專題3.7 勾股定理的逆定理（分層練習(xí)）（提升篇）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題3.7勾股定理的逆定理（分層練習(xí)）（提升篇）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖所示的圖形是由兩個直角三角形和三個正方形組成的，其中三個正方形陰影部分的面積和是56，大直角三角形一邊長為6，則斜邊長（

）A．8 B．9 C．10 D．122．小明從家出發(fā)向正北方向走了150m，接著向正東方向走到離家直線距離為250m遠的地方，那么小明向正東方向走的路程是（）A．250m B．200m C．150m D．100m3．《九章算術(shù)》中有一道題目譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分有3尺，牽繩索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡”．設(shè)繩索的長為x尺，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．4．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是5，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊長分別是a、，則的值為（）

A．16 B．9 C．4 D．35．將一長方形紙片按圖1方式剪成四張完全相同的直角三角形紙片，相關(guān)線段長度如圖中標注．現(xiàn)將它們拼成圖2的“趙爽弦圖”，則圖2中陰影部分的面積為（

）A．

B．

C．

D．

6．我國明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家提出一道“蕩秋千”的數(shù)學(xué)問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”其意思為：如圖所示，當(dāng)秋千靜止在地面上時，秋千的踏板離地的距離為一尺（尺），將秋千的踏板往前推兩步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺（尺），求這個秋千的繩索有多長？（

）A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺7．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實踐探究活動．如圖，當(dāng)張角為時，頂部邊緣B處離桌面的高度為，此時底部邊緣A處與C處間的距離為，小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為時（D是B的對應(yīng)點），頂部邊緣D處到桌面的距離為，則底部邊緣A處與E之間的距離為（

）A． B． C． D．8．如圖，在四邊形中，，，點C是邊上一點，，．．下列結(jié)論；①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

A．5 B．4 C．3 D．29．某大會會標如圖所示，它是由相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是，小正方形的面積是1，直角三角形中較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，則的值（

）A． B． C． D．10．勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到的，，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形的邊上，則長方形的面積為（

）A．420 B．440 C．430 D．410二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，八年級一班的同學(xué)準備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿AB豎直插到水底，此時竹竿AB離岸邊點C處的距離米．竹竿高處水面的部分AD長0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度BD為______．12．如圖，在△ABC中，，，，P為邊AB上一動點，于點E，于點F，連接EF，則EF的最小值為______．13．勘測隊按實際需要構(gòu)建了平面直角坐標系，并標示了A，B，C三地的坐標，數(shù)據(jù)如圖（單位：km）．筆直鐵路經(jīng)過A，B兩地．（1）A，B間的距離________km；（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使，則AD的長為______________km．14．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、均在格點上，則______．15．如圖，在一只底面半徑為3cm，高為8cm的圓柱體狀水杯中放入一支13cm長的吸管，那么這支吸管露出杯口的長度是_____．16．在△中，已知，，邊上的中線，過點作⊥，垂足為點，則的長度是__________．17．《勾股》中記載了這樣一個問題：“今有開門去閫（kǔn）一尺不合2寸，問門廣幾何？”意思是：如圖推開兩扇門（和），門邊沿D，C兩點到門檻的距高是1尺（1尺=10寸），兩扇門的間隙為2寸，則門檻為_______寸．18．如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當(dāng)_________s時，是等腰三角形；當(dāng)_________s時，是直角三角形．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）一個門框的尺寸如圖所示，一塊長，寬的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？20．（8分）如圖，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，求四邊形ABCD的面積．21．（10分）設(shè)直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為a，b及h，求證：．22．（10分）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口一個半小時后分別位于Q、R處，且相距30海里．如果知道“遠航”號沿北偏東50°方向航行，則“海天”號沿哪個方向航行？23．（10分）如圖,圓柱形玻璃杯的高為18cm,底面周長為24cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁B處的最短距離為多少?24．（12分）能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù)，我們稱之為一組勾股數(shù).觀察下表（）：3，4，55，12，137，24，259，40，41……（1）試找出它們的共同點，由它們的共同點得出并證明一個結(jié)論；（2）寫出當(dāng)時，，的值.參考答案1．A【分析】根據(jù)圖形面積，可求出大正方形面積為28，即AB2＝28，由此即可求出AC．解：由圖形可知，兩個小正方形的面積和＝大正方形的面積，∵三個正方形陰影部分的面積和是56，∴AB2＝28，∴AC2＝AB2+BC2＝28+36＝64，∴AC＝8．故選：A．【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，以及與正方形面積的關(guān)系，靈活用用勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進而利用勾股定理得出答案．解：如圖所示：由題意可得：，由勾股定理得，故選B【點撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確畫出圖形．3．B【分析】設(shè)繩索的長為x尺，則木柱高為（x-3）尺，長8尺構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理列方程．解：設(shè)繩索的長為x尺，由題意得，故選：B．【點撥】此題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，正確理解題意中的數(shù)量關(guān)系列得方程是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】由勾股定理得，由小正方形面積是1，得出，即可得出結(jié)果．解：由題意可知：大正方形的面積=4個直角三角形的面積之和=所以故選：B．【點撥】本題考查了以弦圖為背景的計算，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．5．B【分析】陰影部分的面積＝小正方形的面積．小正方形的邊長為．解：如圖所示：小正方形的邊長為，則陰影部分的面積＝小正方形的面積＝．故選：B．【點撥】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關(guān)鍵在于正確找出小正方形的邊長．6．C【分析】設(shè)繩索有x尺長，此時繩索長，向前推出的10尺和秋千的上端的端點，垂直地面的線可構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可求解．解：設(shè)繩索有x尺長，則，解得：．故選：C．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．解：依題意，，在中，，∵，,在中，，故選：A．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，．再由圖形的面積可得出①②⑤正確．解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正確；，，四邊形的面積是；故③錯誤；梯形的面積直角三角形的面積兩個直角三角形的面積，，，，故④錯誤，故⑤正確故①②⑤共3個正確，③④錯誤．故選：C．【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的證明，垂直的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．9．C【分析】大正方形的面積是求得，結(jié)合小正方形的面積是1求出陰影部分面積即，將變形代入求解即可．解：直角三角形中較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，故斜邊長為:即大正方形邊長為:大正方形的面積是，小正方形的面積是1陰影部分的面積為：即故選：C．【點撥】本題是以弦圖為背景的計算題，考查了勾股定理，圖形的面積，關(guān)鍵是用a、b表示面積．10．B【分析】延長交于P，延長交于Q，可得全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求出和的長，再根據(jù)長方形的面積公式列式計算即可得解．解：如圖，延長交于P，延長交于Q，由題意得，，∴，∴，∴，同理可證，∴，∵圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到，∴，，∴長方形的面積．故選：B．【點撥】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)與判定，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到長方形的鄰邊的長是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．11．1.5米【分析】設(shè)人工湖的深度BD設(shè)為x米，則竹竿BC的長米，可以放到一個直角三角形中計算．此直角三角形的一條直角邊CD是0.8米，另一條直角邊是人工湖BD為x米，斜邊BC是竹竿的長米．根據(jù)勾股定理得，即可解答．解：設(shè)人工湖的深度BD設(shè)為x米，則竹竿BC的長米，由題意得，，解之得：故答案為：1.5米．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．12．//【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明∠BCA=90°；根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形CEPF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，得EF=CP，則EF的最小值即為CP的最小值，根據(jù)垂線段最短，可知CP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．解：如下圖，連接CP，∵在△ABC中，，，，∴，即∠BCA＝90°．又∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴四邊形CEPF是矩形，∴EF＝CP．當(dāng)CP⊥AB時，CP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，∵，∴，即EF的最小值為．故答案為：．【點撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題關(guān)鍵是要能夠把要求的線段轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線段．13．2013【分析】（1）根據(jù)兩點的縱坐標相同即可得出AB的長度；（2）過C作AB的垂線交AB于點E，連接AD，構(gòu)造方程解出即可．解：（1）根據(jù)A、B兩點的縱坐標相同，得故答案為：20（2）如圖：設(shè)AD=a，根據(jù)點A、B的縱坐標相同，則AE=12，CE由是直角三角形，得：故答案為：13【點撥】本題考查用坐標確定位置，根據(jù)A、B、C三點坐標求出相關(guān)線段長度是關(guān)鍵．14．45°/45度【分析】取正方形網(wǎng)格中格點Q，連接PQ和BQ，證明∠AQB=90°，由勾股定理計算PQ=QB，進而得到△QPB為等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．解：取正方形網(wǎng)格中格點Q，連接PQ和BQ，如下圖所示：∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，∴△APE≌△PQF(SAS),∴∠PAB=∠QPF，∵PF∥BE，∴∠PBA=∠BPF，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，又QA2=22+42=20，QB2=22+12=5，AB2=52=25，∴QA2+QB2=20+5=25=AB2，∴△QAB為直角三角形，∠AQB=90°，∵PQ2=22+12=5=QB2，∴△PQB為等腰直角三角形，∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，故答案為：45°．【點撥】本題考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本類題的關(guān)鍵．15．3cm【分析】根據(jù)半徑我們可以求出直徑，沿底面的半徑切開圓柱，則平面為一個底為6cm，高為8cm的矩形，根據(jù)勾股定理可以計算對角線的長度，吸管露出杯口的長度為吸管長減去矩形對角線長．解：由題意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，則cm，∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．故答案為：3cm．【點撥】本題考查了矩形中勾股定理的運用，考查了矩形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，本題中正確的根據(jù)勾股定理計算AB是解題的關(guān)鍵．16．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖像，根據(jù)勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，即再用勾股定理求出AC的長，在Rt△ADC中，利用等面積法即可求得DE的長．解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖，∵AD是的中線，∴，在中，∵，∴∴是直角三角形，且∴在中，，∵，∴解得，，故填：．【點撥】本題考查勾股定理和勾股定理逆定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合勾股定理和勾股定理逆定理進行求解．17．101【分析】畫出直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：過點D作DE⊥AB，垂足為E，設(shè)單門的寬度AO是x寸，則AE=x-1，DE=10寸，根據(jù)勾股定理，得：AD2=DE2+AE2，則x2=102+（x-1）2，解得：x=50.5，故AB=101寸，故答案為：101【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．或54或10【分析】根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進行討論：點在上，或點在上；根據(jù)是直角三角形，分兩種情況進行討論：，或，據(jù)此進行計算即可．解：如圖，當(dāng)時，是等腰三角形，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是等腰三角形，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是直角三角形，且，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是直角三角形，且，，，當(dāng)時，，解得：t=10．故答案為：或5；4或10．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是進行分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復(fù)．19．能，見分析【分析】連接AC，由勾股定理求出AC的長度，然后進行比較，即可得到答案.解：連接，在中根據(jù)勾股定理可得：又∵∴木板的寬∴木板能從門框內(nèi)通過．【點撥】本題考查了正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息，理解能通過的條件，是解題的關(guān)鍵．20．36【分析】根據(jù)勾股定理得：，根據(jù)勾股定理的逆定理，得∠BAD=90°，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得答案．解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵AD＝12，BD＝13，∴，∴?ABD是直角三角形，即：∠BAD=90°，∴四邊形ABCD的面積=．【點撥】本題主要考查勾股定理以及逆定理，掌握勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)鍵．21．見分析【分析】設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理即可得出c＝，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．解：證明：設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理即可得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝，即．【點撥】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．22．“海天”號沿北偏西40°方向航行．【分析】先根據(jù)速度求出路程，再用勾股定理的逆定理判斷出∠RPQ為90°，求出∠RPS即可．