新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講講練學(xué)案 圓的切線方程（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．C【解析】【分析】確定點在圓上，即可求得圓心和該點連線的斜率，即得過該點的切線的斜率，由直線的點斜式方程可得答案.【詳解】將點代入中，成立，即點在圓上，圓心和連線的斜率為，故過圓上點的切線的斜率為，則切線方程為，即，故選：C2．A【解析】【分析】直線經(jīng)過點，且與圓相切可知，再使用點斜式即可.【詳解】直線經(jīng)過點，且與圓相切，則,故直線的方程為，即.故選：A.3．C【解析】【分析】判斷P點在圓上，圓心為原點O，則切線斜率為，根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，令x＝0即可求出它在y軸上的截距.【詳解】∵，∴P在圓上，設(shè)圓心為O，則，則過P的切線斜率，∴切線方程為：，令得.故選：C.4．D【解析】【分析】由題意可知切線的斜率存在，可設(shè)切線的斜率為，由點斜式得切線，再根據(jù)直線與圓相切，圓心到的距離為代入計算．【詳解】圓的圓心，半徑點關(guān)于軸對稱的點為，則過點與圓相切的直線即為所求．由題意可知切線的斜率存在，可設(shè)切線的斜率為則的方程為即圓心到的距離為，解得，故選：D．5．C【解析】【分析】先求出過點的直線與圓相切的直線方程，利用兩直線垂直列方程求出m.【詳解】設(shè)過點的直線為l.（1）當(dāng)l的斜率不存在時，直線l：.圓的圓心到l的距離為，所以不是圓的切線，不合題意.（2）當(dāng)l的斜率存在時，直線l：.由題意可得：，解得：k=2.因為l與直線垂直，所以，解得：m=-2.故選：C6．C【解析】【分析】先確定的面積最小時點坐標(biāo)，再由是直角三角形求出外接圓的圓心和半徑，即可求出外接圓方程.【詳解】由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點到直線的距離，即當(dāng)點運動到時，最小，直線的斜率為，此時直線的方程為，由，解得，所以，因為是直角三角形，所以斜邊的中點坐標(biāo)為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.故選：C.7．C【解析】【分析】首先得到圓的圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)，利用距離公式求出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可求出切線長最小值；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，因為為拋物線上的動點，設(shè)，則，所以當(dāng)時，過點作圓的切線，此時切線長最小，最小為；故選：C8．B【解析】【分析】利用面積相等求出.設(shè)，得到.利用幾何法分析出，即可求出的最小值.【詳解】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其圓心,半徑.過點P引圓C的兩條切線,切點分別為點A、B,如圖：在△PAC中,有，即，變形可得：.設(shè)，則.所以當(dāng)?shù)闹导磝最小時，的值最大，此時最小.而的最小值為點C到直線的距離，即，所以.故選：B9．A【解析】【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點到直線的距離公式進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因為過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，所以有，，因此有，要想四邊形周長最小，只需最小，即當(dāng)時，此時，此時，即最小值為，故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：利用圓切線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10．C【解析】【分析】利用幾何法，由圓心到直線的距離等于半徑列方程，即可求解.【詳解】因為直線與圓相切，所以由圓心到直線的距離等于半徑得：，即，解得：.故選：C11．A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求出其漸近線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可求出a的值．【詳解】雙曲線的漸近線為y＝，即x±y＝0，圓化為，則4－a＞0，a＜4，圓心為(2，0)，半徑r＝，由題可知，解得．故選：A．12．B【解析】【分析】由圓的方程可得且半徑，兩點距離公式有，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，應(yīng)用勾股定理有，再應(yīng)用等面積法求切點N到直線PM的距離.【詳解】由題設(shè)，且半徑，故，又N是切點，則，若切點N到直線PM的距離為，所以，故.故選：B13．A【解析】【分析】求出圓心及半徑，分直線斜率不存在和存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時，可設(shè)切線方程為，由直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，列出方程，解得即可得出答案.【詳解】解：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即得圓心和半徑，當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為，此時，圓心到切線的距離為，不符題意，故舍去；當(dāng)斜率存在時，設(shè)過坐標(biāo)原點的切線方程為，即，∴線心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切線方程為或，故選：A.14．A【解析】【分析】根據(jù)直線是圓的對稱軸，則圓心在直線l上，求得，由過點作圓C的一條切線，切點為B，利用勾股定理即可求得.【詳解】由方程得，圓心為，因為直線l是圓C的對稱軸，所以圓心在直線l上，所以，所以A點坐標(biāo)為，則，所以.故選：A．15．C【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合圓的性質(zhì)、圓的切線長定理逐項分析各個選項，計算判斷作答.【詳解】圓O：的圓心，半徑，如圖，對于A，點O到直線l的距離，則點P到圓O上的點的最小距離為，A不正確；對于B，由選項A知，，由切線長定理得，B不正確；對于C，依題意，，在中，，則，由選項B知，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，C正確；對于D，，，由選項B知，顯然對單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時，，D不正確.故選：C16．D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用切線長定理求出四邊形周長最小時點M的坐標(biāo)即可求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點C到直線l的距離，依題意，，四邊形周長，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，此時直線，由得點，四邊形的外接圓圓心為線段中點，半徑，方程為.故選：D17．D【解析】【分析】根據(jù)題意得切點弦的方程為，進而根據(jù)其與圓相切得，即，進而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得最小值.【詳解】解：設(shè)點，，，，因為分別以點為切點作圓的切線．設(shè)直線的交點為，所以，則，即，所以，因為，所以，即是方程的解，所以點在直線上，同理可得在直線上，所以切點弦的方程為，因為直線與圓相切，所以，解得，即所以，所以當(dāng)時，直線方程為，此時所以的最小值為.故選：D18．D【解析】【分析】依題意可知動點在直線：上移動，當(dāng)與直線垂直時，最小，從而切線長最小.由點到直線距離公式求得的最小值，進而可得結(jié)果.【詳解】圓：，圓心為，半徑.依題意知，直線過圓心，所以，即動點在直線：上移動.所以，當(dāng)與直線垂直時，最小，從而切線長最小，.此時，切線長的最小值為.故選：D.19．A【解析】【分析】設(shè)，由切線長公式得，由此得關(guān)于的恒等式，恒等式知識可求得值，從而得結(jié)論，注意兩圓外離．【詳解】設(shè)．∵過直線上任意一點P分別作圓的切線，切點分別為M，N，且均保持，∴，即，即，∴且，∴或∵圓與圓外離，∴，∴，∴，故選：A．20．A【解析】首先分析出當(dāng)，分別為圓的切線時，最大，過圓心作直線的垂線，垂足即為取得最大值時的點，可得，在中，可得，設(shè)可列方程，結(jié)合點滿足直線的方程，即可求的坐標(biāo).【詳解】由圓：可得，所以圓心為，半徑.因為點到的距離，所以與圓相離，由圖知當(dāng)，分別為圓的切線時，最大，若最大，則最大，因為，所以最小時，最大，當(dāng)時，最小，最大，則最大，因為此時，所以，在中，，設(shè)，則①，②，由可得代入②可得：解得：.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是分析出時，且，分別為圓的切線時最大，設(shè)列方程，可求點的坐標(biāo).21．A【解析】【分析】求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，借助，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則,，則，可得，故選A.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到圓的切線方程應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.22．D【解析】圓心為在軸上，因此關(guān)于對稱，即軸，在四邊形中易求得的長．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，所以關(guān)于對稱，即關(guān)于軸對稱，而，，所以，所以．故選：D．【點睛】結(jié)論點睛：過圓外一點作圓的切線，切點為，則的垂直平分線是，則由面積法得切點弦長．23．B【解析】先利用點求拋物線方程，利用相切關(guān)系求切線AB，AC，再分別聯(lián)立直線和拋物線求出點，即求出直線方程.【詳解】在拋物線上，故，即，拋物線方程為，設(shè)過點與圓相切的直線的方程為：，即，則圓心到切線的距離，解得，如圖，直線，直線.聯(lián)立，得，故，由得，故，聯(lián)立，得，故，由得，故，故，又由在拋物線上可知，直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：B.【點睛】方法點睛：求圓的切線的方程的求法：（1）幾何法：設(shè)直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑構(gòu)建關(guān)系求出參數(shù)，即得方程；（2）代數(shù)法：設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，使判別式等于零解出參數(shù)，即可得方程.24．B【解析】【分析】設(shè)過原點作圓兩條切線方程為，切線，的斜率分別記為，，其中，是方程的兩根，計算可得結(jié)論.【詳解】由圓：，得圓心為，半徑為.設(shè)過原點作圓兩條切線方程為，由題意可知，圓心為到兩條切線的距離等于，則即，設(shè)切線，的斜率分別記為，，則由已知得，就是，的斜率,因為是橢圓上的任意一點，所以，即.所以，是方程的兩個實數(shù)根，所以.故選：B.25．A【解析】【分析】由圓心和切點求得切線的斜率后可得切線方程．【詳解】圓可化為，所以點與圓心連線所在直線的斜率為，則所求直線的斜率為，由點斜式方程，可得，整理得.故選：A.26．D【解析】根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點關(guān)于軸的對稱點，設(shè)反射光線所在直線方程為，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可求得斜率.【詳解】根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點關(guān)于軸的對稱點，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為，即，又由反射光線與圓相切，可得，整理得，解得或.故選：D.【點睛】過一定點，求圓的切線時，首先判斷點與圓的位置關(guān)系．若點在圓外，有兩個結(jié)果，若只求出一個，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.27．A【解析】【分析】根據(jù)題意，先判斷點在圓外；再討論過點的切線斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出切線方程，即可得出結(jié)果.【詳解】由，得點在圓外，當(dāng)過點的切線斜率存在時，設(shè)所求切線的斜率為，則切線方程為，即，因為圓心到切線的距離等于半徑，∴，解得.故所求切線方程為；當(dāng)過點的切線斜率不存在時，方程為，也滿足條件.故直線的方程為或.故選：A.【點睛】本題主要考查求過圓外一點的切線方程，屬于基礎(chǔ)題型.28．C【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心坐標(biāo)為半徑為1，所以或.故選：C29．B【解析】【分析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設(shè)，則，，，因為，所以，即，故選：B30．B【解析】【分析】由條件求出參數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì).【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以直線經(jīng)過，所以，故，由已知，，，圓的半徑為3，所以，故選：B.31．D【解析】【分析】判斷點在圓上，再由切線的幾何性質(zhì)求斜率，進而求切線方程.【詳解】，在圓上，且，過的切線斜率為.過的切線方程為：，即.故選:D.32．C【解析】取圓上任意一點P，過P作圓的兩條切線，，根據(jù)題中條件，求出，進而可求出結(jié)果.【詳解】取圓上任意一點P，過P作圓的兩條切線，，當(dāng)時，且，；則，所以實數(shù).故選：C.【點睛】本題主要考查求由直線與圓相切求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.33．C【解析】【分析】設(shè)四邊形的面積為，求出四邊形的面積最小時，四邊形是正方形，求出線段的中點坐標(biāo)為，直線的斜率為即得解.【詳解】設(shè)四邊形的面積為，，，所以，當(dāng)最小時，就最小，，所以．此時.所以，四邊形是正方形，由題得直線的方程為，聯(lián)立得，所以線段的中點坐標(biāo)為，由題得直線的斜率為所以直線的方程為，化簡得直線的方程為.故選：C34．A【解析】【分析】利用圓心到直線的距離等于圓心到點的距離等于圓心到點的距離等于半徑即可求解.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離等于圓心到點的距離等于圓心到點的距離等于半徑，即：，解得，，，∴圓的方程為故選：A.35．D【解析】【分析】由切線性質(zhì)，切線長等于，因此只要最小即可，此最小值即為到直線的距離．【詳解】點P為直線上到圓心C距離最小的點時，切線長最小，故有．切線長最小值為：．故選D．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，考查點到直線的距離公式．屬于基礎(chǔ)題．36．BD【解析】【分析】求出“歐拉線”方程，利用“歐拉線”與圓相切求出，利用圓的幾何性質(zhì)可判斷A選項的正誤；計算出圓到直線的距離，可判斷B選項的正誤；設(shè)，利用直線與圓有公共點，求出的取值范圍可判斷C選項的正誤；利用圓與圓的位置關(guān)系可判斷D選項的正誤.【詳解】由題意，為等腰三角形，的歐拉線即的垂直平分線，、，的中點坐標(biāo)為，直線的斜率為，則的垂直平分線方程為，即．由“歐拉線”與圓相切，所以，圓心到直線的距離為，則圓的方程為，圓心到原點的距離為，則圓上的點到原點的最大距離為，故A錯誤；圓心到直線的距離為，圓上存在三個點到直線的距離為，故B正確；的幾何意義為圓上的點與定點連線的斜率，設(shè)，即，則直線與圓有公共點，由，解得，的最小值是，故C錯誤；的圓心坐標(biāo)，半徑為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點，則圓心距的范圍為，所以，,解得，故D正確．故選：BD．37．ACD【解析】【分析】對A，可將四邊形PAMB周長轉(zhuǎn)化為，結(jié)合勾股定理可求最值；對B，由圓內(nèi)最長的弦為直徑可判斷錯誤；對C，由幾何關(guān)系先求出，由等面積法可求出，結(jié)合面積公式可求；對D，分點是否與原點重合分類討論，當(dāng)點不與原點重合時，求出切線長方程和直線方程，聯(lián)立可求動點軌跡，由點與圓的位置關(guān)系可求.【詳解】如圖所示，對于選項A，四邊形PAMB的周長為，因為，所以四邊形PAMB的周長為，設(shè)，當(dāng)與原點重合時最小，則，則四邊形PAMB的周長為，則當(dāng)t取最小值2時，四邊形PAMB的周長最小，為，故A正確；對于選項B，因為圓M：的直徑為2，所以，故B錯誤；對于選項C，因為，所以，，由等面積法可得，求得，，，所以的面積為，故C正確；對于選項D，當(dāng)點P與原點重合時，，則，則，則，則；當(dāng)點P不與原點重合時，設(shè)（），則切點弦AB的方程為（利用結(jié)論：過圓外一點的切線弦方程為求得），直線MP的方程為，聯(lián)立兩方程，可得，消去m，得動點C的軌跡方程為．又因為，所以，故D正確．故選：ACD．38．ABD【解析】【分析】A選項，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，又因切線長定理可知，當(dāng)最短時，面積最?。籅選項，等面積法，即由A選項的四邊形面積求弦長；C選項，兩垂直直線的斜率相乘等于，兩平行直線斜率相等；D選項，由向量積公式求定點坐標(biāo).【詳解】選項，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，即，又因切線長定理可知，即，當(dāng)最短時，四邊形面積最?。峙c及半徑構(gòu)成直角三角形，最短時，最短，即，，，故正確．由上述可知，時，最短，由等面積法可知，．得，故正確．，，，，可設(shè)的直線方程為，由半弦長、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形可知，弦心距，圓心到直線的距離，解得，即直線的方程為．故錯誤．設(shè)圓上一點為，，，，，，，，，，，易知，同理，．，原式，將，代入得等號成立，故直線過定點為，，正確．故選:ABD．39．AB【解析】【分析】先得到的軌跡方程為圓，與直線有交點，得到的范圍，得到答案.【詳解】所作的圓的兩條切線相互垂直，所以，圓點，兩切點構(gòu)成正方形即在直線上，圓心距計算得到故答案選AB【點睛】本題考查了圓的切線問題，通過切線垂直得到的軌跡方程是解題的關(guān)鍵.40．【解析】【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，直線與直線垂直，可求得的值，進而可求得圓的方程，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，由圓的幾何性質(zhì)可得，直線的斜率為，則，解得，則圓心為，圓的半徑為，所以，圓的方程為，圓心到直線的距離為，因此，所求弦長為.故答案為：.【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.41．【解析】【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，探討出的取值范圍，借助四邊形MPCQ的面積計算，把表示為的函數(shù)即可作答.【詳解】如圖，連接CP，CQ，CM，依題意，，而，而，則CM垂直平分線段PQ，于是得四邊形MPCQ的面積為面積的2倍，從而得，即，設(shè)點，而，，則，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時取“=”，，因此得，即，得，所以的取值范圍為.故答案為：42．或【解析】【分析】本題考查求圓的切線方程，分斜率存在與不存在，利用由圓心到切線的距離等于半徑，求解即得.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑,當(dāng)切線的斜率不存在時，，顯然到圓心的距離等于半徑，故而是圓的一條切線；當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)斜率為，，即：,由圓心到切線的距離等于半徑，得，解得，故切線的方程為，故答案為：或【點睛】易錯點睛：本題考查求過點作圓的切線，關(guān)鍵是由首先驗證斜率不存在時是否是圓的切線，考查學(xué)生的分類討論思想，屬于易錯題.43．【解析】【分析】利用切線長的平方等于點到圓心的距離的平方減去半徑的平方，列出關(guān)系式，整理即得.【詳解】解:設(shè)P(x,y),則由|PA|=|PB|，得|PA|2=|PB|2,所以,化簡得：,此即為P的軌跡方程，故答案為：.【點睛】本題考查求動點的軌跡方程問題，涉及圓的切線長度的計算，屬基礎(chǔ)題.44．【解析】【分析】先由已知條件求出圓的方程，然后畫出圖形，則由圓的性質(zhì)可得，，，所以四邊形的面積為，而四邊形的面積為面積的兩倍，從而得，進而有，由此可求出的最小值，而當(dāng)當(dāng)正無窮大時，趨近圓的直徑4，從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)圓的方程為，將，，分別代入，可得，解得，即圓：；如圖，連接，，，，易得，，，所以四邊形的面積為；另外四邊形的面積為面積的兩倍，所以，故，故當(dāng)最小時，最小，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)正無窮大時，趨近圓的直徑4，故的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查圓的方程的求法，考查拋物線的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是求出圓的方程，然后結(jié)合題意畫出圖形，由圖可得四邊形的面積為面積的兩倍，從而可得，由此可求出的最小值，考查計算能力，屬于中檔題45．##【解析】【分析】根據(jù)題意，由圓的方程求出圓的圓心和半徑，作出草圖，由圓的切線性質(zhì)分析可得|OP|＝2|OA|，然后可算出答案．【詳解】根據(jù)題意，如圖：x2+y2＝25的圓心為（0，0），半徑R＝5，即|OP|＝5，圓O：x2+y2＝m2，圓心為（0，0），半徑r＝m，則|OA|＝|OB|＝m，若∠AOB＝120°，則∠APB＝60°，∠OPA＝30°，又由OA⊥AP，則|OP|＝2|OA|，則m．故答案為：．46．（1），；（2）；（3）【解析】【分析】（1）設(shè)切線斜率為以及切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑得出的值，即可求解（2）由點到圓心的距離，圓的半徑以及切線長滿足勾股定理，即可求出切線長；（3）利用（2）寫出圓心為點的圓的方程，通過圓系方程即可得出公共弦方程.【詳解】（1）由題意可得圓心，半徑，由已知得過點的圓的切線斜率存在設(shè)為，則切線方程為，則圓心到直線的距離為，即，解得或.所以切線方程是；（2）在中，，，.（3）以點為圓心，切線長為半徑的圓的方程為：，圓，兩圓方程相減可得：即所以直線的方程為：47．(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)圓心，再借助切線性質(zhì)求出a值，進而求出半徑即可得解.(2)求出圓與圓半徑，利用兩圓相交列式求解即得