高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(三)：-排列組合中的常見(jiàn)模型

第十章 第80煉排列組合的常見(jiàn)模型排列組合，二項(xiàng)式定理本書(shū)由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書(shū)城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書(shū)城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第80煉排列組合的常見(jiàn)模型一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）處理排列組合問(wèn)題的常用思路：1、特殊優(yōu)先：對(duì)于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排，然后再去處理無(wú)要求的元素。例如：用組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？解：五位數(shù)意味著首位不能是0，所以先處理首位，共有4種選擇，而其余數(shù)位沒(méi)有要求，只需將剩下的元素全排列即可，所以排法總數(shù)為種2、尋找對(duì)立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對(duì)立面，再用全部可能的總數(shù)減去對(duì)立面的個(gè)數(shù)即可。例如：在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品。從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，至少有一件次品的情況有多少種解：如果從正面考慮，則“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情況，需要進(jìn)行分類討論，但如果從對(duì)立面想，則只需用所有抽取情況減去全是正品的情況即可，列式較為簡(jiǎn)單。（種）3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)是指從個(gè)元素中取出個(gè)元素，再將這個(gè)元素進(jìn)行排列。但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時(shí)就要將過(guò)程拆分成兩個(gè)階段，可先將所需元素取出，然后再進(jìn)行排列。例如：從4名男生和3名女生中選3人，分別從事3項(xiàng)不同的工作，若這3人中只有一名女生，則選派方案有多少種。解：本題由于需要先確定人數(shù)的選取，再能進(jìn)行分配（排列），所以將方案分為兩步，第一步：確定選哪些學(xué)生，共有種可能，然后將選出的三個(gè)人進(jìn)行排列：。所以共有種方案（二）排列組合的常見(jiàn)模型1、捆綁法（整體法）：當(dāng)題目中有“相鄰元素”時(shí)，則可將相鄰元素視為一個(gè)整體，與其他元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可。例如：5個(gè)人排隊(duì)，其中甲乙相鄰，共有多少種不同的排法解：考慮第一步將甲乙視為一個(gè)整體，與其余3個(gè)元素排列，則共有種位置，第二步考慮甲乙自身順序，有種位置，所以排法的總數(shù)為種2、插空法：當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時(shí)，則可考慮用剩余元素“搭臺(tái)”，不相鄰元素進(jìn)行“插空”，然后再進(jìn)行各自的排序注：（1）要注意在插空的過(guò)程中是否可以插在兩邊（2）要從題目中判斷是否需要各自排序例如：有6名同學(xué)排隊(duì)，其中甲乙不相鄰，則共有多少種不同的排法解：考慮剩下四名同學(xué)“搭臺(tái)”，甲乙不相鄰，則需要從5個(gè)空中選擇2個(gè)插入進(jìn)去，即有種選擇，然后四名同學(xué)排序，甲乙排序。所以種3、錯(cuò)位排列：排列好的個(gè)元素，經(jīng)過(guò)一次再排序后，每個(gè)元素都不在原先的位置上，則稱為這個(gè)元素的一個(gè)錯(cuò)位排列。例如對(duì)于，則是其中一個(gè)錯(cuò)位排列。3個(gè)元素的錯(cuò)位排列有2種，4個(gè)元素的錯(cuò)位排列有9種，5個(gè)元素的錯(cuò)位排列有44種。以上三種情況可作為結(jié)論記住例如：安排6個(gè)班的班主任監(jiān)考這六個(gè)班，則其中恰好有兩個(gè)班主任監(jiān)考自己班的安排總數(shù)有多少種？解：第一步先確定那兩個(gè)班班主任監(jiān)考自己班，共有種選法，然后剩下4個(gè)班主任均不監(jiān)考自己班，則為4個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共9種。所以安排總數(shù)為4、依次插空：如果在個(gè)元素的排列中有個(gè)元素保持相對(duì)位置不變，則可以考慮先將這個(gè)元素排好位置，再將個(gè)元素一個(gè)個(gè)插入到隊(duì)伍當(dāng)中（注意每插入一個(gè)元素，下一個(gè)元素可選擇的空）例如：已知6個(gè)人排隊(duì)，其中相對(duì)位置不變，則不同的排法有多少種解：考慮先將排好，則有4個(gè)空可以選擇，進(jìn)入隊(duì)伍后，有5個(gè)空可以選擇，以此類推，有6種選擇，所以方法的總數(shù)為種5、不同元素分組：將個(gè)不同元素放入個(gè)不同的盒中6、相同元素分組：將個(gè)相同元素放入個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問(wèn)題常用的方法是“擋板法”，因?yàn)樵叵嗤?，所以只需考慮每個(gè)盒子里二種情況的總數(shù)為：（種），從而總計(jì)600種答案：C例5：從單詞“equation”中選取5個(gè)不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且順序不變）的不同排列共有________種思路：從題意上看，解決的策略要分為兩步：第一步要先取出元素，因?yàn)椤皅u”必須取出，所以另外3個(gè)元素需從剩下的6個(gè)元素中取出，即種，然后在排列時(shí)，因?yàn)橐蟆皅u”相連，所以采用“捆綁法”，將qu視為一個(gè)元素與其它三個(gè)元素進(jìn)行排列：，因?yàn)椤皅u”順序不變，所以不需要再對(duì)qu進(jìn)行排列。綜上，共有：種答案：例6：設(shè)有編號(hào)的五個(gè)茶杯和編號(hào)為的五個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有（）A.30種B.31種C.32種D.36種思路：本題可按照相同編號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，有兩個(gè)相同時(shí)，要先從5個(gè)里選出哪兩個(gè)相同，有種選法，則剩下三個(gè)為錯(cuò)位排列，有2種情況，所以，有三個(gè)相同時(shí)，同理，剩下兩個(gè)錯(cuò)位排列只有一種情況（交換位置），所以，有四個(gè)相同時(shí)則最后一個(gè)也只能相同，所以，從而（種）答案：B例7：某人上10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步；最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步，若他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則此人所有可能的不同過(guò)程的種數(shù)為（）A.6B.8C.10D.12答案：A思路：首先要確定在這6步中，一階步，二階步，三階步各有幾步，分別設(shè)為，則有，解得：，因?yàn)橄噜弮刹讲煌A，所以符合要求的只有，下面開(kāi)始安排順序，可以讓一階步搭架子，則二階步與三階步必須插入一階步里面的兩個(gè)空中，所以共有2種插法，二階步與三階步的前后安排共有3種（三二二，三二三，二三三），所以過(guò)程總數(shù)為答案：A例8：某旅行社有導(dǎo)游9人，其中3人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)，其余4人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)要從中選6人，其中3人負(fù)責(zé)英語(yǔ)導(dǎo)游，另外三人負(fù)責(zé)日語(yǔ)導(dǎo)游，則不同的選擇方法有_______種思路：在步驟上可以考慮先選定英語(yǔ)導(dǎo)游，再選定日語(yǔ)導(dǎo)游。英語(yǔ)導(dǎo)游的組成可按只會(huì)英語(yǔ)的和會(huì)雙語(yǔ)的人數(shù)組成進(jìn)行分類討論，然后再在剩下的人里選出日語(yǔ)導(dǎo)游即可。第一種情況：沒(méi)有會(huì)雙語(yǔ)的人加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，則英語(yǔ)導(dǎo)游選擇數(shù)為，日語(yǔ)導(dǎo)游從剩下6個(gè)人中選擇，有中，從而，第二種情況：有一個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的人加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，從而可得，依次類推，第三種情況。兩個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，則，第四種情況，英語(yǔ)導(dǎo)游均為會(huì)雙語(yǔ)的。則，綜上所述，不同的選擇方法總數(shù)為(種)答案：216種例9：如圖，用四種不同顏色給圖中六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）A.種B.種C.種D.種思路：如果用四種顏色涂六個(gè)點(diǎn)，則需要有兩對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色。所以考慮列舉出不相鄰的兩對(duì)點(diǎn)。列舉的情況如下：，，，，，，，，共九組，所以涂色方法共有如果用三種顏色涂六個(gè)點(diǎn)，則需要有三對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色，列舉情況如下：，共兩組，所以涂色方法共有綜上所述，總計(jì)種答案：B例10：有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有（）A.1344種B.1248種C.1056種D.960種思路：中間行數(shù)字和為5只有兩種情況，即和，但這兩組不能同時(shí)占據(jù)兩行，若按題意思考，以占中間行為例，則在安排時(shí)既要考慮另一組是否同時(shí)被選中，還要考慮同時(shí)被選中時(shí)不能呆在同一行，情況比較復(fù)雜。所以考慮間接法，先求出中間和為5的所有情況，再減去兩行和為5的情形解：先考慮中間和為5的所有情況：第一步：先將中間行放入或：第