量，這時其他各量的初相位就不一定等于零了。任何兩個同頻率正弦量的相位角之差稱為相位差，用φ表示。例如：它們的相位差為可見，相位差也等于初相位之差。相位差與時間無關(guān)。因為ｕ和ｉ的初相位不同，所以它們的變化步調(diào)不一致，即不是同時到達(dá)正的幅值或零值。那么它們在相位上的關(guān)系有常見的四種，如圖２．１．２所示。２．２正弦交流電的相量表示法相量表示法的基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)，也就是用復(fù)數(shù)來表示正弦量，這樣可以把復(fù)雜的三角運(yùn)算簡化成簡單的復(fù)數(shù)形式的代數(shù)運(yùn)算。２．２．１矢量的復(fù)數(shù)形式及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則１．復(fù)數(shù)的四種形式及相互轉(zhuǎn)換復(fù)平面中的任一矢量都可以用復(fù)數(shù)來表示，如圖２．２．１所示，該直角坐標(biāo)的橫軸為±１，稱為實軸，縱軸為±ｊ，稱為虛軸，ｊ＝－１，稱為虛數(shù)單位，在數(shù)學(xué)中用ｉ表示虛數(shù)，而在電工學(xué)里，為了與電流瞬時值的符號相區(qū)別，改用ｊ來表示。設(shè)一矢量Ａ，在實軸上的投影長度為ａ，稱為復(fù)數(shù)的實部，在縱軸上的投影長度為ｂ，稱為復(fù)數(shù)的虛部，長度ｃ稱為復(fù)數(shù)的模，它與正實軸之間的夾角Ψ稱為復(fù)數(shù)的輻角。它們之間的關(guān)系為所以式（２．２．２）稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。將式（２．２．１）代入式（２．２．２），得式（２．２．３）稱為復(fù)數(shù)的三角形式。由數(shù)學(xué)中的歐拉公式：得出則ｊ既是一個虛數(shù)單位，同時又是一個９０°旋轉(zhuǎn)因子。任何相量與ｊ相乘意味著該相量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了９０°，與（－ｊ）相乘意味著該相量按順時針方向旋轉(zhuǎn)了９０°。根據(jù)式（２．２．５），可將式（２．２．３）寫成或簡寫成式（２．２．６）為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。式（２．２．７）為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式。２．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)兩個復(fù)數(shù)分別為則或或小結(jié)：復(fù)數(shù)的這四種形式可以相互轉(zhuǎn)換。復(fù)數(shù)在進(jìn)行加減運(yùn)算時，應(yīng)采用代數(shù)形式或三角形式，實部與實部相加減，虛部與虛部相加減；在進(jìn)行乘除運(yùn)算時，應(yīng)采用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式，模與模相乘除，輻角與輻角相加減。２．２．２旋轉(zhuǎn)矢量和正弦量之間的關(guān)系設(shè)有一正弦電流ｉ＝Ｉｍｓｉｎ（ωｔ＋Ψｉ），其復(fù)平面中的旋轉(zhuǎn)矢量如圖２．２．２（ａ）所示，其波形圖如圖２．２．２（ｂ）所示。圖２．２．２（ａ）中，右邊是一旋轉(zhuǎn)有向線段Ａ，在復(fù)平面中，有向線段ＯＡ的長度ｃ等于正弦量的幅值Ｉｍ，它的初始位置與實軸正方向的夾角等于正弦量的初相位Ψ，則矢量在虛軸上的投影為ｂ＝ｃｓｉｎΨ。當(dāng)這個矢量以ｃ為半徑，以正弦量的角頻率ω作為角速度在復(fù)平面內(nèi)作逆時針方向的勻速旋轉(zhuǎn)時，任意時刻這個旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸上的投影為ｂ＝ｃｓｉｎ（ωｔ＋Ψ）?？梢姡@一旋轉(zhuǎn)有向線段具有正弦量的三個特征，與正弦量的表達(dá)式有著相同的形式，故可用來表示正弦量。正弦量在任意時刻的瞬時值就可以用這個旋轉(zhuǎn)有向線段任意瞬間在縱軸上的投影表示出來。例如：２．２．３相量及相量圖以上分析說明，正弦量可以用旋轉(zhuǎn)有向線段來表示，而有向線段可用復(fù)數(shù)來表示，所以正弦量也可用復(fù)數(shù)來表示。用以表示正弦量的矢量或復(fù)數(shù)稱為相量。復(fù)數(shù)的模即為正弦量的幅值或有效值，復(fù)數(shù)的輻角即為正弦量的初相位。模長等于最大值的相量稱為最大值相量，模長等于有效值的相量稱為有效值相量。那么，既然相量就是復(fù)數(shù)，因而相量也有四種形式。由于相量是用來表示正弦量的復(fù)數(shù)，為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，在相量的字母頂部打上“·”。例如表示正弦電壓ｕ＝Ｕｍｓｉｎ（ωｔ＋Ψｕ）的相量為或其中：稱為電壓的最大值相量，稱為電壓的有效值相量。最大值相量與有效值相量之間的關(guān)系為同頻率的若干相量畫在同一個復(fù)平面上構(gòu)成了相量圖。在相量圖上能清晰地看出各正弦量的大小和相位關(guān)系。最后還要注意以下幾點：（１）相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。例如相量是個復(fù)數(shù)，而正弦量是個時間函數(shù)。相量只是正弦量進(jìn)行運(yùn)算時的一種表示方法和主要工具。（２）只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。（３）只有同頻率的正弦量才能進(jìn)行相量運(yùn)算，才能畫在同一個相量圖上進(jìn)行比較。例２．２．２寫出下列正弦量的有效值相量形式，要求用代數(shù)形式表示，并畫出相量圖。２．３單一參數(shù)的正弦交流電路２．３．１純電阻電路１．電壓和電流的關(guān)系圖２．３．１（ａ）所示為一個線性電阻元件的交流電路，電壓和電流的參考方向如圖中所示。兩者的關(guān)系由歐姆定律確定，即為了分析方便，選電流為參考量，也就是令電流的初相位為零，即則比較式（２．３．１）和式（２．３．２），不難看出ｉ和ｕ有如下關(guān)系：（１）ｕ和ｉ是同頻率的正弦量。（２）ｕ和ｉ相位相同。（３）ｕ和ｉ的最大值之間和有效值之間的關(guān)系為式中：Ｒ為電阻，單位為Ω。（４）ｕ和ｉ的最大值相量之間和有效值相量之間的關(guān)系分別為可見，在純電阻電路中，各種形式均符合歐姆定律。波形圖和相量圖分別如圖２．３．１（ｂ）、圖２．３．１（ｃ）所示。２．功率１）瞬時功率在任意瞬間，電壓瞬時值ｕ與電流瞬時值ｉ的乘積，稱為瞬時功率，用小寫字母ｐ表示。由上式可見，ｐ是由兩部分組成的，第一部分是常數(shù)ＵＩ，第二部分是幅值為ＵＩ，角頻率為２ω的正弦量，ｐ隨時間變化的波形如圖２．３．１（ｄ）所示。由圖２．３．１（ｄ）可以看出，ｐ≥０，這也正是因為交流電路中電阻元件的ｕ和ｉ同相位，即同正同負(fù)，所以ｐ總為正值。ｐ為正，表示外電路消耗能量。在這里表示電阻元件將電能轉(zhuǎn)換為熱能，說明電阻是一個耗能元件。２）平均功率一個周期內(nèi)電路消耗電能的平均值，即瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值，稱為平均功率，也叫有功功率，用大寫字母Ｐ表示。平均功率的波形圖如圖２．３．１（ｄ）所示。２．３．２純電感電路１．電壓和電流的關(guān)系圖２．３．３（ａ）是一個線性電感元件的交流電路，電壓和電流的參考方向如圖中所示。為了分析方便，選電流為參考量，即則比較式（２．３．７）和式（２．３．８），不難看出ｉ和ｕ有如下關(guān)系：（１）ｕ和ｉ是同頻率的正弦量。（２）ｕ在相位上超前ｉ９０°。（３）ｕ和ｉ的最大值之間和有效值之間的關(guān)系分別為式中，ＸＬ為感抗，ＸＬ＝ωＬ＝２πｆＬ，單位為Ω。電壓一定時，ＸＬ越大，則電流越小，所以ＸＬ是表示電感對電流阻礙作用大小的物理量。ＸＬ的大小與Ｌ和ｆ成正比，Ｌ越大，ｆ越高，ＸＬ就越大。在直流電路中，由于ｆ＝０，ＸＬ＝０，所以電感可視為短路，故電感有短直的作用。（４）ｕ和ｉ的最大值相量之間和有效值相量之間的關(guān)系分別為波形圖和相量圖分別如圖２．３．３（ｂ）、圖２．３．３（ｃ）所示。２．功率１）瞬時功率電感的瞬時功率為波形圖如圖２．３．３（ｄ）所示。由圖可知，瞬時功率ｐ有正有負(fù)，ｐ＞０時，ｉ在增加，這時電感中儲存的磁場能在增加，電感將電能轉(zhuǎn)換成磁場能；ｐ＜０時，ｉ在減小，這時電感中儲存的磁場能轉(zhuǎn)換成電能送回電源。電感的瞬時功率的這一特點說明了以下兩點：（１）電感不消耗電能，它是一種儲能元件。（２）電感與電源之間有能量的互換。２）平均功率從平均功率（有功功率）為零這一特點也可以看出，電感是一儲能元件而不是耗能元件。３）無功功率剛才提到了電感和電源之間有能量的互換，這個互換功率的大小通常用瞬時功率的最大值來衡量。由于這部分功率并沒有被消耗掉，所以稱為無功功率，用Ｑ表示，為與有功功率區(qū)別，Ｑ的單位用ｖａｒ（乏）表示。根據(jù)定義，電感的無功功率為２．３．３純電容電路１．電壓和電流的關(guān)系圖２．３．５（ａ）是一個線性電容元件的交流電路，電壓和電流的參考方向如圖中所示。為了分析方便，選電壓為參考量，即則比較式（２．３．１４）和式（２．３．１５），不難看出ｉ和ｕ有如下關(guān)系：（１）ｕ和ｉ是同頻率的正弦量。（２）ｕ在相位上滯后ｉ９０°。（３）ｕ和ｉ的最大值之間和有效值之間的關(guān)系分別為式中：ＸＣ為容抗，單位為Ω。電壓一定時，ＸＣ越大，則電流越小，所以ＸＣ是表示電容對電流阻礙作用大小的物理量。ＸＣ的大小與Ｃ和ｆ成反比，Ｃ越大，ｆ越高，ＸＣ就越小。在直流電路中，由于ｆ＝０，ＸＣ→∞，所以電容可視為開路，所以電容有隔直的作用。（４）ｕ和ｉ的最大值相量之間和有效值相量之間的關(guān)系分別為波形圖和相量圖分別如圖２．３．５（ｂ）、圖２．３．５（ｃ）所示。２．功率１）瞬時功率電容的瞬時功率波形圖如圖２．３．５（ｄ）所示。由圖可知，瞬時功率ｐ有正有負(fù)，ｐ＞０時，ｕ在增加，這時電容在充電，電容將電能轉(zhuǎn)換成電場能；ｐ＜０時，ｕ在減小，這時電容在放電，電容中儲存的電場能又轉(zhuǎn)換成電能送回電源。電容的瞬時功率的這一特點說明了以下兩點：（１）電容不消耗電能，它是一種儲能元件。（２）電容與電源之間有能量的互換。２）平均功率從平均功率（有功功率）為零這一特點也可以得出電容是一儲能元件而非耗能元件的結(jié)論。３）無功功率根據(jù)無功功率的定義，電容的無功功率為例２．３．３如圖２．３．５（ａ）所示，已知流過電容的電流ｉ＝５ｓｉｎ（１０６ｔ＋１５°）（Ａ），Ｃ＝０．２μＦ，求電容兩端的電壓ｕ，并畫相量圖。小結(jié)：（１）ＸＣ、ＸＬ與Ｒ一樣，有阻礙電流的作用。（２）單一參數(shù)的正弦交流電路適用歐姆定律，ＸＣ、ＸＬ等于相應(yīng)的電壓、電流有效值之比。（３）ＸＬ與ｆ成正比，ＸＣ與ｆ成反比，Ｒ與ｆ無關(guān)。（４）對直流電ｆ＝０，ＸＬ＝０，Ｌ可視為短路；ＸＣ＝０，Ｃ可視為開路。（５）對交流電，ｆ愈高，ＸＬ愈大，ＸＣ愈小。三種電路的對應(yīng)關(guān)系如表２．３．１所示。2.4串聯(lián)交流電路２．４．１ＲＬＣ串聯(lián)電路圖２．４．１（ａ）為電阻、電感和電容元件串聯(lián)的交流電路。圖２．４．１（ｂ）為該電路的相量模型，即圖中各參數(shù)都用相量的形式標(biāo)出。在分析交流電路的時候通常是在相量模型上進(jìn)行分析及計算的。１．電壓和電流的關(guān)系電路中各元件通過同一電流，電流與各個電壓的參考方向如圖２．４．１所示。根據(jù)基爾霍夫電壓定律可用相量形式列出電壓方程，即因為所以其中：Ｘ為電抗，單位為Ω，Ｘ＝ＸＬ－ＸＣ。在第２．３節(jié)中分別討論了純電阻、純電感和純電容交流電路的電壓和電流的關(guān)系，那么可以在同一個相量圖上畫出各元件的電壓和總電壓之間的關(guān)系，因為是串聯(lián)電路，各元件上的電流一樣，因此選擇電流為參考相量比較方便，即假設(shè)電流的初相位為０，圖２．４．２所示為電壓相量圖，可見，構(gòu)成了一個直角三角形，稱為“電壓三角形”，利用這個電壓三角形，可求得電壓的有效值，即由相量圖不難看出，總電壓是各部分電壓的相量和而不是代數(shù)和，因此交流電路中總電壓的有效值可能會小于電容或電感電壓的有效值，總電壓小于某部分電壓，這在直流電路中是不可能出現(xiàn)的。２．阻抗、阻抗模、阻抗角式（２．４．１）類似于歐姆定律的形式，因此令式中：Ｚ為阻抗，單位為Ω?？梢娮杩沟膶嵅繛椤白琛?，虛部為“抗”，阻抗也是一個復(fù)數(shù)。因此可用極坐標(biāo)的形式寫成其中式（２．４．３）中，Ｚ稱為阻抗模，單位為Ω，它也具有對電流起阻礙作用的性質(zhì)。式（２．４．４）中，φ稱為阻抗角。很顯然，Ｚ、Ｒ和Ｘ是一直角三角形的三條邊，Ｒ是Ｚ的實部，Ｘ是Ｚ的虛部，這個三角形稱為“阻抗三角形”，如圖２．４．３所示。又因為所以阻抗模和阻抗角又可以分別寫為式（２．４．５）和式（２．４．６）表明：阻抗既反映了電路中電壓和電流的大小關(guān)系，也反映了電壓和電流的相位關(guān)系。阻抗為電壓和電流的相量的比值，阻抗模為電壓和電流的有效值的比值，阻抗角為電壓和電流的相位差。３．電路的性質(zhì)從式（２．４．６）可看出，φ角的大小是由電路（負(fù)載）的參數(shù)決定的。即φ角的大小由Ｒ、Ｌ和Ｃ決定。隨著電路參數(shù)的不同，電壓ｕ與電流ｉ之間的相位差φ也不同，即阻抗角也不同。根據(jù)電壓電流的相位關(guān)系，可將電路分為以下三種情況：（１）如果０＜φ＜９０°，即ＸＬ＞ＸＣ，則在相位上電壓超前電流φ角，電路的性質(zhì)介于純電阻和純電感之間，這種電路稱為電感性電路。（２）如果－９０°＜φ＜０，即ＸＬ＜ＸＣ，則在相位上電壓滯后電流φ角，電路的性質(zhì)介于純電阻與純電容之間，這種電路稱為電容性電路。（３）如果φ＝０°，即ＸＬ＝ＸＣ，則電壓與電流同相位，這種電路稱為電阻性電路。這種特殊現(xiàn)象稱為諧振。２．４．２阻抗串聯(lián)電路圖２．４．５是兩個阻抗串聯(lián)的電路，根據(jù)圖中圖２．４．５兩個阻抗串聯(lián)的參考方向，可列出電壓方程為等效阻抗為２．４．３阻抗并聯(lián)電路圖２．４．６為兩個阻抗并聯(lián)的電路，根據(jù)圖中的參考方向，可列出電流方程為等效阻抗為2.5交流電路的功率在單一參數(shù)交流電路里，分別討論了電阻電路、電感電路和電容電路的瞬時功率、有功功率和無功功率的情況。那么當(dāng)電路中同時含有電阻元件和儲能元件時，電路的功率既包含電阻元件消耗的功率，又包含儲能元件與電源交換的功率。那么對于這種一般的交流電路來說，它的有功功率和無功功率與電壓電流之間有什么關(guān)系呢？對于一般的交流電路，在此寫出它的瞬時電壓和瞬時電流的一般通式，即設(shè)因為相位差為所以瞬時電流可寫為則瞬時功率為有功功率為式（２．５．２）就是一般的交流電路中有功功率的通式，它是根據(jù)定義從公式推出來的。還可以從相量圖上推出這個式子，如圖２．５．１所示。在單一參數(shù)交流電路的分析中，當(dāng)電流與電壓同相時，電路為純電阻電路，只消耗有功功率，沒有無功功率，這時電路中的電流是用來傳遞有功功率的；當(dāng)電流與電壓的相位差９０°時，電路為純電感電路或純電容電路，只有無功功率，沒有有功功率，這時電路中的電流是用來傳遞無功功率的。在一般的交流電路中，電流與電壓的相位差φ既不為０°，也不為９０°，這時可將，將

分解成兩個分量，其中與同相的分量是用來傳遞有功功率的，稱為電流的有功分量；與相位相差９０°的分量是用來傳遞無功功率的，稱為電流的無功分量。它們與電流Ｉ之間的關(guān)系為因此可以得出有功功率和無功功率的一般通式為電壓與電流有效值的乘積定義為視在功率，用Ｓ表示，單位為Ｖ·Ａ（伏安），即在直流電路里，ＵＩ就等于負(fù)載消耗的功率。而在交流電路中，負(fù)載消耗的功率為ＵＩｃｏｓφ，所以ＵＩ一般不代表實際消耗的功率，除非ｃｏｓφ＝１。視在功率用來說明一個電氣設(shè)備的容量。由式（２．５．２）～式（２．５．４）可以得出三種功率間的關(guān)系為Ｐ、Ｑ、Ｓ三者之間符合直角三角形的關(guān)系，如圖２．５．２所示，這個三角形稱為功率三角形。不難看出，電壓三角形、阻抗三角形和功率三角形是三個相似三角形。在接有負(fù)載的電路中，不論電路的結(jié)構(gòu)如何，電路總功率與局部功率的關(guān)系如下：（１）總的有功功率等于各部分有功功率的算術(shù)和。因為有功功率是實際消耗的功率，所以電路中的有功功率總為正值，并且總的有功功率就等于電阻元件的有功功率的算術(shù)和，即（２）在同一電路中，電感的無功功率為正，電容的無功功率為負(fù)。因此，電路總的無功功率等于各部分的無功功率的代數(shù)和，即（３）視在功率是功率三角形的斜邊，所以一般情況下總的視在功率不等于各部分視在功率的代數(shù)和，即Ｓ≠∑Ｓｉ，只能用公式進(jìn)行計算。2.6電路的功率因數(shù)在交流電路中，有功功率與視在功率的比值稱為電路的功率因數(shù)，用λ表示，即因而電壓與電流的相位差φ也就是阻抗角也被稱為功率因數(shù)角。同樣它是由電路的參數(shù)決定的。在純電阻電路中，Ｐ＝Ｓ，Ｑ＝０，λ＝１，功率因數(shù)最高。在純電感和純電容電路中，Ｐ＝０，Ｑ＝Ｓ，λ＝０，功率因數(shù)最低。可見，只有在純電阻的情況下，電壓和電流才同相，功率因數(shù)為１，對其他負(fù)載來說，功率因數(shù)都是介于０和１之間，只要功率因數(shù)不等于１，就說明電路中發(fā)生了能量的互換，出現(xiàn)了無功功率Ｑ。因此功率因數(shù)是一項重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，它反映了用電質(zhì)量，從充分利用電器設(shè)備的觀點來看，應(yīng)盡量使λ提高。１．功率因數(shù)低帶來的影響１）發(fā)電設(shè)備的容量不能充分利用容量ＳＮ一定的供電設(shè)備能夠輸出的有功功率為若ｃｏｓφ太低了，Ｐ則太小，設(shè)備的利用率也就太低了。２）增加線路和供電設(shè)備的功率損耗負(fù)載從電源取用的電流為因為線路的功率損耗為

，與

成正比，所以在Ｐ和Ｕ一定的情況下，ｃｏｓφ越低，就越大，供電設(shè)備和輸電線路的功率損耗都會增多。２．功率因數(shù)低的原因目前的各種用電設(shè)備中，電感性負(fù)載居多。并且很多負(fù)載如日光燈、工頻爐等本身的功率因數(shù)也很低。電感性負(fù)載的功率因數(shù)之所以小于１，是因為負(fù)載本身需要一定的無功功率，從技術(shù)經(jīng)濟(jì)觀點出發(fā)，要解決這個矛盾，實際上就是要解決如何減少電源與負(fù)載之間能量互換的問題。３．提高功率因數(shù)的方法提高功率因數(shù)，常用的方法就是在電感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容。以日光燈為例來說明并聯(lián)電容前后整個電路的工作情況，電路圖和相量圖如圖２．６．１所示。１）并聯(lián)電容前（１）電路的總電流為（２）電路的功率因數(shù)就是負(fù)載的功率因數(shù)，即（３）有功功率為２）并聯(lián)電容后（１）電路的總電流為（２）電路中總的功率因數(shù)為ｃｏｓφ。（３）有功功率從相量圖上不難看出，φ＜φ１，所以ｃｏｓφ＞ｃｏｓφ１，功率因數(shù)得到了提高，只要Ｃ值選得恰當(dāng)，便可將電路的功率因數(shù)提高到希望的數(shù)值。從公式中可以看出，并聯(lián)電容后，負(fù)載的電流沒有變，負(fù)載本身的功率因數(shù)ｃｏｓφ１沒有變，因為負(fù)載的參數(shù)都沒有變，提高功率因數(shù)不是提高負(fù)載的功率因數(shù)，而是提高了整個電路的功率因數(shù)，這樣對電網(wǎng)而言提高了利用率。因為有功功率就是負(fù)載消耗的功率，即電阻消耗的功率，因為電感和電容的有功功率都為０，電阻上的電流不變，所以并聯(lián)電容前后的有功功率沒有變。要想將功率因數(shù)提高到希望的數(shù)值，應(yīng)該并聯(lián)多大的電容呢？如圖２．６．１（ｂ）所示，在相量圖上可以求出即又因為所以2.7電路中的諧振在含有電感、電容和電阻的電路中，如果等效電路中的感抗作用和容抗作用相互抵消，使整個電路呈電阻性，這種現(xiàn)象稱為諧振。根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)有串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振兩種情況。２．７．１串聯(lián)諧振１．串聯(lián)諧振的條件圖２．７．１為ＲＬＣ串聯(lián)電路及諧振時的相量圖。電路的阻抗要使電路呈電阻性，阻抗的虛部應(yīng)為零，故得串聯(lián)諧振的條件為由此得諧振頻率為式中：稱為電路的固有頻率，它取決于電路參數(shù)Ｌ和Ｃ，是電路的一種固有屬性。當(dāng)電源的頻率等于固有頻率時，ＲＬＣ串聯(lián)電路就產(chǎn)生諧振。若電源的頻率是固定的，那么調(diào)整Ｌ或Ｃ的數(shù)值，使電路固有頻率等于電源頻率，也會產(chǎn)生諧振。２．串聯(lián)諧振的特征（１）串聯(lián)諧振時電路的阻抗模最小，此時：所以，若電源電壓Ｕ為定值，諧振時電流最大。（２）電壓與電流同相，電路的ｃｏｓφ＝１。（３）

即電路電感和電容元件的電壓大于總電壓，可從圖２．７．１（ｂ）中看出。如果電壓過高，可能會擊穿線圈和電容器的絕緣。因此，在電力工程中一般應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振。但在無線電工程中則常利用串聯(lián)諧振以獲得較高電壓，電容或電感元件上的電壓常高于電源電壓幾十倍或幾百倍。串聯(lián)諧振時，電感電壓與電容電壓大小相等，相位相反，互相抵消，因此串聯(lián)諧振也稱為電壓諧振。２．７．２并聯(lián)諧振１．并聯(lián)諧振的條件圖２．７．２是線圈ＲＬ與電容器Ｃ的并聯(lián)電路及相量圖。當(dāng)電路諧振時

與

相同，故從相量圖可得諧振條件為由于將以上各式代入式（２．７．２），得用代入上式，整理后得諧振頻率：如果線圈的電阻較小，上式可近似認(rèn)為將式（２．７．４）與式（２．７．１）比較，可見在這種情況下，并聯(lián)諧振的條件與串聯(lián)諧振相同。２．并聯(lián)諧振的特征（１）從相量圖可知，若換言之，電路在諧振時呈現(xiàn)出最大的等效阻抗，這與串聯(lián)諧振時的情況相反。（２）電壓與總電流相同，電路的ｃｏｓφ＝１。（３）若Ｒ較小，線圈和電容器中的電流會比總電流大，即支路電流大于總電流，這從相量圖可以看出。因為若可認(rèn)為因故得

并聯(lián)諧振時電感電流與電容電流大小相等，相位相反，互相抵消，因此并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。

并聯(lián)諧振在電工和電子技術(shù)中也有廣泛的用途。利用并聯(lián)電容器來提高電感性電路的功率因數(shù)時，若將功率因數(shù)提高到１，電路就處于并聯(lián)諧振狀態(tài)。2.8三相交流電路目前世界上電力系統(tǒng)采用的供電方式絕大多數(shù)是三相制的，也就是采用三相電源供電。本節(jié)主要講述三相電源、三相負(fù)載的連接方式，電壓、電流和功率的計算，以及中性線的作用。２．８．１三相電源１．三相電源的組成和產(chǎn)生當(dāng)前各類發(fā)電廠都是利用三相同步發(fā)電機(jī)供電的，圖２．８．１（ａ）是一臺具有兩個磁極的三相同步發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖。發(fā)電機(jī)的靜止部分稱為定子，定子鐵芯由硅鋼片疊成，內(nèi)壁有槽，槽內(nèi)嵌放著形狀、尺寸和匝數(shù)都相同、軸線互差１２０°的三個獨(dú)立線圈，稱為三相繞組。每相繞組的首端用Ｌ１、Ｌ２、Ｌ３或Ａ、Ｂ、Ｃ表示，末端用Ｌ′１、Ｌ′２、Ｌ′３或Ｘ、Ｙ、Ｚ表示。圖２．８．１（ｂ）是繞組的結(jié)構(gòu)示意圖。發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)動部分稱為轉(zhuǎn)子，它的磁極由直流電流Ｉｆ通過勵磁繞組而形成，產(chǎn)生沿空氣隙按正弦規(guī)律分布的磁場。當(dāng)原動機(jī)（水輪機(jī)或汽輪機(jī)等）帶動轉(zhuǎn)子沿順時針方向恒速旋轉(zhuǎn)時，定子三相繞組切割轉(zhuǎn)子磁極的磁感線，分別產(chǎn)生了ｅ１、ｅ２、ｅ３三個正弦感應(yīng)電動勢，取其參考方向如圖２．８．１（ｃ）所示。由于三個繞組的結(jié)構(gòu)完全相同，又是以同一速度切割同一轉(zhuǎn)子磁極的磁感線，只是繞組的軸線互差１２０°，所以ｅ１、ｅ２、ｅ３是三個頻率相同、幅值相等、相位互差１２０°的電動勢，稱為對稱三相電動勢。產(chǎn)生對稱三相電動勢的電源稱為對稱三相電源，簡稱三相電源。１）三相電源的表示形式如果選擇ｅ１為參考量，則對稱三相電動勢可表示為式中：Ｅｍ為電動勢的最大值。ｅ１、ｅ２、ｅ３的波形如圖２．８．２（ａ）所示，若用有效值相量表示，則為式中：Ｅ為電動勢的有效值。相量圖如圖２．８．２（ｂ）所示。２）三相電源的連接方式三相發(fā)電機(jī)或三相變壓器的三個獨(dú)立繞組都可各自接上負(fù)載成為三個獨(dú)立的單相電路，這種接法在電源與負(fù)載之間需要６根連接導(dǎo)線，體現(xiàn)不出三相供電的優(yōu)越性。在三相制的電力系統(tǒng)中，電源的三個繞組不是獨(dú)立向負(fù)載供電，而是按一定方式連接起來，形成一個整體。連接的方式有星形連接（Ｙ形連接）和三角形連接（△形連接）兩種。較為常見的星形連接的三相四線制供電系統(tǒng)的接法如圖２．８．３（ａ）所示。（１）三相電源的星形連接。星形連接時，三個繞組的末端Ｌ′１、Ｌ′２、Ｌ′３接在一起，成為一個公共點，稱為中性點，用字母Ｎ表示。從中性點引出的導(dǎo)線稱為中性線，低壓系統(tǒng)的中性點通常接地，故中性線又稱為零線或地線。三相繞組的三個首端Ｌ１、Ｌ２、Ｌ３引出的導(dǎo)線稱為相線或端線。相線對地有電位差，能使驗電筆發(fā)光，故常稱為火線。三根相線和一根中性線都引出的供電方式稱為三相四線制供電，不引出中性線的方式稱為三相三線制供電。采用三相四線制供電方式可以向用戶提供兩種電壓：相線與中性線之間的電壓稱為電源的相電壓，用

表示。相線與相線之間的電壓稱為電源的線電壓，用表示。在圖２．８．３（ａ）所示的參考方向下，根據(jù)ＫＶＬ，線電壓與相電壓之間的關(guān)系為由于三相電動勢對稱，三相繞組的內(nèi)阻抗一般都很小，因而三個相電壓也可以認(rèn)為是對稱的，其有效值用

表示，即以為參考相量，根據(jù)式（２．８．３）畫出電壓相量圖，如圖2.8.3（ｂ）所示。顯然三個線電壓也是對稱的，其有效值用表示，即在相量圖上用幾何方法可以求得線電壓和相電壓的關(guān)系為三相電源工作時，每相繞組中的電流稱為電源的相電流，用表示。由端點輸送出去的電流稱為電源的線電流，用表示。相電流和線電流的大小和相位均與負(fù)載有關(guān)。星形連接時，線電流就是相電流，即如果線電流對稱，則相電流也一定對稱，它們的有效值分別用表示，即可見，在電流對稱的情況下，星形連接的對稱三相電源中，線電流的有效值等于相電流的有效值，即在相位上，線電流與相電流的相位相同。（２）三相電源的三角形連接。將三相電源中每相繞組的首端依次與另一相繞組的末端連接在一起，形成一個閉合