向量(論文)資料

向量在高中數(shù)學(xué)中的幾個妙用引言：平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是新高考的一個亮點。正因為如此，在高三專題復(fù)習(xí)課上，我們以求在教與學(xué)的過程中提高學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣，讓學(xué)生樹立并應(yīng)用向量的意識。背景:向量知識在許多國家的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，早就成了一個基本的教學(xué)內(nèi)容。在我國全面實施新課程后，向量雖然已進入中學(xué)，但仍處于起步的階段。向量知識、向量觀點在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形與一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的的許多主干知識綜合，形成知識交匯點。而在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問題用常規(guī)方法去解決往往運算比較繁雜，不妨運用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會大大簡化過程。但實際情況是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中就“平面向量”解平面向量題，不會應(yīng)用平面向量去解決解析幾何問題，學(xué)生應(yīng)用向量的意識不強.在高中數(shù)學(xué)新課程教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量在前，學(xué)習(xí)解析幾何在后，而且教材中二者知識整合的不多，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中就“平面向量”解平面向量題，不會應(yīng)用平面向量去解決解析幾何問題。正因為如此，本節(jié)課這樣設(shè)計：1、教育家贊可夫說“要以知識本身吸引學(xué)生學(xué)習(xí)，使學(xué)生感到認(rèn)識新事物的樂趣，體驗克服困難的喜悅”；教育心理學(xué)認(rèn)為：思維是從提出問題開始的；美國心理學(xué)家賈德通過實驗證明“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個先決條件，就是學(xué)生需掌握原理，形成類比，才能讓遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中”。因此首先通過兩個舊問題的引入解決，讓學(xué)生體會向量的工具性特點，體會向量解題的優(yōu)越性。2、通過例3、例4兩個問題的探究解決，由此讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，用向量法的最大優(yōu)點是思路清晰，過程簡潔，有意想不到的神奇效果。著名教育家布魯納說過：學(xué)習(xí)的最好刺激是對所學(xué)材料的興趣，簡單的重復(fù)將會引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退。這充分揭示方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕負(fù)擔(dān)。向量是形與數(shù)的高度統(tǒng)一,它集幾何圖形的直觀與代數(shù)運算的簡潔于一身。是高中數(shù)學(xué)新增加的內(nèi)容，在作用上它取代了以往復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中的地位，但從目前的使用情況來看，向量的作用要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于復(fù)數(shù)。一個復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點只能在平面上，而向量卻有平面向量和空間向量之分，這一點在與幾何（尤其是立體幾何）的聯(lián)系上表現(xiàn)得更加突出。向量在數(shù)學(xué)，力學(xué)，物理學(xué)和工程技術(shù)中應(yīng)用很廣泛，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的許多主干知識相結(jié)合，形成知識交匯點。向量方法在解決幾何問題時充分體現(xiàn)了它的優(yōu)越性，平面向量就具有較強的工具性作用，向量方法不僅可以用來解決不等式、三角、復(fù)數(shù)、物理、測量等某些問題，還可以簡捷明快地解決平面幾何許多常見證明（平行、垂直、共線、相切、角相等）與求值（距離、角、比值等）問題.不難看出向量法應(yīng)用于平面幾何中時，它能將平面幾何許多問題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合。向量法是將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)方法研究幾何問題。用空間向量解決立體幾何中的這些問題，其獨到之處，在于用向量來處理空間問題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化。那么解立體幾何題時就可以用向量方法，對某些傳統(tǒng)性較大，隨機性較強的立體幾何問題，引入向量工具之后，可提供一些通法。由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與幾何之間有著密切聯(lián)系。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念之一，它既是幾何對象也是代數(shù)對象，因而成為數(shù)形結(jié)合的橋梁，成為溝通代數(shù)、幾何、三角的得力工具。向量的概念從大量的生活實例和豐富的物理素材中抽象出來，反過來，它的理論和方法又成為解決生活實際問題和物理學(xué)重要工具.它之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì)，可以使復(fù)雜問題簡單化、直觀化，使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化。正是由于向量所特有的數(shù)形二重性，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有廣泛的應(yīng)用。用向量坐標(biāo)法求角時要注意善于利用已知幾何體的特點，尋找直線與平面的垂直關(guān)系，再設(shè)法在平面內(nèi)找到直線與直線垂直，以便建立空間直角坐標(biāo)系后方便求相關(guān)點的坐標(biāo)。從上面的例子我們可以看到，向量解題的優(yōu)勢就在于只運用了向量公式的簡單變形就解決了一個通過繁瑣的立體幾何分析方能解決的問題。這是對笛卡爾“變實際問題為數(shù)學(xué)問題，再變數(shù)學(xué)問題為方程問題，然后只需求解方程便可使問題得以解決”這一數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的完美體現(xiàn)。用向量法解決立體幾何問題的方式有兩種：一是直接用向量的代數(shù)式運算，二是用向量的坐標(biāo)運算。一般來說，向量的坐標(biāo)運算，思維量更少，運算技巧更低，更容易掌握，因此這也是我們常用的向量方法。若所給圖形不容易建立空間直角坐標(biāo)系，我們也可以用向量的代數(shù)式運算來解決問題，但其技巧性相對較高，對學(xué)生邏輯推理能力的要求也提高了。一、向量在函數(shù)中的應(yīng)用根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面上可以用向量來表示復(fù)數(shù)。這樣復(fù)數(shù)的加減法，就可以看成是向量的加減，復(fù)數(shù)的乘除法可以用向量的旋轉(zhuǎn)和數(shù)乘向量得到，學(xué)了向量，復(fù)數(shù)事實上已沒有太多的實質(zhì)性內(nèi)容。因而變選學(xué)內(nèi)容也就不難理解了。另外向量所建立的數(shù)形對應(yīng)也可解：如圖9，設(shè)，由BC//x軸得與共線，而代入上式得又與是共線向量,即A、、C三點共線直線AC經(jīng)過原點。3、軌跡問題例9已知一個圓的直徑兩端點為，求此圓方程.解：設(shè)為圓上異于的點，由圓周角定理得⊥，若是與點或重合的點，則=或=，故都有=0成立，從而，此即為所求圓方程．例10求過圓上的點的切線方程．解：如圖,設(shè)是所求切線上的任意一點，則，,因為⊥所以=，即，此即為所求切線的方程(即使是重合時，仍有=，因為此時=)．總之，平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)方法已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢。向量法是一種值得學(xué)生花費時間、精力去掌握的一種新生方法，學(xué)好向量知識有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科。因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強向量這