中學高三12月月考數(shù)學試卷

中學高三12月月考數(shù)學試卷

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題型選擇題填空題解答題判斷題計算題附加題總分

得分

評卷入得分

一、填空題（共13題，共65分）

1、已知點"（T，。）和圓。：x2+/=9,4R是圓。的直徑，的和戶是線段4目的三等分點，P（異

于/,2?）是圓。上的動點，EDIE于D,PE=XED（A>0）,直線以與JS區(qū)交于C,則當

4=時，|CM|+|CN|為定值.

【考點】

1

【答案】8

【解析】題意可得皿殯M（-L°）,"（L。），設尸（。%）,則點/）故的方程為

1J

y=^^（x+3）y=^^-（x-3）八八二（…仔"）

%+3,班的方程為/-3,聯(lián)立方程組可得（1+4）（/9）,

y1

_2=1

把乂a=9o-JC0代入化簡可得91+A,故點C在以血為長軸的橢圓上，當林N為此橢圓的焦點

時"CM+PM為定值2a=6,此時,由盤2-/=廿可得--4！一）求得

A=-A=—

8,故填8.

2、若函數(shù)/（x）=BxT],則函數(shù)式為）=/（/（喇+1nx在（°，】）上不同的零點個數(shù)為.

【考點】

【答案】3

|4x-l|+ia0<x<—

gG)={］2…

［解析］因為投*3|+M彳vxvl,晨")=°可轉化為：汽°R,函數(shù)>=祗-1|與

交點的個數(shù)；作出函數(shù)圖象如圖:

由函數(shù)圖象可知零點個數(shù)為3個.

3、若曲線)一%”與曲線)=如比在它們的公共點PG=)處具有公共切線,則實數(shù)a的值為

【考點】

【答案】1

1asas

yr=-x,vr=——=——=ah1is

【解析】兩曲線的導數(shù)分別是.。?X,因為在p處有公切線，所以。$且看

解得a=l,故填1.

|刎仁M

4、在矩形ABCD中,AB=3,4。=1,若M,N分別在邊BC,CD上運動(包括端點，且滿足尿I同,

I-----

則4M-AN的取值范圍是.

【考點】

【答案】[1,9]

【解析】分別以AB,AD為x,y軸建立直角坐標系，則4(0,0),B(3,0),設

|BM||CJV|

M(3,b)因為鬲一網(wǎng)所!？=芋，貝卜N=(X,1)/M=(3,?)

?88

故AM?4M=/+1(0<.V*3),所以1工/+1二\故填口，向.

圖的圖

加員萬/y=x^,y

5、如圖，在第一象限內，矩形ABCD的三個頂點A,B,C分別在函數(shù)y=T

像上，且矩形的邊分別平行兩坐標軸，若A點的縱坐標是2,則D點的坐標是

【考點】

【答案】

【解析】

2=log^x走,2）1

試題分析：由T可得點2,由2=/得點3（4,2）,又,即點

所以點D的坐標為.

D@）=｛Lx為有理數(shù)

6、設函數(shù)0，x為無理數(shù)，則下列結論正確的是.

⑴“（X）的值域為｛°'】｝；⑵°（x）是偶函數(shù)；⑶刀卜）不是周期函數(shù)；⑷q（x）不是單

調函數(shù).

【考點】

【答案】⑴（2）（4）

【解析】根據(jù)函數(shù)解析式知（1）AG）的值域為｛。，1｝正確；時）因為x如果是有理數(shù)，則一X仍舊是有

理數(shù)，X是無理數(shù)，-X仍舊是無理數(shù)，所以“（X）是偶函數(shù)正確；（3）可以是周期函數(shù)，例如T=1；故錯

誤；（4）顯然函數(shù)值得大小與自變量大小無關，只與自變量是無理數(shù)還是有理數(shù)有關；綜上分析正確的是

（1）（2）（4）.

7、若圓C經(jīng)過坐標原點和點（4'°）,且與直線」=1相切，則圓C的方程是

【考點】

(%-2『+1)+外25

【答案】I2,T

【解析】設圓的圓心坐標（冬5）,半徑廣，圓C經(jīng)過坐標原點和點（4’°）,且與直線）=1相切,

a2+b2=r2

｛（0+"='35(X-2)2+^+1'1

所以B7=r,解得0_2力一5C,所求圓的方程為I2)4

8、已知數(shù)列｛4｝滿足：4=1,1.+2,”，），則數(shù)列｛4｝的通項公式為

【考點】

1

【答案】

=i=-^--=—+1—+1=2[-+11｛—+1]

【解析】由4+2得：4H%,變形得：?）,所以,是以2為公比的

—+L=2x2#-1=28/=1

等比數(shù)列，所以/，所以2B-1.

9、將」=向2*的圖像向右平移。單位（0A°）,使得平移后的圖像仍過點則。的最小值為

【考點】

H

【答案】6

【解析】將）=而2”的圖像向右平移W單位（0>°）得到^=皿°2?-9）,代入點得:

6-（2需12JTTT7’3器

—=sin-----2伊I-----2?=—.....<p=_

213）,因為W>°,所以當33時，第一個正弦值為2的角，此時6,故

填￡

10、已知單位向量不，石的夾角為120°,那么一益I（xwK）的最小值是

【考點】

【答案】百

【解析】巾占一刈=，（2'-同=V4+x1-4xcosl200=Jx，+2x+4=^（x+l）2+3*匈的

最小值為6.

11、對于常數(shù)加、?,,lmn>Q"是方程"皿'+即’=1的曲線是橢圓”的.

【考點】

【答案】必要不充分條件

【解析】因為用=">0時，皿'+即'=1表示圓，所以“方程"皿2+即'=1的曲線是橢圓””推不出

方程“方程"皿’+即’=1的曲線是橢圓”，當方程“皿'+號’=1的曲線是橢圓”時，能推出用"A。,

所以應該填必要不充分條件.

12、若直線+2d）x-y+1=°的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍是.

【考點】

【答案】（一2,0）

【解析】試題分析：因為直線（°?+2a）x-y+1=°的傾斜角為鈍角，所以

k=a2+2a<0,-2<a<0.

13、已知全集。=k，集合/={x|xN2},3={x|0Sx<5},則（Q"）C"=.

【考點】

【答案】30九<2}

【解析】因為&4={X|XV2},所以（CMC"=1X[0"X<2},故填30以<2}

二、解答題（共6題，共30分）

14、已知P（222）是給定的某個正整數(shù)，數(shù)列{4}滿足：?=1,仕+1）/+1=了伏-P）%,其中方=1,

2,3,P-1.

（1）設P=4,求外，%,%；

（2）求?+/+/+-+%

【考點】

【答案】⑴/二-6%=16,4=一叫2）

皿

【解析】試題分析：（1）由仕+1），也=尸伏-0%得，*+1,*=1,2,3,求々，內，，；

蟲=”3%=-”曰幺=_/已a="二（I）

⑵利用的上+1,寫出62,0,3,…，a,-ik

累乘法即可求出“L再利用二項式定理求出和.

試題解析：

（1）由伍+1）%也=了傳一尸）力得小上+1,k=1,2,3,...,p-l

—TX'Ya=-4*巴=」

即q2,w=Yq=Y；/33,%=16

%i==T

%4,4=T6

4+]=.戶.

（2）由（上+1）%+1=夕仕一了）的得的上+1,k=1,2,3,???,PT

%一.KP-I5L_—F-2a?_p_（4_1）

j=—j=-px—-------px------------

即62,/3...%[k

%=（_p廣x（一一1）（，-2）3-3>..（。--+1）

以上各式相乘得丐力

a_（）*-1,（尹_1）（7_2）（7_3）…（勾―4+1）

.-.*-kP）上！

=（―p-工ST!_（F）*\P1

IP）kl（p-k）lpil（p-i）!

?X=-/"）[i2,3.....p

=-｝［。；（-爐+4（-，）'+。；（-A）,+…+。；（~F）1

15、(1)選修4-2：矩陣與變換

「-14-

M=

求矩陣L26」的特征值和特征向量.

(2)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

p=442cos|—I

在極坐標系中，圓G的方程為I4),以極點為坐標原點，極軸為K軸的正半軸建立平

｛工=-1+函.小

面直角坐標系，圓G的參數(shù)方程7=-1+緲加6(。是參數(shù))，若圓G與圓G相切，求實數(shù)a的值.

【考點】

pl巴

【答案】(1)屬于4=7的一個特征向量|_2」，屬于4=-2的一個特征向量為1_一1」，

(2)a=±\f2,或以=±5&.

【解析】試題分析：(1)求得矩陣的特征多項式/("),令/W=°,求得M的特征值，分別將特征值

代入二元一次方程組，即可求得其特征向量；(2)根據(jù)圓的極坐標方程和參數(shù)方程化圓方程為直角坐標方

程，利用兩圓相切即可求出.

試題解析：

a)y(A)=(A+1)(A—6)—8=ZJ—5A_14=(A-7)(A+2)

由/⑷=?？傻茫?=74=-2

(7+l)x-4j?=0Fil

由-2x4-(7-6)^=0可得屬于4=7的一個特征向量1_2」

(-2+l)x-4y=。r4"

由-2x+(-2-6)y=°可得屬于4=一2的_個特征向量為|_-L

⑵Ci：(x-2)'+()-2y=8,圓心G⑵2),半徑勺=2/，

%(x+l)5+(j+l)3=a2圓心*-1,-1),邊境弓=同

圓心距C￡=34,

兩圓外切時，C6='+f=2"+同=3&,a=±^2.

兩圓內切時,4G=卜-引=|20”卜3近,?=±5也

綜上，a=±y/2,或《=±5'5.

16、已知函數(shù)/（X）的圖像在上，河上連續(xù)不斷，定義：

￡G）=mifl{/（f）/04fsM（xeR，b]）￡（x）=ma{/（f）/aMf4x}（xe?b]）其中

min{/G）/*eD}表示函數(shù)/（x）在。上的最小值，皿值/卜）/*'□}表示函數(shù)/卜）在。上的最大

值,若存在最小正整數(shù)上，使得B（x）-￡（x）<Hx-a）對任意的x可成立,則稱函數(shù)/（x）為⑶b\

上的“總階收縮函數(shù)”.

（1）若/（x）=cosx,xe[Q,tr]試寫出〃x）,B（x）的表達式；

（2）已知函數(shù)〃x）=x\xe[-L4],判斷〃x）是否為卜1,4]上的“無階收縮函數(shù)，，，如果是，

求出對應的尢，如果不是，請說明理由；

（3）已知b>0,函數(shù)是[0,”上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍.

數(shù)學附加題

【考點】

16

【答案】⑴￡（x）=Cxe[0,qB（x）=l,xw[o,句⑵3即存在尢=4,使得〃x）是

[_141

IL力上的“4階收縮函數(shù)”.（3）2

【解析】試題分析：（1）根據(jù)“"I的最大值可求出EG）,右（X）的解析式；⑵根據(jù)函數(shù)〃x）=x;

xe[-L4]上的值域，先求出￡（x）,￡（x）的解析式，再根據(jù)右（X）-￡（X）"HXF）求出卜的取值范

圍得到答案.⑶先對函數(shù)/（X）求導判斷函數(shù)的單調性，進而寫出￡（x）,右（x）的解析式，然后再由

B（x）-￡（x）M*（x-a）求出卜的取值范圍

試題解析：

（D由題意可得：〃x）=c皿，xe[o,qE（x）=l,xe[0，H

l-x2?xe[-L0)

⑵止Y：至Qaxl.xe[-b1)t(%)-4(%)={Lxe[0.1)

32

%,xe[b4]xFxe[b4]

當xe[-l，0]時l-xMHx+Doi—x,k>2.

當時，lMA(x+l).產(chǎn)-j.4]；

、t.、x?,.16

當xe[rL4]時x"Mx+l)-而口彳

綜上所述，5.即存在上=4,使得/(x)是［-1，4］上的“4階收縮函數(shù)”.

⑶/,(x)=-3/+6x=Tx(x-2)令/3=。得*0或“2.函數(shù)〃x)的變化情況如下：

令=°得％=0或x=3.

⑴當b?2時，〃x)在［0.可上單調遞增，因此，4(x)=/(x)=-x3+3x，〃x)=/(0)=0

因為/(x)=T+3x2是［0.句上的“二階收縮函數(shù)”，所以，

①/)-必)42(3-0)對X"。詞恒成立;

②存在xe［。，司，使得右(x)-￡(x)>(X-0)成立

①即：-x3+3x2?2x對xe［。，可恒成立，由7+女？42%解得04x41或xW2.

要使r3+3x242x對x€［。，可恒成立，需且只需0v841.

②即:存在使得X(M-3X+1)<0

成立.

由"(M—3x+l)<°解得“<。或于<x<3+尤b>^~

2.所以，只需2

-------宅。《1

綜合①②可得2

(2)當2<b?3時，/㈤在［°，2］上單調遞增，在［2,可上單調遞減，因此，石(x)=y■⑵=4,

^(x)=/(O)=OM㈤-必)=4x-0=x,顯然當x=0時，B(x)"G)M2(x-。)不成立

(3)當b>3時，〃x)在［如2］上單調遞增，在［2,可上單調遞減，因此，4卜)=/"⑵=4,

￡(x)=/(b)<0右(x)-/(x)=4-/(b)A4%_0=%顯然當“0時右(X)-1(X)S2(X-。)

不成立.

綜合(1)(2)(3)可得：2

17、【2018屆江蘇省泰州中學高三12月月考】已知橢圓的中心為坐標原點°,橢圓短軸長為2,動點M(2,。

(f>0)在橢圓的準線上.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)求以為直徑且被直線3X-4J-5=°截得的弦長為2的圓的方程；

(3)設尸是橢圓的右焦點，過點尸作0M的垂線與以QH為直徑的圓交于點N,求證：線段QM的

長為定值，并求出這個定值.

【考點】

2

二十-111

【答案】(1)委y~(2)圓的方程為(X-1)+(k2)=5⑶萬

【解析】試題分析：(1)由已知可得b,又M在準線上，可得a,c關系，解方程即可求出a,寫出橢圓標

準方程；(2)利用直線與圓相交所得弦心距'半弦長、半徑所成直角三角形可得出圓的方程；(3)由平

幾知：ON^^OKOM,將OK,0M表示出來，代入上式整理即可求出線段OM的長為定值2.

試題解析：

(1)由3=2,得6=1

Q=2-2

又由點M在準線上，得。一，故。-，，c=l從而a=友

梟y=1

所以橢圓方程為2

+(尸:］=y+l

(2)以為直徑的圓的方程為I2,4

因為以0M為直徑的圓被直線3x-4j-5=0截得的弦長為2

i/cnd=Vr2-1=:

所以圓心到直線3x-4h-5=°的距離2

B加

所以52,解得f=4

所以圓的方程為(*-1+(>-2y=5

(3)由平幾知：ON2=OKOM

直線。拉「=3，直線加，=-布-。

/

{f7,2

y=——(x~l)Xr=―-—=Jl+f玄"J1+J現(xiàn)=］+。*2-2=2

由」/)得Xf】+4「.'4丫414"心4

所以線段QM的長為定值Q

18、設函數(shù)/住)=loga(x-2a)+log°(x—3a)?其中a>。且短工1.

(D已知/?a)=1,求a的值；

(2)若在區(qū)間［。+3,?+4］上/(x)ML恒成立，求a的取值范圍.

【考點】

=1

【答案】(1)a~2.(2)0<a<l.

【解析】

試題分析：對于G)直接把x=4a代入/(X)運用對數(shù)運算解得：a~2；對于(2)函數(shù)問題要注意

x-2a>04

?公<一

定義域優(yōu)先考慮，故對數(shù)真數(shù)恒大于零，即：lx-3fl>0,由"+3A3冬得：2,由函數(shù)的單調性分

,3

類討論a的范圍，由a>0且4工1,得：0<avl和2

/(4a)=log(4?-2d)+log(4?-3a)=l^a=—

(1)flfl2.

⑵做—5〃+必Alo&g券