2023年自考線性代數(shù)試題

全國(guó)2023年10月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試題

課程代碼：04184

說(shuō)明:在本卷中,AT表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A表達(dá)矩陣A的隨著矩陣,E是單位矩陣,閨表達(dá)方陣A的行列式,r（A）

表達(dá)矩A的秩.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未

選均無(wú)分。

L設(shè)A為3階矩陣,囚，則卜2A*（)

A.-8B.-2

C.2D.8

2.設(shè)矩陣A=[則AB=(

)

A.0

D.

3.設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)矩陣,B為n階反對(duì)稱(chēng)矩陣，則下列矩陣中為反對(duì)稱(chēng)矩陣的是（）

A.AB-BAB.AB+BA

C.ABD.BA

12

4.設(shè)矩陣A的隨著矩陣A*=，則A/=()

34

」4-321-2、

AB.

21-22一34,

12、42

C.--D.

234,231

5.下列矩陣中不星初等矩陣的是（）

uor001

A.010B.010

、000,。0,

100、100、

C.030D.010

、001,3°L

6.設(shè)A,B均為n階可逆矩陣，則必有()

A.A+B可逆B.AB可逆

C.A-B可逆D.AB+BA可逆

7.設(shè)向量組a尸(1,2),a2=(0,2),B=(4,2),則()

A.ai,a2,B線性無(wú)關(guān)

B.B不能由ai,a2線性表達(dá)

C.6可由。1,a2線性表達(dá)，但表達(dá)法不惟一

D.B可由a1，a2線性表達(dá),且表達(dá)法惟一

8.設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,A的所有特性值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

2X]-x2+x3=0

9.設(shè)齊次線性方程組X]-X2-X3=0有非零解，則Z為()

入X]+x2+X3=0

A.-lB.0

C.lD.2

10.設(shè)二次型f(x)=xTAx正定，則下列結(jié)論中對(duì)的的是()

A.對(duì)任意n維列向量x,xTAx都大于零

B.f的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)都大于或等于零

C.A的特性值都大于零

D.A的所有子式都大于零

二'填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案。錯(cuò)填'不填均無(wú)分。

11.行列式。1的值為_(kāi)_______.

12

(121

12.已知A=卜則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為.

13.設(shè)矩陣A=[；:[，P=[)，則AP3=

14.設(shè)A,B都是3階矩陣，且|A|=2,B=-2E,則|A」B|=.

15.已知向量組a1,=(1,2,3),a2=(3,-1,2),a3=(2,3,k)線性相關(guān)，則數(shù)k=.

(1、

2

16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3,a3為該方程組的3個(gè)解，且a1=3?則該線性方程

a2,+a3

、4,

組的通解是.

Pl曾

17.已知P是3階正交矩，向量a=30,貝ij內(nèi)積(Pa,Pp)=_________.

[2)[2)

18.設(shè)2是矩陣A的一個(gè)特性值，則矩陣3A必有一個(gè)特性值為.

19.與矩陣A=(；相似的對(duì)角矩陣為.

20設(shè).矩陣A=f1若二次正定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.

1-2kJ

三'計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

0120

21.求行列式D=:，'2

的值.

2101

0210

'0-10'-20、

22.設(shè)矩陣A=100,B=2-10,求滿(mǎn)足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.

、001,00?

Q(1、，2)(-2、

23.若向量組四1,。2=一1，。3=6,a4=0的秩為2,求k的值.

、”〔3,"[-2kJ

’223'，2'

24.設(shè)矩陣人=1-10,b=1

21,

⑴求A-1;

(2)求解線性方程組Ax=b，并將b用A的列向量組線性表出.

25.已知3階矩陣A的特性值為-1,1,2,設(shè)B=A2+2A-E,求

（1）矩陣A的行列式及A的秩.

（2）矩陣B的特性值及與B相似的對(duì)角矩陣.

'X]=2y,+2y2+y3

26.求二次型f（xi,X2,X3）=-4X1X2+2X1X3+2X2X3經(jīng)可逆線性變換，x2=2yl-2y2+y3所得的標(biāo)準(zhǔn)形.

,x3=2y3

四'證明題（本題6分）

27.設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足A2=E，證明A的特性值只能是士1.

全國(guó)2023年7月高等教育自學(xué)考試

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1.設(shè)3階方陣A=（3,。2,。3），其中明?1,2,3）為4的列向量，若|5|=|（%+2。2,°2,。3）|=6,則）

A.-12B.-6

C.6D.12

30-20

、,由一力一21050

2.計(jì)算行列式=()

00-20

-23-23

A.-180B.-120

C.120D.180

3.若A為3階方陣且|T|=2,則|24|二（)

A.1

B.2

2

C.4D.8

4.設(shè)a”a2,。3，%都是3維向量，則必有（）

A.<7,,a2,。3，線性無(wú)關(guān)B.。1，。2，a、,心線性相關(guān)

C.可由。2，a3,04線性表達(dá)D.不可由。2，。3，線性表達(dá)

5.若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2,則,<A）=（）

A.2B.3

C.4D.5

6.設(shè)A、6為同階方陣，且則（)

A.A與B相似B.|A|=|B|

C.A與B等價(jià)D.A與B協(xié)議

7.設(shè)A為3階方陣，其特性值分別為2,1,0則I4+2E|=()

A.OB.2

C.3D.24

8.若4、8相似，則下列說(shuō)法塔送的是()

A.A與B等價(jià)B.A與B協(xié)議

C.|A|=|B|D.A與B有相同特性值

9.若向量。=(1,-2,1)與8=(2,3,f)正交，則仁()

A.-2B.0

C.2D.4

10.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特性值分別為2,1,0,則()

A.A正定B.A半正定

C.A負(fù)定D.A半負(fù)定

二'填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

(3-2\r

r21-1

11.設(shè)A=01,B=，則nlA5=_________________.

—

【2“L010」

12.設(shè)A為3階方陣，且IA|=3,則|3A」|=.

13.三元方程X[+X2+X3=l的通解是.

14.設(shè)0=(-1,2,2),則與。反方向的單位向量是.

6設(shè)A為5階方陣，且M尸3,則線性空間W={x|Ax=0}的維數(shù)是.

16.設(shè)A為3階方陣，特性值分別為-2,1,則|5A“|=.

2

17.若A、5為5階方陣，且Ax=0只有零解，且，3)=3,則*AB)=.

，2-10、

18.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣-101所相應(yīng)的二次型f(Xl,X2,X3)=.

、°I1,

19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解。產(chǎn)且r(A)=2,則Ax=b的通解是

20.設(shè)a=則A=aar的非零特性值是

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

20001

、13ij02000

21.計(jì)算5階仃列式"0°2。0

10002

22.設(shè)矩陣X滿(mǎn)足方程

'200'’100、(\-43、

0-10X00I20-1

、002,、010,-20,

求X.

23.求非齊次線性方程組

X)+x2-3均-x4=1

,3Xj-x2-3X3+4X4=4的通解.

X1+X-8尤4=0

5X2-93

24.求向量組a尸(1,2,-1,4),2=(9,100,10,4),a3=(-2,-4,2,-8)的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

，2-12、

25.已知4=5。3的一個(gè)特性向量4二（1,1,-1）r,求。，b及，所相應(yīng)的特性值，并寫(xiě)出相應(yīng)于這個(gè)特性值

、-1b-2,

的所有特性向量.

'-211-2'

26.設(shè)A=1-21a,試擬定a使44)=2.

11-22

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.若。2，。3是Ax=6（bW0）的線性無(wú)關(guān)解，證明。2-5，。3-即是相應(yīng)齊次線性方程組Ax=o的線性無(wú)關(guān)解.

全國(guó)2023年4月高等教育自學(xué)考試

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共20小題，每小題1分，共20分）

1.已知2階行列式？F=機(jī)”“2mil仇"2z

=〃，則=()

4”5c2%+C]a2+c2

X.m-nB.n-ni

C.m+nD.-(m+n)

2.設(shè)A,8,C均為〃階方陣，AB=BAfAC=CA9則ABC=()

A.ACBB.CAB

C.CBAD.BCA

3.設(shè)A為3階方陣，8為4階方陣，且行列式囿=1,|B|=-2,則行列式||B|A|之值為（)

A.-8B.-2

C.2D.8

'71|3。[2。13'loo](100、

4.己知A=。21a22。23，B=a213a22^23,P-030,6310,貝(JB=()

、。31。32。33)(0313。32。33)001001

\7\7

A.PAB.AP

C.QAD.AQ

5.已知A是一個(gè)3X4矩陣，下列命題中對(duì)的的是（）

A.若矩陣A中所有3階子式都為0,則秩（A）=2

B.若A中存在2階子式不為0,則秩（A）=2

C.若秩（A）=2,則A中所有3階子式都為0

D.若秩（4）=2,則A中所有2階子式都不為0

6.下列命題中惜送的是（）

A.只具有一個(gè)零向量的向量組線性相關(guān)

B.由3個(gè)2維向量組成的向量組線性相關(guān)

C.由一個(gè)非零向量組成的向量組線性相關(guān)

D.兩個(gè)成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)

7.已知向量組線性無(wú)關(guān)，￡線性相關(guān)，則（）

A.必能由。2,。3，尸線性表出B.。2必能由。3，￡線性表出

C.。3必能由。2，￡線性表出D.S必能由。2,。3線性表出

8.設(shè)A為mXn矩陣，mW〃，則齊次線性方程組Ax-0只有零解的充足必要條件是A的秩（）

A.小于mB.等于m

C.小于nD.等于n

9.設(shè)A為可逆矩陣，則與4必有相同特性值的矩陣為（）

A.ATB.A2

C.A'D.A*

10.二次型/（X1/2,X3）+君+X；+2苞々的正慣性指數(shù)為（）

A.OB.1

C.2D.3

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

20072008

11.行列式的值為_(kāi)_________________________

20092010

12.設(shè)矩陣4=',B=，則4%=____________________________.

1201J10。

13.設(shè)4維向量a=(3,-1,0,2)T,￡=(3,1,-1,4)T.若向量丫滿(mǎn)足2a+尸=3￡,則/=.

14.設(shè)A為〃階可逆矩陣，且囿=-1,則|Ar=.

n

15.設(shè)A為〃階矩陣，B為n階非零矩陣，若B的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組AA=0的解，則

|A|=.

6齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為----------------.

17.設(shè)〃階可逆矩陣4的一個(gè)特性值是-3,則矩陣'A?)必有一個(gè)特性值為

1-2-2

18.設(shè)矩陣人=—2x0的特性值為4,1,?2,則數(shù)x二

-200

7

1

“五0

19.已知A=:b0是正交矩陣，則〃+3

V2

00

20.二次型f(X1,X2,X3)=-4xiX2+2riX3+6龍X3的矩陣是。

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

abc

21.計(jì)算行列式。=a2b2c2的值。

a+/b+b3c+c3

22.已知矩陣B=(2,1,3),C=(1,2,3),求⑴A=fiTC；(2)屋。

23.設(shè)向量組a1=(2,1,3,iFg=(1,2,0,1產(chǎn)。3=(-1,1,-3,OF.=(1,1,1,1)\求向量組的秩及一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并

用該極大線性無(wú)關(guān)組表達(dá)向量組中的其余向量。

123-14

24.已知矩陣A=012，B=25.（1）求AZ（2）解矩陣方程AX=B。

1-3

001

IJX/

X1+2X2+3X3=4

25.Ha為什么值時(shí)，線性方程組■2々+以3=2有惟一解？有無(wú)窮多解？并在有解時(shí)求出其解（在有無(wú)窮多解

2X1+2X2+3X3=6

時(shí)，規(guī)定用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表達(dá)所有解）。

(、(

200\00

26.設(shè)矩陣A=03a的三個(gè)特性值分別為1,2,5,求正的常數(shù)〃的值及可逆矩陣P,使戶(hù)14尸=020

0a3005

kJ

四'證明題（本題6分）

27.設(shè)A,B,A+B均為〃階正交矩陣，證明（A+B）」=》+次。

全國(guó)2023年1月高等教育自學(xué)考試

說(shuō)明：本卷中，AT表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置，/表達(dá)向■”的轉(zhuǎn)置，E表達(dá)單位矩陣，⑷表達(dá)方陣A的行列式，A->

表達(dá)方陣4的逆矩陣，r（A）表達(dá)矩陣A的秩.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）

xyz2x2y2z

…

1.設(shè)行列式403=1,則行列式=()

11111>■

A.2B.l

3

D.§

C.2

3

2.設(shè)A,B,C為同階可逆方陣，則(ABC)」=()

K.A'B'C'B.C'B'A'

C.C'A'B'D.A'C'B'

3.設(shè)a”a2,a3,%是4維列向量，矩陣A=(a”a2,a3,4).假如|A|=2,則卜2A|=()

A.-32B.-4

C.4D.32

4.設(shè)。1，a2?a3,?4是三維實(shí)向量，貝U()

A.%,a2，a3>。4一定線性無(wú)關(guān)B.一定可由。2，。3,線性表出

aa

C.5，2，3?。4一定線性相關(guān)D.a2,。3一定線性無(wú)關(guān)

5.向量組。產(chǎn)（1,0,0),a2=(1,1,0),a(1,1,1)的秩為()

A.1B.2

C.3D.4

6.設(shè)A是4X6矩陣，r（A）=2,則齊次線性方程組Ax=。的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2

C.3D.4

7.設(shè)A是機(jī)X”矩陣，已知只有零解，則以下結(jié)論對(duì)的的是（）

A.mNnB.Ax=b（其中力是加維實(shí)向量）必有唯一解

C.r（A）=mD.Ax=O存在基礎(chǔ)解系

4-52-

8.設(shè)矩陣A=5-73,則以下向量中是4的特性向量的是（）

6-94

A.（1,1,1）1B.（1,1,3）T

C.（1,1,0）7D.（1,0,-3）T

-11-

9.設(shè)矩陣A=13-1的三個(gè)特性值分別為小，42，43,則小+42+心=（）

111

A.4B.5

C.6D.7

10.三元二次型/（X|,12，13）=寸+4為巧+6為巧+4君+1212”3+9君的矩陣為（）

123143

A.246B.046

_369369

-126-