第1講　萬有引力與宇宙航行高考物理總復(fù)習(xí)新教材版

第五章

萬有引力與宇宙航行

第?》講萬有引力與宇宙航行

［教材閱讀指導(dǎo)］

（對(duì)應(yīng)人教版新教材必修第二冊頁碼及相關(guān)問題）

P45開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的表述。

提示：開普勒第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢

圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

開普勒第二定律：對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃

過的面積相等。

開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方

的比都相等。

BP45~46,對(duì)行星運(yùn)動(dòng)軌道簡化為圓軌道后的開普勒三個(gè)定律的表述。

提示：（1）行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道十分接近圓，太陽處在圓心。

（2）對(duì)某一行星來說，它繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度（或線速度）大小不變，即

行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

（3）所有行星軌道半徑「的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，

艮|372=ko

BP48［練習(xí)與應(yīng)用仃2。

提示：近地點(diǎn)的速度較大。

IBP49?50閱讀“行星與太陽間的引力”這一部分內(nèi)容，太陽與行星間引

力公式依據(jù)什么推導(dǎo)出來的？

提示：依據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式及牛頓第三定律推導(dǎo)

出來的。

領(lǐng)P51什么是月一地檢驗(yàn)？

提示：地面物體所受地球的引力，月球所受地球的引力，與太陽、行星間的

引力遵從相同的規(guī)律。

I@P52引力常量是如何測得的？數(shù)值為多少？

22

提示：英國物理學(xué)家卡文迪什利用扭秤裝置測得G=6.67X10-uN-m/kgo

B13P55~58萬有引力理論的成就有哪些？

提示：“稱量”地球的質(zhì)量、計(jì)算天體的質(zhì)量、發(fā)現(xiàn)未知天體、預(yù)言哈雷彗

星回歸。

10P59?60閱讀“宇宙速度”這一部分內(nèi)容，發(fā)射地球衛(wèi)星的最小速度是

多少？有哪兩種計(jì)算方法？

提示：7.9km/so

9_、+GMmmv2［GM_,

方法一：~^~=丁,o='/-^-=7.n9km/s；

_my—i-

方法二：v=\］gR='7.9km/so

?P64［科學(xué)漫步］,黑洞的特點(diǎn)是什么？

提示：黑洞是引力非常大的天體，光以3X108m/s的速度都不能從其表面逃

逸。

］；；；

i則P71［復(fù)習(xí)與提高B組T2T3T4T6O

提示：T2：將行星看作球體，設(shè)半徑為R,質(zhì)量為加星，則行星的密度為，

加星m星

=v=4^°衛(wèi)星貼近行星表面運(yùn)行時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑為R，由萬有引力提供向心力

Gm是m4兀24兀3兀

可知一亍R,即"2星=3正。由此可以解得272=萬，式中G為引力常量,

可見pT2是一個(gè)對(duì)任何行星都相同的常數(shù)。

溫馨提示：當(dāng)衛(wèi)星貼著行星表面飛行時(shí)，只要有一個(gè)計(jì)時(shí)工具就可以知道行

星的密度。

T3：36R2。質(zhì)量分布均勻的球體之間的萬有引力可以等效為質(zhì)量集中在

兩球心的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力，直接代公式可求。本題采用先填補(bǔ)成完整的

球體，再減去補(bǔ)上的小球部分產(chǎn)生的引力的方法來求解。

T4：4ho地球自轉(zhuǎn)周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期也

Gmwtn4兀2[ATVT1

應(yīng)隨之變小，由}，吁「，可得丁=\/貳，故衛(wèi)星與地球間的距離變小。

要想僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通信的目的，

最小的軌道半徑對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系為衛(wèi)星連線正好和地球相切，如圖所示。由幾何

關(guān)系可推出最小半徑，從而得到最小周期。

T6：r^l.l年。海王星的軌道半徑最大，海王星相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔最

短。

行星沖日現(xiàn)象可類比田徑場跑道上的運(yùn)動(dòng)員的追及相遇問題。軌道半徑越大

的行星公轉(zhuǎn)周期越長，軌道半徑越小的行星公轉(zhuǎn)周期越短，公轉(zhuǎn)周期短的不斷超

越公轉(zhuǎn)周期長的。地外行星的公轉(zhuǎn)周期都比地球的公轉(zhuǎn)周期長，地球的公轉(zhuǎn)周期

最短，每超越一次就發(fā)生一次沖日。行星與地球的公轉(zhuǎn)周期相差越大，沖日的周

期就越短。

物理觀念mi顧與重建|

物理觀念1開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律

1.定律內(nèi)容

（1）開普勒第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是畫橢圓,太陽處在橢

圓的一個(gè)畫焦點(diǎn)上。

(2)開普勒第二定律：對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)

掃過的畫面積相等。

(3)開普勒第三定律:所有行星軌道的畫半長軸的三次方跟它的畫公轉(zhuǎn)周期

的二次方的比都相等，即邁破三￡

2.適用條件：適用于宇宙中一切環(huán)繞同一中心天體的運(yùn)動(dòng)。

物理觀念2萬有引力定律及應(yīng)用

1.內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，

弓I力的大小與51物體的質(zhì)量如和沖的乘積成正比,與應(yīng)］它們之間距離/?的二

次方成反比。

2.公式：尸=圓端等，其中G叫作引力常量，G=6.67X10-11N-m2/kg2,

其值由卡文迪什通過扭秤實(shí)驗(yàn)測得。

3.適用條件：適用于兩個(gè)畫質(zhì)點(diǎn)或均勻球體；「為兩質(zhì)點(diǎn)或均勻球體球心

間的距離。

4.萬有引力理論的主要成就

(1)發(fā)現(xiàn)未知天體。

(2)計(jì)算天體質(zhì)量。

物理觀念3環(huán)繞速度

1.第一宇宙速度數(shù)值為國Z2km/s。

2.第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在畫地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)

具有的速度。

3.第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小畫發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大國坯

繞速度。

4.第一宇宙速度的計(jì)算方法

⑴由=哈,解得:0=國^^^；

(2)由〃吆=般,解得：v=[06|\[^RO

物理觀念4第二宇宙速度和第三宇宙速度

1.第二宇宙速度(脫離速度)

使物體掙脫回1地球引力束縛的最小發(fā)射速度,其數(shù)值為國lUkm/s。

2.第三宇宙速度(逃逸速度)

使物體掙脫南太陽引力束縛的最小發(fā)射速度,其數(shù)值為畫由2km/s。

物理觀念5相對(duì)論時(shí)空觀與牛頓力學(xué)的局限性L相對(duì)論時(shí)空觀

(1)愛因斯坦的兩個(gè)假設(shè)：在不同的慣性參考系中，物理規(guī)律的形式都是畫相

回的；真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是畫相圓的。

(2)同時(shí)的相對(duì)性：根據(jù)愛因斯坦的假設(shè)，如果兩個(gè)事件在一個(gè)參考系中是同

時(shí)的，在另一個(gè)參考系中畫不一定是同時(shí)的。

(3)愛因斯坦假設(shè)的結(jié)果

①時(shí)間延緩效應(yīng)

如果相對(duì)于地面以。運(yùn)動(dòng)的慣性參考系上的人觀察到與其一起運(yùn)動(dòng)的物體完

成某個(gè)動(dòng)作的時(shí)間間隔為△工，地面上的人觀察到該物體完成這個(gè)動(dòng)作的時(shí)間間隔

為加，那么兩者之間的關(guān)系是△/=畫AT

②長度收縮效應(yīng)

如果與桿相對(duì)靜止的人測得桿長是/。，沿著桿的方向，以。相對(duì)桿運(yùn)動(dòng)的人

測得桿長是1,

2.牛頓力學(xué)的成就與局限性

(1)牛頓力學(xué)的成就

牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)是畫牛頓運(yùn)動(dòng)定律。牛頓力學(xué)在畫宏觀、網(wǎng)低速的廣闊

領(lǐng)域里與實(shí)際相符，顯示了牛頓運(yùn)動(dòng)定律的正確性和牛頓力學(xué)的魅力。

(2)牛頓力學(xué)的局限性

①物體在以接近回光速運(yùn)動(dòng)時(shí)所遵從的規(guī)律，有些是與牛頓力學(xué)的結(jié)論并

不相同的。

②電子、質(zhì)子、中子等微觀粒子不僅具有粒子性，同時(shí)還具有「同波動(dòng)性,

它們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在很多情況下不能用牛頓力學(xué)來說明，而叵］量子力學(xué)能夠很好

地描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

③基于實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的牛頓力學(xué)不會(huì)被新的科學(xué)成就所否定，而是作為某些條件

下的回特殊情形,被包括在新的科學(xué)成就之中。當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度同遠(yuǎn)小于光

速C時(shí)，「回相對(duì)論物理學(xué)與牛頓力學(xué)的結(jié)論沒有區(qū)別；當(dāng)另一個(gè)重要常數(shù)即普

朗克常量h可以忽略不計(jì)時(shí)，「內(nèi)量子力學(xué)和牛頓力學(xué)的結(jié)論沒有區(qū)別。相對(duì)論

與量子力學(xué)都沒有否定過去的科學(xué)，而只認(rèn)為過去的科學(xué)是自己在同一定條件

工的特殊情形。

/必備知識(shí)夯實(shí)

-堵點(diǎn)疏通

1.只有天體之間才存在萬有引力。（）

2.行星在橢圓軌道上的運(yùn)行速率是變化的，離太陽越遠(yuǎn)，運(yùn)行速率越小。

（）

3.人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)，其軌道平面一定過地心。（）

4.地球同步衛(wèi)星一定在赤道的正上方。（）

5.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于地球第一宇宙速度。（）

6.發(fā)射火星探測器的速度必須大于lL2km/s。（）

答案1.X2.V3.V475.V6.V

二對(duì)點(diǎn)激活

1.關(guān)于萬有引力公式尸=染詈，以下說法中正確的是（）

A.公式只適用于星球之間的引力計(jì)算，不適用于質(zhì)量較小的物體

B.當(dāng)兩物體間的距離趨近于。時(shí)，萬有引力趨近于無窮大

C.兩物體間的萬有引力也遵從牛頓第三定律

D.公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的

答案C

解析萬有引力公式b=G管適用于質(zhì)點(diǎn)或均勻球體間引力的計(jì)算，當(dāng)兩

物體間距離趨近于0時(shí)，兩個(gè)物體就不能看作質(zhì)點(diǎn)，故尸=G-=已不再適用，

所以不能說萬有引力趨近于無窮大，故A、B錯(cuò)誤；兩物體間的萬有引力也遵從

牛頓第三定律，C正確；G的值是卡文迪什通過扭秤實(shí)驗(yàn)測得的，D錯(cuò)誤。

2.（人教版必修第二冊RE改編）火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的會(huì)和;,

地球的第一宇宙速度為火則火星的第一宇宙速度約為（）

A.坐。B.小0

C.-\[2vD.

答案A

2

,GMmrtrv-……、士』IGMv,/M火R

解析由求得第一于由速度。=7天,故k"==

{I，所以?；?坐以故A正確。

3.（人教版必修第二冊P58-T4節(jié)選）地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運(yùn)動(dòng)軌

道則是一個(gè)非常扁的橢圓，如圖所示，天文學(xué)家哈雷成功預(yù)言哈雷彗星的回歸，

哈雷彗星最近出現(xiàn)的時(shí)間是1986年，預(yù)測下次飛近地球?qū)⒃?061年左右。

請根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉(zhuǎn)半徑的多

少倍。

地球、.......................

哈雷彗星

太陽魚

哈宙磐星軌道示意圖

答案17.8

解析設(shè)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為品，周期為小，哈雷彗星繞太陽公轉(zhuǎn)

的軌道半長軸為凡周期為T,由題意可知T=2061年-1986年=75年，根據(jù)開

普勒第三定律,=左，有筆筆,則就=\/*17.8。

核心素養(yǎng)發(fā)展與提升|

考點(diǎn)1開普勒三定律的理解與應(yīng)用fl

［科學(xué)思維梳理］

1.微元法解讀開普勒第二定律：行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度方向與兩點(diǎn)

連線垂直，若行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽的距離分別為。、b,取足夠短的時(shí)間

加,則行星在加時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，由=S,知

7）1r）

可得加=工。行星到太陽的距離越大，行星的速率越小，反之越大。

2.行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)通常按勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理。

3.開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。

4.開普勒第三定律堤=女中，左值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天

體左值不同，故該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。

例1（2017?全國卷11）（多選）如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P為近日

點(diǎn)，。為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)行的周期為To。若只考慮海

王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過程中（）

M

海王星丁」....」

底…?....!"

\太陽：

A.從P到M所用的時(shí)間等于生

B.從Q到N階段，機(jī)械能逐漸變大

C.從尸到Q階段，速率逐漸變小

D.從M到N階段，萬有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功

［答案］CD

［解析］由開普勒第二定律可知，相等時(shí)間內(nèi)，太陽與海王星連線掃過的面

積都相等，A錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒定律知，從Q到N階段，除萬有引力做功之外,

沒有其他的力對(duì)海王星做功，故機(jī)械能守恒，B錯(cuò)誤；從尸到。階段，萬有引力

做負(fù)功，動(dòng)能轉(zhuǎn)化成海王星的勢能，所以動(dòng)能減小，速率逐漸變小，C正確；從

M到N階段，萬有引力與速度的夾角先是鈍角后是銳角，即萬有引力對(duì)它先做負(fù)

功后做正功，D正確。

［關(guān)鍵能力升華］

繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)行的行星越靠近近日點(diǎn)線速度越大，線速度大小與行星

到太陽的距離成反比，在近日點(diǎn)線速度最大。

［對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練］

（開普勒第三定律的應(yīng)用）（2021?全國甲卷）2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任

務(wù)的“天間一號(hào)”探測器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為

1.8Xl（）5s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8X105m。已知

火星半徑約為3.4X106m,火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2,則

“天問一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為（）

A.6X105mB.6X106m

C.6X107mD.6X108m

答案C

解析設(shè)沿火星表面運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的繞行周期為n,則有裁="［$）次，在

火星表面處有半=mg,聯(lián)立可得n=2兀、監(jiān)；設(shè)“天問一號(hào)”的停泊軌道與

d\+"2+2R

火星表面的最近距離為4,最遠(yuǎn)距離為力,則停泊軌道的半長軸為。=---5----，

由開普勒第三定律可知H，由以上各式聯(lián)立，可得%=2薩簪-4-

2/?^6X107m,故C正確。

考點(diǎn)2萬有引力定律及其應(yīng)用鐲

考向1萬有引力定律的理解及簡單應(yīng)用

［科學(xué)思維梳理］

1.萬有引力與重力的關(guān)系

地球?qū)ξ矬w的萬有引力廠可分解為：重力mg,提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心

力F向0

2

(1)在赤道上：6嘴=mg\+m(oRo

(2)在兩極上：G^=

(3)在一般位置：萬有引力G黑等于重力〃取與向心力尸向的矢量和。

越靠近南、北兩極，向心力越小，g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向

心力較小，通?？烧J(rèn)為萬有引力近似等于重力，即窄‘=mg。

2.星球上空的重力加速度g'

GMm

設(shè)星球上空距離星體中心/?=/?+〃處的重力加速度為g',則〃吆'=再存,

3.萬有引力的“兩點(diǎn)理解”和“兩個(gè)推論”

(1)兩點(diǎn)理解

①兩物體相互作用的萬有引力是一對(duì)作用力和反作用力。

②地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬有引力的一個(gè)分力。

(2)兩個(gè)推論

①推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合

力為零，即引=0。

②推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心/?處的質(zhì)點(diǎn)(〃?)受到的球體其他部分物質(zhì)

的萬有引力，等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M')對(duì)其的萬有引力，即F=

M'm

-----r9-

4.萬有引力定律的表達(dá)式尸=G—R適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)或勻質(zhì)球體間的萬有引

力。當(dāng)物體間的作用力不符合萬有引力公式的適用條件時(shí)，可以把物體分成若干

部分，求出兩物體每部分之間的萬有引力，然后求它們的合力。

例2（2020?全國卷I）火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的強(qiáng)，半徑約為地球半徑的

則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為（）

A.0.2B.0.4

C.2.0D.2.5

【答案］B

M.m

［解析］設(shè)該物體質(zhì)量為則在火星表面有/火=G"含k在地球表面有尸

1R1、14

地

火

火

一2-

=G---=--=X

地R21

10地W10

=0.4,故B正確。

［對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.（萬有引力定律的應(yīng)用）（2021?山東高考）從“玉兔”登月到“祝融”探火,

我國星際探測事業(yè)實(shí)現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9

倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍。

在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由著陸平臺(tái)支撐的懸停過程。懸停

時(shí)，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺(tái)的作用力大小之比為（）

A.9：1B.9：2

C.36:1D.72:1

答案B

解析懸停時(shí)，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺(tái)的作用力等于各自所受的

萬有引力，根據(jù)小卷，可噫受乂念梭卜如吩罵,故選B.

2.（萬有引力定律的應(yīng)用）理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體

的萬有引力為零?，F(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球體，。為球

心，以。為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸必，如圖所示。一個(gè)質(zhì)量一定的質(zhì)點(diǎn)（假設(shè)它能夠在

地球內(nèi)部移動(dòng)）在龍軸上各位置受到的引力大小用尸表示，則尸隨x的變化關(guān)系圖

像正確的是（）

答案A

解析根據(jù)題意，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在地

球的內(nèi)部離球心x處時(shí)，受到地球的萬有引力即為半徑等于x的同心球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)

的萬有引力，所以尸二G—=6卷4,其中Q為地球的密度，加為質(zhì)點(diǎn)的

質(zhì)量；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在地球球面或球面以外，離球心x處時(shí)，地球可以看成質(zhì)量集中于

球心的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力尸=G誓，其中M為地球的質(zhì)量。綜上所述，當(dāng)

時(shí)，F(xiàn)與x成正比，當(dāng)尤2R后，F(xiàn)與x的平方成反比，所以A正確。

考向2天體質(zhì)量和密度的估算

［科學(xué)思維梳理］

1.重力加速度法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。

（1）由3筆=〃吆得天體質(zhì)量加=若。

⑵天體密度P=~y=4=4TIGR°

2.天體環(huán)繞法：測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑一和周期幾

⑴由）袈=機(jī)等得天體的質(zhì)量Af=會(huì)g。

A/M3兀，,

（2）若已知天體的半徑R,則天體的密度/=歹=廠=喬#。

鏟口

（3）若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行，可認(rèn)為軌道半徑/?等于天體半徑R,則天體密度

37c

P=喬，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T,就可估算出中心天體

的密度。

注：若已知的量不是八T,而是八?；蛞訲等，計(jì)算中心天體質(zhì)量和密度

Mmv2v2r

的思路相同。若已知八V,利用（^-="7得M=c。若已知0、T,可先求出

r=去再利用=或（7華=唐（第2r求加。若已知。、T則不能求出M。

例3（2021.廣東高考）2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙

成功發(fā)射并入軌運(yùn)行。若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常

量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是（）

A.核心艙的質(zhì)量和繞地半徑

B.核心艙的質(zhì)量和繞地周期

C.核心艙的繞地角速度和繞地周期

D.核心艙的繞地線速度和繞地半徑

［答案］D

［解析］根據(jù)核心艙做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由地球的萬有引力提供，可得筆

4兀之v^r①4兀2戶

=m-=mco2r=m-^r,貝可知要計(jì)算地球的質(zhì)量M,除引

力常量G外，還要知道核心艙的繞地半徑「及繞地線速度以繞地角速度⑦或繞

地周期T中的一個(gè)。所以若已知核心艙的質(zhì)量和繞地半徑或已知核心艙的質(zhì)量和

繞地周期，都不能計(jì)算出地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地角速度和繞地周期，

不能計(jì)算出核心艙的繞地半徑，也不能計(jì)算出地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地

v2r

線速度和繞地半徑，可由加=不計(jì)算出地球的質(zhì)量。故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。

［關(guān)鍵能力升華］

估算天體質(zhì)量和密度時(shí)應(yīng)注意的問題

（1）利用萬有引力提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的是中

心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。

（2）區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r,只有在天體表面附近運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星才有

4

r^R',計(jì)算天體密度時(shí)，丫=鏟/?3中的R只能是中心天體的半徑。

GMm

（3）在考慮中心天體自轉(zhuǎn)問題時(shí)，只有在兩極處才有卞-=mgo

［對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練］

（天體質(zhì)量的求解）（2017.北京高考）利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能

計(jì)算出地球質(zhì)量的是（）

A.地球的半徑及重力加速度（不考慮地球自轉(zhuǎn)）

B.人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期

C.月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離

D.地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽間的距離

答案D

解析根據(jù)隼=〃琢可知，已知地球的半徑及重力加速度可計(jì)算出地球的

質(zhì)量，A能；根據(jù)凈=〃哈及可知，已知人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做

Mm4兀一

圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期可計(jì)算出地球的質(zhì)量，B能；根據(jù)6尸=根亍廠可知，已

知月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離，可計(jì)算出地球的質(zhì)量，

C能；已知地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽間的距離只能求出太陽的

質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，D不能。

考點(diǎn)3人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律fl

［科學(xué)思維梳理］

1.人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

⑴一種模型：無論自然天體（如地球、月亮）還是人造天體（如宇宙飛船、人造

衛(wèi)星)都可以看成質(zhì)點(diǎn)，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

(2)兩條思路

①萬有引力提供向心力，即G華=mano

②天體對(duì)其表面的物體的萬有引力近似等于重力，即5=或gR2=

GM(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度)，公式gK=GM應(yīng)用廣泛，被稱

為“黃金代換”。

(3)地球衛(wèi)星的運(yùn)行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓)

物理量推導(dǎo)依據(jù)表達(dá)式最大值或最小值

Mmv2GM當(dāng)r=R時(shí)有最大值，。=

線速度

7.9km/s

Alm

角速度G~~2~=mco7r當(dāng)r=火時(shí)有最大值

Mm但6當(dāng)〃二尺時(shí)有最小值，約85

周期T=2n、

俄min

MmGM當(dāng)r=R時(shí)有最大值，最大

向心加速度

G~p~=man?n=-

值為g

軌道平面圓周運(yùn)動(dòng)的圓心與中心天體中心重合

共性：軌道半徑越小，運(yùn)動(dòng)越快，周期越小

2.地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)

(1)軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T=24h=86400s。

(3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。

Mm4兀231GM/

(4)高度一定：據(jù)^^廠二府產(chǎn)廠得/=y4兀2=4.23X1()4km,衛(wèi)星離地面

高度/?=一7?七6R(為恒量)。

(5)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。

3.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星

(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)

全球覆蓋。

(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌

道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/so

(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心。

例4(2021.海南高考)2021年4月29日，我國在海南文昌用長征五號(hào)B運(yùn)

載火箭成功將空間站天和核心艙送入預(yù)定軌道。核心艙運(yùn)行軌道距地面的高度為

400km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36000km。則該核心艙的()

A.角速度比地球同步衛(wèi)星的小

B.周期比地球同步衛(wèi)星的長

C.向心加速度比地球同步衛(wèi)星的大

D.線速度比地球同步衛(wèi)星的小

［答案］C

［解析］核心艙和地球同步衛(wèi)星都是由萬有引力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)

V2[GM、尸GM

動(dòng)，有，町7,可得co=\~rr,1=21C\]'GM'a=~F'

v=而核心艙運(yùn)行軌道距地面的高度為400km左右，地球同步衛(wèi)星距地

面的高度接近36000km,有r艙＜r同，故有。艙同，T艙＜T同，a艙＞。同，0艙＞0同,

即核心艙的角速度比地球同步衛(wèi)星的大，周期比地球同步衛(wèi)星的短，向心加速度

比地球同步衛(wèi)星的大，線速度比地球同步衛(wèi)星的大，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。

［關(guān)鍵能力升華］

人造衛(wèi)星問題的解題技巧

(1)靈活運(yùn)用衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程的不同表述形式：

22

我普=man=iny=ma)r="(爺［2r=m(2nf)ro

(2)第一宇宙速度的兩種計(jì)算方法：

①。=A/=7.9km/s；

②o=yjUg=7.9km/So

(3)同步衛(wèi)星的特點(diǎn)：①具有特定的線速度、角速度和周期；②具有特定的位

置高度和軌道半徑；③運(yùn)行軌道平面必須處于地球赤道平面上。

注：比較衛(wèi)星與地球表面的物體的運(yùn)動(dòng)參量時(shí)，可以間接通過比較衛(wèi)星與同

步衛(wèi)星的參量來確定。

(4)天體相遇與追及問題的處理方法

首先根據(jù)丁=加皿2判斷出誰的角速度大，然后根據(jù)兩星轉(zhuǎn)動(dòng)的角度關(guān)系

求解。當(dāng)兩星追上或相距最近時(shí)滿足兩星運(yùn)動(dòng)的角度差等于2兀的整數(shù)倍，即。"

一“Bl”如(U=1,2,3…),相距最遠(yuǎn)時(shí)兩星運(yùn)行的角度差等于兀的奇數(shù)倍,即。A，

-a)Bt=Qn+1)兀(〃=0,1,2…)。

［對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律)(2020.北京高考)我國首次火星探測任務(wù)被命名為“天問

一號(hào)"。已知火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的10%,半徑約為地球半徑的50%,下列說

法正確的是()

A.火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度

B.火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)介于地球的第一和第二宇宙速度之間

C.火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度

D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度

答案A

解析當(dāng)發(fā)射速度大于地球的第二宇宙速度時(shí)，火星探測器才能克服地球引

力的束縛進(jìn)入太陽系空間，從而被火星引力俘獲，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于在星

球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，所受萬有引力提供向心力，則有華=爺,

解得該星球的第一宇宙速度為S=所以火星的第一宇宙速度為◎火=

即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙

速度，故C錯(cuò)誤；對(duì)于在星球表面的物體，忽略星球的自轉(zhuǎn)，則所受萬有引力近

似等于物體在該星球所受的重力，即k=mg星，解得該星球表面的重力加速度

GMGM,火10%GM地2

g星=商,所以火星表面的重力加速度為g火=募"=QO%）2R.=地，即火星表

面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D錯(cuò)誤。

2.（人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律）（2021.遼寧高考）（多選）2021年2月，我國首個(gè)火星

探測器“天間一號(hào)”實(shí)現(xiàn)了對(duì)火星的環(huán)繞。若已知該探測器在近火星圓軌道與在

近地球圓軌道運(yùn)行的速率比和周期比，則可求出火星與地球的（）

A.半徑比B.質(zhì)量比

C.自轉(zhuǎn)角速度比D.公轉(zhuǎn)軌道半徑比

答案AB

V火

解析設(shè)該探測器在近火星圓軌道與在近地球圓軌道運(yùn)行的速率比廣

0地

T火

周期比選=仇探測器在近星球軌道做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑等于星球的半徑，

/地

所以根據(jù)2?；?"可得火星與地球的半徑比”=,黃=血故A正確；根據(jù)萬

K地。地/地

2

MmvV2RM火

有引力提供向心力，有k=〃?左，解得M=不，所以火星與地球的質(zhì)量比武

況R*、,

=^--^=a2-ab=a3b,故B正確；由于不知道火星與地球的同步衛(wèi)星軌道半徑比

0地門地

或自轉(zhuǎn)周期比，所以無法求解火星與地球的自轉(zhuǎn)角速度比，故C錯(cuò)誤；由于不知

道火星與地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)的速度比或周期比，所以無法求解火星與地球的公轉(zhuǎn)

軌道半徑比，故D錯(cuò)誤。

3.（綜合）有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表

面一起轉(zhuǎn)動(dòng)；b在地球的近地圓軌道上正常運(yùn)行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空探

測衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說法正確的是（）

A.a的向心加速度大于b的向心加速度

B.四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是：0a>Vb>0c>Od

c.在相同時(shí)間內(nèi)d轉(zhuǎn)過的弧長最長

D.d的運(yùn)動(dòng)周期可能是30h

答案D

解析由題意可知，衛(wèi)星a、c的角速度相同，根據(jù)而=蘇乙可知a的向心

加速度小于c;b、c是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有：G誓

=man,得：斯=誓，可知b的向心加速度大于c；綜上分析可知，a的向心加速

度小于b的向心加速度，故A錯(cuò)誤。因?yàn)閍、c的角速度相同，根據(jù)。=w,可知

a的速度大小小于c,即％<&；b、c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力

提供向心力有：=帆?，得：0=因rb<rc<rd,則Vb>vc>vd,故

B錯(cuò)誤。因b的線速度最大，則在相同時(shí)間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最長，故C錯(cuò)誤。c、

d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力得：因d的軌

道半徑大于c的軌道半徑，則d的周期大于c,而c的周期是24h,則d的運(yùn)動(dòng)

周期可能是30h,故D正確。

4.（天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律）（2021.湖北高考）2021年5月，天問一號(hào)探測器軟著陸火

星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步。火星與地球公轉(zhuǎn)軌道近似為

圓，兩軌道平面近似重合，且火星與地球公轉(zhuǎn)方向相同。火星與地球每隔約26

個(gè)月相距最近，地球公轉(zhuǎn)周期為12個(gè)月。由以上條件可以近似得出（）

A.地球與火星的動(dòng)能之比

B.地球與火星的自轉(zhuǎn)周期之比

C.地球表面與火星表面重力加速度大小之比

D.地球與火星繞太陽運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比

答案D

解析設(shè)地球和火星的公轉(zhuǎn)周期分別為7、72,由題意知火星和地球每隔約

f=26個(gè)月相距最近一次，又火星的軌道半徑大于地球的軌道半徑，則楙-，=1,

可解得了2=半月，則地球與火星繞太陽的公轉(zhuǎn)周期之比T\：72=12：岑=7：

13,但不能求得地球與火星的自轉(zhuǎn)周期之比，B錯(cuò)誤；由開普勒第三定律、=*可

M大M星"l

求得地球與火星的軌道半徑之比，又由G噪星=M冊得。=\IGMT，則地球

與火星的線速度之比可以求得，但由于地球與火星的質(zhì)量關(guān)系未知，因此不能求

得地球與火星的動(dòng)能之比，A錯(cuò)誤；由?？?/%得8=—由于地球和火星

的質(zhì)量關(guān)系以及半徑關(guān)系均未知，則不能求得地球表面與火星表面重力加速度大

小之比，C錯(cuò)誤；由G曾產(chǎn)=加星。得a=7主，由于兩星球的軌道半徑之比可

以求得，則地球與火星繞太陽運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比可以求得，D正確。

考點(diǎn)4衛(wèi)星變軌問題鐲

［科學(xué)思維梳理］

當(dāng)衛(wèi)星開啟發(fā)動(dòng)機(jī)，或者受空氣阻力作用時(shí)，萬有引力不再等于衛(wèi)星所需向

心力，衛(wèi)星的軌道將發(fā)生變化。

1.衛(wèi)星軌道的漸變

Mmv2

(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度增加時(shí)，G—<m-,即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星

將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，如果速度增加很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看

成做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道運(yùn)行時(shí),

由。='怦可知其運(yùn)行速度比在原軌道時(shí)小。例如，由于地球的自轉(zhuǎn)和潮汐力，

月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑緩慢增大，每年月球遠(yuǎn)離地球3.8厘米。

Mmv~

⑵當(dāng)衛(wèi)星的速度減小時(shí)，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)

星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，如果速度減小很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可

看成做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道運(yùn)行

時(shí)，由。='怦可知其運(yùn)行速度比在原軌道時(shí)大。例如，人造衛(wèi)星受到高空稀

薄大氣的摩擦力，軌道高度不斷降低。

2.衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的需要，有時(shí)要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r(shí)間內(nèi)啟動(dòng)

飛行器上的發(fā)動(dòng)機(jī)，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進(jìn)入預(yù)定的軌道。如圖所示，

發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，可以分多過程完成：

(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道I,使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為5。

⑵變軌時(shí)在P點(diǎn)點(diǎn)火加速，短時(shí)間內(nèi)將速率由S增加到V2,這時(shí)‘等<吟,

衛(wèi)星脫離原軌道做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道II。

(3)衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)。時(shí)的速率為。3,此時(shí)進(jìn)行第二次點(diǎn)火加速，在短時(shí)間

內(nèi)將速率由。3增加到。4,使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道川，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

飛船和空間站的對(duì)接過程與此類似。衛(wèi)星的回收過程和飛船的返回則是相反

的過程，通過突然減速，?！怠??，變軌到低軌道，最后在橢圓軌道的近地點(diǎn)處

返回地面。

3.衛(wèi)星變軌時(shí)一些物理量的定性分析

(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道I、III上運(yùn)行時(shí)的速率分別為5、。4,在軌道II上

過P、Q點(diǎn)時(shí)的速率分別為02、03,在P點(diǎn)加速，則V2>Vl；在Q點(diǎn)加速，則04>。3。

又因Vi>V4,故有。2>01>。4>S。

(2)加速度：因?yàn)樵赑點(diǎn)不論從軌道I還是軌道II上經(jīng)過，P點(diǎn)到地心的距離

都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設(shè)為即。同理，在Q點(diǎn)加速度也相同，設(shè)為0Q。

又因。點(diǎn)到地心的距離大于P點(diǎn)到地心的距離，所以aQ<aPo

(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在I、II、III軌道上運(yùn)行周期分別為71、72、八，軌道半徑

或半長軸分別為「、力、門，由缶女可知八＜72＜八。

例5（2021.天津高考）2021年5月15日，天問一號(hào)探測器著陸火星取得成功,

邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天間一號(hào)

探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道

調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道?運(yùn)行，之后進(jìn)入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道II運(yùn)

行，如圖所示，兩軌道相切于近火點(diǎn)P,則天間一號(hào)探測器（）

A.在軌道II上處于受力平衡狀態(tài)

B.在軌道I運(yùn)行周期比在II時(shí)短

C.從軌道I進(jìn)入II在P處要加速

D.沿軌道I向尸飛近時(shí)速度增大

［答案］D

［解析］天間一號(hào)探測器在軌道II上做變速運(yùn)動(dòng)，受力不平衡，故A錯(cuò)誤；

軌道?的半長軸大于軌道II的半長軸，根據(jù)開普勒第三定律可知，在軌道?運(yùn)行

周期比在II時(shí)長，故B錯(cuò)誤；天間一號(hào)探測器從軌道I進(jìn)入II,是從高軌道進(jìn)入

低軌道，則應(yīng)在P處減速，故C錯(cuò)誤；天問一號(hào)探測器沿軌道I向P飛近時(shí)，萬

有引力做正功，動(dòng)能增大，速度增大，故D正確。

［關(guān)鍵能力升華］

航天器變軌問題的三點(diǎn)注意事項(xiàng)

（1）航天器變軌時(shí)半徑（半長軸）的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)

系判斷；穩(wěn)定在新圓軌道上的運(yùn)行速度變化由。=、片判斷。兩個(gè)不同軌道的

“切點(diǎn)”處線速度不相等，同一橢圓上近地點(diǎn)的線速度大于遠(yuǎn)地點(diǎn)的線速度。

（2）航天器在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑（半長軸）越大，機(jī)械能

越大。

只考慮萬有引力作用，不考慮其他阻力影響，航天器在同一軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

機(jī)械能守恒。在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)，萬有引力對(duì)航天器做正

功，動(dòng)能反增大，引力勢能減小。

（3）兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處加速度。相同。

［對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.（衛(wèi)星變軌問題）（2021?福建省廈門市高三三模）（多選）“嫦娥五號(hào)”從環(huán)月

軌道I上的P點(diǎn)實(shí)施變軌，進(jìn)入近月點(diǎn)為Q的環(huán)月軌道II,如圖所示，則“嫦娥

五號(hào)"（）

A.在軌道II上的機(jī)械能比在軌道I上的機(jī)械能小

B.在軌道II運(yùn)行的周期比在軌道I上運(yùn)行的周期大

C.沿軌道I運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)火后發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向與運(yùn)動(dòng)方向相同才能進(jìn)

入軌道II

D.沿軌道II運(yùn)行在P點(diǎn)的加速度大于沿軌道I運(yùn)行在P點(diǎn)的加速度

答案AC

解析同一衛(wèi)星繞行的軌道半徑（或半長軸）越大機(jī)械能越大，故可知“嫦娥

五號(hào)”在軌道II上機(jī)械能小，A正確；由開普勒第三定律可知，“嫦娥五號(hào)”在

軌道II運(yùn)行的周期比在軌道?上運(yùn)行的周期小，故B錯(cuò)誤；“嫦娥五號(hào)”沿軌道

I運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)時(shí)進(jìn)入軌道II,需要制動(dòng)減速，所以點(diǎn)火后發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向與運(yùn)動(dòng)

方向相同，故C正確；由牛頓第二定律可知，“嫦娥五號(hào)”沿軌道II和軌道1運(yùn)

行到尸點(diǎn)的加速度相同，故D錯(cuò)誤。

2.（衛(wèi)星變軌問題）（2021.浙江6月選考）空間站在地球外層的稀薄大氣中繞行,

因氣體阻力的影響，軌道高度會(huì)發(fā)生變化?？臻g站安裝有發(fā)動(dòng)機(jī)，可對(duì)軌道進(jìn)行

修正。圖中給出了國際空間站在2020.02?2020.08期間離地高度隨時(shí)間變化的曲

線，則空間站（）

A.繞地運(yùn)行速度約為2.0km/s

B.繞地運(yùn)行速度約為8.0km/s

C.在4月份繞行的任意兩小時(shí)內(nèi)機(jī)械能可視為守恒

D.在5月份繞行的任意兩小時(shí)內(nèi)機(jī)械能可視為守恒

答案D

解析由題意可知，空間站繞地運(yùn)行的軌道半徑略大于地球半徑，根據(jù)

可知,空間站繞地運(yùn)行速度略小于地球的第一宇宙速度7.9km/s,故A、B

錯(cuò)誤；由圖中曲線知，在4月份空間站繞行的軌道半徑出現(xiàn)明顯變化，則可知空

間站的發(fā)動(dòng)機(jī)做功對(duì)軌道進(jìn)行了修正，修正時(shí)空間站的機(jī)械能明顯變大，不可視

為守恒，故C錯(cuò)誤；由圖中曲線知，在5月份空間站繞行的軌道半徑變化很小，

故任意兩個(gè)小時(shí)內(nèi)機(jī)械能可視為守恒，D正確。

啟智微專題建模提能2雙星、多星模型

前面我們討論的是類似太陽系的單星系統(tǒng)，其特點(diǎn)是有一個(gè)主星，質(zhì)量遠(yuǎn)大

于周圍的其他星體，可以看成近似不動(dòng)，所以其他星體繞它運(yùn)動(dòng)。除此之外，在

宇宙空間，還存在兩顆或多顆質(zhì)量差別不大的星體，它們離其他星體很遠(yuǎn)，在彼

此間的萬有引力作用下運(yùn)動(dòng)，組成雙星或多星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)軌道比較穩(wěn)定，很

常見，三星及其他更多星體的系統(tǒng)軌道不穩(wěn)定，非常罕見。下面介紹具有代表性

的雙星模型和三星模型。

1雙星模型

⑴兩顆星體繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示。

(2)特點(diǎn)

①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即

Gm\mi

-p-=m\(jo0\r\,

Gm\mir

~~不一=171260介2。

②兩顆星的周期及角速度都相同，即刀=不，助=。2。

③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為：八+-2=L。

④兩顆星到軌道圓心的距離八、-2與星體質(zhì)量成反比，即置=g。

⑤雙星的運(yùn)動(dòng)周期T=2R.￡

\1G(m\+m2)

4兀2爐

⑥雙星的總質(zhì)量m\+加2=亍左。

2三星模型

(1)三星系統(tǒng)繞共同圓心在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)比較穩(wěn)定，三顆星的質(zhì)量

一般不同，其軌道如圖2所示。每顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由其他星

體對(duì)該星體的萬有引力的合力提供。

圖2

(2)特點(diǎn)：對(duì)于這種穩(wěn)定的軌道，除中央星體外(如果有)，每顆星體轉(zhuǎn)動(dòng)的方

向相同，運(yùn)行的角速度、周期相同。

（3）理想情況下，它們的位置具有對(duì)稱性，下面介紹兩種特殊的對(duì)稱軌道。

①三顆星位于同一直線上，兩顆質(zhì)量均為m的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑

為R的圓形軌道上運(yùn)行（如圖3甲所示）。

②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上（如圖3乙所示）。

/M\

甲乙

圖3

【典題例證】“雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個(gè)星球的半徑均遠(yuǎn)

小于兩者之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們在彼此的萬有引力

作用下，繞某一點(diǎn)。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，某一雙星系統(tǒng)中A星球的質(zhì)量

為如，B星球的質(zhì)量為機(jī)2,它們球心之間的距離為"引力常量為G,則下列說

法正確的是（）

A.B星球的軌道半徑為;;七力

mi+m2

B.A星球運(yùn)行的周期為2nL、「加匕\

\1+m2）

C.A星球和B星球的線速度大小之比為m\：m2

D.若在。點(diǎn)放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它受到兩星球的引力之和一定為零

［答案］B

［解析］由于兩星球的周期相同，則它們的角速度也相同，設(shè)兩星球運(yùn)行的

角速度為①，軌道半徑分別為"、/'2,根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)A星球有：G喈=

2

micor\,對(duì)B星球有：染詈=miarri,得n：冷=加2：機(jī)1,又八+冷=L,得r\

=L,「2=：L,A錯(cuò)誤；G^T2=mi^-ri,7