2023年高考數(shù)學（甲卷）模擬仿真卷九（學生版+解析版）

2023年高考數(shù)學(甲卷)模擬仿真卷(9)

選擇題(共12小題，滿分60分，每小題5分)

1.(5分)已知集合M=，x|y=(2x-x)[,N={x|—1<x<1},則〃「|代=()

A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,0]D.(-1,0)

2.(5分)若復數(shù)z=(/"+l)+(2-R)是純虛數(shù)，則卜6+3=()

Z

A.3B.5C.bD.3小

3.(5分)已知向量O4=(1,-2),OA=(2,-3),OC=(3/),若A,B,C三點共線，貝！I實數(shù)/=()

A.-4B.-5C.4D.5

4.(5分)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩名射擊運動員在8次射擊訓練中的訓練成績，根據(jù)圖中數(shù)據(jù),

下列描述中不正確的是()

甲乙

9875

842180035

539025

A.乙的成績的眾數(shù)為80B.甲的成績的中位數(shù)為83

C.甲、乙的平均成績相同D.乙的成績比甲的成績更穩(wěn)定

5.(5分)若向量。，6滿足|I|=2,|6|=1,(a+2b)-a=6,則cosed,b>=()

A.—B.-C.--D

2222

6.(5分)已知焦點為尸的拋物線y2=2px(p>0)上有一點A(m,2&),以A為圓心，|A用為半徑的圓被

y軸截得的弦長為26，則m=()

A.V2B.272C.2D.4

7.(5分)已知函數(shù)/(x)=sin(2x+s)(0<e<X)的圖象向左平移三個單位長度后，圖象關(guān)于y軸對稱，設(shè)

26

函數(shù)/(X)的最小正周期為T,極大值點為飛,則|7-面|的最小值是()

A.-B.-C.—D.—

6333

8.（5分）已知二進制數(shù)1010⑵化為十進制數(shù)為“，若（x+“）"的展開式中，『的系數(shù)為15,則實數(shù)a的值

為（）

A.-B.-C.1D.2

25

22

9.（5分）已知F（c,0）（其中c>0）是雙曲線=-與=l（a>0力>0）的焦點，圓d+/一25+從=。與雙曲

ab

線的一條漸近線/交于A、B兩點，已知/的傾斜角為30。，貝UtanNAFB=（）

A.-6B.一百C.-2拉D.-2網(wǎng)

\（p\<-_

10.（5分）將函數(shù)y=sin2x圖象上的每一個點按向量日=（夕,〃?）（其中°和加為常數(shù)，且2）移動后，

7t

X-----

所得圖象關(guān)于直線12對稱，則*的值可能為（）

7171

①四；②三;③一不；④一彳.

36

A.①③B.②③C.①④D.②④

22

11.（5分）已知雙曲線C:與-4=1（。>0/>0）,過C的右焦點尸作垂直于漸近線的直線/交兩漸近線于A,

a：b-

B兩點,A,3兩點分別在一、四象限，若坨=?,則雙曲線。的離心率為（）

\BF\13

A.—B.—C.—D.713

1235

12.（5分）函數(shù)/（x）=x/nx-x+2a+2,若/（x）與/（/（x））有相同的值域，則〃的取值范圍為（）

A.(-co,0]B.0]C.[0,-)D.[0,+oo)

22

二.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

x+2y.A

13.（5分）若實數(shù)x,y滿足約束條件x-y,0,則z=x+4y的最小值為

為5

14.（5分）若數(shù)列｛4｝對任意”eN*滿足:,則數(shù)列的前“項和

4+2a,+3%■1---Fnan=n

為__________

15.（5分）已知圓臺內(nèi)有一個球，該球與此圓臺的上下兩個底面及母線都相切，若圓臺的上，下兩個底面

的半徑分別為1,4,那么這個球的體積為

16.(5分)已知f(x)=3+/nr)(x-/nx)-x2恰有三個不同零點，則”的取值范圍為

三.解答題(共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個試題考

生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)。(-)必考題：共60分

17.(12分)如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，E為側(cè)棱PC的中點.

(1)求證：經(jīng)過A、B、E三點的截面平分側(cè)棱PD；

(2)若底面ABCZ),且R4=AD,求二面角A-3E—C的大小.

18.(12分)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，已知$5=35,且%是q與小的等比中項?

(1)求｛a,,｝的通項公式；

11132

—+—+…+—<------

(2)若4<4,求證：51%&4a,’.，其中〃?N*

19.（12分）隨著運動App和手環(huán)的普及和應(yīng)用，在朋友圈、運動圈中出現(xiàn)了每天1萬步的健身打卡現(xiàn)象,

“日行一萬步，健康一輩子”的觀念廣泛流傳.“健康達人”小王某天統(tǒng)計了他朋友圈中所有好友（共400

人）的走路步數(shù)，并整理成如表:

分組（單[0,4)[4,8)[8,12)[12,16)[16,20)[20,24)[24,28)[28,32]

位：千步）

頻數(shù)6014010060201802

（1）請估算這一天小王朋友圈中好友走路步數(shù)的平均數(shù)（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點值作代表）;

（2）若用A表示事件“走路步數(shù)低于平均步數(shù)”，試估計事件A發(fā)生的概率；

（3）若稱每天走路不少于8千步的人為健步達人”，小王朋友圈中歲數(shù)在40歲以上的中老年人有200人,

其中健步達人恰有150人，請?zhí)顚懴旅?x2列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表判斷有多大把握認為，健步達人與年齡有

P(K2..k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

20.（12分）已知橢圓C:=+與=1（“＞。＞0）左、右焦點分別為邛-1,0）、6（1,0）,上頂點為3,直線防

CTb

與橢圓C的另一個交點為。，且兩=3耳萬.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過用的直線/與橢圓C交于P、Q兩點，若BP1BQ,求三角形8PQ的面積.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*-x—l,g(x)=ex-2x.

(1)(i)證明:f(x)..O；

(ii)證明：g(x)>0.

(2)當x..O時，/(x)+x(sinx+l)+cosx..ox+l恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.（10分）在平面直角坐標系X。），中，直線/的參數(shù)方程為；二;。為參數(shù)）,曲線C的參數(shù)方程為

F=2+cose，（9為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

[y=sin^9

（1）求直線/的普通方程和曲線C的極坐標方程;

（2）若直線/和曲線C交于A,B兩點，且。4=3通，求實數(shù)上的值.

23.（10分）已知函數(shù)/'（X）己x|+|x-l|.

（1）若恒成立,求實數(shù)”的最大值;

（2）記（1）中機的最大值為M,正實數(shù)a,b滿足/+/=知，證明：a+b..2ab.

2023年高考數(shù)學（甲卷）模擬仿真卷（9）

選擇題(共12小題，滿分60分，每小題5分)

1.(5分)已知集合My=(2'--)5卜/V={x\-\<x<1},則用「]乂=()

A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,0]D.(-1,0)

【答案】A

【詳解】?.?集合加=卜|丁=(2工一/”}={劃2十—/厘)}={犬|。必2},

N={x|-1<%<1},

.?.Mp|A^={x|0?x<l}=[0,1).

故選：A.

2.(5分)若復數(shù)z=O+l)+(2-〃是純虛數(shù)，則19+衛(wèi)|=()

Z

A.3B.5C.75D.3A/5

【答案】C

【詳解】由z是純虛數(shù)，得m+1=0且2-mw0,.?.優(yōu)=-1,z=3i,

因此|21=1YR出|=|Q+2(-"R1_2i|=逐,

z3ii-i

故選：C.

3.(5分)已知向量。4=(1,-2),。月=(2,-3),。。=(3"),若A,B,C三點共線，則實數(shù)f=()

A.-4B.-5C.4D.5

【答案】A

【詳解】向量3=(1,-2),O月=(2,-3),無=(3,r),

若A,B,C三點共線，則存在實數(shù)x,使。C=x0X+（l-x）O5i,

即3=x+2(1)

解得x=-l,

k=-2x-3(l-x)

故選：A.

4.（5分）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩名射擊運動員在8次射擊訓練中的訓練成績，根據(jù)圖中數(shù)據(jù),

下列描述中不正確的是()

甲乙

9875

842180035

539025

A.乙的成績的眾數(shù)為80B.甲的成績的中位數(shù)為83

C.甲、乙的平均成績相同D.乙的成績比甲的成績更穩(wěn)定

【答案】D

【詳解】由莖葉圖中數(shù)據(jù)知，乙的成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是80,所以眾數(shù)為80,選項A正確；

甲的成績從小到大排列為78,79,81,82,84,88,93,95,計算中位數(shù)是;x(82+84)=83,選項8正確;

計算甲的平均數(shù)是"x(78+79+81+82+84+88+93+95)=83.75,

乙的平均數(shù)是(x(75+80+80+83+85+90+92+95)=83.75,

所以兩名射擊運動員的平均成績相同，選項C正確；

8次射擊訓練中甲的成績主要集中在80附近，且極差為17,波動性相對小些，

乙的成績也集中在80附近，但極差為20,波動性大些，所以甲的成績更穩(wěn)定，選項。錯誤.

故選：D.

5.(5分)若向量值，b滿足|"|=2,(G+26)?a=6,則cos<M,b>=()

A.@B.1C.-1D.-更

2222

【答案】B

【詳解】向量a5滿足|肉=2,出|=1,(M+2bj?G=6,

可得。2+2a,〃=6,所以4,6=1,

_ab11

貝Ucos<a,b>=........-

\a\\b\2

故選：B.

6.(5分)已知焦點為F的拋物線y2=2px(p>0)上有一點A("?,2夜)，以A為圓心，|AE|為半徑的圓被

y軸截得的弦長為26，則機=()

A.72B.2夜C.2D.4

【答案】C

【詳解】A（m,2應(yīng)）在拋物線y'=2px上，r.2pm=8,p=土

m

.?.拋物線的焦點尸（3,0）,即F（2,0）.

2m

由拋物線的定義可知|AF|=%+?=s+Z.即圓A的半徑r=，〃+2.

2mm

?/A到y(tǒng)軸的距離d-m,

r2-d2=（r——）2?BP（fn-f-—）2-m2=5?解得m=2.

2tn

7.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+e)(0<e<2)的圖象向左平移工個單位長度后，圖象關(guān)于y軸對稱，設(shè)

26

函數(shù)/(X)的最小正周期為T，極大值點為七，則|T-x0|的最小值是()

A.-B.-C.—D.—

6333

【答案】A

【詳解】函數(shù)/(x)=sin(2x+s)(0<e<馬的圖象向左平移工個單位長度后，

26

可得y=sin(2x+°+。)的圖象，

根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱，“+(=g,,.，

jr

函數(shù)/(x)=sin(2x+—).

6

*/f(x)的最小正周期為了=—=?極大值點為玉)二版"+2,keZ,

則對于|7-七|=|乃—Jbr-四I,故當％=1時，它的最小值為工，

66

故選：A.

8.（5分）已知二進制數(shù)1010⑵化為十進制數(shù)為"，若（x+。）”的展開式中，『的系數(shù)為15,則實數(shù)a的值

為（）

A.-B.-C.1D.2

25

【答案】A

【詳解】根據(jù)二進制的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制的方法可得：1010⑵=1x23+1x21=10,

（x+a尸的展開式的通項公式為I”=C；o10-'陶"

令10-廠=7,求得r=3,可得P的系數(shù)為小G；=120/=15,

可得：a=~.

2

故選：A.

22

9.（5分）已知尸（c,0）（其中c>0）是雙曲線5—方=l（a>0/>0）的焦點，圓V+y?-2cx+^=0與雙曲

線的一條漸近線/交于A、B兩點,已知/的傾斜角為30。，則tanZAF8=（）

A.*B.飛c.-2折D.-2后

【答案】C

【詳解】由題意可設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為法-沖=0,

圓V+丁_25+/=。化為Q_C）2+9=",

圓心（G。），半徑為。，

/與圓（x—c）2+y2=a2（其中C?=片+。2）相交于A,3兩點，

由I的傾斜角為30°,可得2=tan30°=，

a3

尸（G0）到直線/的距離為|尸￡>|=y'I=b,

ylb2+a2

:.\BD|=>Ja2-b2,

貝ljtanNDFB=

\FD\

4日?Ar^r?c/nf-n2tHTlZ.DFB2\^[T

Irftan^AFB=tan2/DFB=------------------=-------=-2j2.

\-tatrZDFB1-2

故選：C.

10.（5分）將函數(shù)y=sin2x圖象上的每一個點按向量日=（*,"?）（其中夕和加為常數(shù)，且2）移動后,

71

X——

所得圖象關(guān)于直線12對稱，則°的值可能為（）

717T

①三；②三;③得；④3

36

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】A

【詳解】函數(shù)y=sin2x圖象上的每一個點按向量a=移動后得到y(tǒng)=sin[2（x-°）]+m,

n

x——

???所得圖象關(guān)于直線12對稱，

2（——（p）=—+kjr,keZ,

122

汽k7l1r

cp=-----------，kGZ,

62

,乃

IN〈不

又2,

.,.當Z=0時，（p—――\當人=—1時，——

63

??0的值可能為（，

故選：A.

22

11.（5分）已知雙曲線C:三-2=1（〃>0*>0）,過C的右焦點F作垂直于漸近線的直線/交兩漸近線于A,

a2Zr

B兩點,A,B兩點分別在一、四象限，若四=」，則雙曲線。的離心率為（）

\BF\13

「再

A.與B.叵D.713

1235

【答案】B

雙曲線的右焦點尸(c,0),漸近線方程為y=±?x,

【詳解】由題意知:

a

GPbx±ay=0f

如下圖所示:

=b，

又丁c2=a'+從，OA|=a??/一產(chǎn)!=9,BF|=—/??

\BF\135

設(shè)Z4QR=a,

由雙曲線對稱性可知ZAOB=2a,

而tana，，tan2a=也=世

\OA\5a

2。x—b

lab

由正切二倍角公式可知：tan2a=a

1-tan~a而

a

lab18〃

0即nf-7=—

a--b~5a

化簡可得：4/=9/,

由雙曲線離心率公式可知：e=5=平

故選：B.

12.(5分)函數(shù)/(x)=x/nx-x+2a+2,若/(x)與/(7(x))有相同的值域，則。的取值范圍為()

A.(-Q0,0]B.0]C.[0,-D.[0,+oo)

22

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，y=/(x)的定義域為xe(0,共o),

又因為=，故可得/'(x)>O=x>l；/'(x)vO-O<xv1,

即得函數(shù)/Q)在(0,1)上單調(diào)遞減；在(1,y0)上單調(diào)遞增；

因此可得f(x)的最小值為/(1)=2〃+1,且X—+00時，/(X)->+00,即得函數(shù)/(X)的值域為［2〃+1,+8),

,?,函數(shù))=/(幻與函數(shù)》=/(/(%))的值域相同，且/(X)的定義域為：XG(0,4-00),

故只需使2+1都=>。0.

故選：A.

二.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

x+2y.A

13.(5分)若實數(shù)尤，y滿足約束條件<%-必,0，則z=x+4y的最小值為.

、為5

【答案】-

3

【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖，

V

聯(lián)立解得吟

化目標函數(shù)z=x+4y為y=—2+三，由圖可知,

44

當直線y=—二+之過A時，z有最小值為1+4x1=*

44333

故答案為：—

3

14.(5分)若數(shù)列｛%｝對任意〃EN*滿足：q+2出+3%+…+=〃，則數(shù)列的前n項和

為

【答案】—

n+\

【詳解】由%+24+3/+…+w”=〃，得4+2%+34+…+(〃-1)%_]=?-1(?..2),兩式相減得〃4=1,

所以4,=L(”..2),且4=1滿足上式；所以衛(wèi)=—!—=■—――,令數(shù)列1」口]的前”項和為北，

nn+ln(n+V)nn+l[n+lj

m,i_,1,1111i1n

223nn+\〃+ln+\

故答案為：—n—,

n+\

15.(5分)已知圓臺內(nèi)有一個球，該球與此圓臺的上下兩個底面及母線都相切，若圓臺的上，下兩個底面

的半徑分別為1,4,那么這個球的體積為

【答案】—

3

【詳解】畫出圓臺的軸截面，如圖所示:

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為R，由題意可知O￡=OG=O尸,

且OELAB,OFLCD,OGLBC,

故可得AOEB=\OGB,AOFC=\OGC,

則3c=3G+CG=3E+AC=l+4=5,

過點3作8〃_LFC,在RTZRHC中，易知HC=FC-FH=FC-EB=3,

可得BH=ylBC2-CH2=425-9=4,

又因為8H=所=2/?,所以R=2,

故球的體積為V=-7rRy=—

33t

故答案為：—.

3

16.(5分)已知f(x)=(or+mr)(x-/nx)-V恰有三個不同零點，貝的取值范圍為

【答案】(1,1+—^)

e(e-\)

【詳解】令f(x)=0,分離參數(shù)得。=一一――,

x-lnxx

令心)=—^一媽，

x-lnxx

由〃(x)=媽與竺亞&=0,得x=l或x=e.

x'(x-lnx)

當XG(0,1)時:h\x)<0；當x￡(l,e)時，，h^x)>0；當xw(e,+oo)時，hf(x)<0.

即力(x)在(0,1),(e,"o)上為減函數(shù)，在(l,e)上為增函數(shù).

二.x=l時，Mx)有極小值〃(1)=1；x=e時，Zi(x)有極大值人(e)=1+------；

e(e-1)

設(shè)〃=蛆，則〃<1;

X

這是因為時于函數(shù)y=/nx-x,x>0,有y'=±W,

X

當ovxvi時，y>o,函數(shù)單調(diào)遞增；當時，y<o,函數(shù)單調(diào)遞減；

即x=l時函數(shù)有極大值，也是最大值-1,故Vx>0,lnx-x<0^Inx<x,即得媽<1；

x

/z(x)=^—-A=^—+(1-//)-1..2-1=1;

1-//l-/z

/.當.f(x)=(or+歷X)(X-勿X)-f恰有三個不同零點，即y=q與y=/2(x)有三個不同的交點;

：A<a<\+------.

e(e—1)

故答案為：(1,1+―1—).

e(e-l)

Ox

三.解答題(共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個試題考

生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)。(-)必考題：共60分

17.(12分)如圖所示，在四棱錐中，底面A6CD為正方形，E為側(cè)棱PC的中點.

(1)求證：經(jīng)過A、B、E三點的截面平分側(cè)棱打)；

(2)若R4_L底面438,且24=4),求二面角A—BE—C的大小.

kD

BC

【答案】(I)見解析；(2)60°

【詳解】(1)證明：設(shè)載面/腔與側(cè)棱叨交于點F,

連接EF、AF,

因為底面438為正方形，所以AB//CD,

又因為ABU平面尸CD,且CDu平面PC￡),

所以AB//平面PC。，

又A5u平面ABE,且平面ABEC平面PCD=,

所以4?//所，

又因為A3//CD,所以CD//EF,

因為E為PC中點，所以F為叨中點，

即截面43E平分側(cè)棱PD.

(2)解：建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)AB=2,

A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,2,0),￡(1,1,1),

BA=(-2,0,0),BE=(-1,1,1),BC=(0,2,0),

設(shè)平面ABE與平面3EC法向量為比=(x,y,z),n=(u,v,w),

BE-m=-x+y+z=O.小八

__,令z=1,戌=(0,111),

BAm=-2x=0

BE-ri=—u+v+w=0

令w=l,n=(l,0,1),

BCn=2v=0

\m-n\_1_1

cos<m,n>=|/?|-|n|=V2-V2=2-

所以二面角A-BE-C的大小為60。.

18.(12分)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，已知$5=35,且4是q與%的等比中項.

（1）求｛凡｝的通項公式;

11132

—+—+…+—<------

（2）若q<4,求證：瓦$2S”4%+1,其中〃wN*

【答案】（1）q=7或4=2〃+1（其中〃eN*）；⑵見解析

【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為4，由$5=35,得54+104=35,

因為％是4與牝的等比中項，所以（q+3">=%（&+124）,

化簡得q=7-2d,且2〃儲=3d2,

解方程組，得4=7,d=0或q=3,d=2,

故｛。〃｝的通項公式為%=7或=2〃+1（其中〃EN*）.

(2)證明：因為q<4,則〃“=2〃+1,于是S〃=〃5+2),

于是L=，_=_L(_L1

），

Snn(n+2)2nn+2

111

------1---------Fd-------

故也S~'0S2、…%S=l[rz(i1_1)、+(，11)、+(/1)、+...+(z_1----1-)、+(/------1--)、]■.

232435n—\n+]nn+2

1111.312〃+3

———(Z1-\--------------)------------------，

22〃+ln+242(〃+l)(〃+2)

因為5+1)(〃+2)v(笥蟲>,

2〃+344

----------->----------，

5+1)5+2)2〃+3an+i

111

++...+

于是S；S2^?<---——=————,其中〃cN*.

42an+l4an+l

19.(12分)隨著運動A/平和手環(huán)的普及和應(yīng)用，在朋友圈、運動圈中出現(xiàn)了每天1萬步的健身打卡現(xiàn)象,

“日行一萬步，健康一輩子”的觀念廣泛流傳.“健康達人”小王某天統(tǒng)計了他朋友圈中所有好友（共400

人）的走路步數(shù)，并整理成如表:

分組（單[0,4)[4，8)[8,12)[12,16)[16,20)[20,24)[24,28)[28,32]

位：千步）

頻數(shù)6014010060201802

（1）請估算這一天小王朋友圈中好友走路步數(shù)的平均數(shù)（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點值作代表）;

（2）若用A表示事件“走路步數(shù)低于平均步數(shù)”，試估計事件A發(fā)生的概率；

（3）若稱每天走路不少于8千步的人為健步達人”，小王朋友圈中歲數(shù)在40歲以上的中老年人有200人，

其中健步達人恰有150人，請?zhí)顚懴旅?x2列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表判斷有多大把握認為，健步達人與年齡有

關(guān)？

健步達人非健步達合計

人

40歲以上

不超過40

歲

合計

附：K：______M.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】見解析

【詳解】(1)這一天小王朋友圈中好友走路步數(shù)的平均數(shù)為：

擊x(2x60+6x140+10x100+14x60+18x20+22x18+16x0+30x2)=9.04千步;

1Q04—R

(2)由頻率約等于概率可得，P(A)=——x(60+140+二-----x100)=0.565；

40012-8

（3）根據(jù)題意可得2x2列聯(lián)表如下：

健步達人非健步達人合計

40歲以上15050200

不超過40歲50150200

合計200200400

所以片=______"(ad-bcf______=4(X)(I50X150-50X50)=100>10,828,

(。+b)(c+d){a4-c)(b+d)200x200x200x200

所以有99.9%把握認為，健步達人與年齡有關(guān).

22

20.（12分）已知橢圓C:]+多=1（。>6>0）左、右焦點分別為耳（-1,0）、4（1,0）,上頂點為B,直線跖

crb

與橢圓C的另一個交點為Q,且西=3和.

（1）求橢圓C的方程;

(2)設(shè)過8的直線/與橢圓C交于P、。兩點，若BP工BQ,求三角形BP0的面積.

【答案】(1)—+/=1；(2)—

211

【詳解】(1)由題意，得上頂點為8(0,6),設(shè)￡>(x。，%)，(x0#0),

../I

由=2耳。及石(-1,0),得3(x0+l)=-l,解得/=-§

故直線BFX的方程為y=+b,

Jo=bx0+b2

由,

9+/「解得一品

4

所以=解得"=2,廿=1,

\+cr3

2

所以橢圓的方程為5+V=1.

(2)由(1)及題意，直線/不過點B且與x軸不重合,

設(shè)直線/的方程為x=my+l(機「一1),尸。孫+1,y),Q(my2+1,y2),

由3P_L3Q得3戶/。二。，

所以(my}+1)(陽2+1)+(Y-1)(以-1)二0，

化簡得(1+癡》跖+(加-1)(,+%)+2=0(*)，

,\x=my+\/口)

由仁。2。八，得("+2)丁+2my—1=0,

[x~+2y-2=0

△=(2m)2+4(M4-2)=8(z??2+1)>0恒成立，

由韋達定理，得乂+必=一々4,〉書=一二^

7n+2m+2

代入(*)式得一3-網(wǎng)9+2=0,

m~+2加~+2

化簡得蘇-26-3=0,

又加工一1,

所以解得"2=3,

所以直線/的方程為x-3y-l=0,

由弦長公式，可得

IPQ\='Jl+nr\yt-y2\=41+濟J(X+城一今以

=而、回=型，

1111

因為點5(0,1)到直線/的距離為d=皿?“'I二1」=2叵，

#+325

g、i。1,,…12癡20x/28x/5

所以S^BPQ=-xdx\PQ\=-x$x]]=-yp-

21.(12分)己知函數(shù)/(工)=然一工一1,g(x)=ex-2x.

(1)(i)證明：/(x)..0；

(ii)證明：g(x)>0.

(2)當x.O時，，f(x)+x(sinx+l)+cosx..or+l恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)(-00,1]

【詳解】(1)(i)證明：由〃)x=e—可知r(x)="—l.

當XC(YO,0)時，ff(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

當X￡(0,?O)時，/z(x)>0,函數(shù)/")單調(diào)遞增，

當％=0時，函數(shù)f(x)有最小值/(0),又/(0)=0,

故/(x)..O.

(ii)證明：由g(x)=c'—2x,可知g'(x)="—2.

當X￡(-C0,/〃2)時，gf(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;

當XE(/〃2,+00)時，g<x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當x=0時，函數(shù)g(x)有最小值g(歷2),

又g(歷2)=2-