大學(xué)物理-第二版-中科大版

大學(xué)物理學(xué)習(xí)題答案習(xí)題一答案習(xí)題一簡要答復(fù)以下問題：位移和路程有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？在什么情況下二者的量值不相等？(2)平均速度和平均速率有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？(3)瞬時(shí)速度和平均速度的關(guān)系和區(qū)別是什么？瞬時(shí)速率和平均速率的關(guān)系和區(qū)別又是什么？質(zhì)點(diǎn)的位矢方向不變，它是否一定做直線運(yùn)動(dòng)？質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位矢的方向是否一定保持不變？和有區(qū)別嗎？和有區(qū)別嗎？和各代表什么運(yùn)動(dòng)？設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：，，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求出，然后根據(jù)及而求得結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即及你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？兩者區(qū)別何在？(7)如果一質(zhì)點(diǎn)的加速度與時(shí)間的關(guān)系是線性的，那么，該質(zhì)點(diǎn)的速度和位矢與時(shí)間的關(guān)系是否也是線性的？“物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度方向一定在運(yùn)動(dòng)軌道的切線方向，法向分速度恒為零，因此其法向加速度也一定為零.〞這種說法正確嗎？(9)任意平面曲線運(yùn)動(dòng)的加速度的方向總指向曲線凹進(jìn)那一側(cè)，為什么？(10)質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，且速率隨時(shí)間均勻增大，、、三者的大小是否隨時(shí)間改變？(11)一個(gè)人在以恒定速度運(yùn)動(dòng)的火車上豎直向上拋出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子拋出后，火車以恒定加速度前進(jìn)，結(jié)果又如何？1.2一質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)與時(shí)間的變化關(guān)系為，式中分別以、為單位，試計(jì)算：(1)在最初內(nèi)的位移、平均速度和末的瞬時(shí)速度；(2)末到末的平均加速度；(3)末的瞬時(shí)加速度。解：最初內(nèi)的位移為為：最初內(nèi)的平均速度為：時(shí)刻的瞬時(shí)速度為：末的瞬時(shí)速度為：(2)末到末的平均加速度為：(3)末的瞬時(shí)加速度為：。1.3質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度為零，初始加速度為，質(zhì)點(diǎn)出發(fā)后，每經(jīng)過時(shí)間，加速度均勻增加。求經(jīng)過時(shí)間后，質(zhì)點(diǎn)的速度和位移。解:由題意知，加速度和時(shí)間的關(guān)系為利用，并取積分得，再利用，并取積分[設(shè)時(shí)]得，1.4一質(zhì)點(diǎn)從位矢為的位置以初速度開始運(yùn)動(dòng)，其加速度與時(shí)間的關(guān)系為.所有的長度以米計(jì)，時(shí)間以秒計(jì).求：〔1〕經(jīng)過多長時(shí)間質(zhì)點(diǎn)到達(dá)軸；〔2〕到達(dá)軸時(shí)的位置。解：當(dāng)，即時(shí)，到達(dá)軸。時(shí)到達(dá)軸的位矢為：即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)軸時(shí)的位置為。1.5一質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)，其加速度與坐標(biāo)的關(guān)系為，式中為常數(shù)，設(shè)時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為、速度為，求質(zhì)點(diǎn)的速度與坐標(biāo)的關(guān)系。解：按題意由此有，即，兩邊取積分，得由此給出，1.6一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，式中，分別以、為單位。試求：(1)質(zhì)點(diǎn)的速度與加速度；(2)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。解：(1)速度和加速度分別為：，(2)令，與所給條件比擬可知，，所以軌跡方程為：。1.7質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其速度為，求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的路程。解:在求解此題中要注意：在時(shí)間內(nèi)，速度有時(shí)大于零，有時(shí)小于零，因而運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)往返。如果計(jì)算積分，那么求出的是位移而不是路程。求路程應(yīng)當(dāng)計(jì)算積分。令，解得。由此可知：s時(shí)，，；s時(shí)，；而s時(shí)，，。因而質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的路程為。1.8在離船的高度為的岸邊，一人以恒定的速率收繩，求當(dāng)船頭與岸的水平距離為時(shí)，船的速度和加速度。解:建立坐標(biāo)系如題1.8圖所示，船沿軸方向作直線運(yùn)動(dòng)，欲求速度，應(yīng)先建立運(yùn)動(dòng)方程，由圖題1.8，可得出習(xí)題1.8圖兩邊求微分，那么有船速為按題意(負(fù)號(hào)表示繩隨時(shí)間縮短)，所以船速為(前面根號(hào)下的里面是加號(hào))負(fù)號(hào)說明船速與軸正向反向，船速與有關(guān)，說明船作變速運(yùn)動(dòng)。將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得船的加速度為負(fù)號(hào)說明船的加速度與軸正方向相反，與船速方向相同，加速度與有關(guān)，說明船作變加速運(yùn)動(dòng)。1.9一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其角坐標(biāo)(以弧度計(jì))可用下式表示其中的單位是秒()試問：(1)在時(shí)，它的法向加速度和切向加速度各是多少？(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)其總加速度與半徑成角？解：(1)利用，，，得到法向加速度和切向加速度的表達(dá)式，在時(shí)，法向加速度和切向加速度為：，(2)要使總加速度與半徑成角，必須有，即解得，此時(shí)1.10甲乙兩船，甲以的速度向東行駛，乙以的速度向南行駛。問坐在乙船上的人看來，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看來乙船的速度又如何？解：以地球?yàn)閰⒄障?，設(shè)、分別代表正東和正北方向，那么甲乙兩船速度分別為，根據(jù)伽利略變換，當(dāng)以乙船為參照物時(shí)，甲船速度為，即在乙船上看，甲船速度為，方向?yàn)闁|偏北同理，在甲船上看，乙船速度為，方向?yàn)槲髌稀?.11有一水平飛行的飛機(jī)，速率為，在飛機(jī)上安置一門大炮，炮彈以水平速度向前射擊。略去空氣阻力，(1)以地球?yàn)閰⒄障?，求炮彈的軌跡方程；(2)以飛機(jī)為參照系，求炮彈的軌跡方程；(3)以炮彈為參照系，飛機(jī)的軌跡如何？解：(1)以地球?yàn)閰⒄障禃r(shí)，炮彈的初速度為，而，消去時(shí)間參數(shù)，得到軌跡方程為：〔假設(shè)以豎直向下為y軸正方向，那么負(fù)號(hào)去掉，下同〕(2)以飛機(jī)為參照系時(shí)，炮彈的初速度為，同上可得軌跡方程為(3)以炮彈為參照系，只需在(2)的求解過程中用代替，代替，可得.1.12如題1.12圖，一條船平行于平直的海岸線航行，離岸的距離為，速率為，一艘速率為的海上警衛(wèi)快艇從一港口出去攔截這條船。試證明：如果快艇在盡可能最遲的時(shí)刻出發(fā)，那么快艇出發(fā)時(shí)這條船到海岸線的垂線與港口的距離為；快艇截住這條船所需的時(shí)間為。港口習(xí)題1.12圖證明：在如下圖的坐標(biāo)系中，船與快艇的運(yùn)動(dòng)方程分別為和攔截條件為：即所以，取最大值的條件為：，由此得到，相應(yīng)地。因此的最大值為取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的出發(fā)時(shí)間最遲?？焱Ы刈∵@條船所需的時(shí)間為。習(xí)題二答案習(xí)題二2.1簡要答復(fù)以下問題：(1)有人說：牛頓第一定律只是牛頓第二定律在合外力等于零情況下的一個(gè)特例，因而它是多余的.你的看法如何？(2)物體的運(yùn)動(dòng)方向與合外力方向是否一定相同？(3)物體受到了幾個(gè)力的作用，是否一定產(chǎn)生加速度？(4)物體運(yùn)動(dòng)的速率不變，所受合外力是否一定為零？(5)物體速度很大，所受到的合外力是否也很大？(6)為什么重力勢(shì)能有正負(fù)，彈性勢(shì)能只有正值，而引力勢(shì)能只有負(fù)值？(7)合外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物體動(dòng)能的增量？(8)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和動(dòng)能是否與慣性系的選取有關(guān)？功是否與慣性系有關(guān)？質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理與動(dòng)能定理是否與慣性系有關(guān)？請(qǐng)舉例說明.(9)判斷以下說法是否正確，并說明理由：(a)不受外力作用的系統(tǒng)，它的動(dòng)量和機(jī)械能都守恒.(b)內(nèi)力都是保守力的系統(tǒng)，當(dāng)它所受的合外力為零時(shí)，其機(jī)械能守恒.(c)只有保守內(nèi)力作用而沒有外力作用的系統(tǒng)，它的動(dòng)量和機(jī)械能都守恒.(10)在彈性碰撞中，有哪些量保持不變，在非彈性碰撞中，又有哪些量保持不變？(11)放焰火時(shí)，一朵五彩繽紛的焰火質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡如何？為什么在空中焰火總是以球形逐漸擴(kuò)大？(忽略空氣阻力)2.2質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力〔為常數(shù)〕作用，時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為，證明：〔1〕時(shí)刻的速度為；〔2〕由0到的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為；〔3〕停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為。證明：(1)由別離變量得，積分得，，(2)(3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即，故有。2.3一質(zhì)量為10kg的物體沿x軸無摩擦地運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)，物體的速度為零，物體在力(N)(t以s為單位)的作用下運(yùn)動(dòng)了3s，求它的速度和加速度.解.根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理,,根據(jù)牛頓第二定律，(m/s2)2.4一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為ms-1，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為N〔a,b為常數(shù)〕，其中t以秒為單位：〔1〕假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長所需時(shí)間；〔2〕求子彈所受的沖量；〔3〕求子彈的質(zhì)量。解：(1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有,得(2)子彈所受的沖量，將代入，得(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量2.5一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在xoy平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為，求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及到時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量。解：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為將和分別代入上式，得，動(dòng)量的增量，亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為2.6作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為，式中的單位是?！?〕求4s后，這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量；〔2〕為了使這力的沖量為200Ns，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度的物體，答復(fù)這兩個(gè)問題。解：(1)假設(shè)物體原來靜止，那么[]，沿x軸正向，假設(shè)物體原來具有初速度，那么于是同理，這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，那么不管物體有無初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大，那么物體獲得的動(dòng)量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動(dòng)量定理．(2)同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即令，解得。2.7一小船質(zhì)量為100kg，船頭到船尾共長3.6m?，F(xiàn)有一質(zhì)量為50kg的人從船尾走到船頭時(shí)，船頭將移動(dòng)多少距離？假定水的阻力不計(jì)。習(xí)題2.7圖解：由動(dòng)量守恒又，，如圖，船的長度所以即船頭相對(duì)岸邊移動(dòng)2.8質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn),從靜止出發(fā)沿軸作直線運(yùn)動(dòng)，受力(N)，試求開始內(nèi)該力作的功。解而所以2.9一地下蓄水池，面積為，水深度為，假定水的上外表低于地面的高度是，問欲將這池水全部抽到地面，需作功多少?習(xí)題2.9圖解:建坐標(biāo)如習(xí)題2.9圖，圖中表示水面到地面的距離，表示水深。水的密度為，對(duì)于坐標(biāo)為、厚度為的一層水，其質(zhì)量，將此層水抽到地面需作功將蓄水池中的水全部抽到地面需作功(J)2.9一炮彈質(zhì)量為，以速度飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動(dòng)能為，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為，。證明：設(shè)一塊的質(zhì)量為，那么另一塊的質(zhì)量為。利用，有，①又設(shè)的速度為，的速度為，那么有②[動(dòng)量守恒]③聯(lián)立①、③解得，④聯(lián)立④、②解得，于是有將其代入④式，有又因?yàn)楸ê?，兩彈片仍沿原方向飛行，當(dāng)時(shí)只能取。2.10一質(zhì)量為的子彈射入置于光滑水平面上質(zhì)量為并與勁度系數(shù)為的輕彈簧連著的木塊后使彈簧最大壓縮了，求子彈射入前的速度.習(xí)題2.10圖解：子彈射入木塊到相對(duì)靜止的過程是一個(gè)完全非彈性碰撞，時(shí)間極短，木塊獲得了速度，尚未位移，因而彈簧尚未壓縮.此時(shí)木塊和子彈有共同的速度，由動(dòng)量守恒，此后，彈簧開始?jí)嚎s，直到最大壓縮，由機(jī)械能守恒，由兩式消去，解出得2.11質(zhì)量的物體從靜止開始，在豎直平面內(nèi)沿著固定的四分之一圓周從滑到。在處時(shí)，物體速度的大小為。圓的半徑為，求物體從滑到的過程中摩擦力所作的功：(1)用功的定義求；(2)用動(dòng)能定理求；(3)用功能原理求。習(xí)題2.11圖解方法一：當(dāng)物體滑到與水平成任意角的位置時(shí)，物體在切線方向的牛頓方程為即注意摩擦力與位移反向，且，因此摩擦力的功為方法二：選為研究對(duì)象，合外力的功為考慮到，因而由于動(dòng)能增量為，因而按動(dòng)能定理有，。方法三：選物體、地球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，以點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)。初始在點(diǎn)時(shí)，、終了在點(diǎn)時(shí)，，由功能原理知：經(jīng)比擬可知，用功能原理求最簡捷。2.12墻壁上固定一彈簧，彈簧另一端連接一個(gè)物體，彈簧的勁度系數(shù)為，物體與桌面間的摩擦因素為，假設(shè)以恒力將物體自平衡點(diǎn)向右拉動(dòng)，試求到達(dá)最遠(yuǎn)時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能。習(xí)題2.12圖解：物體水平受力如圖，其中，。物體到達(dá)最遠(yuǎn)時(shí)，。設(shè)此時(shí)物體的位移為,由動(dòng)能定理有即解出系統(tǒng)的勢(shì)能為2.13一雙原子分子的勢(shì)能函數(shù)為式中為二原子間的距離，試證明：⑴為分子勢(shì)能極小時(shí)的原子間距；⑵分子勢(shì)能的極小值為；⑶當(dāng)時(shí)，原子間距離為；證明：〔1〕當(dāng)、時(shí)，勢(shì)能有極小值。由得所以，即為分子勢(shì)能取極值時(shí)的原子間距。另一方面，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取最小值?！?〕當(dāng)時(shí)，〔3〕令，得到，，2.14質(zhì)量為7.2×10-23kg，速度為6.0×107m/s的粒子A，與另一個(gè)質(zhì)量為其一半而靜止的粒子B相碰，假定這碰撞是彈性碰撞，碰撞后粒子A的速率為5×107m/s，求：⑴粒子B的速率及偏轉(zhuǎn)角；⑵粒子A的偏轉(zhuǎn)角。習(xí)題2.14圖解：兩粒子的碰撞滿足動(dòng)量守恒寫成分量式有碰撞是彈性碰撞，動(dòng)能不變：利用，，，，可解得，，。2.15平板中央開一小孔，質(zhì)量為的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物。小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為時(shí)重物到達(dá)平衡。今在的下方再掛一質(zhì)量為的物體，如題2-15圖。試問這時(shí)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和半徑為多少？習(xí)題2.15圖解：在只掛重物時(shí)，小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為，即①掛上后，那么有②重力對(duì)圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒．即③聯(lián)立①、②、③得2.16哈雷慧星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓。它離太陽最近距離為時(shí)的速率是，它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是，這時(shí)它離太陽的距離r2是多少？〔太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)?！辰猓汗族缧抢@太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽的引力——即有心力的作用，所以角動(dòng)量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直，故有

∴2.17查閱文獻(xiàn)，對(duì)變質(zhì)量力學(xué)問題進(jìn)行分析和探討，寫成小論文。參考文獻(xiàn)：[1]石照坤，變質(zhì)量問題的教學(xué)之淺見，大學(xué)物理，1991年第10卷第10期。[2]任學(xué)藻、廖旭，變質(zhì)量柔繩問題研究，大學(xué)物理，2006年第25卷第2期。2.18通過查閱文獻(xiàn)，形成對(duì)慣性系的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，寫成小論文。參考文獻(xiàn)：[1]高炳坤、李復(fù)，“慣性系〞考，大學(xué)物理，2002年第21卷第4期。[2]高炳坤、李復(fù)，“慣性系〞考(續(xù))，大學(xué)物理，2002年第21卷第5期。習(xí)題三答案習(xí)題三3.1簡要答復(fù)以下問題：地球由西向東自轉(zhuǎn)，它的自轉(zhuǎn)角速度矢量指向什么方向？作圖說明.(2)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與那些因素有關(guān)？“一個(gè)確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量〞這句話對(duì)嗎？(3)平行于軸的力對(duì)軸的力矩一定為零，垂直于軸的力對(duì)軸的力矩一定不為零.這種說法正確嗎？(4)如果剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？(5)兩大小相同、質(zhì)量相同的輪子，一個(gè)輪子的質(zhì)量均勻分布，另一個(gè)輪子的質(zhì)量主要集中在輪子邊緣，兩輪繞通過輪心且垂直于輪面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。問：(a)如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個(gè)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較大？(b)如果它們的角加速度相同，哪個(gè)輪子受到的力矩大？(c)如果它們的角動(dòng)量相等，哪個(gè)輪子轉(zhuǎn)得快？(6)為什么質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變不僅與外力有關(guān)，而且也與內(nèi)力有關(guān)，而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能只與外力矩有關(guān)，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)？(7)以下物理量中，哪些與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)，哪些與參考點(diǎn)的選擇無關(guān)：(a)位矢；(b)位移；(c)速度；(d)動(dòng)量；(e)角動(dòng)量；(f)力；(g)力矩.(8)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)于圓周上某一定點(diǎn)，它的角動(dòng)量是否守恒？對(duì)于通過圓心并與圓平面垂直的軸上任一點(diǎn)，它的角動(dòng)量是否守恒？對(duì)于哪一個(gè)定點(diǎn)，它的角動(dòng)量守恒？(9)一人坐在角速度為的轉(zhuǎn)臺(tái)上，手持一個(gè)旋轉(zhuǎn)著的飛輪，其轉(zhuǎn)軸垂直于地面，角速度為。如果突然使飛輪的轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)，將發(fā)生什么情況？設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)和人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。3.2質(zhì)量為長為的均質(zhì)桿，可以繞過端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，用手支住端，使桿與地面水平放置，問在突然撒手的瞬時(shí)，(1)繞點(diǎn)的力矩和角加速度各是多少？(2)桿的質(zhì)心加速度是多少？習(xí)題3.1圖解：(1)繞B點(diǎn)的力矩由重力產(chǎn)生，設(shè)桿的線密度為，，那么繞B點(diǎn)的力矩為桿繞B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為角加速度為(2)桿的質(zhì)心加速度為3.3如下圖，兩物體1和2的質(zhì)量分別為與，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為。⑴如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力與(設(shè)繩子與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng))；⑵如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力與。習(xí)題3.2圖解：⑴先做受力分析，物體1受到重力和繩的張力，對(duì)于滑輪，受到張力和，對(duì)于物體2，在水平方向上受到摩擦力和張力，分別列出方程[][]通過上面三個(gè)方程，可分別解出三個(gè)未知量，，⑵在⑴的解答中，取即得，，。3.4電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=50kg·m2的系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在0.5s內(nèi)由靜止開始最后到達(dá)120r/min的轉(zhuǎn)速。假定在這一過程中轉(zhuǎn)速是均勻增加的，求電動(dòng)機(jī)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)施加的力矩。解：由于轉(zhuǎn)速是均勻增加的，所以角加速度為從而力矩為3.5一飛輪直徑為0.30m，質(zhì)量為5.00kg，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻的加速，經(jīng)0.50s轉(zhuǎn)速到達(dá)10r/s。假定飛輪可看作實(shí)心圓柱體，求：⑴飛輪的角加速度及在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；⑵拉力及拉力所作的功；⑶從拉動(dòng)后t=10s時(shí)飛輪的角速度及輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。解：⑴飛輪的角加速度為轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為⑵飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，所以，拉力的大小為拉力做功為⑶從拉動(dòng)后t=10s時(shí)，輪角速度為輪邊緣上一點(diǎn)的速度為輪邊緣上一點(diǎn)的加速度為。3.6飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為1000r/min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動(dòng)，求制動(dòng)力F。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)μ=0.4，飛輪的質(zhì)量全局部布在輪的外周上。尺寸如下圖。習(xí)題3.6圖解：設(shè)在飛輪接觸點(diǎn)上所需要的壓力為，那么摩擦力為，摩擦力的力矩為，在制動(dòng)過程中，摩擦力的力矩不變，而角動(dòng)量由變化到0，所以由有解得。由桿的平衡條件得。3.7彈簧、定滑輪和物體的連接如圖3.7所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0Nm-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.5kgm2，半徑為0.30m，問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時(shí)，它的速率為多大？假設(shè)開始時(shí)物體靜止而彈簧無伸長。習(xí)題3.7圖解：當(dāng)物體落下0.40m時(shí)，物體減少的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的勢(shì)能、物體的動(dòng)能和滑輪的動(dòng)能，即，將，，，，代入，得3.8在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤的半徑為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，角速度為。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動(dòng)能的變化。解：系統(tǒng)的角動(dòng)量在整個(gè)過程中保持不變。人在盤邊時(shí)，角動(dòng)量為人走到盤心時(shí)角動(dòng)量為因此人在盤邊和在盤心時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能分別為，系統(tǒng)動(dòng)能增加3.9在半徑為，質(zhì)量為的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)這人開始沿著與圓盤同心，半徑為[]的圓周勻速地走動(dòng)時(shí)，設(shè)他相對(duì)于圓盤的速度為，問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)？解：整個(gè)體系的角動(dòng)量保持為零，設(shè)人勻速地走動(dòng)時(shí)圓盤的角速度為，那么解得3.10如題3.10圖示，轉(zhuǎn)臺(tái)繞中心豎直軸以角速度作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=5×10-5kg·m2?，F(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉(zhuǎn)臺(tái)，并粘在臺(tái)面形成一半徑=0.1m的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺(tái)，使轉(zhuǎn)臺(tái)角速度變?yōu)樗ǖ臅r(shí)間。習(xí)題3.10圖解：要使轉(zhuǎn)臺(tái)角速度變?yōu)?，由于砂粒落下時(shí)不能改變體系角動(dòng)量，所以必須要使體系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加倍才行，即。將和代入得所以3.11一脈沖星質(zhì)量為1.5×1030kg，半徑為20km。自旋轉(zhuǎn)速為2.1r/s，并且以1.0×10-15r/s的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能以多大的變化率減??？如果這一變化率保持不變，這個(gè)脈沖星經(jīng)過多長時(shí)間就會(huì)停止自旋？設(shè)脈沖星可看作勻質(zhì)球體。解：脈沖星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化率為由，，得停止自旋所需要的時(shí)間為3.12兩滑冰運(yùn)發(fā)動(dòng)，質(zhì)量分別為MA=60kg，MB=70kg，它們的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩者最接近時(shí)，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)并保持兩者間的距離為1.5m。求該瞬時(shí)：⑴系統(tǒng)的總角動(dòng)量；⑵系統(tǒng)的角速度；⑶兩人拉手前、后的總動(dòng)能。這一過程中能量是否守恒，為什么？解：⑴設(shè)兩滑冰運(yùn)發(fā)動(dòng)拉手后，兩人相距為，兩人與質(zhì)心距離分別為和，那么，兩人拉手前系統(tǒng)總角動(dòng)量為⑵設(shè)兩人拉手后系統(tǒng)的角速度為，由于兩人拉手后系統(tǒng)角動(dòng)量不變所以，⑶兩人拉手前總動(dòng)能為：拉手后，由于整個(gè)體系的動(dòng)量保持為零，所以體系動(dòng)能為所以體系動(dòng)能保持守恒?？梢运愠?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，體系能量守恒，否那么能量會(huì)減小，且3.13一長=0.40m的均勻木棒，質(zhì)量M=1.00kg，可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒自然地豎直懸垂。現(xiàn)有質(zhì)量m=8g的子彈以v=200m/s的速率從A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為，如圖。求：⑴棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度；⑵棒的最大偏轉(zhuǎn)角。習(xí)題3.13圖解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點(diǎn)的角動(dòng)量為子彈射入后，整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為所以⑵子彈射入后，且桿仍然垂直時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為當(dāng)桿轉(zhuǎn)至最大偏轉(zhuǎn)角時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能的增加量為由機(jī)械能守恒，得3.14通過查閱文獻(xiàn)，探討計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡化方法，寫成小論文。參考文獻(xiàn)：周海英、陳浩、張曉偉，巧算一類剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，大學(xué)物理，2005年第24卷第2期。通過上網(wǎng)搜尋，查找對(duì)稱陀螺規(guī)那么進(jìn)動(dòng)在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用事例，并進(jìn)行分類。習(xí)題四參考解答4.1慣性系相對(duì)慣性系以速度運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)與重合時(shí)，。在慣性系中一質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，軌道方程為，，試證：在慣性系中的觀測(cè)者觀測(cè)到該質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)，橢圓的中心以速度運(yùn)動(dòng)。提示：在慣性系中的觀測(cè)者觀測(cè)到該質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為。證明：根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)變換關(guān)系代入原方程中，得到化簡得所以，在K系中質(zhì)點(diǎn)做橢圓運(yùn)動(dòng)，橢圓中心以速度運(yùn)動(dòng)。一觀測(cè)者測(cè)得運(yùn)動(dòng)著的米尺長，問此米尺以多大的速度接近觀測(cè)者？解：由相對(duì)論長度縮短關(guān)系得到如題圖4.3所示，在系的平面內(nèi)放置一固有長度為的細(xì)桿，該細(xì)桿與軸的夾角為。設(shè)系相對(duì)于系沿軸正向以速率運(yùn)動(dòng)，試求在系中測(cè)得的細(xì)桿的長度和細(xì)桿與軸的夾角。，題圖4.3解：細(xì)桿在系中的兩個(gè)坐標(biāo)上的投影分別為細(xì)桿在系中的兩個(gè)坐標(biāo)上的投影分別為在系中細(xì)桿的長度為與X軸正向夾角為一飛船以的速率相對(duì)于地面[假設(shè)地面慣性系]勻速飛行。假設(shè)飛船上的鐘走了的時(shí)間，用地面上的鐘測(cè)量是經(jīng)過了多少時(shí)間？解：根據(jù)相對(duì)論中時(shí)間延長關(guān)系代入數(shù)據(jù)，可得介子束的速度為[為真空中的光速]，其固有平均壽命為，在實(shí)驗(yàn)室中看來，介子在一個(gè)平均壽命期內(nèi)飛過多大距離？解：根據(jù)相對(duì)論中時(shí)間延長關(guān)系代入數(shù)據(jù)，可得因此4.6慣性系相對(duì)另一慣性系沿軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在慣性系中觀測(cè)到兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生軸上，且其間距是，在系觀測(cè)到這兩個(gè)事件的空間間距是，求系中測(cè)得的這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔。解：由相對(duì)論的同時(shí)性的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系(1)(2)聯(lián)立兩式得到代入(2)式中得到4.7論證以下結(jié)論：在某個(gè)慣性系中有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在不同的地點(diǎn)，在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的其他慣性系中，這兩個(gè)事件一定不同時(shí)發(fā)生。證明：令在某個(gè)慣性系中兩事件滿足，那么在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)慣性系中(相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為),兩事件的時(shí)間間隔是由于，且所以，即兩事件一定不同時(shí)發(fā)生。試證明：(1)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，那么對(duì)一切慣性系來說這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔，只有在此慣性系中最短；(2)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同時(shí)發(fā)生的，那么對(duì)一切慣性系來說這兩個(gè)事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短。證明(1)設(shè)兩事件在某慣性系中于同一地點(diǎn)發(fā)生，即，時(shí)間間隔為，那么在另一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為的慣性系中，兩事件的時(shí)間間隔為所以，在原慣性系中時(shí)間間隔最短。證明(2)設(shè)兩事件在某慣性系中于同時(shí)發(fā)生，即，時(shí)間間隔為，那么在另一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為的慣性系中，兩事件的時(shí)間間隔為所以，在原慣性系中空間間隔最短。假設(shè)電子和電子均以[為真空中的光速]的速度相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室向右和向左飛行，問兩者的相對(duì)速度是多少？[答案：]一光源在系的原點(diǎn)發(fā)出一光線。光線在平面內(nèi)且與軸的夾角為。設(shè)系相對(duì)于系沿軸正向以速率運(yùn)動(dòng)。試求在系中的觀測(cè)者觀測(cè)到此光線與軸的夾角。解：光線的速度在系中兩個(gè)速度坐標(biāo)上的投影分別為由速度變換關(guān)系，那么在系中速度的兩個(gè)投影分別為，所以，在系中的觀測(cè)者觀測(cè)到此光線與軸的夾角如果一觀測(cè)者測(cè)出電子的質(zhì)量為[為電子的靜止質(zhì)量]，問電子的速度是多大？解：由相對(duì)論質(zhì)量關(guān)系而且得到如果將電子由靜止加速到[為真空中的光速]的速度，需要對(duì)它作多少功？速度從加速到，又要作多少功？解(1)由相對(duì)論動(dòng)能定理：因?yàn)?，代入得?2)將，代入原式在什么速度下粒子的動(dòng)量是其非相對(duì)論動(dòng)量的兩倍？在什么速度下粒子的動(dòng)能等于它的靜止能量？解(1)由相對(duì)論動(dòng)量公式而且聯(lián)立兩式(2)由相對(duì)論動(dòng)能公式而且聯(lián)立兩式靜止質(zhì)量為的電子具有倍于它的靜能的總能量，試求它的動(dòng)量和速率。[提示：電子的靜能為]解：由總能量公式而且(1)其中(2)聯(lián)立(1)、(2)兩式將(1)式代入動(dòng)量公式一個(gè)質(zhì)量為的靜止粒子，衰變?yōu)閮蓚€(gè)靜止質(zhì)量為和的粒子，求這兩個(gè)粒子的動(dòng)能。[提示：利用能量守恒和動(dòng)量守恒關(guān)系]解：令兩粒子的動(dòng)能分別為與由相對(duì)論能量守恒得到(1)由相對(duì)論動(dòng)量和能量的關(guān)系得到由相對(duì)論動(dòng)量守恒得到(2)聯(lián)立(1)、(2)兩式解得，習(xí)題五參考解答5.1簡答以下問題：什么是簡諧振動(dòng)？分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩方面作出解釋。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作簡諧振動(dòng)？在什么情況下，簡諧振動(dòng)的速度和加速度是同號(hào)的？在什么情況下是異號(hào)的？加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)一定是加快地運(yùn)動(dòng)嗎？反之，加速度為負(fù)值時(shí)，肯定是減慢地運(yùn)動(dòng)嗎？同一彈簧振子，如果它在水平位置是作簡諧振動(dòng)，那么它在豎直懸掛情況下是否仍作簡諧振動(dòng)？把它裝在光滑斜面上，它是否仍將作簡諧振動(dòng)？如果某簡諧振動(dòng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是，那么這一振動(dòng)的周期是多少？在地球上，我們認(rèn)為單擺(在小角幅下)的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)，如果把它拿到月球上，那么，振動(dòng)周期將怎樣改變？什么是位相？一個(gè)單擺由最左位置開始擺向右方，在最左端位相是多少？經(jīng)過中點(diǎn)、到達(dá)右端、再回中點(diǎn)、返回左端等各處的位相是多少？初位相是個(gè)什么物理量？初位相由什么確定？如何求初周相？試分別舉例說明：(a)初始狀態(tài)，如何確定初位相；(b)初位相，如何確定初始狀態(tài)。5.2一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)cm。某時(shí)刻它在cm處，且向X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，它要重新回到該位置至少需要經(jīng)歷的時(shí)間為(A);(B);(C);(D)。答案：(B)YX如圖：位相差5.3以頻率作簡諧振動(dòng)的系統(tǒng)，其動(dòng)能和勢(shì)能隨時(shí)間變化的頻率為(A)；(B)；(C)；(D)。答案：(C)5.4勁度系數(shù)為的輕彈簧和質(zhì)量為10g的小球組成的彈簧振子，第一次將小球拉離平衡位置4cm，由靜止釋放任其運(yùn)動(dòng)；第二次將小球拉離平衡位置2cm并給以2cm/s的初速度任其振動(dòng)。這兩次振動(dòng)能量之比為(A)1:1;(B)4:1;(C)2:1;(D)。答案：(C)，5.5一諧振系統(tǒng)周期為0.6s，振子質(zhì)量為200g，振子經(jīng)平衡位置時(shí)速度為12cm/s，那么再經(jīng)0.2s后振子動(dòng)能為(A)；(B)0;(C);(D)。答案：(D)，，，5.6一彈簧振子系統(tǒng)豎直掛在電梯內(nèi)，當(dāng)電梯靜止時(shí)，振子諧振頻率為?，F(xiàn)使電梯以加速度向上作勻加速運(yùn)動(dòng)，那么其諧振頻率將(A)不變；(B)變大；(C)變??；(D)變大變小都有可能答案：(A)，X5.7將一物體放在一個(gè)沿水平方向作周期為1s的簡諧振動(dòng)的平板上，物體與平板間的最大靜摩擦系數(shù)為0.4。要使物體在平板上不致滑動(dòng)，平板振動(dòng)的振幅最大只能為(A)要由物體質(zhì)量決定；(B);(C);(D)0.4cm答案：(C)最大靜摩擦力為，最大加速度為由得5.8兩分振動(dòng)方程分別為和，那么它們合振動(dòng)的表達(dá)式為(A);(B);(C);(D)。答案：(C)5.9質(zhì)量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作簡諧振動(dòng)，式中以秒為單位，以米為單位。試求：(1)振動(dòng)的圓頻率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值；(2)求時(shí)刻的位相。(3)利用Mathematica繪出位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系曲線。解(1)：,,,(2)5.10勁度系數(shù)為和的兩根彈簧，與質(zhì)量為的物體按題圖5.10所示的兩種方式連接試證明它們的振動(dòng)均為諧振動(dòng)。題圖5.10證明：(1)當(dāng)物體向右移動(dòng)時(shí)，左端彈簧伸長，而右端彈簧縮短，它們對(duì)物體作用力方向相同，均與物體位移方向相反，所以因此物體將作簡諧振動(dòng)。(2)設(shè)兩彈簧分別伸長與，那么彈簧對(duì)物體的作用力對(duì)兩彈簧的連接點(diǎn)有:且解此兩式：代入中：因此物體將作簡諧振動(dòng)。如題圖5.11所示，質(zhì)量為的物體放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角，彈簧的勁度系數(shù)為，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為。先把物體托住，使彈簧維持原長，然后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動(dòng)。題圖5.11證明：取未用手托系統(tǒng)靜止時(shí)的位置為平衡位置，令此點(diǎn)位坐標(biāo)原點(diǎn)，彈簧伸長，那么有：(1)當(dāng)物體沿斜面向下位移為時(shí)，那么有：(2)(3)(4)(5)將(2)與(4)代入(3),并利用(5),可得利用(1)式，得到所以，物體作的是簡諧振動(dòng)。5.12一個(gè)沿軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表出。如果時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：(1)；(1)過平衡位置向軸正向運(yùn)動(dòng)；(3)過處向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)；(4)過處向軸正向運(yùn)動(dòng)。試用旋轉(zhuǎn)矢量圖方法確定相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方程。Y(3)(1)X(4)(2)解：令振動(dòng)方程為：(1)，，(2)，，(3)，，(4)，，5.13一質(zhì)量為的物體作諧振動(dòng)，振幅為24cm，周期為4.0s，當(dāng)時(shí)，位移為24cm。求：(1)時(shí)，物體所在的位置；(2)時(shí)，物體所受力的大小和方向；(3)由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需的最短時(shí)間；(4)在處物體的速度、動(dòng)能、系統(tǒng)的勢(shì)能和總能量。解：設(shè)物體的振動(dòng)方程為由于，由于，因此將代入，得到(2)將代入，得到負(fù)號(hào)表示方向與軸方向相反。(3)將代入中，得到(4)，將代入得由因此有一輕彈簧，下端懸掛一質(zhì)量為的砝碼，砝碼靜止時(shí)，彈簧伸長。如果我們?cè)侔秧来a豎直拉下，求放手后砝碼的振動(dòng)頻率和振幅。解：取砝碼靜止時(shí)的位置為平衡位置，并令為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正方向，那么有當(dāng)下拉位置時(shí)，砝碼所受回復(fù)力為因此砝碼作簡諧振動(dòng)將初始條件代入振幅公式：一輕彈簧的勁度系數(shù)為，其下端懸有一質(zhì)量為的盤子?，F(xiàn)有一質(zhì)量為的物體從離盤底為高度處自由下落到盤中并和盤子粘在一起，于是盤子開始振動(dòng)。假設(shè)以物體落到盤底時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)、以物體落到盤子后的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)、以向下為軸正向，求盤子的振動(dòng)方程。解：令與系統(tǒng)處于平衡位置處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正方向未下落時(shí)，滿足:與平衡位置處:聯(lián)立解得由動(dòng)量守恒：且得到而且它們共同振動(dòng)的周期將初始條件，，代入振幅及位相公式：由于，因此將已求出的、和代入中，即可得振動(dòng)方程為5.16一個(gè)水平面上的彈簧振子(勁度系數(shù)為，所系物體質(zhì)量為)，當(dāng)它作振幅為、周期為、能量為的無阻尼振動(dòng)時(shí)，有一質(zhì)量為的粘土從高度處自由下落。當(dāng)?shù)竭_(dá)最大位移處時(shí)粘土正好落在上，并粘在一起，這時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)周期、振幅和振動(dòng)能量有何變化？如果粘土是在通過平衡位置時(shí)落在上，這些量又如何變化？解:原周期為，兩種情況下周期都變?yōu)楫?dāng)?shù)竭_(dá)最大位移處時(shí)粘土正好落在上時(shí)，此時(shí)物體水平速度為零動(dòng)量守恒得到：且將初始條件，代入振幅公式(2)當(dāng)粘土在通過平衡位置時(shí)落在上時(shí)，由水平方向動(dòng)量守恒得到且將初始條件，，代入振幅公式：由5.17一單擺的擺長，擺球質(zhì)量，當(dāng)擺球處在平衡位置時(shí)，假設(shè)給小球一個(gè)水平向右的沖量，取打擊時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求振動(dòng)的初位相和角振幅[設(shè)擺角向右為正]。解：由單擺的動(dòng)力學(xué)方程，將初始條件，代入得到。由于其中，初始時(shí)刻5.18一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為，[式中以米計(jì)，以秒計(jì)]試分別用旋轉(zhuǎn)矢量法和代數(shù)法求合振動(dòng)的振幅和初位相，并寫出合振動(dòng)的方程。解：由題意，，，由于因此，合振動(dòng)方程為有兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，其合成振動(dòng)的振幅為，位相與第一振動(dòng)的位相差為，第一振動(dòng)的振幅為，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅以及第一、第二兩振動(dòng)的位相差。解：由分振動(dòng)與合振動(dòng)的三角形關(guān)系：代入數(shù)據(jù)由于得到5.20試借助旋轉(zhuǎn)矢量圖求出以下兩組諧振動(dòng)合成后所得合振動(dòng)的振幅：解(1)：由題意：，，，由于(2)由題意：，，，由于5.21質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)互相垂直的簡諧振動(dòng)：，，式中以米計(jì)，以秒計(jì)。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道方程；(2)求質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的作用力；(3)利用Mathematica，繪出合成振動(dòng)的軌跡。解：(1)由于結(jié)合的表示式，得到軌道方程為：(2)5.22一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)互相垂直的簡諧振動(dòng)：，，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道方程。解：由于由于所以代入得到：所求軌道方程為：某質(zhì)點(diǎn)的位移可用兩個(gè)簡諧振動(dòng)的迭加來表示：寫出這質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度表示式；(2)這運(yùn)動(dòng)是否簡諧振動(dòng)？(3)畫出其圖線。解：(1)(2)由于與不成正比，所以不是簡諧振動(dòng)。(3)取，執(zhí)行Mathematica命令立即得到的圖線，如以下圖。習(xí)題六參考解答6.1簡要答復(fù)以下問題：(1)振動(dòng)和波動(dòng)有什么區(qū)別和聯(lián)系？(2)平面簡諧波的波動(dòng)方程和簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程有什么不同？又有什么聯(lián)系？(3)振動(dòng)曲線和波形曲線有什么不同？(4)平面簡諧波波動(dòng)方程中的表示什么？如果將波動(dòng)方程改寫為，又是什么意思？(5)波動(dòng)方程中，坐標(biāo)軸原點(diǎn)是否一定要選在波源處？時(shí)刻是否一定是波源開始振動(dòng)的時(shí)刻？波動(dòng)方程寫成時(shí)，波源一定在坐標(biāo)原點(diǎn)處嗎？在什么前提下波動(dòng)方程才能寫成這種形式？如果波源在處或在處，那么對(duì)此波動(dòng)方程的適用范圍要作怎樣的限制？(6)波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)和觀察者向波源運(yùn)動(dòng)都會(huì)產(chǎn)生頻率增高的多普勒效應(yīng)，這兩種情況有何區(qū)別？6.2下述說法中哪些是正確的？(A)波只能分為橫波和縱波；(B)波動(dòng)質(zhì)點(diǎn)按波速向前運(yùn)動(dòng)；(C)波動(dòng)中傳播的只是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和能量；(D)波經(jīng)過不同媒質(zhì)傳播過程中波長不變。答案：(C)6.3對(duì)于機(jī)械橫波，(A)波峰處質(zhì)元的動(dòng)能、勢(shì)能均為零；(B)處于平衡位置的質(zhì)元?jiǎng)菽転榱?、?dòng)能為最大；(C)處于平衡位置的質(zhì)元?jiǎng)幽転榱?、?shì)能為最大；(D)波谷處質(zhì)元的動(dòng)能為零、勢(shì)能為最大。答案：(A)6.4對(duì)于駐波，以下說法中哪些是錯(cuò)誤的?(A)相向傳播的相干波一定能形成駐波；(B)兩列振幅相同的相干波一定能形成駐波；(C)駐波不存在能量的傳播；(D)駐波是一種穩(wěn)定的振動(dòng)分布。答案：(A)、(B)6.5人耳能區(qū)分同時(shí)傳來的不同聲音，這是由于(A)波的反射和折射；(B)波的干預(yù)；(C)波的獨(dú)立傳播特性；(D)波的強(qiáng)度不同。答案：(C)6.6波源在坐標(biāo)系中〔3，0〕位置處，其振動(dòng)方程是m，其中t以s計(jì)，波速為50m/s。設(shè)波源發(fā)生的波沿x軸負(fù)向傳播，介質(zhì)無吸收，那么此波方程為(A)m;(B)m;(C)m;(D)m。答案：(D)6.7兩波同時(shí)在一弦線上傳播，其波動(dòng)方程分別是，，其中、以m計(jì)，t以s計(jì)。弦線上波節(jié)位置為(A)m,(B)m,(C);(D)參考答案：(A)6.8一弦線上的振動(dòng)以厘米?克?秒制表示為，組成此振動(dòng)的兩波波速是(A);(B);(C);(D)∝答案：(D)6.9一點(diǎn)波源發(fā)出的波在無吸收媒質(zhì)中傳播，波前為半球面。該波強(qiáng)度I與離波源距離r間的關(guān)系是(A)∝;(B)∝;(C)∝;(D)∝。答案：(D)6.10當(dāng)波源以速度向靜止的觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)得頻率為，當(dāng)觀察者以速度向靜止的波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)得頻率為，以下哪個(gè)結(jié)論是正確的？(A);(B);(C);(D)要視波速大小決定上述關(guān)系。答案：(A)6.11聲音1的聲強(qiáng)比聲音2的聲強(qiáng)大1分貝，那么聲音1的強(qiáng)度是聲音2的強(qiáng)度的(A)1倍；(B)倍；(C)倍；(D)倍參考答案：(D)一平面簡諧波沿軸正向傳播，波速為，頻率為，在處的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)是：位移為；速度為，求此平面波的波動(dòng)方程。解：令波動(dòng)方程為其中，得到將初始條件：，，，代入或或由于所以一平面簡諧波沿軸正向傳播，振幅為，頻率為，在處的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)是：位移為，速度為，而處的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)是：位移為；速度為，求此平面波的波動(dòng)方程。解：令波動(dòng)方程為由題意：,,代入得到：將初始條件：，，，代入且且(1)將初始條件：，，，代入且且(2)聯(lián)立方程(1)、(2),解得，因此6.14波源在原點(diǎn)的一列平面簡諧波的波動(dòng)方程為，其中、、為正值恒量。試求：(1)波的振幅、波速、頻率、周期與波長；(2)寫出傳播方向上距離波源為處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；(3)任一時(shí)刻，在波的傳播方向上相距為的兩點(diǎn)的位相差。解(1)：由得到：振幅為,，，，(2)將代入(3)6.15沿繩子傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程為，式中，以米計(jì)，以秒計(jì)。求：(1)波的振幅、波速、頻率和波長；(2)繩子上各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)的最大速度和最大加速度；(3)求處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的位相，它是原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在哪一時(shí)刻的位相？解(1)：由得到：，，，，，(2)(3),將，代入，在原點(diǎn)處6.16一平面波在介質(zhì)中以速度沿軸負(fù)方向傳播，如題圖6.16所示。點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式是，式中以米計(jì)，以秒計(jì)。(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波動(dòng)方程；(2)以距點(diǎn)處的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波動(dòng)方程。X題圖6.16解(1)：(2)點(diǎn)振動(dòng)方程為：波動(dòng)方程為6.17一列平面余弦波沿軸正向傳播，波速為，波長為，時(shí)的波形圖形曲線如題圖6.17所示。(1)寫出波動(dòng)方程；(2)繪出時(shí)的波形圖。0.04題圖6.17解：〔1〕由題意：，，，，令波動(dòng)方程為將時(shí)，，代入：由于因此〔2〕時(shí)的波形圖6.18如題圖6.18所示，時(shí)和時(shí)的波形曲線分別為圖中曲線(a)和(b)，設(shè)波沿軸正向傳播，試根據(jù)圖中繪出的條件求：(1)波動(dòng)方程；(2)P點(diǎn)的振動(dòng)方程。(a)(b)P123456題圖6.18解(1)由圖可知：,設(shè)，由〔2〕將代入，得6.19一平面余弦波，沿直徑為的圓柱形管傳播，波的強(qiáng)度為，頻率為，波速為，求：(1)波的平均能量密度和最大能量密度；(2)兩個(gè)相鄰的同相面之間的波段中波的能量。解(1)：由(2)6.20如題圖6.20，和是兩個(gè)同位相的波源，相距，同時(shí)以的頻率發(fā)出波動(dòng)，波速為。點(diǎn)位于與成角、與相距處，求兩波通過點(diǎn)的位相差。題圖6.20解：由三角形關(guān)系知:而且由，其中得到6.21如題圖6.21所示，與為兩相干波源，相距，且較位相超前，如果兩波在連線方向上的強(qiáng)度相同[均為]且不隨距離變化，求：(1)連線上外側(cè)各點(diǎn)處合成波的強(qiáng)度；(2)連線上外側(cè)各點(diǎn)處合成波的強(qiáng)度。題圖6.21解：由題意，(1)在外側(cè)時(shí)：即在外側(cè)兩振動(dòng)反相合成波強(qiáng)度(2)在外側(cè)時(shí)：即在外側(cè)兩振動(dòng)同相所以，外側(cè)各點(diǎn)波的強(qiáng)度是單一波源波的強(qiáng)度的4倍。6.22如題圖6.22所示，設(shè)點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為；點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為，此題中以米計(jì)，以秒計(jì)。設(shè)、，波速，(1)求兩波傳到點(diǎn)時(shí)的位相差；〔2〕假設(shè)在點(diǎn)處相遇的兩波的振動(dòng)方向相同，求處合振動(dòng)的振幅；〔3〕假設(shè)在點(diǎn)處相遇的兩波的振動(dòng)方向相互垂直，再求處合振動(dòng)的振幅。題圖6.22解(1)：由得到即在處兩波同相位。由于兩波同相位，且振動(dòng)方向相同當(dāng)，且兩振動(dòng)方向垂直時(shí)6.23如題圖6.23所示，三個(gè)同頻率、振動(dòng)方向相同[垂直紙面]的平面簡諧波，在傳播過程中于點(diǎn)相遇。假設(shè)三個(gè)簡諧波各自單獨(dú)在、和的振動(dòng)方程分別是，，，且，[為波長]，求點(diǎn)的振動(dòng)方程[設(shè)傳播過程中各波的振幅不變]。題圖6.23解：在點(diǎn)的振動(dòng)為：在點(diǎn)的振動(dòng)為：在點(diǎn)的振動(dòng)為：上面三式中利用了關(guān)系：因此，點(diǎn)處的合振動(dòng)為6.24一駐波方程為，式中以米計(jì)，以秒計(jì)，求：(1)形成此駐波的兩列分波的振幅和波速；(2)相鄰兩波節(jié)間的距離；(3)時(shí)，處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。解(1)：，(2)，相鄰波節(jié)間距為(3)由于將時(shí)，代入得到6.25兩列波在一根很長的細(xì)繩上傳播，它們的波動(dòng)方程分別為：，，式中以米計(jì)，以秒計(jì)。(1)試證明繩子將作駐波式振動(dòng)；(2)求出波節(jié)和波腹的位置；(3)求出波腹處的振幅；(4)求出處的振幅。解(1)：合振動(dòng)為：滿足駐波方程，故繩子做駐波式振動(dòng)。(2)節(jié)點(diǎn)位置其中腹點(diǎn)位置其中(3)波腹處的振幅是(4)當(dāng)時(shí)，波的振幅一右行橫波[式中以米計(jì)，以秒計(jì)]，與一右行橫波形成駐波，且在處形成駐波的波腹，求此左行橫波的波動(dòng)方程。解:令左行橫波形的波動(dòng)方程為：那么當(dāng)時(shí)，，因此。6.27火車以的速度行使，其汽笛的頻率為。一個(gè)人站在鐵軌旁，當(dāng)火車從他身邊駛過時(shí)，他聽到的汽笛聲的頻率變化是多大？設(shè)空氣中聲速為。[提示：頻率變化當(dāng)火車向站立者駛近時(shí)他聽到的汽笛聲的頻率當(dāng)火車駛離站立者時(shí)他聽到的汽笛聲的頻率]解：當(dāng)波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接受到的頻率為當(dāng)波源遠(yuǎn)離觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接受到的頻率為頻率變化為將，，代入6.28兩列火車和分別以和的速度行使，火車的司機(jī)聽到自己的汽笛聲頻率為[空氣中聲速為]，當(dāng)、兩車相向而行時(shí)，求火車的司機(jī)聽到的火車的汽笛聲頻率；假設(shè)此時(shí)恰好有速度為的風(fēng)沿車向車吹來，再求火車的司機(jī)聽到的火車的汽笛聲頻率。[提示：當(dāng)有風(fēng)時(shí)，聲速將改變]解：(1)當(dāng)波源和觀察者同時(shí)相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)：，將，，，代入得到。(2)當(dāng)時(shí)，。習(xí)題七7.1簡答以下問題：(1)兩絕熱線能否相交？(2)任意系統(tǒng)經(jīng)歷的任意不可逆絕熱過程的始末態(tài)〔平衡態(tài)〕，都可以用一個(gè)可逆絕熱過程和一個(gè)可逆等溫過程連接起來。請(qǐng)問：此可逆等溫過程是吸熱還是放熱？(3)關(guān)于熱力學(xué)第二定律，以下說法是否正確，如不正確請(qǐng)改正：(a)功可以全部轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃?，但熱量不能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣Α?b)熱量不能從低溫物體傳向高溫物體。(4)以下過程是否可逆，為什么？(a)通過活塞〔它與器壁無摩擦〕，極其緩慢地壓縮絕熱容器中的空氣；(b)用旋轉(zhuǎn)的葉片使絕熱容器中的水溫上升〔焦耳熱功當(dāng)量實(shí)驗(yàn)〕。(5)一定量的理想氣體，從p-V圖上同一初態(tài)A開始，分別經(jīng)歷三種不同的過程過渡到不同的末態(tài)，但末態(tài)的溫度相同，如題圖7.1(6)所示，其中AC是絕熱過程，問：(a)在過程中氣體是吸熱還是放熱？為什么？(b)在過程中氣體是吸熱還是放熱？為什么？等溫線等溫線題圖7.1(6)7.2置于容器中的氣體，如果氣體內(nèi)各處壓強(qiáng)相等，或氣體內(nèi)各處溫度相同，那么這兩種情況下氣體的狀態(tài)()[(B)](A)一定都是平衡態(tài)。(B)不一定都是平衡態(tài)。(C)前者一定是平衡態(tài)，后者一定不是平衡態(tài)。(D)后者一定是平衡態(tài)，前者一定不是平衡態(tài)。7.3質(zhì)量一定的理想氣體，從相同狀態(tài)出發(fā)，分別經(jīng)歷等溫過程、等壓過程和絕熱過程，使其體積增加一倍。那么氣體溫度的改變〔絕對(duì)值〕[(D)](A)絕熱過程中最大，等壓過程中最小。(B)絕熱過程中最大，等溫過程中最小。(C)等壓過程中最大，絕熱過程中最小。(D)等壓過程中最大，等溫過程中最小。7.4理想氣體向真空作絕熱膨脹。[(B)](A)膨脹后，溫度不變，壓強(qiáng)減小。(B)膨脹后，溫度降低，壓強(qiáng)減小。(C)膨脹后，溫度升高，壓強(qiáng)減小。(D)膨脹后，溫度不變，壓強(qiáng)不變。7.5對(duì)于理想氣體系統(tǒng)來說，在以下過程中，哪個(gè)過程系統(tǒng)所吸收的熱量、內(nèi)能的增量和對(duì)外作的功三者均為負(fù)值？[(D)](A)等體降壓過程。(B)等溫膨脹過程。(C)絕熱膨脹過程。(D)等壓壓縮過程。7.6一定量的理想氣體，經(jīng)歷某過程后溫度升高了。那么可以斷定：[(C)]〔A〕該理想氣體系統(tǒng)在此過程中吸了熱?！睟〕在此過程中外界對(duì)該理想氣體系統(tǒng)作了正功?！睠〕該理想氣體系統(tǒng)的內(nèi)能增加了?！睤〕在此過程中理想氣體系統(tǒng)既從外界吸了熱，又對(duì)外作了正功。7.7在以下過程中，哪些是可逆過程？[(A)]〔1〕用活塞無摩擦地緩慢地壓縮絕熱容器中的理想氣體?！?〕用緩慢旋轉(zhuǎn)的葉片使絕熱容器中的水溫上升?！?〕一滴墨水在水杯中緩慢彌散開?！?〕一個(gè)不受空氣阻力及其他摩擦力作用的單擺的擺動(dòng)。(A)〔1〕、〔4〕(B)〔2〕、〔4〕(C)〔3〕、〔4〕(D)〔1〕、〔3〕7.8設(shè)高溫?zé)嵩吹臒崃W(xué)溫度是低溫?zé)嵩礈囟鹊膎倍，那么范德瓦耳斯氣體在一次卡諾循環(huán)中，傳給低溫?zé)嵩吹臒崃渴菑母邷責(zé)嵩次崃康腫(C)](A)倍(B)倍(C)倍(D)倍7.9根據(jù)熱力學(xué)第二定律可知：[(D)](A)功可以全部轉(zhuǎn)化為熱，但熱不能全部轉(zhuǎn)化為功。(B)熱可以從高溫物體傳到低溫物體，但不能從低溫物體傳到高溫物體。(C)不可逆過程就是不能向反方向進(jìn)行的過程。(D)一切自發(fā)過程都是不可逆的。7.10有一定量的理想氣體，其壓強(qiáng)按的規(guī)律變化，C是常量。求氣體從體積增加到所作的功。該理想氣體的溫度是升高還是降低？答案為：，溫度降低解：,,,7.11Anidealgasisenclosedinacylinderthathasamovablepistonontop.ThepistonhasamassmandanareaAandisfreetoslideupanddown,keepingthepressureofthegasconstant.HowmuchworkisdoneonthegasasthetemperatureofnmolofthegasisraisedfromT1toT2.Ans：W=nR(T2T1)Sincethepressureofthegasisconstant，wehave，7.12的氦氣〔視為理想氣體〕，溫度由升為。假設(shè)在升溫過程中，〔1〕體積保持不變；〔2〕壓強(qiáng)保持不變；〔3〕不與外界交換熱量。試分別求出內(nèi)能的改變、吸收的熱量、外界對(duì)氣體所作的功。答案為：〔1〕，〔2〕，，〔3〕，，解：；〔1〕體積保持不變，，〔2〕壓強(qiáng)保持不變，，〔3〕不與外界交換熱量，，7.13一可逆卡諾熱機(jī)，當(dāng)高溫?zé)嵩吹臏囟葹?、低溫?zé)嵩吹臏囟葹闀r(shí)，其每次循環(huán)對(duì)外作凈功。今維持低溫?zé)嵩吹臏囟炔蛔?，提高高溫?zé)嵩礈囟?，使其每次循環(huán)對(duì)外作凈功。假設(shè)兩個(gè)卡諾循環(huán)都工作在相同的兩條絕熱線之間，試求：〔1〕第二個(gè)循環(huán)的熱機(jī)效率；〔2〕第二個(gè)循環(huán)的高溫?zé)嵩吹臏囟?。答案為：?〕〔2〕。解：第一個(gè)循環(huán)：。第二個(gè)循環(huán)：。因?yàn)閮蓚€(gè)卡諾循環(huán)都工作在相同的兩條絕熱線之間，所以有，7.14一絕熱容器被銅片分成兩局部，一邊盛的水，另一邊盛的水，經(jīng)過一段時(shí)間后，從熱的一邊向冷的一邊傳遞了的熱量，問在這個(gè)過程中的熵變是多少？假定水足夠多，傳遞熱量后的溫度沒有明顯變化。答案為：。解：因?yàn)闇囟葲]有明顯變化，所以，相應(yīng)地，，[]，。7.15用Ma