高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)必備9-4 圓錐曲線點(diǎn)代入和非對(duì)稱等題型歸納-（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)

專題9-4圓錐曲線點(diǎn)代入和非對(duì)稱等題

型

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納..............................................................................

【題型一】基礎(chǔ)型：韋達(dá)定理+點(diǎn)代入法......................................................1

【題型二】定比分點(diǎn)型：a=[J............................................................................................................................5

【題型三】點(diǎn)代入型：拋物線獨(dú)有的代入方法.................................................8

【題型四】非對(duì)稱型：利用韋達(dá)定理構(gòu)造“和積”消去型.....................................13

【題型五】切線型.........................................................................17

【題型六】暴力計(jì)算型：求根公式直接硬解.................................................23

【題型七】無(wú)韋達(dá)定理型：點(diǎn)代入法........................................................30

【題型八】坐標(biāo)運(yùn)算.......................................................................34

【題型九】綜合題.........................................................................38

二、最新模考題組練............................................................................43

【題型一】基礎(chǔ)型：韋達(dá)定理+點(diǎn)帶入法

【典例分析】

已知橢圓的離心率科,過(guò)右焦點(diǎn)F的直線門(mén)與匚廂交

于Q□兩點(diǎn)，當(dāng)□的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)口到口的距離為

(I)求匚],的值；

(II)口上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)□繞尸轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有匚口成立？

若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

解(I)設(shè)匚二，直綢一口由坐標(biāo)原點(diǎn)□到0的距離為

則，解得口.又^.

整理得…。又「一〕在橢圓上，即

代入②解得

，即.當(dāng)

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.圖形特征依舊有“一直一曲”的

2.在代點(diǎn)時(shí)，遵循：“交點(diǎn)不止在直線上，也在曲線上”

3.授課時(shí)，可以和點(diǎn)差法題型結(jié)合對(duì)比

【變式演練】

l.P(x?,yo)(xo±±a)是雙曲線E：,—苴=l(a>0,5>0)上一點(diǎn)，M、N分別是雙曲

線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM,PN的斜率之積為

⑴求雙曲線的離心率；

⑵過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,5兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，。為雙曲線上一點(diǎn)，滿足同=幺回+回，求7的值.

2212

解：⑴點(diǎn)P(xo,y())(xW土a)在雙曲線a一方=1上，有我一貸=1.由題意又有

,yo,yo_1

X0—4X()+〃5'

可得。2=5〃，c2=tz2+/?2=6/?2,則

/-5y~=5P

(2)聯(lián)立，,得4/-10cx+35〃=0,設(shè)A('i,yi),B(X2"),

y=x-c9

\l+%2=芋，

則彳35〃①設(shè)回]=(心，”)，回=/[1]+同，即

\XIX2=Z^~.

X3=/X1+X2,

*

)3=到1+”.

又C為雙曲線上一點(diǎn)，即抬一5y3=5/，有(&I+X2)2—5(始+力)2=5。2.

化簡(jiǎn)得：A2(x?-5y?)+(JV?-5yi)+2A(xiX2-5yiy2)=5b2,又A(xi,yi),8(x2,

>2)在雙曲線上，所以后一5y?=5/?2,x2—5y2=5b2.

由①式又有X]X2-5yly2=xiX2—5(項(xiàng)—c)(%2-c)=-4XI%2+5c(xi+及)—5c2=

10火得：A2+42=0,解出2=0,或2=一4.

2.已知橢圓司的左、右焦點(diǎn)分別為回國(guó)，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸兩

個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)同傾斜角為45。，與橢圓交于A、8兩

點(diǎn).

（1）若恒求橢圓方程；

（2）對(duì)（1）中橢圓，求［T］|的面積;

（3）M是橢圓上任意一點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)國(guó)與使得|國(guó)試確定國(guó)目

滿足的等式關(guān)系.

【答案】（1）岡；（2）同（3）舊［

【解析】

【分析】

（1）轉(zhuǎn)化條件為國(guó)―而結(jié)合|后］即可得解;

（2）聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得|國(guó)卜再由囚即可得解；

（3）將橢圓方程轉(zhuǎn)化為|岡］，設(shè)同:|，同|，由平面向量數(shù)乘的坐

標(biāo)表示可得同，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可得

解.

【詳解】

（1）設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意可得|團(tuán)即|岡卜

因?yàn)闄E圓長(zhǎng)軸的個(gè)端點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，

所以|底所以|摩------所以|岡

所以橢圓方程為岡；

所以岡，岡

可

所以

（3）由后二］可得橢圓方程為岡，即|岡則點(diǎn)0,直線

國(guó)卜

區(qū)----------------------------~~-~I—

由消去y得|岡］，目二］,設(shè)國(guó)卜|日

3.過(guò)橢圓吐區(qū)的左焦點(diǎn)所其長(zhǎng)軸的垂線與學(xué)一個(gè)交點(diǎn)為母右焦

點(diǎn)為國(guó)若忖|

（1）求橢向中離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)國(guó)二|且斜率為目的直線照橢圓學(xué)于耳兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)口使得

臼F求橢圓中方程.

【答案】（1）代⑵『|

【詳解】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，直接利用直角三角函數(shù)化簡(jiǎn)岡.得到|岡J,

從而得到離心率e的方程，解方程即可.（2）第（2）問(wèn)，先把直線的方程和橢圓方程聯(lián)立，

S化筒即可得到C的值，得到橢圓的方程.

得到韋達(dá)定理，再代入國(guó)

試題解析：

](*)得岡

則S0

??,經(jīng)檢驗(yàn)(*),耳3則所求橢圓方程為困

【題型二】定比分點(diǎn)型：a=國(guó),

【典例分析】

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到直線y=3的距離與它到點(diǎn)F(0,1)的距離之比為，點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

(I)求曲線E的方程：

(II)過(guò)點(diǎn)F作直線1與曲線E交于A,B兩點(diǎn)，且.當(dāng)「/時(shí),求直

線1斜率k的取值范圍?

解：(I)根據(jù)題意，"一3|=十?,+(fl化簡(jiǎn)，得曲線/的方程為3f+2/=6.

,?,4分

(11)直線1方程為y=kx+l,代入曲線E方程，得(2k2+3)x2+4kx-4=0.-6

分

o4

設(shè)A(xl,yl),B(x2,y2),則xl+x2=一可①7^,xlx2=-2k2+3.

②

樂(lè)=人麗即(一xl,1—yl)=X(x2,y2—1),由此得xl=一、x2.③

由①②③'得石+礪=(入_])2=4r~-…9分

用一不2

因?yàn)?WAW3,所以‘乎，從而------二一W2,

2"34(Of

解不等式2W2,得;Wk2W3.故k的取值范圍是[一五一半]U吟蟲(chóng).

1乙VK乙乙乙乙

*,,12分

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用公式LJ,可消去

【變式演練】

1.拋物線c：I田|，尸是c的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線群。相交于A、B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)

原點(diǎn).

(1)設(shè)耶斜率為1,求以A5為直徑的圓的方程；

(2)若臼|,求直線邪方程?

[答案](1)(x-3)2+0—2)2=16(2)|岡—|或|國(guó)

【分析】

(I)由已知條件可得直線/的方程為＞=x-I,然后將直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組消

去已再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出弦A8的中點(diǎn)坐標(biāo)，再弦長(zhǎng)公式可求出

圓語(yǔ)直徑，從而可求出圓的方程，

(2)由題意設(shè)直線/的方程為)，=&&-1),設(shè)A(x”yi),8(x2,2),然后將直線方程與拋

物線方程聯(lián)立方程組消去已再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合國(guó)二|可求出直線的斜率，從而

可求出直線方程~

解(1)由題意可知,F(1,0).：直線/的斜率為1,二直線/的方程為)，='-1,聯(lián)立|國(guó)|,

消去y得6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),3(x2,y2),則x1+12=6,yi+y2=xi+%2—2=4,

所求圓的圓心坐標(biāo)為(3,2),求得弦長(zhǎng)|岡半徑S,

所以圓的方程為(x-3)2+0，-2)2=16

(2)由題意可知直線/的斜率必存在，設(shè)為七則直線/的方程為y=k(x—l).

由國(guó)得62一4y—4k=0.設(shè)A(xi,yi),8(x2,yi),

由I[7]-I,得(xi—1,yi)=2(l—Xi,~y2).'-yi=_2y2,

"2=8,I岡I，.?.直線/的方程為I?]

2.在圓17]1上任取點(diǎn)m過(guò)點(diǎn)日作單的垂線與，辟垂足，點(diǎn)中足:

(1)求點(diǎn)尋軌跡方程;

(2)若叵］,過(guò)點(diǎn)［叵］|作與坐標(biāo)軸不垂直的直線整點(diǎn)邱軌跡交于鼻單點(diǎn)，點(diǎn)

點(diǎn)Ii,試在單h上找一定點(diǎn)口1使G4口4點(diǎn)共線，并求?［1

I面積之比的取值范圍.1

【答案】⑴岡；(2)定點(diǎn)臼，同

I分析】⑴設(shè)中,亡則三,根據(jù)已知條件可得出「再代入

向|中即可求解:

(2)點(diǎn)導(dǎo)的軌跡為橢圓岡，設(shè)直線3|區(qū)］一|與橢圓方程聯(lián)立求出

同二|、國(guó)，設(shè)出直線與］的方程，,可結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算耳為定值即可得定點(diǎn)與

的坐標(biāo)，設(shè)岡，再由岡的范圍得出卵范圍即可

求解.

解(1)設(shè)|岡同㈣岡|恫"I，后:由舊一

-7^日__________________

可得叫，所以，因?yàn)辄c(diǎn)|岡|在母.I上,所以|臼1所以

，所以司，即點(diǎn)導(dǎo)的軌跡方程為岡

(2)回則點(diǎn)口的軌跡為橢圓可，設(shè)直線,舊~|代入橢圓

方程整理得：［區(qū)］,

0>

設(shè)響舊螂百則因，囚,直線目的方程

為:IsL

令尋尋回

彳

所以在腳上存在定點(diǎn)aa令

岡

因?yàn)閷?，?/p>

a

所以乂因?yàn)?/p>

a

所以岡，所以因，即岡

解得：|3|,

即可二I與耳口面積之比的取值范圍為舊.

3.已知點(diǎn)A,5的坐標(biāo)分別是|以|岡直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之

積為0.

（1）求點(diǎn)M軌跡C的方程;

⑵若過(guò)點(diǎn)響|的直線/與（1）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)反尸（E在。、尸之間）,

|垣I(xiàn)，試求日的取值范圍.

【答案】（1）a（r=p）,（2）岡I且

【分析】

（1）設(shè)耳二］，用坐標(biāo)表示出已知條件即可得；

（2）設(shè)百二|，|臼|，由|71|得國(guó)|的關(guān)系,而的關(guān)系,利用國(guó)都是橢

圓上的點(diǎn)，適合橢圓方程，可解得?然后由|五|求得叩勺范圍,注意題中有與二,

互二結(jié)合起來(lái)求得正確的范圍.

（1）

設(shè)耳二］，則S（耳?，，化簡(jiǎn)得岡（耳?，此即為曲線學(xué)方程；

（2）設(shè)|小||,岡，由|岡得因，

0

,即橢圓上，則岡,把岡代入儲(chǔ)

,解得岡

由I岡"I得,叵1，解得向

乂由于朝線段同上,耳3瓦時(shí),國(guó)所以［國(guó)

【題型三】點(diǎn)帶入型：拋物線獨(dú)有的代入方法

（典例分析］

已知拋物線田|的焦點(diǎn)為與點(diǎn)學(xué)拋物線日土一點(diǎn)，點(diǎn)爭(zhēng)耶距離比點(diǎn)日

到罩的距離大1.過(guò)點(diǎn)口作拋物線口的切線，設(shè)其斜率為口|

（1）求拋物線日的方程；

（2）直線?行］?與拋物線朋交于不同的兩點(diǎn)m星（異于點(diǎn)笠，若直線與與直線

目的斜率互為相反數(shù)，證明：面|.

【答案】（1）|gh（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】

（1）設(shè)點(diǎn)|網(wǎng)由拋物線的定義列出關(guān)于中等式，求出甲值，即可得到拋物線的

方程；

（2）設(shè)|岡向直線耳的斜率為國(guó),直線與|的斜率為國(guó)，利用兩點(diǎn)間斜

率公式表示出兩個(gè)斜率，由兩個(gè)斜率的關(guān)系以及點(diǎn)口及勻在拋物線上，花簡(jiǎn)展開(kāi)，可得直

線q的斜率，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出國(guó)即可證明.

【詳解】

（1）解：設(shè)點(diǎn)|岡|,由點(diǎn)目判目勺距離比點(diǎn)駿|￡甫山的距離大1,

可得|岡即岡，所以耳即拋物線目的方程為|/|.

（2）證明：刈岡|I，直線導(dǎo)的斜率為國(guó)，直線目的斜率為國(guó),

則臼，s-

所以I底即岡

又點(diǎn)I岡卜I區(qū)I均在拋物線上,

岡

可得，化簡(jiǎn)可得反

因?yàn)镮臼I岡所以I岡即岡

后所以I國(guó)所以I岡I則|岡

故0,因?yàn)?/p>

【提分秘籍】

基本規(guī)律

拋物線可以設(shè)點(diǎn)，設(shè)二次不設(shè)一次，達(dá)到消元的目的，如一

【變式演練】

1.已知拋物線向I過(guò)點(diǎn)F^i—!?

（1）求拋物線日的方程；

（2）求過(guò)點(diǎn)IW|的直線與拋物線H交于品邸個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn)甲重合）.設(shè)直

線用、耳的斜率分別為母01求證：直］為定值?

【答案】（1）I回1；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】

（1）本題可將巨二I代入拋物線方程中求出即值，即可得出結(jié)果；

（2）本題首先可設(shè)E卜|岡|以及直線回|的方程［岡然后通過(guò)聯(lián)

立直線目的方程與拋物線方贏可得出|臼T1國(guó)最后血

囚并化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.

【詳解】

（1）因?yàn)閽佄锞€反丁?過(guò)點(diǎn)r^］一所以國(guó)二耳］,拋物線方程為國(guó)二

（2）設(shè)［岡］,|岡］,直線回1的方程為|岡

聯(lián)立國(guó)，整理得?扇—I，

(1)求動(dòng)點(diǎn)口的軌跡中J方程；

(2)過(guò)點(diǎn)日作兩條互相垂直的曲線單弦與］、ra.設(shè)與］、q的中點(diǎn)分別為M、N.求

直線耳過(guò)定點(diǎn)D的華標(biāo).

［答舒(1)g|⑵定點(diǎn)|岡|

【分析】一

(1)根據(jù)給定條件探求出點(diǎn)Q到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)。到直線/的距離，再借助拋物線定義即

可得解.

(2)設(shè)出直線AB方程，再聯(lián)立直線A8與曲線E的方程，求出弦A8中點(diǎn)做坐標(biāo)，同理可得

點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出直線MN方程即可得解.

(1)

依題意，點(diǎn)地E直線樂(lè)國(guó)二|上移動(dòng)，令直線口焚x軸于點(diǎn)K,而點(diǎn)閆一］，又國(guó)是線段與

與欣山的交葭1

—-I

當(dāng)去/,每點(diǎn)K示重合時(shí)，可~1，而O為華中點(diǎn)，則點(diǎn)四線段目|的中點(diǎn),因|岡I，

則國(guó)是線段與|的垂直平分線，|可又瓦二|5直|是點(diǎn)空僮線帆勺距

，又

離,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合時(shí)，點(diǎn)K與點(diǎn)O重合，也滿足上述結(jié)論，

于是有點(diǎn)Q至IJ點(diǎn)尸的距離笥于止。到直線/的距離，則動(dòng)點(diǎn)出的軌跡即以鄧焦點(diǎn)，困y

準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：I卬

所以動(dòng)點(diǎn)目的軌跡值勺方程為「臼1

(2)

顯然直線弓與直線同白勺斜率都在乎,H■不為0；設(shè)直線AB的方程為|

令H，I/卜I岡I，

由岡兩式相減得：血?jiǎng)t岡,即|可|

代入方程，jI，解得叵1,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為國(guó)一，

而I臼I，直線同方喇區(qū)|，同理可得：N的坐標(biāo)為|G］|,

當(dāng)|國(guó)［，即可］時(shí)，直線耳|：可,

'與可且a~i時(shí),直線目的斜率為|岡，方程為

S,整理得S,

因此，I岡直線耳0過(guò)點(diǎn)可,

所以直弊同”過(guò)定點(diǎn)叵二號(hào)

3已知點(diǎn)|司|為拋物司岡I的焦點(diǎn),設(shè)|可|岡|是拋物線上兩個(gè)不

同的動(dòng)點(diǎn)，存在動(dòng)點(diǎn)|岡I使得直線％,P8分別交拋物線的另一點(diǎn)M,N,且

岡|岡「

(1)求拋物線的方程；

(2)求證：|臼|；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在曲線「閃|上運(yùn)動(dòng)時(shí),求耳口面積的取值范圍.

【答案】(1)直二］(2)證明見(jiàn)解析(3)0

【分析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出國(guó)二1，進(jìn)而求出拋物線方程；(2)表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入拋物

線方程后得到關(guān)于中溫區(qū)系，同理求出關(guān)于「就勺等量關(guān)系,用韋達(dá)定理證明出結(jié)論；(3)

在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，表達(dá)出國(guó)二|面積，并求出取值范圍.

(1)

因?yàn)榘退远鶭，所以拋物線的方程為向

(2)

由|網(wǎng)知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為岡

又點(diǎn)M在拋物線上，所以因

結(jié)合B整理得:

同理，可得?臼一?

所以曲廓關(guān)于)’的方程I臼］的兩個(gè)不相等的根

(3)

由⑵知回回心方程向的兩個(gè)不相等的實(shí)根

|，所以國(guó)

乂上1

,設(shè)AB的中點(diǎn)為。,

則岡a

于是

故耳二I的面積的取值范圍為國(guó)

【題型四】非對(duì)稱型：利用韋達(dá)定理構(gòu)造“和積消去”型

【典例分析】

已知橢圓口的左、右焦點(diǎn)分別為I區(qū)的

周長(zhǎng)為I可|,面積為0

（1）求日的方程.一

（2）設(shè)目的左、右頂點(diǎn)分別為同,過(guò)點(diǎn)

斜率為［小直線目的斜率為昌則,（從以下①②③三個(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)填到橫

線上并給出解答）.

①求直線目和目■點(diǎn)的勢(shì)跡方強(qiáng);

②是否存截常通國(guó)使得|恒成立;

③過(guò)點(diǎn)舊作關(guān)于廓的,稱點(diǎn)目連結(jié)向二|得到直線住試探究：直線四否恒過(guò)定點(diǎn).

【答案】（1）0；（2）答案見(jiàn)解析.

【分析】（1）由題意列I關(guān)于百的方程組解叫即可得結(jié)果:

（2）選擇①，與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得出囚，再將國(guó)與耳的方程

聯(lián)立即可得出結(jié)果；選擇②與①相似，直接代入計(jì)算、卜|〕可；選擇③直線耳|與聊交于

點(diǎn)目,由對(duì)稱性可知,,結(jié)合韋達(dá)定理解出口時(shí)可得結(jié)果.

a岡所以中

【詳解】（1）依題意，得,即，解得

方程回

（2）選擇①，設(shè)宜線即勺方程為岡一,聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)整理，得

岡

由韋達(dá)定理，得,直線同馬城山交于點(diǎn)與，由對(duì)稱性可知,同

假設(shè)I岡卜即岡，則向

所以同

0

叫岡I，解得a1,所以直線耳恒過(guò)定點(diǎn)臼.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.對(duì)于非對(duì)稱型題,韋達(dá)定理無(wú)法直接代入,可以通過(guò)韋達(dá)定理構(gòu)造互化公式,先局部互化,

然后可整理成對(duì)香型。

2.和積互化公式：囚

3.一般情況下，多把積化和，且m多為常數(shù)，授課時(shí)注意講清這些數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)

【變式演練】

的離心率為球國(guó)國(guó)個(gè)別為橢圓C的左右頂點(diǎn).

1.已知滿圓岡

8為橢圓C的上項(xiàng)點(diǎn)，反為橢圓C的左焦點(diǎn)，且|m|的面積為國(guó).

(1)求橢圓C的方程；一—

(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)國(guó)的動(dòng)直線/為橢圓于E、尸兩點(diǎn)(點(diǎn)E在x軸上方)，M,N分別為直線

與y軸的交點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，來(lái)產(chǎn)］的值.

【答案】(1)a

］岡I由I囚|的面積為國(guó)可得巨

【分析】(1)由離心率可得,結(jié)合

可得答案.

(2)由題意設(shè)巨，則-」，設(shè)直線小勺方程為：?岡|，將直線

邸方程與橢圓方程聯(lián)立,得出韋達(dá)定理，得到n''與同的關(guān)系，分別得出直線向I、畝1

的方程，從而得出國(guó)二|的坐標(biāo)，將回司國(guó)轉(zhuǎn)入,可得答案.

,則同］則

【詳解】(1)在橢圓中設(shè)目,則由岡

a,即0

,即I區(qū)I

<a，即回

a代入S,解得國(guó)二|，反

所以橢圓c的方程:a

(2)由條件點(diǎn)E在x軸上方且過(guò)點(diǎn)g邕絲□削斜率不為0

設(shè)直線口的方程為:|，設(shè)包

因

由可得a

2.己知橢圓E：(,?>i)的離心率為岡，過(guò)點(diǎn)P(l,0)的直線與橢圓E交于A,

B不同的兩點(diǎn)，直線AAo垂直于直線x=4,垂足為A。.

(I)求，〃的值；

(II)求證：直線AoB恒過(guò)定點(diǎn).

【答案】(I)(II)見(jiàn)解析

【分析】(I)利用岡即可得解；

(H)設(shè)48方程并與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)直線的方程為點(diǎn)斜式形式，得到定

點(diǎn).

(m>l)的離心率為岡，.?.岡

【詳解】(1)??,橢圓E：回二

=m=4,

(II)當(dāng)直線AB與x軸不重合時(shí),設(shè)其方程為x=my+l.A

(x/,yi)tB(工2,”),

3.已知橢圓司經(jīng)過(guò)點(diǎn)因，左頂點(diǎn)為與右焦點(diǎn)為與己知點(diǎn)

[x]＞且r^|EJ星三點(diǎn)共線.

⑴求橢圓日的為程；，_

(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)耳的直線/與橢圓學(xué)于今中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)中直線后一|的垂線，垂足為小

求證：直線同過(guò)於1

【答案】(1)|同卜)證明見(jiàn)解析

【分析】⑴根據(jù)題意，列出方程鴇,求得后|的值,即可求得橢圓的方程：

(2)分別當(dāng)|臼恫|旦|時(shí),求得直線目的方程,聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo),

設(shè)直線身J方程%|臼碎方程組求得|才|,求得直線目的方程，令耳|，

結(jié)合|百位簡(jiǎn):導(dǎo)到|臼即可求解.

⑴解：由題意，將點(diǎn)岡代入橢圓的方程，可得|問(wèn)|又由|是口山上

一點(diǎn),且晅=]三點(diǎn)共線，

可得所以園，解得|岡I，代入岡，可得向二|，所以橢圓學(xué)

方程為叵T.

⑵解：當(dāng)|性|時(shí),此時(shí)直線O方程為0

定義平面曲線的法線如下：經(jīng)過(guò)平面曲線中一點(diǎn)耳，且與曲線學(xué)點(diǎn)目處的切線垂直的

直線稱為曲線學(xué)點(diǎn)邸的法線.設(shè)點(diǎn)I岡I為拋物線I臼］上一

點(diǎn).

(1)求拋物線學(xué)點(diǎn)耳處的切線的方程(結(jié)果不含日；

(2)求拋物線甲點(diǎn)口?處的法線被拋物線由得的弦長(zhǎng)可的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)與的坐

標(biāo).

【答案】⑴岡(2)舊|；國(guó)

【分析】(1)先化簡(jiǎn)求導(dǎo)確定切線斜率，再按照在點(diǎn)處的切線方程進(jìn)行求解；

(2)先聯(lián)立法線和拋物線方程，借助弦長(zhǎng)公式表示弦長(zhǎng)，最后換元構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定最

小值.

(1)

因?yàn)辄c(diǎn)|岡|在拋物線上方,所以由|岡|得國(guó)

岡，所以在點(diǎn)導(dǎo)處的切線斜率岡，所求切線方程為

乂岡，故切線方程為岡，即岡

(2)

點(diǎn)與處的法線方程為岡，即岡.聯(lián)立拋物線

0--------臼

所以.令|臼則」

令國(guó)一，同，

所以同在叵一|單調(diào)遞減,在晅|單調(diào)遞增,所以舊即

[1

此時(shí)點(diǎn)勺坐標(biāo)為7]

【提分秘籍】

基圓錐曲線的切線，主要是通過(guò)判別式來(lái)求的。但也要記清楚一些常見(jiàn)的切線方程結(jié)論

【變式演練】

1.已知橢圓C：回，經(jīng)過(guò)圓0：I上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線.切點(diǎn)

分別記為A,B,直線以，PB分別與圓0相交于異于點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn).

(1)求證：M,0,N三點(diǎn)共線；

(2)求40A8面積的最大值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；⑵目

【分析】(1)根據(jù)圓的對(duì)稱性，設(shè)|臼|在第一象限,討論口、回斜率不存在或?yàn)?、

斜率存在且不為0兩種情況，再設(shè)切線方程并聯(lián)立橢圓，由耳]及韋達(dá)定理，求率臼I

即可證結(jié)論.

(2)同(1)設(shè)|岡|在第象限，舊J|?］，討論與I、㈢斜率不存在或?yàn)?/p>

0、斜率存在旦不為0兩種情況，分別求AOAB面積情況，注意斜率存在且不為。時(shí)，根據(jù)

P在耳、與上求直線與］的方程，再聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離

公式及三角形面積公式得到宜|關(guān)于所設(shè)參數(shù)的表達(dá)式，最后應(yīng)用基本不等式求范圍確定

面積的最大值.

(1)

由圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)|岡|在第一象限，

若與斜率不存在，則直線與為G1

所以耳1，則另?xiàng)l切線同為回1(即斜率為0),此時(shí)I岡I；

若耳、耳斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線方程為向I，

國(guó)------------------------------------

聯(lián)立橢圓方程有，整理得岡，

所以兇，整理得I「-------且

所以巴__________,乂I囚I,故村,即I用I;

綜上，有I岡I，又M,N兩點(diǎn)圓。上，即|回|,

由圓的性質(zhì)知：耳是圓。的直徑，所以例，O,N三點(diǎn)共線，得證；

(2)

同(1),由圓的對(duì)稱性，設(shè)|岡|在第一象限,I岡I，I可卜

當(dāng)|臼|時(shí),岡J;

當(dāng)|底I時(shí),耳、與斜率都存在且不為0，令同為|欠I，

聯(lián)立橢圓并整理得：國(guó)，

山岡,整理得|同

所以岡，乂中橢圓上，則岡，故岡，

所以直線與I的方程為岡，化簡(jiǎn)得|岡即0

同理可得：直線［目的方程為S,

所以直線目的方程為岡,聯(lián)立橢圓方程可得：向

乂I囚則I故向

一|,回

所以0，又國(guó)二|不共線，耳,

叵1

a

a

而0到直線目的距離

回

所以

國(guó)

a

所以I.,則,當(dāng)且僅當(dāng)臼_」時(shí)等號(hào)成立，

國(guó)

此時(shí)

綜上，岡，當(dāng)IT時(shí)^OAB面積的最大值國(guó)

2.把拋物線可忸日熱向下平移得到拋物線|.—.

(1)當(dāng)耳］時(shí)，過(guò)拋物線@上一點(diǎn)直二|作切線，交拋物線國(guó)"顯申點(diǎn)，求證：|」

(2)拋物線圖:任意一點(diǎn)|岡向拋物線即兩條切線,從左至右切點(diǎn)分別為史即

線耳交m左至右分別為顯耶點(diǎn).試判斷國(guó)二?與國(guó)己的大小關(guān)系，并證明.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；⑵?岡I，理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件求出拋物線由點(diǎn)反二?處切線方程，再將此切線與拋物線目的

方程聯(lián)立，計(jì)算線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.

(2)設(shè)出過(guò)點(diǎn)M的拋物線昌由切線方程，與拋物線⑼勺方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出點(diǎn)C,

。坐標(biāo)，進(jìn)而

求出直線CQ方程，把直線CD與拋物線回勺方程聯(lián)立，計(jì)算線段CD與EF的中點(diǎn)坐標(biāo)推

理作答.

(1)

當(dāng)國(guó)二I時(shí)，|岡|，顯然拋物線自在點(diǎn)|岡|處切線斜率存在,設(shè)切線AB方程為

舊I,

由岡消去y并整理得:】則|岡|，解得可，

于是得切線A8的方程為：|囚拋物線|臼l>

由岡消去y并整理得：|q-1，顯然I區(qū)-I，

設(shè)|五則|臼|，線段目的中點(diǎn)坐標(biāo)為向一|與切點(diǎn)P重合,即點(diǎn)P是線段

AB中點(diǎn)，

所以|岡.

(2)

顯然過(guò)點(diǎn)M的拋物線由J切線斜率存在，設(shè)此切線方程為：|臼-],且

由因消去y并整理得：岡

岡，關(guān)于項(xiàng)勺方程臼

于是得切線目|的斜率是方程岡的兩個(gè)不等實(shí)根，分別令為同，有

3,

切點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是方程岡的等根斤迅則點(diǎn)|因

同理可得切點(diǎn)@~則直線目斜率為岡

因

S

由消去y并

整理得:

又線段寫(xiě)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為岡，因此，線段與與舊有相

同中點(diǎn)，

由題意知同I，即I網(wǎng)-1,因此I,I的底邊局與I臼I的底邊目相等,

高都是點(diǎn)M到直線CD的距離，

3.如圖，已知雙曲線閃,過(guò)|囚|向雙曲線舊作兩條切線,切點(diǎn)分別為巨

岡,且回?

(1)證明：直線與I的方程為岡.

(2)設(shè)耶雙曲線0的左焦點(diǎn)，證明：IF

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)出切線方程，聯(lián)立后用韋達(dá)定理及根的判別式進(jìn)行表達(dá)出A的橫坐標(biāo)與縱

坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出直線目的方程，化筒即為結(jié)果；(2)再第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，利用向量的夾

角公式表達(dá)出夾角的余弦值，進(jìn)而證明出結(jié)論.

(1)顯然直線目的斜率存在，設(shè)直線目的方程為國(guó)

a_______________

聯(lián)立得叵］，則

國(guó)卜化簡(jiǎn)得國(guó)

因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等實(shí)根，故切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

,則曰

可，得國(guó)

收a,則岡,即

a

a

故0”故舊

【題型六】暴力計(jì)算型：求根公式

［典例分析］

如圖所示，橢圓岡的離心率為住其右準(zhǔn)線方程為耳A、8分別為

橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、8作斜率分別為唇Qi直線AM和直線BN分別與橢圓C交

于點(diǎn)M,N(其中M在x軸上方，N在x軸下方).

（1）求橢圓C的方程;

（2）若直線MN恒過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)國(guó)，求證:

【答案】（I）岡;（2）證明見(jiàn)解析.

（1）由題可得岡，求出與再利用|岡即可求出橢圓C的方程;

（2）設(shè)的方程為|岡|，聯(lián)立岡，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)

,同理求出問(wèn)

，再利用向量共線因，求

即兇

岡；設(shè)BN的方程為岡，設(shè)目

由a-,,消去等理得際_____________耳］,

a____

由韋達(dá)定理可得：，解得岡,代入?岡求得因

即岡

【提分秘籍】

基本規(guī)律

對(duì)于聯(lián)立后的一元二次方程，一些數(shù)據(jù)適宜直接求根公式來(lái)暴力計(jì)算，授課時(shí)可以在此處

對(duì)數(shù)據(jù)做不同的分析，增加經(jīng)驗(yàn)

【變式演練】

1.在平面直角坐標(biāo)系耳|中，已知直線導(dǎo)|與橢圓網(wǎng)交于點(diǎn)A,8（A在

x軸上方），且岡.設(shè)點(diǎn)4在x軸上的射影為M三角形4BN的面積為2（如圖1）.

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)平行于A8的直線與橢圓相交，其弦的中點(diǎn)為。.

①求證：直線。。的斜率為定值；

②設(shè)直線。。與橢圓相交于兩點(diǎn)C,。（。在工軸的上方），點(diǎn)P為橢圓上異于A,B,C,D

一點(diǎn)，直線，交C￡＞于點(diǎn)E,PC交AB于點(diǎn)F,如圖2,求證：與二□為定值.

【答案】（1）S;（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.

［分析］（1）設(shè)向由|臼~即0，得辟值，根

據(jù)叵］,得”的值，再根據(jù)橢圓過(guò)4點(diǎn)，解得6,寫(xiě)出方程即可；

,,laI

（2）①設(shè)平行AB的直線的方程為|岡且目聯(lián)立\,根據(jù)韋達(dá)定理

求得反節(jié)目從而可得直線0Q的斜1為定值.

②由題意可知闡I，II，同，求出|岡|，|岡設(shè)回一J

求出E、尸的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式分別求出AF、CE的值，將I、I用比屏示，化簡(jiǎn)

消去注目即可得結(jié)論.’

［詳解］（1）由題意知，可設(shè)I岡可得［岡

即國(guó)，所以I岡［,故岡，即向

又橢圓經(jīng)過(guò)叵―—1,即因

解得國(guó)_

所以橢圓的方程為3

（2）?平行于48,直線方程為國(guó)二］,且耳二

①聯(lián)立",設(shè)|岡］,|岡I，得到［叵］

---------1I---1岡

所以岡，岡，故直線0Q的斜率為（定值）.

___a

②由題意可知闡~|，s-，聯(lián)立

，得岡

設(shè)回卜直線斜率存在時(shí)，直線回，

H----------------------------

聯(lián)立