大學(xué)物理教案(上)

第一章質(zhì)點運動學(xué)§1-1質(zhì)點運動的描述一、參照系坐標(biāo)系質(zhì)點1、參照系為描述物體運動而選擇的參考物體叫參照系。2、坐標(biāo)系為了定量地研究物體的運動，要選擇一個與參照系相對靜止的坐標(biāo)系。如圖1-1。說明：參照系、坐標(biāo)系是任意選擇的，視處理問題方便而定。3、質(zhì)點忽略物體的大小和形狀，而把它看作一個具有質(zhì)量、占據(jù)空間位置的物體，這樣的物體稱為質(zhì)點。說明：⑴質(zhì)點是一種理想模型，而不真實存在〔物理中有很多理想模型〕⑵質(zhì)點突出了物體兩個根本性質(zhì)1〕具有質(zhì)量2〕占有位置⑶物體能否視為質(zhì)點是有條件的、相對的。二、位置矢量運動方程軌跡方程位移1、位置矢量定義：由坐標(biāo)原點到質(zhì)點所在位置的矢量稱為位置矢量〔簡稱位矢或徑矢〕。如圖1—2，取的是直角坐標(biāo)系，為質(zhì)點的位置矢量〔1-1〕位矢大?。骸?-2〕方向可由方向余弦確定：，，2、運動方程質(zhì)點的位置坐標(biāo)與時間的函數(shù)關(guān)系，稱為運動方程。運動方程⑴矢量式：〔1-3〕⑵標(biāo)量式：，，〔1-4〕3、軌跡方程從式〔1-4〕中消掉，得出、、之間的關(guān)系式。如平面上運動質(zhì)點，運動方程為，，得軌跡方程為〔拋物線〕4、位移以平面運動為例，取直角坐標(biāo)系，如圖1—3。設(shè)、時刻質(zhì)點位矢分別為、，那么時間間隔內(nèi)位矢變化為〔1-5〕稱為該時間間隔內(nèi)質(zhì)點的位移?！?-6〕大小為討論：⑴比擬與：二者均為矢量；前者是過程量，后者為瞬時量⑵比擬與〔A→B路程〕二者均為過程量；前者是矢量，后者是標(biāo)量。一般情況下。當(dāng)時，。⑶什么運動情況下，均有？三、速度為了描述質(zhì)點運動快慢及方向，從而引進速度概念。1、平均速度如圖1-3，定義：〔1-7〕稱為時間間隔內(nèi)質(zhì)點的平均速度。(1-8〕方向：同方向。說明：與時間間隔相對應(yīng)。2、瞬時速度粗略地描述了質(zhì)點的運動情況。為了描述質(zhì)點運動的細節(jié)，引進瞬時速度。定義：稱為質(zhì)點在時刻的瞬時速度，簡稱速度?！?-9〕結(jié)論：質(zhì)點的速度等于位矢對時間的一階導(dǎo)數(shù)?！?-10〕式中，。、分別為在、軸方向的速度分量。的大小：的方向：所在位置的切線向前方向。與x正向軸夾角滿足。3、平均速率與瞬時速率定義：〔參見圖1-3〕稱為質(zhì)點在時間段內(nèi)得平均速率。為了描述運動細節(jié)，引進瞬時速率。定義：稱為時刻質(zhì)點的瞬時速率，簡稱速率。當(dāng)時〔參見圖1-3〕，，，有可知：即〔1-11〕結(jié)論：質(zhì)點速率等于其速度大小或等于路程對時間的一階導(dǎo)數(shù)。說明：⑴比擬與：二者均為過程量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。⑵比擬與：二者均為瞬時量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。四、加速度為了描述質(zhì)點速度變化的快慢，從而引進加速度的概念。1、平均加速度定義：〔見圖1-4〕稱為時間間隔內(nèi)質(zhì)點的平均加速度。2、瞬時加速度為了描述質(zhì)點運動速度變化的細節(jié)，引進瞬時加速度。定義：稱為質(zhì)點在時刻的瞬時加速度，簡稱加速度。〔1-12〕結(jié)論：加速度等于速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)或位矢對時間的二階導(dǎo)數(shù)。式中：，。、分別稱為在x、y軸上的分量。的大?。旱姆较颍号cx軸正向夾角滿足說明：沿的極限方向，一般情況下與方向不同〔如不計空氣阻力的斜上拋運動〕。瞬時量：，，，綜上：過程量：，，，矢量：，，，，，標(biāo)量：，，五、直線運動質(zhì)點做直線運動，如圖1-51、位移：沿+x軸方向；：沿-x軸方向。2、速度，沿+x軸方向；，沿-x軸方向。3、加速度，沿+x軸方向；，沿-x軸方向。由上可見，一維運動情況下，由、、的正負就能判斷位移、速度和加速度的方向，故一維運動可用標(biāo)量式代替矢量式。六、運動的二類問題運動方程、等例1-1：一質(zhì)點的運動方程為〔SI〕，求：⑴t=1s和t=2s時位矢；⑵t=1s到t=2s內(nèi)位移；⑶t=1s到t=2s內(nèi)質(zhì)點的平均速度；⑷t=1s和t=2s時質(zhì)點的速度；⑸t=1s到t=2s內(nèi)的平均加速度；⑹t=1s和t=2s時質(zhì)點的加速度。解：⑴mm⑵m⑶m/s⑷m/sm/s⑸m/s2⑹m/s2例1-2：一質(zhì)點沿x軸運動，加速度為(SI)，初始條件為：時，，m。求：運動方程。解：取質(zhì)點為研究對象，由加速度定義有〔一維可用標(biāo)量式〕由初始條件有：得：由速度定義得：由初始條件得：即m由上可見，例1-1和例1-2分別屬于質(zhì)點運動學(xué)中的第一類和第二類問題?！?-2圓周運動一、自然坐標(biāo)系圖2-1中，BAC為質(zhì)點軌跡，時刻質(zhì)點P位于A點，、分別為A點切向及法向的單位矢量，以A為原點，切向和法向為坐標(biāo)軸，由此構(gòu)成的參照系為自然坐標(biāo)系〔可推廣到三維〕二、圓周運動的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如圖1-7，質(zhì)點做半徑為的圓周運動，時刻，質(zhì)點速度〔2-1〕式〔2-1〕中，為速率。加速度為〔2-2〕式〔2-2〕中，第一項為哪一項由質(zhì)點運動速率變化引起的，方向與共線，稱該項為切向加速度，記為〔2-3〕式〔2-3〕中，〔2-4〕為加速度的切向分量。結(jié)論：切向加速度分量等于速率對時間的一階導(dǎo)數(shù)。2、法向加速度式〔2-2〕中，第二項是由質(zhì)點運動方向改變引起的。如圖1-8，質(zhì)點由A點運動到B點，有因為，，所以、夾角為。〔見圖1-9〕當(dāng)時，有。因為，所以由A點指向圓心O，可有式〔2-2〕中第二項為：該項為矢量，其方向沿半徑指向圓心，稱為法向加速度，記為〔2-5〕大小為〔2-6〕式〔2-6〕中，是加速度的法向分量。結(jié)論：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半徑。3、總加速度〔2-7〕大?。骸?-8〕方向：與夾角〔見圖1-10〕滿足4、一般曲線運動圓周運動的切向加速度和法向加速度也適用于一般曲線運動，只要把曲率半徑看作變量即可。討論：⑴如圖1-10，總是指向曲線的凹側(cè)。⑵時，，質(zhì)點做直線運動。此時⑶時，有限，質(zhì)點做曲線運動。此時⑷三、圓周運動的角量描述1、角坐標(biāo)如圖1-11，時刻質(zhì)點在A處，時刻質(zhì)點在B處，是OA與x軸正向夾角，是OB與x軸正向夾角，稱為時刻質(zhì)點角坐標(biāo)，為時間間隔內(nèi)角坐標(biāo)增量，稱為在時間間隔內(nèi)的角位移。2、角速度平均角速度：定義：〔2-9〕稱為平均角速度。平均角速度粗略地描述了物體的運動。為了描述運動細節(jié)，需要引進瞬時角速度。定義：〔2-10〕〔2-11〕結(jié)論：角速度等于角坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。說明：角速度是矢量，的方向與角位移方向一致。3、角加速度為了描述角速度變化的快慢，引進角加速度概念?！?〕平均角加速度：設(shè)在內(nèi)，質(zhì)點角速度增量為定義：〔2-12〕稱為時間間隔內(nèi)質(zhì)點的平均角加速度瞬時角加速度：定義：〔2-13〕稱為時刻質(zhì)點的瞬時角加速度，簡稱角加速度?！?-14〕結(jié)論：角加速度等于角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)或等于角坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。說明：角加速度是矢量，方向沿方向。4、線量與角量的關(guān)系把物理量、、、、等稱為線量，，等稱為角量。〔1〕、與關(guān)系如圖2-7，時，有即〔2-15〕〔2〕、與關(guān)系式〔2-15〕兩邊對求一階導(dǎo)數(shù)，有即〔2-16〕〔3〕、與關(guān)系即〔2-17〕§1-3相對運動本節(jié)討論一個質(zhì)點的運動，用兩個參考系來描述，并得出兩個參考系中物理量〔如：速度、加速度〕之間的數(shù)學(xué)變換關(guān)系。一、相對位矢設(shè)有參照系E、M，其上固連的坐標(biāo)系，如圖1-13，二坐標(biāo)系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行，M相對于E運動。質(zhì)點P相對E、M的位矢分別為、，相對位矢為：(2-18)結(jié)論：P對E的位矢等于P對M的位矢與對E的位矢的矢量和。二、相對位移由〔2-18〕有〔2-19〕結(jié)論：P對E的位移等于P對M的位移與對E的位移的矢量和。三、相對速度將式〔2-18〕兩邊對時間求一階導(dǎo)數(shù)有〔2-20〕結(jié)論：P對E的速度等于P對M的速度與M對E的速度的矢量和。四、相對加速度由式〔2-20〕對時間求一階導(dǎo)數(shù)有〔2-21〕結(jié)論：P對E的加速度等于P對M的加速度與M對E的加速度的矢量和。例1-3：質(zhì)點做平面曲線運動，其位矢、加速度和法向加速度大小分別為，和，速度為，試說明下式正確的有哪些？⑴⑵⑶⑷解：因為標(biāo)量矢量，所以⑴不對。又，而，故⑵不對。而，因此⑶正確。由于中為曲率半徑，而這里為位矢的大小，不一定是曲率半徑，所以⑷不對。例1-4：在一個轉(zhuǎn)動的齒輪上，一個齒尖P沿半徑為的圓周運動，其路程隨時間的變化規(guī)律為，其中，，都是正的常數(shù)，那么時刻齒尖P的速度和加速度大小為多少？解：例1-5：一質(zhì)點運動方程為〔SI〕，求：〔1〕〔2〕解：⑴m/s⑵m/s2(注意此方法，給定運動方程，先求出、，之后求，這樣比用求簡單)例1-6：拋射體運動，拋射角為，初速度為，不計空氣阻力，⑴問運動中變化否？、變否？⑵任意位置、為多少？⑶拋出點、最高點、落地點、各為多少？曲率半徑為多少？解：如圖所取坐標(biāo)，x軸水平，y軸豎直，為拋射點。⑴質(zhì)點受重力恒力作用，有，故不變.∵，而改變，∴變?！叨蛔?，變，∴變。⑵任意位置P處，質(zhì)點的、為⑶拋射點處，，，有最高點：，，∵落地點：與出射點對稱∴例1-7：一質(zhì)點從靜止〔〕出發(fā)，沿半徑為m的圓周運動，切向加速度大小不變，為m/s2,在時刻，其總加速度恰與半徑成45°角，求解：依題意知，與夾角為45°，有①∵②由②有得：s例1-8：某人騎自行車以速率向西行使，北風(fēng)以速率吹來〔對地面〕，問騎車者遇到風(fēng)速及風(fēng)向如何？解：地為靜系E，人為動系M。風(fēng)為運動物體P絕對速度：，方向向南；牽連速度：，方向向西；求相對速度方向如何？∵∴有圖1-15。∵∴45°方向：來自西北?；驏|偏南45°。第二章牛頓運動定律§2-1牛頓運動定律力一、牛頓運動定律1、第一定律時，〔2-1〕說明：⑴反映物體的慣性，故叫做慣性定律。⑵給出了力的概念，指出了力是改變物體運動狀態(tài)的原因。2、第二定律〔2-2〕說明：⑴為合力⑵為瞬時關(guān)系⑶矢量關(guān)系⑷只適應(yīng)于質(zhì)點⑸解題時常寫成〔直角坐標(biāo)系〕〔2-3〕〔自然坐標(biāo)系〕〔2-4〕3、第三定律〔2-5〕說明：⑴、在同一直線上，但作用在不同物體上。⑵、同有同無互不抵消。二、幾種常見的力1、力力是指物體間的相互作用。2、力學(xué)中常見的力〔1〕萬有引力〔2-6〕即任何二質(zhì)點都要相互吸引，引力的大小和兩個質(zhì)點的質(zhì)量、的乘積成正比，和它們距離的平方成反比；引力的方向在它們連線方向上。說明：通常所說的重力就是地面附近物體受地球的引力?！?〕彈性力彈簧被拉伸或壓縮時，其內(nèi)部就產(chǎn)生對抗力，并企圖恢復(fù)原來的形狀，這種力稱為彈簧的恢復(fù)力?！?〕摩擦力當(dāng)一物體在另一物體外表上滑動或有滑動的趨勢時，在接觸面上有一種阻礙它們相對滑動的力，這種力稱為摩擦力。3、兩種質(zhì)量由可證明：，適選單位可有?！嘁院蟛粎^(qū)別二者，統(tǒng)稱為質(zhì)量。§2-2力學(xué)單位制和量綱〔自學(xué)〕§2-3慣性系力學(xué)相對性原理一、慣性參照系在運動學(xué)中，參照系可任選，在應(yīng)用牛頓定律時，參照系不能任選，因為牛頓運動定律不是對所有的參照系都適用。如圖2-1，假設(shè)火車車廂的桌面是水平光滑的，在桌面上放一小球，顯然小球受合外力=0，當(dāng)火車以加速度向前開時，車上人看見小球以加速度向后運動。而對地面上人來說，小球的加速度為零。如果取地參系，小球的合外力等于零，故此時牛頓運動定律〔第一、二定律〕成立。如果取車廂為參照系，小球的加速度，而作用小球的合外力，故此時牛頓運動定律〔第一、第二定律〕不成立。但凡牛頓運動定律成立的參照系，稱為慣性系。牛頓定律不成立的參照系稱為非慣性系。說明：〔1〕一個參照系是否為慣性系，要由觀察和實驗來判斷。天文學(xué)方面的觀察證明，以太陽中心為原點，坐標(biāo)軸的方向指向恒星的坐標(biāo)軸是慣性系。理論證明，但凡對慣性系做勻速直線運動的參照系都是慣性系?！?〕地球是否為慣性系？因為它有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，所以地球?qū)μ栠@個慣性系不是作勻速直線運動的，嚴格講地球不是慣性系。但是，地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度都很小，故可以近似看成是慣性系。二、力學(xué)相對性原理在1-3中已講過，參照系E與M，設(shè)E是一慣性系，M相對E以做勻速直線運動，即OM也是一慣性系，二參照系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行，在E、M上牛頓第二定律均成立，設(shè)一質(zhì)點P1質(zhì)量為m，相對E、M有〔2-7〕設(shè)P相對E、M的速度分別為、，有〔2-8〕上式兩邊對求一階導(dǎo)數(shù)有〔2-9〕可見，P對E和M的加速度相同。綜上可知，對于不同的慣性系，牛頓第二定律有相同的形式〔見〔2-7〕〕，在一慣性系內(nèi)部所做的任何力學(xué)實驗，都不能確定該慣性系相對其它慣性系是否在運動〔見〔2-9〕〕，這個原理稱為力學(xué)相對性原理或伽利略相對性原理。§2-4牛頓定律應(yīng)用舉例例2-1:如圖2-2，水平地面上有一質(zhì)量為M的物體，靜止于地面上。物體與地面間的靜摩擦系數(shù)為，假設(shè)要拉動物體，問最小的拉力是多少？沿何方向？解：⑴研究對象：M⑵受力分析：M受四個力，重力，拉力，地面的正壓力，地面對它的摩擦力，見圖2-3。⑶牛頓第二定律：合力：分量式：取直角坐標(biāo)系x分量：①y分量：②物體啟動時，有③物體剛啟動時，摩擦力為最大靜摩擦力，即，由②解出N，求得為：④④代③中：有⑤可見：。時，要求分母最大。設(shè)∵∴時，。代入⑤中，得：方向與水平方向夾角為時，即為所求結(jié)果。強調(diào)：注意受力分析，力學(xué)方程的矢量式、標(biāo)量式〔取坐標(biāo)〕。例2-2：質(zhì)量為的物體被豎直上拋，初速度為，物體受到的空氣阻力數(shù)值為，為常數(shù)。求物體升高到最高點時所用時間及上升的最大高度。解：⑴研究對象：m⑵受力分析：m受兩個力，重力及空氣阻力，如圖2-4。⑶牛頓第二定律：合力：y分量：即①時，物體到達了最高點，可有為②∵∴③時，，例2-3：如圖2-5，長為的輕繩，一端系質(zhì)量為的小球，另一端系于原點o，開始時小球處于最低位置，假設(shè)小球獲得如下圖的初速度，小球?qū)⒃谪Q直面內(nèi)作圓周運動，求:小球在任意位置的速率及繩的張力。解：⑴研究對象：m⑵受力分析：小球受兩個力，即重力，拉力，如圖2-6。⑶牛頓定律：應(yīng)用自然坐標(biāo)系，運動到處時，分量方程有，方向：①方向：②由②有：即作如下積分：有得：代①中，得：例2-4：如圖2-6，一根輕繩穿過定滑輪，輕繩兩端各系一質(zhì)量為和的物體，且，設(shè)滑輪的質(zhì)量不計，滑輪與繩及軸間摩擦不計，定滑輪以加速度相對地面向上運動，試求兩物體相對定滑輪的加速度大小及繩中張力。解：⑴研究對象：、⑵受力分析：、各受兩個力，即重力及繩拉力，如圖2-7。⑶牛頓定律設(shè)對定滑輪及地加速度為、，對定滑輪及地加速度為、，：：如圖所選坐標(biāo)，并注意，，有解得：例2-5：如圖2-8，質(zhì)量為的三角形劈置于水平光滑桌面上，另一質(zhì)量為的木塊放在的斜面上，與間無摩擦。試求對地的加速度和對的加速度。解：⑴研究對象：、⑵受力分析：受三個力，重力，正壓力，地面支持力。受兩個力，重力，的支持力，如圖2-9所。取坐標(biāo)系，設(shè)對地加速度為，對的加速度為，對地的加速度為有由牛頓得二定律有：：x分量：①y分量：②：③由①、②、③有：強調(diào)：相對運動公式的應(yīng)用。第三章動量守恒和能量守恒定律§3-1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理一、質(zhì)點的動量定理1、動量質(zhì)點的質(zhì)量與其速度的乘積稱為質(zhì)點的動量，記為?！?-1〕說明：⑴是矢量，方向與相同⑵是瞬時量⑶是相對量⑷坐標(biāo)和動量是描述物體狀態(tài)的參量2、沖量牛頓第二定律原始形式由此有積分：〔3-2〕定義：稱為在時間內(nèi)力對質(zhì)點的沖量。記為〔3-3〕說明：⑴是矢量⑵是過程量⑶是力對時間的積累效應(yīng)⑷的分量式∵〔3-4〕∴分量式〔3—4〕可寫成〔3-5〕、、是在時間內(nèi)、、平均值。3、質(zhì)點的動量定理由上知〔3-6〕結(jié)論：質(zhì)點所受合力的沖量=質(zhì)點動量的增量，稱此為質(zhì)點的動量定理。說明：⑴與同方向⑵分量式〔3-7〕⑶過程量可用狀態(tài)量表示，使問題得到簡化⑷成立條件：慣性系⑸動量原理對碰撞問題很有用二、質(zhì)點系的動量定理概念：系統(tǒng)：指一組質(zhì)點內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間作用力外力：系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點作用力設(shè)系統(tǒng)含個質(zhì)點，第個質(zhì)點的質(zhì)量和速度分別為、，對于第個質(zhì)點受合內(nèi)力為，受合外力為，由牛頓第二定律有對上式求和，有因為內(nèi)力是一對一對的作用力與反作用力組成，故，有〔3-8〕結(jié)論：系統(tǒng)受的合外力等于系統(tǒng)動量的變化，這就是質(zhì)點系的動量定理。式〔3-8〕可表示如下〔3-9〕即〔3-10〕結(jié)論：系統(tǒng)受合外力沖量等于系統(tǒng)動量的增量，這也是質(zhì)點系動量定理的又一表述。例3-1：質(zhì)量為的鐵錘豎直落下，打在木樁上并停下。設(shè)打擊時間，打擊前鐵錘速率為，那么在打擊木樁的時間內(nèi)，鐵錘受平均和外力的大小為？解：設(shè)豎直向下為正，由動量定理知：強調(diào)：動量定理中說的是合外力沖量=動量增量例3-2：一物體受合力為〔SI〕，做直線運動，試問在第二個5秒內(nèi)和第一個5秒內(nèi)物體受沖量之比及動量增量之比各為多少？解：設(shè)物體沿+x方向運動，N·S〔沿方向〕N·S〔沿方向〕∵∴例3-3：如圖3-1，一彈性球，質(zhì)量為kg，速率m/s，與墻壁碰撞后跳回。設(shè)跳回時速率不變，碰撞前后的速度方向和墻的法線夾角都為°。⑴求碰撞過程中小球受到的沖量⑵設(shè)碰撞時間為s，求碰撞過程中小球受到的平均沖力解：⑴如圖3-1所取坐標(biāo)，動量定理為〈方法一〉用分量方程解N·S〈方法二〉用矢量圖解如上圖3-1所示?！?∴故為等邊三角形。m/s,沿方向∴N·S，沿方向。⑵N注意：此題按求困難〔或求不出來〕時，用公式求方便?！?-2動量守恒定律由式〔3-8〕知，當(dāng)系統(tǒng)受合外力為零時(3-11)即系統(tǒng)動量不隨時間變化,稱此為動量守恒定律。說明：⑴動量守恒條件：，慣性系。⑵動量守恒是指系統(tǒng)的總動量守恒，而不是指個別物體的動量守恒。⑶內(nèi)力能改變系統(tǒng)動能而不能改變系統(tǒng)動量。⑷時，假設(shè)在某一方向上的分量為零，那么在該方向上系統(tǒng)的動量分量守恒。⑸動量守恒是指〔不隨時間變化〕，∴此時要求。⑹動量守恒是自然界的普遍規(guī)律之一。例3-4：如圖3-2，質(zhì)量為的水銀球，豎直地落到光滑的水平桌面上，分成質(zhì)量相等的三等份，沿桌面運動。其中兩等份的速度分別為、，大小都為0.30m/s。相互垂直地分開，試求第三等份的速度。解：〈方法一〉用分量式法解研究對象：小球受力情況：只受向下的重力和向上的桌面施加的正壓力，即在水平方向不受力，故水平方向動量守恒。在水平面上如圖3-2取坐標(biāo)，有∴〈方法二〉用矢量法解∵及∴即即有圖3-3。可得m/s得強調(diào)：要理解動量守恒條件例3-5：如圖3-4，在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為長為的小車，車上一端有一質(zhì)量為的人，起初、均靜止，假設(shè)人從車一端走到另一端時，那么人和車相對地面走過的距離為多少？解：研究對象：、為系統(tǒng)∵此系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，∴在此方向動量守恒?！捶椒ㄒ弧怠矊Φ亍臣慈鐖D所取坐標(biāo)，標(biāo)量式為即積分〔，在A處，，在B處〕即得由圖3-4知：<方法二〉標(biāo)量式：即積分：①可知：②由①、②得：例3-6：質(zhì)量為的人手里拿著一個質(zhì)量為的物體，此人用以與水平方向成角的速率向前跳去。當(dāng)他到達最高點時，他將物體以相對于人為的水平速率向后拋出，問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？〔假設(shè)人可視為質(zhì)點〕解：如圖3-5，設(shè)P為拋出物體后人到達的最高點，、分別為拋球前后跳躍的距離。研究對象：人、物體組成的系統(tǒng)，∵該系統(tǒng)在水平方向上合外力=0，∴在水平方向上系統(tǒng)的動量分量守恒。設(shè)在P點，人拋球前、后相對地的速度分別為、，在P點拋球后球相對地速度為，有標(biāo)量式：即得：強調(diào)：，。因為是與同時產(chǎn)生的，而人速度為時，還沒產(chǎn)生§3-3碰撞一、碰撞碰撞特點：⑴碰撞時物體間相互作用內(nèi)力很大，其它力相比照擬可忽略。即碰撞系統(tǒng)合外力=0。故動量守恒。⑵機械能二、完全彈性碰撞1、對心情況〔一維〕如圖3-6，以與為系統(tǒng)，碰撞中〔3-12〕〔3-14〕〔，沿+x方向；反之，沿-x方向〕解得：〔3-15〕討論：⑴〔交換速度〕⑵2、非對心情況設(shè)，且，可知，、系統(tǒng)動量及動能均守恒，即〔3-16〕〔3-17〕可知，、、是以為斜邊的直角三角形，如圖3-7?！?-4動能定理一、功定義：力對質(zhì)點所做的功為力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大小的乘積。1、恒力的功恒力：力的大小和方向均不變。如圖3-8，功為(3-18)即(3-19)說明：⑴為標(biāo)量⑵功是過程量⑶功是相對量⑷功是力對空間的積累效應(yīng)⑸作用力與反作用力的功其代數(shù)和不一定為零。2、變力的功設(shè)質(zhì)點做曲線運動，如圖3-9。為變力，在第個位移元中，看作恒力，對物體做功為質(zhì)點從過程中，對質(zhì)點做的功為功的精確數(shù)值為即：〔3-20〕討論：⑴恒力功⑵直線運動設(shè)，如圖3-10，質(zhì)點在中，功為⑶合力功設(shè)質(zhì)點受個力，，，…，，合力功為二、功率定義：力在內(nèi)對物體做功為，下式稱為在時間間隔內(nèi)的平均功率。下式稱為瞬時功率，即〔3-21〕三、質(zhì)點的動能定理1、動能定義：〔3-20〕式〔3-20〕中，、分別為物體質(zhì)量和速率。稱為質(zhì)點的動能。說明：⑴為標(biāo)量；⑵為瞬時量；⑶為相對量。2、質(zhì)點的動能定理設(shè)做曲線運動，如圖3-11，合力為，在a、b二點速度分別為、。在c點力為，位移為，由牛頓定律有：〔切線上〕即即做如下積分：可寫成：〔3-21〕結(jié)論：合力對質(zhì)點作的功等于質(zhì)點動能的增量,稱此為質(zhì)點的動能定理。說明：⑴⑵為過程量，為狀態(tài)量，過程量用狀態(tài)量之差來表示，簡化了計算過程。⑶動能定理成立的條件是慣性系。⑷功是能量變化的量度。例3-7：如圖3-12，籃球的位移為，與水平線成角，，球質(zhì)量為，求重力的功。解：⑴研究對象：球⑵重力為恒力⑶強調(diào)：恒力功公式的使用.例3-8：如圖3-13，遠離地面高處的物體質(zhì)量為，由靜止開始向地心方向落到地面，試求：地球引力對做的功。解：c點：例3-9：力(SI)作用在的質(zhì)點上。物體沿x軸運動，時，。求前二秒內(nèi)對作的功。解：⑴研究對象：⑵直線問題，沿+x軸方向〈方法一〉按作在此有：∵∴做如下積分：有∵即∴〈方法二〉用動能定理作例3-10：質(zhì)量為的物體作直線運動，受力與坐標(biāo)關(guān)系如圖3-14所示。假設(shè)時，，試求時，解：在到過程中，外力功為由動能定理為：即§3-5保守力與非保守力勢能一、萬有引力、重力、彈性力的功及其特點1、萬有引力功及特點如圖3-15，設(shè)質(zhì)量為物體在質(zhì)量為的引力場中運動，〔不動〕，從中，引力功=？在任一點c處，〔變力〕〔3-22〕∵∴又∵∴〔3-23〕特點：萬有引力只與物體始末二位置有關(guān)，而與物體所經(jīng)路程無關(guān)。2、重力功及特點如圖3-16，質(zhì)點經(jīng)acb路徑由，位移為，在地面附近重力可視為恒力，故功為〔3-24〕特點：重力功只與物體始末二位置有關(guān)，而與其運動路徑無關(guān)。3、彈性力功及特點如圖3-17，稱為彈簧振子，處于x處時，它受彈性力為從坐標(biāo)過程中，彈性力做功為〔3-25〕特點：彈性力功僅與物體始末位置有關(guān)而與過程無關(guān)。如：物體可以從處向左移，然后向右平移至處，也可以從處直接移到處。但是，無論怎樣從處移到處，彈性力做的功都是上述結(jié)果。二、保守力和非保守力1、保守力與非保守力如果力對物體做的功只與物體始末二位置有關(guān)而與物體所經(jīng)路徑無關(guān)，那么該力稱為保守力，否那么稱為非保守力。數(shù)學(xué)表達依次為：〔3-26〕及〔3-27〕由上可知，重力、彈性力、萬有引力均為保守力，而摩擦力、汽車的牽引力等都是非保守力。三、勢能對任何保守力，那么它的功都可以用相應(yīng)的勢能增量的負值來表示，即：〔3-28〕結(jié)論：保守力功=相應(yīng)勢能增量的負值。[*從理論上講，∵∴即是無旋的，∵∴與有對應(yīng)關(guān)系，可定義為與相應(yīng)的勢能。也就是說，保守力場中才能引進勢能的概念?？梢?，引進勢能概念是有條件的。注意：勢能是相對的，屬于系統(tǒng)的。]〔3-29〕〔3-30〕〔3-31〕說明：〔1〕〔2〕〔3〕§3-6功能原理機械能守恒定律一、質(zhì)點系的動能定理系統(tǒng)中有個物體，第個物體受合外力為，合內(nèi)力為，在某一過程中，合外力功為，合內(nèi)力功為，由單個質(zhì)點的動能定理，對第個質(zhì)點有：〔3-32〕。對上式兩邊求和，有〔3-33〕〔3-34〕結(jié)論：合外力功與合內(nèi)力功之和等于系統(tǒng)動能的增量。稱此為系統(tǒng)的動能定理。二、功能原理作用在質(zhì)點上的力可分為保守力和非保守力，把保守力的受力與施力者都劃在系統(tǒng)中，那么保守力就為內(nèi)力了，因此，內(nèi)力可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，內(nèi)力功可分為保守內(nèi)力功和非保守內(nèi)力功。由質(zhì)點動能定理有〔3-35〕結(jié)論：合外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機械能〔動能+勢能〕的增量。稱此為功能原理。說明：⑴功能原理中，功不含有保守內(nèi)力的功，而動能定理中含有保守內(nèi)力的功。⑵功是能量變化或轉(zhuǎn)化的量度⑶能量是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)三、機械能守恒定律由功能原理知，當(dāng)時，有〔3-36〕結(jié)論：當(dāng)時，系統(tǒng)機械能=常量，這為機械能守恒定律?！沧⒁馐睾銞l件〕例3-11：如圖3-18，在計算上拋物體最大高度時，有人列出了方程〔不計空氣阻力〕列出方程時此人用了質(zhì)點的動能定理、功能原理和機械能守恒定律中的那一個？解：⑴動能定理為合力功=質(zhì)點動能增量⑵功能原理為外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機械能增量〔取、地為系統(tǒng)〕⑶機械能守恒定律∵∴即可見，此人用的是質(zhì)點的動能定理。例3-12：如圖3-19，質(zhì)量為的物體，從四分之一圓槽A點靜止開始下滑到B。在B處速率為，槽半徑為。求從A→B過程中摩擦力做的功。解：〈方法一〉按功定義，在任一點c處，切線方向的牛頓第二定律方程為〈方法二〉用質(zhì)點動能定理受三個力，，，由有即∴〈方法三〉用功能原理取、地為系統(tǒng)，∵無非保守內(nèi)力∴，功為〔不作功，及槽對地的力也不做功〕由有即注意：此題目機械能不守恒。例3-13：質(zhì)量為、的二質(zhì)點靠萬有引力作用，起初相距，均靜止。它們運動到距離為時，它們速率各為多少？解：以二質(zhì)點為系統(tǒng)，那么系統(tǒng)的動量及能量均守恒，即①②由①、②解得：第四章剛體的轉(zhuǎn)動§4-1剛體運動一、剛體定義：物體內(nèi)任意二點距離不變的物體稱為剛體。說明：⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡化問題引進的。二、剛體運動剛體運動：〔1〕平動：剛體內(nèi)任一直線方位不變。特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：、等都相同，故可用一個點來代表剛體運動。〔2〕轉(zhuǎn)動：1〕繞點轉(zhuǎn)動2〕繞軸轉(zhuǎn)動：剛體中所有點都繞一直線作圓周運動說明：剛體的任何運動都可看作平動與轉(zhuǎn)動的合成?！踩纾浩古仪蝻w行等〕三、定軸轉(zhuǎn)動〔本章僅討論此情況〕定義：轉(zhuǎn)軸固定時稱為定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動特點：⑴剛體上各點的角位移相同〔如：皮帶輪〕，各點的、相同。⑵剛體上各點的、、一般情況下不同。說明：⑴是矢量，方向可由右手螺旋法那么確定。見圖4-1。⑵§4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量一、力矩1、外力在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-2：定義：⑴力矩：〔4-1〕⑵力矩：大?。骸玻Q為力臂〕；方向：沿〔〕方向，它垂直于、構(gòu)成的平面即與軸平行。注意：是、間夾角。2、外力不在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-3：∵對轉(zhuǎn)動無奉獻∴對轉(zhuǎn)動有奉獻的僅是。產(chǎn)生的力矩即的力矩，故上面的結(jié)果仍適用。說明：平行軸或經(jīng)過軸時。二、轉(zhuǎn)動定律時，轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變，即，那么與的關(guān)系如何？這就是轉(zhuǎn)動定律的內(nèi)容。推導(dǎo)：如圖4-4，把剛體看成由許多質(zhì)點組成的系統(tǒng)，這些質(zhì)點在垂直于軸的平面內(nèi)作圓周運動?？紤]第個質(zhì)點：質(zhì)量：到軸的距離：受力：外力：；內(nèi)力：〔設(shè)、在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)〕在切線方向上由牛頓定律有：〔4-2〕即〔4-3〕〔4-3〕×:〔4-4〕每一個質(zhì)點都有一個這樣方程，所有質(zhì)點對應(yīng)方程求和之后，有〔4-5〕可證明。證明如下：如圖4-5，剛體內(nèi)力是各質(zhì)點間的相互作用力，他們是一對一對的作用力和反作用力。對、兩質(zhì)點，相互作用力的力矩之和=？設(shè)為第個質(zhì)點對第個質(zhì)點作用力，為第個質(zhì)點對第個質(zhì)點作用力?！吲c共線∴力臂相等又∵與等值反向∴與產(chǎn)生力矩等值反向，故與力矩合=0由此可知：剛體的所有內(nèi)力矩之和兩兩抵消，結(jié)果為0。令〔4-6〕即：剛體角加速度與合外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比，這稱為轉(zhuǎn)動定律。說明：⑴,與方向相同⑵為瞬時關(guān)系⑶轉(zhuǎn)動中與平動中地位相同，是產(chǎn)生的原因，是產(chǎn)生的原因。*比擬⑷為合外力矩=各個外力力矩的矢量和。三、轉(zhuǎn)動慣量1、：轉(zhuǎn)動慣量=剛體中每個質(zhì)點的質(zhì)量與它到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積的和。2、轉(zhuǎn)動慣量的意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度。例4-1：如圖4-6，在不計質(zhì)量的細桿組成的正三角形的頂角上，各固定一個質(zhì)量為的小球，三角形邊長為。求：⑴系統(tǒng)對過質(zhì)心且與三角形平面垂直軸C的轉(zhuǎn)動慣量；⑵系統(tǒng)對過A點，且平行于軸C的轉(zhuǎn)動慣量；⑶假設(shè)A處質(zhì)點也固定在B處，⑵的結(jié)果如何？解：⑴⑵⑶討論：⑴與質(zhì)量有關(guān)〔見⑴、⑵、⑶結(jié)果〕⑵與軸的位置有關(guān)〔比擬⑴、⑵結(jié)果〕⑶與剛體質(zhì)量分布有關(guān)〔比擬⑵、⑶結(jié)果〕⑷平行軸定理：對平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量=對質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動慣量+剛體質(zhì)量×該軸與質(zhì)心軸之距離平方。如例4-2：如圖4-7，質(zhì)量為長為的勻質(zhì)桿，求：⑴它對過質(zhì)心且與桿垂直的軸c的轉(zhuǎn)動慣量為多少？⑵它對過一端且平行于c軸的A軸轉(zhuǎn)動慣量為多少？解：⑴如圖4-7所取坐標(biāo)，⑵如圖4-8所取坐標(biāo)，用平行軸定理解：說明：一些特殊形狀的剛體轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)會計算并記住。如：勻質(zhì)桿、圓柱、圓盤、圓環(huán)、球等。例4-3：如圖4-9，輕繩經(jīng)過水平光滑桌面上的定滑輪c連接兩物體A和B，A、B質(zhì)量分別為、，滑輪視為圓盤，其質(zhì)量為半徑為R，AC水平并與軸垂直，繩與滑輪無相對滑動，不計軸處摩擦，求B的加速度，AC、BC間繩的張力大小。解：受力分析：：重力，桌面支持力，繩的拉力；：重力，繩的拉力；：重力，軸作用力，繩作用力、取物體運動方向為正，由牛頓定律及轉(zhuǎn)動定律得：及，，解得：討論：不計時，〔即為質(zhì)點情況〕例4-4：一質(zhì)量為的物體懸于一條輕繩的一端，繩繞在一輪軸的軸上，如圖4-11。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為，整個裝置架在光滑的固定軸承上。當(dāng)物體從靜止釋放后，在時間內(nèi)下降了一段距離，試求整個滑輪的轉(zhuǎn)動慣量〔用，，和表示〕解：受力分析由牛頓第二定律及轉(zhuǎn)動定律得：及，，§4-3轉(zhuǎn)動動能力矩的功轉(zhuǎn)動動能定理一、轉(zhuǎn)動動能如圖4-13，剛體繞過O處軸〔垂直圖面〕轉(zhuǎn)動，角速度為，在轉(zhuǎn)動中剛體各個質(zhì)點都具有動能，剛體轉(zhuǎn)動動能=各個質(zhì)點動能之和。設(shè)各質(zhì)點質(zhì)量為，，，…，與軸距離為，，，…，轉(zhuǎn)動動能為：〔4-6〕*比擬：二、力矩的功如圖4-14，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)作用在剛體P點力〔可以是內(nèi)力，或外力，也可以是合力或單個力〕，在作用下剛體有一角位移，力的作用點的位移為，那么在該位移中作的功為：〔4-7〕即：力矩元功=力矩×角位移〔力矩與角位移點積〕在力矩作用下，從過程中，力矩的功為〔4-8〕說明：⑴常力矩功⑵力矩功是力矩的空間積累效應(yīng)⑶內(nèi)力矩功之和=0〔與質(zhì)點情況不同〕⑷力矩的功功率：比擬：三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理即做如下積分可得〔4-9〕即：合外力矩功等于剛體轉(zhuǎn)動動能增量，稱此為剛體的轉(zhuǎn)動動能定理。例4-5：在例4-3中，假設(shè)B從靜止開始下落時，⑴合外力矩對c做的功=？⑵c的角速度=？解：⑴由例3知，對c的合外力矩為〔常力矩〕⑵例4-6：如圖4-16所示，一輕彈簧與一勻質(zhì)細桿相連，彈簧倔強系數(shù)，細桿質(zhì)量為。桿可繞c軸無摩擦轉(zhuǎn)動。假設(shè)當(dāng)時彈簧為原長，那么細桿在的位置上至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？解：取、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機械能守恒。，。，代入得注意：機械能守恒定律條件及應(yīng)用?！?-4角動量角動量定理角動量守恒定律角動量1、角動量定義：，稱為剛體角動量〔或動量矩〕說明：⑴⑵2、沖量矩轉(zhuǎn)動定律〔4-10〕〔4-11〕做如下積分：定義：為在內(nèi)對剛體的沖量矩〔4-12〕說明：〔1〕沖量矩是矢量〔2〕沖量矩是力矩的時間積累效應(yīng)*比擬：二、角動量定理由上知〔4-13〕即：合外力矩對剛體的沖量矩等于剛體角動量增量。稱此為角動量〔或動量矩〕定理。三、角動量守恒定律當(dāng)時，有〔4-14〕即：當(dāng)合外力矩時，那么此情況下剛體角動量守恒，稱此為角動量守恒定律。說明：⑴角動量守恒條件是某一過程中。⑵⑶角動量守恒定律、動量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍規(guī)律，不僅適用于宏觀物體的機械運動，而且也適用于原子、原子核和根本粒子〔如電子，中子，原子，光子，…〕等微觀粒子的運動。例4-7：如圖4-17，輕繩一端系著質(zhì)量為的質(zhì)點，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔o用力拉著，如下圖。質(zhì)點原來以等速率作半徑為的圓周運動，當(dāng)拉動繩子向正下方移動時，質(zhì)點的角速度解：研究對象：受力分析：重力、桌面支持力、繩的作用力?？梢娹D(zhuǎn)動中，受合外力矩=0，即∴得注意：角動量守恒條件及應(yīng)用〔守恒時，不一定守恒，反過來也如此〕例4-8：如圖4-18，A、B兩圓盤分別繞過其中心的垂直軸轉(zhuǎn)動，角速度分別是、，它們半徑和質(zhì)量分別為、和、。求A、B對心銜接后的最后角速度。解：研究對象：A、B系統(tǒng)在銜接過程中，對軸無外力矩作用，故有即：討論：假假設(shè)的轉(zhuǎn)動方向與題中相反，那么假設(shè)為正，那么有：例4-9：如圖4-19，長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)細桿，可繞過O的光滑水平軸轉(zhuǎn)動。起初桿水平靜止。求：⑴t=0時，⑵桿到豎直位置時，⑶桿從水平到豎直過程中外力矩功=？⑷桿從水平到豎直過程中桿受沖量矩大小為多少？解：⑴即⑵以、地為系統(tǒng)，其能量方程有⑶⑷沖量矩=例4-10：長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)細桿，可繞上端的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，起初桿豎直靜止。一質(zhì)量為的小球在桿的轉(zhuǎn)動面內(nèi)以速度垂直射向桿的A點，求以下情況下桿開始運動的角速度及最大擺角。⑴子彈留在桿內(nèi)⑵子彈以射出。解：⑴子彈留在桿內(nèi)分兩個過程：彈射入桿過程。、、為系統(tǒng)，角動量守恒，即①〔強調(diào)：此過程動量不守恒及原因〕上擺過程。、、地為系統(tǒng)，系統(tǒng)機械能守恒，有②初態(tài)末態(tài)①、②：⑵子彈射出a)子彈與桿作用過程。以桿、子彈為系統(tǒng)，其角動量守恒①射前射后b)桿上擺過程。以桿、地球為系統(tǒng)，其機械能守恒。②初態(tài)末態(tài)①、②解得：*：假設(shè)，求，方法完全一樣，只不過為未知數(shù)。注意角動量守恒，而不是動量守恒。有關(guān)概念：熱運動：分子做不停的無規(guī)那么運動熱現(xiàn)象：物質(zhì)中大量分子的熱運動的宏觀表現(xiàn)〔如：熱傳導(dǎo)、擴散、液化、凝固、溶解、汽化等都是熱現(xiàn)象〕。分子物理學(xué)與熱力學(xué)的研究對象：熱現(xiàn)象微觀量：描述單個分子運動的物理量。〔如：分子質(zhì)量、速度、能量等〕宏觀量：描述大量分子熱運動集體特征的物理量?！踩纾簹怏w體積、壓力、溫度等〕統(tǒng)計方法:對個別分子運動用力學(xué)規(guī)律，然后對大量分子求微觀兩的統(tǒng)計平均值。分子物理學(xué)研究方法:建立宏觀量與微觀量統(tǒng)計平均值的關(guān)系從微觀角度來說明宏觀現(xiàn)象的本質(zhì)。分子物理學(xué)是一種微觀理論。熱力學(xué)研究方法:實驗定律為根底,從能量觀點出發(fā),研究熱現(xiàn)象的宏觀規(guī)律。它是一種宏觀理論。第五章氣體分子運動論§5-1平衡態(tài)理想氣體的狀態(tài)方程一、狀態(tài)參量用來描述氣體狀態(tài)的物理量稱為狀態(tài)參量。一般用氣體體積，壓強和溫度來作為狀態(tài)參量。注意：⑴是氣體分子能到達的空間體積，單位：⑵是氣體作用于器壁單位面積上的正壓力，單位：帕斯卡〔Pa〕。有時也用下面單位：⑶溫度是描述物體冷熱程度的物理量。表示溫度常用兩種溫標(biāo)〔溫度的標(biāo)尺〕來表示，即溫標(biāo)與關(guān)系：二、平衡態(tài)平衡過程系統(tǒng)與外界：研究的對象稱為系統(tǒng)，系統(tǒng)所處的環(huán)境稱為外界。1、平衡態(tài)在不受外界影響的條件下，氣體的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的狀態(tài)稱為平衡態(tài)。這里的外界影響指與外界無能量交換。說明：平衡態(tài)是一種熱動平衡。2、平衡過程當(dāng)氣體與外界交換能量時，它的狀態(tài)就會發(fā)生變化，一個狀態(tài)連續(xù)變化到另一個狀態(tài)所經(jīng)歷的過程叫做狀態(tài)的變化過程，如果過程中的每一中間狀態(tài)都無限趨于平衡態(tài)，這個過程成為平衡過程。3、P—V圖如圖5-1，P—V圖上一個點代表系統(tǒng)的一個平衡態(tài)，P—V圖上一條曲線表示系統(tǒng)一平衡過程。注意：不是平衡態(tài)不能在P—V圖上表示。三、理想氣體狀態(tài)方程1．理想氣體服從下面三個定律的氣體2、理想氣體狀態(tài)方程用上述三條定律可證明，對一定質(zhì)量的氣體有〔5-1〕設(shè)、、是標(biāo)準狀態(tài)下、、值，〔5-2〕設(shè)為氣體質(zhì)量，那么〔、為摩爾質(zhì)量和標(biāo)準狀態(tài)下摩爾體積〕∴令〔5-3〕上式為理想氣體狀態(tài)方程數(shù)值及單位：§5-2理想氣體的壓強公式一、理想氣體微觀模型⑴分子大小不計〔視為質(zhì)點〕⑵碰撞外分子間作用不計⑶分子間及分子與器壁間碰撞看作完全彈性碰撞二、統(tǒng)計假設(shè)⑴分子不存在特殊位置，在各位置出現(xiàn)可能性均等⑵分子沿各個方向運動的可能性是均等的三、壓強公式推導(dǎo)為方便，考慮邊長為、、的長方體容器，設(shè)有個分子，分子質(zhì)量為，如圖5-2所取坐標(biāo)，氣體處于平衡態(tài)時，容器器壁上各處的壓強相同，∴在此只計算一個面上的壓強即可。以A面為例。第一步：分子在單位時間內(nèi)對A面的沖量設(shè)第個分子速度為，分量式：〔5-4〕由動量定理知，分子與A面碰撞1次受沖量為(用了微觀模型⑴、⑶)：〔5-5〕分子與A碰后又彈到B面〔不計分子間碰撞〕，之后由B面又彈回A面，如此往復(fù).單位時間內(nèi)分子與A面碰撞次數(shù)為〔5-6〕單位時間內(nèi)分子受沖量為〔5-7〕單位時間內(nèi)A受分子沖量為〔5-8〕由上可知，每一分子對器壁的碰撞以及作用在器壁上的沖量是間歇的不連續(xù)的。但是，實際上容器內(nèi)分子數(shù)目極大，他們對器壁的碰撞就象密集雨點打到雨傘上一樣，對器壁有一個均勻而連續(xù)的壓強。第二步：單位時間內(nèi)所有分子對A面的沖量〔5-9〕第三步：壓強公式設(shè)單位時間內(nèi)A面受平均沖力大小為，有〔5-10〕所求壓強為〔5-11〕①式中：可知〔5-12〕可有〔5-13〕即〔5-14〕根據(jù)統(tǒng)計假設(shè)⑵，有〔5-15〕由〔5-14〕、〔5-15〕〔稱方均根速率〕〔5-16〕〔5-16〕〔5-11〕得〔5-17〕或〔5-18〕式〔5-18〕中，〔5-19〕為氣體分子平均平動動能。式〔5-17〕、〔5-18〕即為所求結(jié)果。說明：⑴的微觀本質(zhì)或統(tǒng)計性質(zhì)是：單位時間內(nèi)所有分子對單位器壁面積的沖量。⑵由推導(dǎo)知，、、均是統(tǒng)計平均值，∴也是一個統(tǒng)計平均值。這些統(tǒng)計平均值是統(tǒng)計規(guī)律，而不是力學(xué)規(guī)律。⑶統(tǒng)計平均值、、、等是宏觀量，表示氣體分子集體特征，而不代表個別分子?！埠暧^量是相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計平均值〕⑷的表達式適合任何形狀容器⑸推導(dǎo)中沒考慮分子碰撞，假設(shè)考慮結(jié)果也不變?！?-3氣體分子的平均平動動能與溫度的關(guān)系理想氣體狀態(tài)方程為：〔為分子總數(shù)，為分子數(shù)〕令，叫做波爾茲曼常數(shù)?！嗬硐霘怏w狀態(tài)方程又可寫：∵，∴與上式比擬有：說明：⑴∵是統(tǒng)計平均量，∴也是統(tǒng)計平均量。分子數(shù)很大時，溫度才有意義，對于個別分子來說，溫度是無意義的。⑵為宏觀量，是大量氣體分子熱運動的集體表現(xiàn)。⑶的微觀本質(zhì)：是分子平均平動動能的量度，或反映了大量氣體分子熱運動的劇烈程度。⑷假設(shè)，那么，但實際上這是不對的，根據(jù)近代量子論，盡管，但是分子還有振動，故〔平均動能〕。這說明經(jīng)典理論的局限性。§5-4能量按自由度均分原那么理想氣體內(nèi)能分子運動除平動外，還可能有轉(zhuǎn)動，振動，此時不能把分子看成質(zhì)點。為了研究分子平均能量，我們先給出自由度的概念。一、自由度自由度：決定某物體空間位置所用的獨立坐標(biāo)數(shù)1、質(zhì)點：自由質(zhì)點：用x、y、z表示，∴自由度=3〔如：飛機飛行情況〔視為質(zhì)點〕〕平面運動：用x、y表示，∴自由度=2〔如：船在海面上行使情況〔視為質(zhì)點〕〕受約束質(zhì)點沿固定路徑運動：自由度=1?！踩缁疖囈暈橘|(zhì)點時情況〕2、細桿〔自由的〕質(zhì)心c〔相對于質(zhì)點〕：3個平動自由度。桿的方位：用方向角、、表示〔與x、y、z軸分別平行〕∵∴、、中只有=2獨立變數(shù)。即繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動自由度為2。自由細桿自由度=3〔平動〕+2〔轉(zhuǎn)動〕=53、剛體〔自由的〕質(zhì)心c〔相當(dāng)于質(zhì)點〕：3個平動自由度軸的方位：2個自由度剛體饒軸轉(zhuǎn)動角坐標(biāo)：一個轉(zhuǎn)動自由度自由剛體自由度=3〔平動〕+〔2+1〕〔轉(zhuǎn)動=6〔如：空中飛來的乒乓球、足球等〕。4、分子單原子分子〔質(zhì)點〕：自由度=3〔平動〕剛性雙原子分子〔相當(dāng)于細桿〕：自由度=5〔3個平動，2個轉(zhuǎn)動〕剛性多原子分子〔相當(dāng)于自由剛體〔非桿〕〕：自由度=6〔3個平動+3個轉(zhuǎn)動〕非剛性雙原子分子：自由度=6〔3個平動，2個轉(zhuǎn)動，1個振動〕非剛性多原子分子：自由度=3n〔3個平動，3個振動，〔3n-6〕個振動〕〔n個分子，n〕在無特殊聲明下僅討論剛性情況。二、能量均分原理對理想氣體，分子平均平動動能為∵∴此式表示，每一平動自由度上具有相同的平均平動動能，值為，這個結(jié)論雖然是對平動而言的，但可以推廣到轉(zhuǎn)動和振動。經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)證明，對于處于溫度T的熱平衡態(tài)下的物質(zhì)系統(tǒng)〔固、液、氣〕，分子的每一個自由度都具有相同的平動動能，其值為，這稱為能量按自由度均分原理。〔此原理為統(tǒng)計規(guī)律〕用、、分別表示平動、轉(zhuǎn)動、振動自由度，那么平動動能=轉(zhuǎn)動動能=振動動能=平均動能=平動動能+轉(zhuǎn)動動能+振動動能=我們知道，每一個振動自由度上，平均動能=平均勢能?！财骄芰俊?平均動能+平均勢能=單原子分子：，，剛性雙原子分子：，，剛性多原子分子：，，非剛性雙原子分子：，，以后不做聲明時，均視為剛性分子，自由度用表示分子平均能量〔=平均動能〕=〔5-20〕三、理想氣體內(nèi)能內(nèi)能：氣體所有分子動能與勢能總和。注意：內(nèi)能與機械能不同。對理想氣體，無相互作用〔無分子間相互作用勢能〕，∴只考慮剛性時，內(nèi)能=分子平均動能⑴氣體內(nèi)能：⑵氣體內(nèi)能：〔5-21〕結(jié)論：理想氣體內(nèi)能是溫度T的單值增加函數(shù)?！病撸唷忱?-1：某種理想氣體，在，時，內(nèi)能，問它是單原子、雙原子、多原子分子的哪一種？解：∴是單原子分子。強調(diào)：可用表示例5-2：某剛性雙原子理想氣體，處于0℃。試求：⑴分子平均平動動能；⑵分子平均轉(zhuǎn)動動能；⑶分子平均動能；⑷分子平均能量；⑸摩爾的該氣體內(nèi)能。解：⑴⑵⑶⑷⑸§5-5麥克斯韋速率分布律一、速率分布概念在氣體分子中，分子速率的大小很不一致，它可以小到0，也可以大到很大。在某一時刻，對某一分子而言，它的速率為多大，沿什么方向運動完全是偶然的，是沒有規(guī)律的。但是對大量分子整體來說，在一定條件下，他們的速率分布遵從著一定的統(tǒng)計規(guī)律。現(xiàn)在來說明這個問題。假設(shè)把分子的速率按其大小分為假設(shè)干長度相同的區(qū)間，如：從0～100為第一區(qū)間，100～200為第二區(qū)間，…。實驗和理論都已經(jīng)證明，當(dāng)氣體處于平衡態(tài)時，分布在不同區(qū)間的分子數(shù)是不同的，但是，分布在各個區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分率根本上是確定的。所謂的分子速率分布就是要研究氣體在平衡態(tài)下，分布在各速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。二、麥克斯韋速率分布律令為分子數(shù)，平衡態(tài)下在速率內(nèi)分子數(shù)為，那么：：表示在速率區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率?！不蛞粋€分子出現(xiàn)在內(nèi)的幾率〕實驗說明：與及有關(guān)，當(dāng)很小時，可認為與成正比，比例系數(shù)是的函數(shù)，即〔5-22〕的物理意義：在速率附近，單位速率間隔內(nèi)出現(xiàn)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。在近代測定氣體分子速率的實驗獲得成功之前，麥克斯韋和玻爾茲曼等人已從理論〔概率論、統(tǒng)計力學(xué)等〕上確定了氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律，其結(jié)果為：在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可忽略時，分布在足夠小的速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為：〔5-23〕式中：是氣體分子質(zhì)量，為玻爾茲曼常數(shù)，是熱力學(xué)溫度。比擬〔5-22〕、〔5-23〕，有：〔5-24〕式中：稱為麥克斯韋速率分布律。說明：⑴它是一個統(tǒng)計規(guī)律，只適用于平衡態(tài)。⑵歸一化條件：如5-5圖所示，在內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)比為：在0～區(qū)間內(nèi)，此比率為：即〔5-25〕上式叫做的歸一化條件，它的物理意義為：在氣體速率區(qū)間出現(xiàn)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比為1。幾何意義：曲線與軸圍成面積=1。三、三種速率1、最可幾速率定義：使取最大值的速率為最可幾速率。記做?？梢?，對等速率間隔而言，附近速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比最大。注意：不是最大速率。=？〔此時，約分〕即〔5-26〕2、平均速率在內(nèi)分子數(shù)為∵很小，∴可認為個分子速率相同，且均為，這樣，在內(nèi)個分子速率和為：在整個速率區(qū)間內(nèi)分子速率總和為：∴個分子的平均速率為積分〔5-27〕3、方均根速率在內(nèi)分子數(shù)為，內(nèi)的個分子速率平方和為：在整個速率區(qū)間上分子速率平方和為：個分子速率平方的平均值為：〔分部積分〕〔5-28〕另外：前面已講過：說明：⑴、、各有其用如：：可用來討論速率分布；：可用來計算平均距離；：可用來計算平均平動動能。⑵〈〈⑶注意：及的物理意義。例5-3：如下圖，⑴假設(shè)二曲線對應(yīng)同一理想氣體，那么哪條曲線對應(yīng)大？⑵在⑴中，哪條曲線對應(yīng)的氣體內(nèi)能大？⑶假設(shè)二曲線為不同氣體同一溫度情況，那么哪條曲線對應(yīng)的氣體分子質(zhì)量大？解：⑴∵，而，∴⑵∵，∴⑶∵，而，∴例5-4：圖示的曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋分子速率分布曲線，由圖可知，⑴⑵=？解：⑴∵又∴⑵例5-5：假設(shè)氣體分子的速率分布曲線如圖，圖中A、B兩局部面積相等，那么圖中的物理意義是什么？解：占總分子數(shù)的比率；占總分子數(shù)的比率∵A部面積=B部面積∴出現(xiàn)在大于和小于速率的分子數(shù)相同。例5-6：三個容器A、B、C中裝有同種理想氣體，其分子數(shù)密度相同，而方均根速率之比為::=1:2:4，那么其壓強之比::=？解：::=∵::==1:2:4∴::=§5-6分子的平均自由程和平均碰撞次數(shù)一、分子間碰撞從上節(jié)討論可知，氣體分子運動速率很大，如在0℃時，分子中大多數(shù)分子的速率都在200～600m/s，即在1s內(nèi)氣體分子要走幾百米，但在我們幾米遠處翻開汽油瓶，卻要經(jīng)過數(shù)秒鐘甚至數(shù)分鐘才能聞到汽油的氣味。何故？這是因為氣體分子從一處移至另一處時，要不斷與其他分子碰撞，碰撞后分子不是沿直線運動而是折線?！策@個問題是克勞修斯提出的〕碰撞是氣體分子運動論的重要問題之一，它有一定的應(yīng)用上的理論價值。如：研究輸運過程時，必須考慮到分子之間的相互作用對運動情況的影響，即分子間的碰撞機制。二、平均碰撞次數(shù)和平均自由程1、定義：分子連續(xù)兩次碰撞之間所走過的平均路程叫做分子的平均自由程，記做。一個分子在單位時間內(nèi)與其他分子碰撞的平均次數(shù)叫做平均碰撞頻率，記做?？梢姡簭目臻g角度反映了分子間的碰撞頻繁程度；：從時間角度反映了分子間的碰撞頻繁程度。2、、推導(dǎo)為計算簡便，做如下面假設(shè)：⑴所有分子都是直徑為的剛球〔對理想氣體分子模型修正〕⑵某分子A以運動，其他分子不動。A與其他分子碰撞后，沿圖5-10中折線運動1s內(nèi)，A走過路程。由圖知，但凡離A運動的折線abcd小于的分子，都將和A分子碰撞，1s內(nèi)分子運動的軌跡為軸作半徑為的柱體，那么由上知，凡球心在這個柱體內(nèi)的分子都將與A碰撞。設(shè)為氣體分子數(shù)密度，有以上推導(dǎo)中，認為A運動，其他分子不動，實際上，其他分子也在運動，因此對上式做修正，修正后結(jié)果〔可由麥克斯韋速率分布求得修正系數(shù)〕為：〔簡介用相對運動方法推導(dǎo)〕〔5-29〕由定義，A每走一個，就與其他分子碰一次，∴=單位時間內(nèi)走過的路程=〔5-30〕說明：⑴、是對大量分子統(tǒng)計平均結(jié)果，是統(tǒng)計平均量。⑵不是分子真實直徑，而稱為有效直徑。這是因為分子之間距離小到一定程度時，表現(xiàn)為斥力，而且很大，故他們不能相接觸。⑶以上各節(jié)是在平衡態(tài)條件下得到的結(jié)果。例5-7：下面答案哪一個反映了理想氣體分子在等壓過程中的平均碰撞頻率與熱力學(xué)溫度的關(guān)系？A與無關(guān)；B與成正比；C與成反比；D與成正比解：故C對。例5-8：某理想氣體在、時的速率分布曲線如圖5-11所示，假設(shè)在、時的壓強相等，那么平均自由程關(guān)系為下面答案的哪一個？A；B；C；D無法比擬解：∵而相同∴又相等∴。應(yīng)選C圖5-11例5-9：一定量的理想氣體，，當(dāng)時，下面那一個答案正確？A，；B，；C，；D，；解：由題意知，，∵∴故B對?！?-7玻耳茲曼統(tǒng)計分布麥克斯韋速率分布是對理想氣體而言的，玻耳茲曼把它推廣到在某一力場中的運動分子情況，在力場中的分布結(jié)果叫做玻耳茲曼分布〔或麥克斯韋—玻耳茲曼分布〕。本節(jié)通過一個特例—重力場中分子數(shù)密度隨高度〔重力勢能〕分布，來說明玻耳茲曼分布律。對于理想氣體，那么空間分布是均勻的，考慮重力后，氣體分子的分布不再均勻，其粒子數(shù)密度隨高度變化而變化。在此，取地為坐標(biāo)原點，豎直向上為Z軸正向，為討論方便，考慮地面附近的大氣，此時認為溫度和重力加速度均恒定。對于Z處的壓強，它為Z處垂直于Z軸的單位面積上方空氣柱〔平行Z軸〕的重量，在處，壓強為，即有一壓強增量?！摺搽SZ增加而減小〕∴=一底面積為1高為的氣柱重量，即〔為質(zhì)量密度〕〔為分子質(zhì)量，為分子數(shù)密度〕積分：〔為處〕，得或?qū)懗伞?-31〕上式為氣體壓強隨高度分布，由上式有：〔為處〕〔5-32〕上式為分子數(shù)密度隨高度〔或勢能變化〕的表述式。推廣：一般力場中，用表示相應(yīng)勢能，那么有〔5-33〕上式叫做玻耳茲曼分布律。說明：玻耳茲曼分布是一種經(jīng)典統(tǒng)計，對于微觀世界的現(xiàn)象，雖然必須用量子理論〔量子統(tǒng)計：玻色—愛因斯坦統(tǒng)計，費米—狄拉克統(tǒng)計〕才能解釋，而經(jīng)典統(tǒng)計只能看成是量子理論的極限近似，但是經(jīng)典統(tǒng)計的結(jié)果，在很多情況下還是與實際符合的。如：在分析半導(dǎo)體中載流子按能量分布問題時，一般情況下仍可采用經(jīng)典統(tǒng)計結(jié)果。第六章熱力學(xué)根底§6-1內(nèi)能功熱量一、內(nèi)能內(nèi)能：物體中所有分子無規(guī)那么運動動能+勢能〔分子振動勢能、相互作用勢能〕。真實氣體：〔中有2個獨立〕理想氣體：說明：⑴是狀態(tài)的單值函數(shù)，由〔〕決定〔中只有2個獨立變量〕，為態(tài)函數(shù)，其增量僅與始末二狀態(tài)有關(guān)，而與過程無關(guān)。⑵理想氣體，是溫度的單值增加函數(shù)。二、功與熱量的等效性焦耳曾經(jīng)用實驗證明：如用做功和傳熱的方式使系統(tǒng)溫度升高相同時，所傳遞的熱量和所做的功總有一定的比例關(guān)系，即1卡熱量=4.18焦耳的功可見，功與熱量具有等效性。由力學(xué)知道。對系統(tǒng)做功，就是向系統(tǒng)傳遞能量，做功既然與傳熱等效，那么向系統(tǒng)傳熱也意味著向系統(tǒng)傳遞能量。結(jié)論：傳遞能量的兩種方式做功傳熱說明：做功與傳熱雖然有等效的一面，但本質(zhì)上有著區(qū)別。區(qū)別做功：通過物體作宏觀位移完成。作用是機械運動與系統(tǒng)內(nèi)分子無規(guī)那么運動之間的轉(zhuǎn)換。從而改變內(nèi)能。傳熱：通過分子間相互作用完成。作用是外界分子無規(guī)那么熱運動與系統(tǒng)內(nèi)分子無規(guī)那么熱運動之間的轉(zhuǎn)換。從而改變了內(nèi)能。§6-2熱力學(xué)第一定律一、熱力學(xué)第一定律一般情況下，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化時，作功和傳熱往往是同時存在的。設(shè)有一系統(tǒng)，外界對它傳熱為，使系統(tǒng)內(nèi)能由，同時。系統(tǒng)對外界又作功為，那么用數(shù)學(xué)式表示上述過程，有：(6-1)上式即為熱力學(xué)第一定律的數(shù)學(xué)表達式，它說明：系統(tǒng)吸收的熱量，一局部用來增加內(nèi)能，一局部用來對外作功。對微小過程：(6-2)說明：⑴熱力學(xué)第一定律就是能量轉(zhuǎn)化與守恒定律，它是自然界中的一個普遍規(guī)律。它也可表述為“第一種永動機是不可能制造成功的。〞⑵系統(tǒng)狀態(tài)變化過程中，功與熱之間的轉(zhuǎn)換不可能是直接的，總是通過物質(zhì)系統(tǒng)來完成。向系統(tǒng)傳遞熱量，使系統(tǒng)內(nèi)能增加，再由系統(tǒng)內(nèi)能減少來對外作功；或者外界對系統(tǒng)作功，使系統(tǒng)內(nèi)能增加，再由內(nèi)能減少，系統(tǒng)向外界傳遞能量：功熱量⑶熱力學(xué)第一定律對各種形態(tài)的物質(zhì)系統(tǒng)都適用。只要求初始二態(tài)為平衡態(tài)，而中間過程可是平衡過程，也可以是非平衡過程。⑷的符號意義：>0系統(tǒng)對外界作功；<0外界對系統(tǒng)作正功；>0系統(tǒng)吸熱；<0系統(tǒng)放熱；>0系統(tǒng)內(nèi)能增加；<0系統(tǒng)內(nèi)能減少。二、氣體的功如圖6-1所示，氣體在汽缸中，壓強為，活塞面積，活塞移動時，氣體經(jīng)歷的微小變化過程，視為處處均勻，且不變，氣體對外〔活塞〕作功為〔氣體體積增量〕=陰影面積從：=曲線下面積(6-3)結(jié)論：⑴不僅與始末二狀態(tài)有關(guān)，且還與過程有關(guān)?！踩鐖D6-2中，實線與虛線過程從中的功不同，這由曲線下面積比擬可知〕∴功為過程量。⑵由知∵是過程量∴也是過程量說明：∵∴>0系統(tǒng)對外界作功<0外界對系統(tǒng)作功在上圖知：時：系統(tǒng)對外界作功;時：外界對系統(tǒng)作功.§6-3熱力學(xué)第一定律在理想氣體的等值過程中的應(yīng)用熱力學(xué)第一定律是一條普遍的自然規(guī)律，應(yīng)用很廣泛。本節(jié)僅討論理想氣體在等容、等溫及等壓過程中的應(yīng)用。一、等容過程設(shè)一汽缸，活塞固定不動，有一系列溫差微小的熱源汽缸與他們依次接觸，那么使氣體溫度上升，也上升，但保持常數(shù)，這樣的準靜態(tài)過程，稱為等容過程，圖上的線稱為等容線。等容過程：⑴特點：⑵功：⑶熱力學(xué)第一定律：〔微小過程〕〔有限過程〕〔6-4〕結(jié)論：等容過程中，外界傳給氣體的熱量，全部用來增加氣體內(nèi)能。氣體對外作功=0。二、等溫過程設(shè)一汽缸，活塞上放置沙粒，汽缸與恒溫?zé)嵩唇佑|。現(xiàn)在沙粒一粒一粒地拿下，那么氣體與外界壓強差依次差一微小量，∵要增大及=常數(shù)，∴要減小，這樣的準靜態(tài)過程即為等溫過程。圖上的線稱為等溫線。∵，∴等溫線為雙曲線的一支，并且時，對應(yīng)曲線比對應(yīng)的曲線離原點較遠。等溫過程：⑴特點：⑵內(nèi)能變化：⑶熱力學(xué)第一定律：〔微小過程〕即〔6-5〕結(jié)論：等溫過程中氣體吸收的熱量全部用來對外作功，氣體內(nèi)能不變。三、等壓過程汽缸活塞上的砝碼保持不動，令汽缸與一系列溫差微小的熱源依次接觸，氣體的溫度會逐漸升高，又∵=常數(shù)〔氣體壓強與外界恒定壓強平衡〕，∴也要逐漸增大。這樣的準靜態(tài)過程稱為等壓過程，圖上曲線為等壓線。等壓過程：⑴特點：⑵內(nèi)能變化及功：〔6-6〕〔6-7〕⑶熱力學(xué)第一定律：〔微小過程〕即〔6-8〕結(jié)論：等壓過程中，氣體吸收的熱量一局部轉(zhuǎn)換為內(nèi)能另一局部轉(zhuǎn)換為對外作功。由上可知：、在不同過程中結(jié)果不同，這說明了它們是過程量。例6-1：，一定量的單原子理想氣體經(jīng)歷如下圖的過程，試求：全部過程中，⑴⑵⑶解：⑴⑵⑶〈方法一〉〔利用熱力學(xué)第一定律〕〈方法二〉=〔利用內(nèi)能公式計算〕注意：、為過程量，為狀態(tài)量§6-4氣體熱容量一、熱容量概念質(zhì)量為的物體，溫度從升到時，吸熱為，與成正比，與成比例設(shè)為比例系數(shù)，有：〔6-9〕：比熱，：熱容量，：為摩爾熱容量，記做。：1物質(zhì)溫度升高1時吸收的熱量。故可表示為〔6-10〕二、等容摩爾熱容量及等壓摩爾熱容量1、：⑴意義：等容過程中，物質(zhì)溫度升高1時所吸收熱量。⑵=？〔理想氣體〕〔6-11〕單原子分子理想氣體=剛性雙原子分子理想氣體剛性多原子分子理想氣體⑶熱量〔6-12〕2、⑴意義：等壓過程中，氣體溫度升高1時所吸收熱量⑵∵∴〔6-13〕單原子分子理想氣體=剛性雙原子分子理想氣體剛性多原子分子理想氣體⑶熱量：〔6-14〕3、比熱比單原子分子剛性雙原子分子剛性多原子分子說明：⑴熱容量是過程量⑵?理想氣體，時，∵此二過程中，相同，∴結(jié)論：∵等壓過程中吸熱一局部用來增加內(nèi)能，一局部用來對外作正功，∴⑶、不僅適用于理想氣體，也適用于其他氣體，只不過、有所不同。⑷適用于任何過程。證明如下：數(shù)學(xué)角度：可見適用于任何過程物理角度：任何過程：〔∵〕例6-2：單原子分子理想氣體，由0℃分別經(jīng)等容和等壓過程變?yōu)?00℃解：⑴等容：⑵等壓：*：時，用計算比擬方便?！?-5絕熱過程一、絕熱過程及其方程1、絕熱過程：氣體與外界無熱量交換的變化過程。如：平常的熱水瓶內(nèi)進行的變化過程可近似看作絕熱過程。氣體迅速自由膨脹〔由兩室組成，中間用隔板隔開，開始氣體全在左室，突然拉開隔板，左室氣體將迅速膨脹，由于過程進行的很快，來不及與外界交換熱量，故近似為絕熱過程〕。絕熱過程：⑴特點：[注意：是，不僅是]⑵功：內(nèi)能：⑶熱力學(xué)第一定律：結(jié)論：絕熱膨脹過程中，內(nèi)能的減少完全用來氣體對外作功，氣體與外界無能量交換。2、絕熱方程絕熱膨脹中：及∵，而，〔一定〕∴，即、、均變化。絕熱過程方程：〔6-15〕〔6-16〕〔6-17〕說明：⑴一般情況下，、、互不相等。⑵過程方程只適用于某一特定過程。如只適用于絕熱過程，而狀態(tài)方程適用于理想氣體的所有過程。二、絕熱線及等溫線的討論絕熱過程在圖畫出。如圖實線所示，此曲線稱為絕熱線。虛線表示同一氣體的等溫線，A為二曲線交點。從圖上看出，絕熱線比等溫線陡一些，這可作如下解釋：⑴數(shù)學(xué)解釋等溫：即〔A點切線斜率〕絕熱：即〔A點切線斜率〕∵∴故絕熱線要陡些。⑵物理解釋假設(shè)氣體從A點開始體積增加，由及知，在此情況下，都減小〔無論是等溫過程還是絕熱過程〕。由知，氣體等溫膨脹時，引起減小的只有這個因素，氣體絕熱膨脹時，由于，∴引起減小的因素除了的增加外，還有減小的因素，∴相同時，絕熱過程中下降的快。例6-3：一定量的理想氣體經(jīng)絕熱過程由狀態(tài)〔、〕〔、〕，求此程中氣體對外作的功。解：〈方法一〉〈方法二〉例6-4：雙原子理想氣體〔剛性〕，從狀態(tài)A〔、〕沿直線出發(fā)到B〔、〕，試求：⑴⑵⑶解：此題目為非等值過程⑴⑵=陰影面積[或]⑶例6-5：一定量的理想氣體，由平衡態(tài)A變化到平衡態(tài)B，那么無論經(jīng)過什么過程，系統(tǒng)必然：A對外作正功；B內(nèi)能增加；C從外界吸熱；D向外界放熱解：在全過程中是否作正功，是否吸熱或放熱都無法確定，∵、是過程量，它與具體過程有關(guān)。但是可知，，∴。應(yīng)選B。例6-6：試討論理想氣體在以下圖Ⅰ、Ⅲ兩個過程中是吸熱還是放熱？Ⅱ為絕熱過程。解：由圖知：〔∵〕∵∴放熱吸熱〔假設(shè)從，那么有，〕例6-7：如下圖，單原子理想氣體，經(jīng)過一平衡過程，、均為直線。試求：〔1〕及中，、、〔2〕中溫度最高狀態(tài)為何？〔3〕過程中是否均吸收熱量？解：〔1〕〔等容過程〕〔非等值過程〕〔梯形面積〕等溫線的位置知，在中，溫度遞增，∴最高溫度狀態(tài)一定在中。①段方程②②①：時，只有：即〔此時，∴有極大值〕，可知：溫度最高狀態(tài)為〔，〕〔也可用求對應(yīng)的狀態(tài)，此狀態(tài)即為態(tài)，∵理想氣體內(nèi)能是的單調(diào)增加函數(shù)〕在過程中，∵〔或用等溫線位置判斷〕，∴，由此可知。又∵，∴，即在過程中每一微小過程氣體均吸熱。在過程中，∵不是絕熱過程〔、關(guān)系式不是〕∴此過程中吸熱與放熱之和=0可見中有放熱存在，故中不均是吸熱。*：⑴，并不能說明是絕熱過程，絕熱過程特征是⑵不一定是吸熱過程〔即的過程〕§6-6循環(huán)過程卡諾循環(huán)熱機效率一、循環(huán)過程在生產(chǎn)實踐中需要持續(xù)不斷地把熱轉(zhuǎn)換為功，但依靠一個單獨的變化過程不能到達這個目的。如：汽缸中氣體作等溫膨脹時，它從熱源吸熱對外作功，它所吸收的熱量全部用來對外作功。但是，由于汽缸長度總是有限的，這個過程不能無限地進行下去，所以依靠氣體等溫膨脹所作的功是有限的，為了維持不斷地把熱量轉(zhuǎn)變?yōu)楣?，必須利用循環(huán)過程。循環(huán)：系統(tǒng)經(jīng)過一系列狀態(tài)變化過程又回到原狀態(tài)。2、特點：循環(huán)一次⑴⑵凈功==循環(huán)曲線圍成圖形面積3、種類：①正循環(huán)〔順時針〕：吸熱作功—熱機②逆循環(huán)〔逆時針〕：放熱對外作功—致冷機4、熱機、致冷機工作原理⑴熱機：如圖循環(huán)凈功即熱機效率：定義〔6-18〕⑵制冷機：如上圖作逆循環(huán)外界對系統(tǒng)作功=即=或制冷系數(shù)：定義循環(huán)特征：功：循環(huán)面積熱機效率：〔指吸熱，不是凈吸熱〕〔一般熱機〕二、卡諾循環(huán)循環(huán)過程中類別很多，但是理論上有實際意義的是卡諾循環(huán)。正循環(huán)〔熱機〕1、循環(huán)的分過程：四個分過程：：等溫膨脹：絕熱膨脹：等溫壓縮：絕熱壓縮2、熱機效率：熱機效率一般式：〔=純吸熱的分過程吸熱之和凈吸熱〕〔對任何熱機成立〕①卡諾熱機：等溫②絕熱即③①、②、③〔6-19〕說明：⑴只與、有關(guān)，越大，越小，那么越大。也就是說，當(dāng)兩熱源溫差越大，從高溫?zé)嵩次〉臒崃康睦脙r值就越大。⑵是的特例，前者僅適用于卡諾循環(huán)，后者適用于一般過程的循環(huán)。⑶卡諾循環(huán)的工作物質(zhì)不一定為理想氣體，可以是彈性體、磁性物質(zhì)等〔卡諾定理已經(jīng)證明了與工作物質(zhì)無關(guān)，只與、有關(guān)。逆循環(huán)〔制冷機〕1、循環(huán)一次結(jié)果：從吸熱-向放熱〔面積〕凈功即結(jié)論：逆循環(huán)中，工作物質(zhì)從低溫?zé)嵩次鼰?，接受外界作功為，向高溫?zé)嵩捶艧釣?。從低溫?zé)嵩次崃康慕Y(jié)果，使低溫?zé)嵩礈囟冉档?，這就是制冷機原理。2、制冷系數(shù)制冷機把熱量從低溫?zé)嵩础参镔|(zhì)〕傳給高溫?zé)嵩础参矬w〕是有代價的，即外界必須對它作功，這個代價的大小常用制冷系數(shù)來標(biāo)定。定義：制冷系數(shù)=工作物質(zhì)從低溫?zé)嵩次〉臒崃颗c外界對它作的功的比值?！惨话闶健硨ㄖZ可逆機，有∴〔可大于