復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算

第四節(jié)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的

乘除運算掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算．理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律．理解共軛復(fù)數(shù)的概念．本節(jié)重點：復(fù)數(shù)的乘除運算及共軛復(fù)數(shù)的概念．本節(jié)難點：共軛復(fù)數(shù)的求解及特殊復(fù)數(shù)的運算．對于復(fù)數(shù)的代數(shù)形式乘除法法則，不必死記硬背，乘法可按多項式類似的辦法進行，除法只需記住兩個復(fù)數(shù)相除，就是先把它們的商寫成分數(shù)的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡即可．1．復(fù)數(shù)的乘法設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝

(a，b，c，d∈R)．(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．復(fù)數(shù)乘法的運算律對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝

結(jié)合律(z1·z2)·z3＝

乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝

z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1·z33.共扼復(fù)數(shù)的概念一般地，當兩個復(fù)數(shù)的

，虛部

數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做 ．實部相等互為相反共軛虛數(shù)對于復(fù)數(shù)的代數(shù)形式乘除法法則，不必死記硬背，乘法可按多項式類似的辦法進行，除法只需記住兩個復(fù)數(shù)相除，就是先把它們的商寫成分數(shù)的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡即可．練一練例1(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，ω3

＝1變式1例2[解析]

(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)．則集合P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0}＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}，故P表示以(0,3)為圓心，2為半徑的圓．設(shè)w＝a＋bi(a，b∈R)．z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.

計算：i＋i2＋i3＋…＋i2011.[分析]

由題目可獲取以下主要信息：已知虛數(shù)單位i的冪，求和．解答本題可利用等比數(shù)列求和公式化簡或者利用in的周期性化簡．例3計算：1＋2i＋3i2＋…＋2009·i2008..已知1＋i是關(guān)于x的方程x2＋bx＋c＝0的一個根(b，c為實數(shù))．(1)求b，c的值；(2)試說明1－i也是該方程的一個根．例4注意：因為已知方程x2＋bx＋c＝0的一根是復(fù)數(shù)根，故我們需將該已知根代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解．有關(guān)復(fù)數(shù)的方程問題一般有兩種情況：①方程的根為復(fù)數(shù)，系數(shù)為實數(shù)，已知方程的一個復(fù)數(shù)根，求實系數(shù)．②方程的根為實數(shù)，系數(shù)為復(fù)數(shù)，求實根．

解方程|x|＝2＋x－2i.例5[辨析]

在解題中用了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不成立的等式|z|2＝z2.[答案]

C[答案]

D[答案]

A二、