實(shí)變函數(shù)論考試試題及答案_第1頁(yè)
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實(shí)變函數(shù)論考試試題及答案證明題：60分1、證明。證明：設(shè)，則，使一切，，所以,則可知。設(shè)，則有,使，所以。因此，=。2、若，對(duì)，存在開集,使得且滿足，證明是可測(cè)集。證明：對(duì)任何正整數(shù)，由條件存在開集，使得。令,則是可測(cè)集，又因，對(duì)一切正整數(shù)成立，因而=0，即是一零測(cè)度集，故可測(cè)。由知可測(cè)。證畢。3、設(shè)在上，且?guī)缀跆幪幊闪ⅲ?則有a.e.收斂于。證明因?yàn)?，則存在，使在上a.e.收斂到。設(shè)是不收斂到的點(diǎn)集。，則。因此。在上，收斂到，且是單調(diào)的。因此收斂到（單調(diào)序列的子列收斂，則序列本身收斂到同一極限）。即除去一個(gè)零集外，收斂于，就是a.e.收斂到。4、設(shè),是上有限的可測(cè)函數(shù)。證明存在定義于上的一列連續(xù)函數(shù)，使得于。證明：因?yàn)樵谏峡蓽y(cè)，由魯津定理，對(duì)任何正整數(shù),存在的可測(cè)子集，使得，同時(shí)存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有=。所以對(duì)任意的，成立，由此可得。因此，即，由黎斯定理存在的子列，使得a.e于.證畢5、設(shè)為a.e有限可測(cè)函數(shù)列，證明：的充要條件是。證明：若0，由于,則。又，,,常函數(shù)1在上可積分，由勒貝格控制收斂定理得。反之，若（），而且，

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