必修三向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1向量的數(shù)量積8.1.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律

《向量數(shù)量積的運(yùn)算律》課件復(fù)習(xí)回顧1.兩個向量的夾角2.向量在軸上的投影投影的數(shù)量3.向量的數(shù)量積（內(nèi)積）a·b=4.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：(1).a

b

a

b=0(2).

a

a=|a|2或(3).cos

=范圍0≤〈a，b〉≤π；

我們已經(jīng)知道，很多運(yùn)算都滿足一定的運(yùn)算律.

例如，向量的加法滿足交換律，數(shù)乘向量對加法滿足分配律，即對任意向量a，b以及實數(shù)λ，有a+b＝b+a，λ（a+b）＝λa+λb.根據(jù)向量數(shù)量積的定義，探討向量數(shù)量積的運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律，并說明理由.嘗試與發(fā)現(xiàn)

向量數(shù)量積的交換律

證明：

當(dāng)a，b是兩個非零向量時，

因為〈a，b〉＝〈b，a〉，

所以根據(jù)

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，

b·a＝|b||a|cos〈b，a〉

可知a·b＝b·a，

即向量的數(shù)量積滿足交換律.

向量數(shù)量積的結(jié)合律證明：當(dāng)a，b都是非零向量且λ≠0時，（1）如果λ>0，則|λa|＝λ|a|，且λa的方向與a的方向相同，

從而〈λa，b〉＝〈a，b〉，

因此（λa）·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝λ|a||b|cos〈a，b〉＝λ（a·b）；（2）如果λ<0，則|λa|＝-λ|a|，且λa的方向與a的方向相反，

從而〈λa，b〉＝π-〈a，b〉，

因此（λa）·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝-λ|a||b|cos（π-〈a，b〉）＝λ|a||b|cos〈a，b〉＝λ（a·b）.當(dāng)a，b中至少有一個是零向量或λ＝0時，顯然也有（λa）·b＝λ（a·b）.

當(dāng)然，用同樣的方法可以得到a·（λb）＝λ（a·b）.向量數(shù)量積的分配律證明：當(dāng)a，b，c中至少有一個是零向量時，分配律顯然成立.

因此下面只要說明a，b，c都不是零向量的情形即可.

分析

我們知道，一個向量與一個軸上的單位向量的數(shù)量積等于這個向量在軸上的正投影的數(shù)量，如果分配律中的向量c換成它的單位向量c0，則分配律變成(a+b)·c0=a·c0+b·c0.證明分配律就成為證明：兩個向量和在一個方向上的正投影等于各個向量在這個方向上的投影的數(shù)量和。

向量數(shù)量積的分配律

向量數(shù)量積的分配律AO

1

2A1B1BC法二證明分配律思考：向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律（a·b）·c＝a·（b·c）嗎？提示：不滿足.因為（a·b）·c表示一個與c共線的向量，

a·（b·c）表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以（a·b）·c＝a·（b·c）不一定成立.證明：（1）（2）向量數(shù)量積的常用結(jié)論:

類似于多項式的乘法法則︱a︱=2,︱b︱=3,求的夾角為120°,練習(xí)：已知與ab

向量的投影例

已知向量a，b，其中|a|＝1，|a-2b|＝4，|a+2b|＝2，則a在b上的投影的數(shù)量為（）A.-1

B.1

C.-2

D.2【答案】

A

向量在平面幾何中的應(yīng)用例3

利用向量證明菱形的兩條對角線互相垂直。ABCD如圖所示，已知ABCD是菱形，AC與BD是兩條對角線。求證ACBD證明：由已知可得又因為ABCD是菱形，所以AB=AD，即從而，故數(shù)量積與平面幾何問題

◆利用向量判斷三角形、四邊形的形狀的思路判斷三角形或四邊形的形狀時，一般是由邊長和角的關(guān)系來進(jìn)行判斷，充分利用向量的數(shù)量積公式尋求圖形的邊角關(guān)系，向量數(shù)量積為零意味著垂直關(guān)系成立，向量相等意味著線段平行且向量的模相等.例4利用向量證明三角形的三條高相交于一點(diǎn)。如圖，已知ABC中，BE,CF分別為AC，AB邊上的高，而且BE與CF相交于點(diǎn)O，連接AO并延長，與BC相交于點(diǎn)D。求證：ADBC。證明：①②①－②

ABECOFD1.向量數(shù)量積的運(yùn)算律類似于多項式的乘法運(yùn)算