高考數學多選題與熱點解答題組合練及解析

一、函數的概念與基本初等函數多選題

ln(x+l),x>0

1.已知函數/(x)=,幺—+1〉。’其中實數后,則下列關于X的方程")-(】+

a)-/(x)+a=O的實數根的情況，說法正確的有()

A.a取任意實數時，方程最多有5個根

B.當土更<.<匕好時，方程有2個根

22

c.當。=士正時，方程有3個根

2

D.當。4-4時，方程有4個根

【答案】CD

【分析】

先化簡方程為/(x)=l或f(x)=a,再對。進行分類討論，結合圖象來確定/(x)=l或

/(幻=a分別有幾個根，根據結果逐一判斷選項正誤即可.

【詳解】

解：關于x的方程方(x)-(l+a)-〃x)+a=O,BP[/(X)-1][/(X)-?]=0,故/(x)=l或

/(x)=a.

ln(x+l),x>0z、

函數/(x)={2c,c中，x20,/(x)=ln(x+l)單調遞增,

x—2cix+1,x<0

x<0,/(x)=x2-2ox+l=(x—a]+l—〃，對稱軸為x=a,判別式

△=4(a+l)(a-l).

(1)當aNO時，函數/(x)圖象如下:

由圖象可知，方程/(x)=l有1個根，時方程/(>)=。有2個根，OKaWl時，方程

/(%)=。有1個根，故a>l時已知方程有3個根，0Wa<l時，已知方程有2個根，

”=1時已知方程有1個根；

(2)a=-l時，函數/(X)圖象如下：

由兩個圖象可知，時，方程/(x)=l有2個根，方程/(X)=a沒有根，故已

知方程有2個根；

故當土史時，1一/＜。，直線y=a如圖①，方程/(x)=。有2個根，故已知

2

方程有4個根；

當4=二1苜時,1一6=4,直線如圖②，方程有/(X)=a有1個根，故已知

2

方程有3個根；

當土且<a<—1時，1一〃>〃，直線y=a如圖③，方程/(x)=a沒有根，故已知

2

方程有2個根.

綜上可知，a取任意實數時，方程最多有4個根，選項A錯誤；二匕叵<a<l時方程有

2

2個根，。=1時已知方程有1個根，時方程有3個根，故選項B錯誤；當

a=T一石時,方程有3個根，C正確；當4V土@時，方程有4個根，故D

22

正確.

故選：CD.

【點睛】

關鍵點點睛：

本題的解題關鍵在于分類討論確定二次函數的圖象，以及其最低點處1-/與。的關系，

以確定方程/(%)=a的根的情況，才能突破難點.

2.已知函數〃力=<若存在實數內使得/(“)=/[/(。)]，則0的個數

不是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABD

【分析】

令/(a)=f,即滿足/?)=，對t進行分類討論，結合已知函數解析式代入即可求得滿

足題意的3進而求得a

【詳解】

令/(a)=f,即滿足=f,轉化為函數y=/。)與％=/有交點，結合圖像

由圖可知，/(r)=f有兩個根/1=()或r=l

（1）當r=l,即“。）=1,由/（。）=彳2'1，得。=±1時，經檢驗均滿足題意；

（2）當f=o,即/（。）=0,當421時，/（a）=2-a=0,解得：。=2；當a<l

時，f（a）=a2=0,解得：a=0；

綜上所述：共有4個a.

故選：ABD.

【點睛】

方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數的圖像，利用數形結合的方法求解

3.已知函數y=/（x—l）的圖象關于x=l對稱，且對y=.f（x）,xeR,當

知/€（—8,0］時，―/（石）<0成立,若/（2磔）</（2/+1）對任意的xeR恒

成立，則。的可能取值為（）

A.-V2B.-1C.1D.72

【答案】BC

【分析】

由己知得函數f（x）是偶函數，在［0,+8）上是單調增函數，將問題轉化為|2ar|<|2d+l|對

任意的xeR恒成立，由基本不等式可求得范圍得選項.

【詳解】

因為函數y=/（x-l）的圖象關于直線x=1對稱，所以函數y=/（x）的圖象關于直線

%=o（即y軸）對稱，所以函數fa）是偶函數.

又知々€（-8,0」時，/（上）二/（\）<0成立,所以函數/（X）在［0,+8）上是單調增函數.

々一西

且〃2ar）</（2f+1）對任意的1R恒成立，所以120rl<|2x2+l|對任意的xeR恒成

立，

當元=0時，o<i恒成立，當無/0時，|川<12￡：1|。%+4|=|刈+a1,

|2x\2x2x

又因為|x|+|1|22卜卜氏1=拒,當且僅當|x|=等時，等號成立，

所以|a|<亞，因此一

故選：BC.

【點睛】

方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數a>“X)恒成立(a>/(x)mix即可)

或恒成立(aW/(x)1nHi即可)；②數形結合(y=/(x)圖象在y=g(x)上方

即可)；③討論最值/(x)min>0或f(x)nm<0恒成立.

4.設xwR,用[x]表示不超過x的最大整數，則y=[x]稱為高斯函數，也叫取整函數.

令/(x)=x—[司，以下結論正確的有()

A./(-1.1)=0.9B.函數/(x)為奇函數

C./(X+1)=/(%)+1D.函數/(x)的值域為[0,1)

【答案】AD

【分析】

根據高斯函數的定義逐項檢驗可得正確的選項.

【詳解】

對于A,/(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1+2=0.9,故A正確.

對于B,取x=則/(一1.1)=0.9,而===

故〃所以函數/(x)不為奇函數，故B錯誤.

對于C,則/(x+l)=x+l-[x+l]=x+l-國=故c錯誤.

對于D,由C的判斷可知，/(X)為周期函數，且周期為1，

當OWxWl時，則

當x=0時，則/(0)=0—[0]=0,

當0<x<l時，,f(x)=x-[x]=x-0=x,

當x=l時，/(x)=l-[l]=l-l=0,

故當OKxWl時，則有0W/(x)<l,故函數/(x)的值域為[0,1),故D正確.

故選：AD.

【點睛】

思路點睛：對于函數的新定義問題，注意根據定義展開討論性質的討論，并且注意性質討

論的次序，比如討論函數值域，可以先討論函數的奇偶性、周期性.

5.已知Ax)是定義域為(一°o,y)的奇函數，f(x+l)是偶函數，且當xe(O,l]時，

f(x)=-x(x-2),則()

A.“X)是周期為2的函數B.42019)+42020)=-1

c./(X)的值域為[-1,1]D.y=/(x)在[0,2句上有4個零點

【答案】BCD

【分析】

對于A,由“X)為R上的奇函數，/(X+1)為偶函數，得了(4+x)=/(x),則“X)是

周期為4的周期函數，可判斷A.

對于B,由〃X)是周期為4的周期函數，則“2020)="0)=0,

/(2019)=/(-1)=-/(1)=-1,可判斷B.

對于C,當時，/(x)=-x(x-2),有又由〃X)為R上的奇函

數，則xe[-l,0)時，—lW/(x)V0,可判斷C.

對于D,根據函數的周期性和對稱性，可以求出函數在各段上的解析式，從而求出函數的

零點，可判斷D.

【詳解】

解：對于A,/(X+1)為偶函數，其圖像關于X軸對稱，把/(X+1)的圖像向右平移1個

單位得到了(X)的圖像，所以〃x)圖象關于x=1對稱，

即f(l+x)=/(l-X),所以f(2+x)=f(-x),

為R上的奇函數，所以“r)=-/(x),所以/(2+x)=—/(x),

用2+尤替換上式中的x得，/(4+x)=-/U+2),

所以，/(4+%)=/(%),則/(力是周期為4的周期函數.故A錯誤.

對于B,/(x)定義域為R的奇函數，則"0)=0,

/(x)是周期為4的周期函數，則“2020)="0)=0：

當xe(O,l]時，f(x)=-x(x-2),則〃1)=一lx(l-2)=l,

則〃2019)=f(-1+2020)=/(-1)=-/⑴=-1,

則/(2019)+/(2020)=-1.故B正確.

對于C,當XG(0,1]時,f(x)=-x(x-2),此時有0<〃力W1,

又由/(x)為R上的奇函數，則問-1,0)時,-l</(x)<0,

/(())=(),函數關于x=l對稱，所以函數/(x)的值域[7,1].故C正確.

對于D,???/(0)=0,且xe(O,l]時，f(x)=-x(x-2),

/.xe[0,1],f(x)=-x(x—2),

/.XG[1,2],2-xef0,l],f(x)=f(2-x)=-x{x-2)

①.“6[0,2]時，f(x)=-x(x-2),此時函數的零點為0,2；

??,/0)是奇函數，，X6[-2,0],/")=%(》+2),

②二^^仁人卜九：/⑴的周期為人二工一壯卜幺。],

/(x)=/(x-4)=(x-2)(x-4),此時函數零點為4；

/(%)=/(》-4)=-(x-4)(x-6),此時函數零點為6；

④.?.x?6,2乃]時，.”一4?2,4],/(x)=/(x—4)=(x—6)(x—8),此時函數無零

點；

綜合以上有，在(。,2萬)上有4個零點.故D正確；

故選：BCD

【點睛】

關鍵點點睛：由/(X+1)是偶函數，通過平移得到.f(x)關于％=1對稱，再根據是奇

函數，由此得到函數的周期，進一步把待求問題轉化到函數的已知區(qū)間上，本題綜合考查

抽象函數的奇偶性、周期性.

2—4x—0K

6.已知函數/(x)=J|2['其中awR,下列關于函數/(x)的判斷正確

x>1,

的為()

A.當a=2時，/(|)=4

B.當14<1時,函數“X)的值域[-2,2]

C.當a=2且時，/(力=2"(2一4x—]

D.當a>0時，不等式“外42屋—在[°，+8)上恒成立

【答案】AC

【分析】

對于A選項，直接代入計算即可；對于B選項，由題得當工€(相,加+1],〃2€^^時，

f^x)=amf(x-m),進而得當工€(加,〃?+1],〃2€“時，/(x)e(-2,2),故"x)的

值域(一2,2]；對于C選項，結合B選項得當。=2且x€[〃一l,〃](〃eN*)時，

〃x)=2"-"(x-〃+1)進而得解析式；對于D選項，取特殊值即可得答案.

【詳解】

解：對于A選項，當a=2時，=一=4,故A選項正確；

對于B選項，由于當04x41,函數的值域為[0,2],所以當工￡(〃2,〃2+1],相€"*時，

=由于,所以,f[0,2],因為同<1,所以

a,ne(-l,l),所以當xw(加,〃?+l],加wN*時，/(X)G(-2,2),綜上，當時<1時，函

數的值域(一2,2],故B選項錯誤；

對于C選項，由B選項得當XW(〃2,/%+1],/〃€“時，f(x)-a'nf(x-tn),故當a=2

且xW”-1,磯〃wN*)時，

/(X)=2"T/(X_N+1)=2"T2-4x-n+l--

<2,

=2n-'(2-4x-n+-\=2"-'(2-4x-^:^-\,故C選項正確；

I2jI2)

13(3、31

對于D選項，取4=/，x=-,則二|=2-4：-彳=1,

28442

3JI|

2a弓=2田=2圖*=2x(2*2x2y’不滿足式"上2人，故D

選項錯誤.

故選：AC.

【點睛】

本題考查函數的綜合應用，考查分析能力與運算求解能力，是難題.本題解題的關鍵在于根

據題意得當工€(〃7,〃7+1],相€"*時，/(X)=a"'/(X-〃Z),且當OWxWl,函數的值域

為[0,2],進而利用函數平移與伸縮變換即可求解.

7.已知函數/(x)=X+L8⑴=公+士則下列結論中正確的是()

XX

A./(x)+g(x)是奇函數B./(X>g(X)是偶函數

C./(x)+g(x)的最小值為4D./(x>g(x)的最小值為2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定義可得A錯B對；利用均值不等式可得C對；利用換元求導可得D錯.

【詳解】

+?+4

:/(x)+g(x)=x+-

Xx2

2

2+%+4

1?f(t)+g(r)=+(-X--)---+------rX4----

-x(HXXT

???/(%)+g(x)=/(-x)+g(-x)

???/(X)+g(X)是偶函數，A錯;

1?,/(x)?g(x)=

x+lf+與

XX

/(-%)-g(-X)=f(x)-g(x)

.?./(x>g(x)是偶函數，B對;

vf(x)+g(x)=x+-+x2+-^>2+2=4,當且僅當》=，和/=乙時，等號成立,

XXXX

即當且僅當Y=1時等號成立，C對;

/(x).g(x)=x+1

令/=x+-(r>2),貝Ij/(x>g(x)=f?(/-2)=/—2f

??”@)逮(切'=3如一2,令3產-2>0,得>手或/<_當

.42時,/(x>g(x)單調遞增

當，=2有最小值，最小值為4,D錯

故選：BC.

【點睛】

本題綜合考查奇偶性、均值不等式、利用導數求最值等，對學生知識的運用能力要求較

高，難度較大.

8.對于具有相同定義域D的函數/(x)和g(x),若存在函數&(力=依+匕(k,b為常

數)，對任給的正數m,存在相應的小旺。，使得當xe。且x>x0時，總有

C；X，則稱直線/：y=Ax+b為曲線y=〃x)與y=g(x)的"分漸近

0<hyxj-gyx)<m

線”,給出定義域均為。={x|X>1}的四組函數，其中曲線y=/(%)與y=g(x)存在"分

漸近線”的是()

A./(x)=%2,g(x)=&

B./(x)=i(r+2,g(x)=^z2

X

c\X2+1/\xlnx+1

c./(x)=------g(x)=—；------

X}nx

D./(同=言，g(x)=2(x-l—e-，)

【答案】BD

【分析】

根據分漸近線的定義，對四組函數逐一分析，由此確定存在“分漸近線”的函數.

【詳解】

解：/(X)和g(x)存在分漸近線的充要條件是％―8時，

/(%)-g(%)—。,JO)>g(x).

對于①,/(x)=x2,g(x)=?,

當尤>1時，4-F(X)=/(X)-^(X)=X2-A/X,

由于F(x)=2x—左>0,所以解司為增函數，

不符合Xf8時，/(x)-g(x)-O,所以不存在分漸近線；

對于②，/(x)=l(r+2>2,g(x)==^<2,(x>l)

???f(x)>g(x),

小)、一"/、Ii。n-A.+2c一2x丁-3=((m1丫J3

因為當尤>1且時，/(X)-g(x)f0,所以存在分漸近線;

r2xlnx+1

對于③，/(%)=-g(x)=

Inx

“、，、x2+1x\nx+\111__

-g(x)=-------------=%+—

xInxxInxxInx

當x>i且x-?8時，_L與_L均單調遞減，但■1的遞減速度比快，

xInxxInx

所以當Xf8時，/(X)-g(x)會越來越小，不會趨近于0,所以不存在分漸近線;

0丫2

對于④，f(x)=——，g(尤)=2卜一1一e-),

x+\

當XfOO時，

2r222

f(x)-g(x)=--—2X+2+2"，='+0,且/(x)-g(x)>0,

x+\x+le'

因此存在分漸近線.

故存在分漸近線的是BD.

故選：BD.

【點睛】

本小題主要考查新定義概念的理解和運用，考查函數的單調性，屬于難題.

9.已知/(X)是定義域為(-8,+8)的奇函數，/(%+1)是偶函數，且當xe(O,l］時，

/(x)=-x(x-2),貝ij()

A./(X)是周期為2的函數

B./(2019)+/(2020)=-1

C.“X)的值域為卜1,1］

D.“X)的圖象與曲線y=cosx在(0,2兀)上有4個交點

【答案】BCD

【分析】

對于A,由“X)為R上的奇函數，/(X+1)為偶函數，得"x)=/(x—4),則“X)是

周期為4的周期函數，可判斷A；

對于B,由/(X)是周期為4的周期函數，則”2()20)=/(0)=0,

/(2019)=/(-1)=-/(1)=-1,可判斷B.

對于C當xe(O,l］時，/(x)=-x(x-2),有OV/(X)<1,又由/(X)為R上的奇函

數，則1,0)時，—1V/(X)VO,可判斷c.

對于D,構造函數g(x)=/(x)-cosx,利用導數法求出單調區(qū)間，結合零點存在性定理，

即可判斷D.

【詳解】

根據題意，

對于A,/(X)為R上的奇函數，/(%+1)為偶函數，

所以/(X)圖象關于尤=1對稱，/(2+X)=/(—X)=-/(%)

即/(%+4)=-/(x+2)=/(x)

則是周期為4的周期函數，A錯誤；

對于B,“X)定義域為R的奇函數，則/(0)=0,

/(x)是周期為4的周期函數，則/(2020)=/(0)=0；

當xe(O,l］時，/(x)=-x(x-2),則〃l)=Tx(l-2)=l,

則/(2019)=/(—1+2020)=/(—1)=—/(1)=—1,

則/(2019)+/(2020)=-1；故B正確.

對于C,當xe(O,l］時，/(x)=-x(x—2),此時有

又由/(X)為R上的奇函數，則xe［—1,0)時，-l</(x)<0,

/(0)=(),函數關于x=l對稱，所以函數/(力的值域［一川.

故C正確.

對于D,?.?/(())=0,且尤w(O,l]時，/(x)=-x(x-2),

xG[0,l],/(%)=-x(x-2),

xe[l,2],2-xe[0,1],/(x)=/(2-x)=-x(x-2),

.-.xe[0,2],f(x)=-x(x-2),

??,/(%)是奇函數，；/€[-2,0],/3=%(%+2),

??,/(%)的周期為4，，彳€[2,4],/(》)=(》一2)(》一4),

xe[4,6],/(%)=—(x—4)(x—6),

A：G[6,2TT],/(x)=(x-6)(x-8),

設g(x)=/(x)-cosx,

當xe[0,2],^(x)=-x1+2x—cosx,

g'(x)=-2x+2+sinx,

設h(x)=g'(x),%'(x)=-2+cosx<0在[0,2]恒成立，

〃(x)在[0,2J單調遞減,即g'(x)在[0,2]單調遞減,

且g'⑴=sin1>0,g'(2)=-2+sin2<0,

存在與G(l,2),g<Xo)=O,

xe(O,Xo),g'(x)>0,g(x)單調遞增，

xe(x0,2),g'(x)<0,g(x)單調遞減,

g(0)=-1,^(1)=1-cosl>0,gOo)>g⑴>0,g(2)=-cos2>0,

所以g(x)在(0,%)有唯一零點，在(％,2)沒有零點，

即xe(0,2],“X)的圖象與曲線y=cosx有1個交點，

當xe[2,4]時，，g(x)=/'(x)-cosx=f-6x+8-cosx,

則g'(x)=2x-6+sinx,=g'(x)=2x-6+sinx,

則"(x)=2+cosx>0,所以g'(x)在[2,4]上單調遞增，

且g'(3)=sin3>0,g[2)=-2+sin2<0,

所以存在唯一的玉e[2,3]u[2,4],使得g<x)=0,

所以xe(2,xj,g<x)<0,8(尤)在(2,為)單調遞減，

xe(x,,4),g'(x)>0,g(x)在(%],4)單調遞增，

又g⑶=一1一cos3<0,所以g(xJ<g(3)<0,

又g(2)=-cos2>0,g(4)=-cos4>0,

所以g(x)在(2,xJ上有一個唯一的零點，在(%,4)上有唯一的零點,

所以當xe[2,4]時，/(x)的圖象與曲線y=cosx有2個交點，，

當xe[4,6]時，同xe[0,2],〃x)的圖象與曲線y=cosx有1個交點,

當x￡[6,2乃],/(x)=(x—6)(x—8)<0,y=cosx>0,

/(x)的圖象與曲線y=cosx沒有交點，

所以/(X)的圖象與曲線y=cosX在(0,2兀)上有4個交點，故D正確；

故選：BCD.

【點睛】

本題考查抽象函數的奇偶性、周期性、兩函數圖像的交點，屬于較難題.

【答案】AD

【分析】

根據選項，四個圖象可知備選函數都具有奇偶性.當人=1時，/(幻=""+"為偶函數,

當我=一1時，/(x)=eT-e,為奇函數，再根據單調性進行分析得出答案.

【詳解】

由選項的四個圖象可知，備選函數都具有奇偶性.

當我=1時，/(x)=e7+e*為偶函數，

當X20時，且單調遞增，而曠=，+1在te|1,+oo)上單調遞增，

t

故函數/(幻=6-*+產在xe|0,+8)上單調遞增，故選項C正確，。錯誤；

當A=-l時，/(x)=ef為奇函數，

當xNO時，r=且單調遞增，而y=l-f在|1,+8)上單調遞減，

t

故函數/(x)=e7-e，在xe[0,+8)上單調遞減，故選項8正確，A錯誤.

故選:AD.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查函數性質與圖象，本題的關鍵是根據函數圖象的對稱性，可知左=1

或左=一1,再判斷函數的單調性.

二、導數及其應用多選題

11.對于定義城為R的函數/(x),若滿足：①/(())=()；②當xwR,且x/0時，都

有礦(力>0；③當須<0</且IxJVzl時，都有/(。</(/)，則稱/'(力為"偏對

稱函數",下列函數是"偏對稱函數"的是()

A.力(％)=-/B.力(x)=e、-x—1

ln(-x+l),x<0

D./1(x)=xsinx

2x,x>0

【答案】BC

【分析】

運用新定義，分別討論四個函數是否滿足三個條件，結合奇偶性和單調性，以及對稱性，

即可得到所求結論.

【詳解】

解：經驗證,工(X),f2(x),力(x),力(X)都滿足條件①；

fx>0fx<0

xf'(x)>0<=>^，或《；

當再<0<%2且I$1<1々?時，等價于一/<玉<0<一玉<龍2，

即條件②等價于函數“X)在區(qū)間(-8,0)上單調遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調遞增；

A中,/(%)=-1+12,//(x)=-3x2+2x,則當XHO時,由

2

xf,,(x)=-3x3+2x2=x2(2-3x)<0,得了之耳，不符合條件②，故工⑴不是"偏對稱

函數”；

xxr

B中,f2(x)=e-x-l,f2\x)=e,當x>0時，e>1>夕(x)>0,當x<0

時，()<"<1，&'(x)<0,則當xoO時，都有我［x)>0,符合條件②，

函數人(力="一%-1在(―8,0)上單調遞減,在(0,+8)上單調遞增，

由力(X)的單調性知，當一々<X1<。<一百<W時，人(%)〈人(一￡)，

力(西)一力(*2)<八(一々)一人。2)=—64+e1+2X2，

令F(x)=-e'+e-*+2x,龍〉0,9⑶=-e'-1+24-2Je'.e=+2=0,

當且僅當/=二即x=0時，"="成立，

???下⑴在［0,+8)上是減函數，；.尸(士)〈尸(0)=0,即人符合條件③,

故人(x)是"偏對稱函數"；

,ln(-x+l),x<01

C中，由函數力(x)=1'),當x<0時，力'(x)=——<0,當x>0時，

2x,x>0x-\

&(x)=2>0,符合條件②，

函數力(X)在(F,0)上單調遞減，在(0,+")上單調遞增，

有單調性知，當一/<芭<。<一X1<*2時，力(5)<啟一聲)，

設尸(x)=ln(x+l)-2x,x>0,則尸(x)=^——2<0,

X+1

/(X)在(0,+8)上是減函數，可得尸(x)<F(0)=0,

f(X[)-/(x2)<f(-x2)-/(x2)=ln(x,+l)-/(X2)=F(X2)<0,

即/(%)</(々)，符合條件③，故力(x)是"偏對稱函數"；

D中,f4(x)=xsinx,則力(_%)=_次出(一力=力(尤)，則Z?(x)是偶函數，

而力'(x)=sinx+xcosx=JH?sin(x+e)(tane=x),則根據三角函數的性質可

知，當x>0時，A'。)的符號有正有負，不符合條件②，故/；(x)不是"偏對稱函數"：

故選：BC.

【點睛】

本題主要考查在新定義下利用導數研究函數的單調性與最值，考查計算能力，考查轉化與

劃歸思想，屬于難題.

Y

12.已知函數f(x)=e',g(x)=l4+：1的圖象與直線片m分別交于A、8兩點，則()

A./(x)圖像上任一點與曲線g(x)上任一點連線線段的最小值為2+歷2

B.3n?使得曲線g(x)在B處的切線平行于曲線/(x)在A處的切線

C.函數/W-g(x)+m不存在零點

D.3m使得曲線g(x)在點B處的切線也是曲線/(x)的切線

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在/(x)與g(x)取兩點求距離，即可判斷出A選項的正誤；解方程

尸(勿〃?)=g'(2e"[)，可判斷出3選項的正誤；利用導數判斷函數y=f(x)-g(x)+m的單

調性，結合極值的符號可判斷出。選項的正誤；設切線與曲線y=g(x)相切于點C5,

g(〃))，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出。選項

的正誤.進而得出結論.

【詳解】

在函數/(x)=eX,g(x)=l〃：+(上分別取點P(0,l),Q(2,3,貝iJ|PQ|=SZ,而

2222

—<2+ln2(注ln2a0.7),故A選項不正確；

2

11

Qf{x)=ex,g(x)=lnx-+-,則/'(x)=e*,g'(x)=一，

22x

曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為=m,

MJ--1

曲線y=g(x)在點B處的切線斜率為g(2e2)=-r,

2en2

]_1111

令/'(/〃〃?)=g'(2eF，即加=不，即2〃「5=1，則加=萬滿足方程2族,=1，

2e2乙

使得曲線y=/(X)在4處的切線平行于曲線y=g(x)在B處的切線，8選項正確;

y1,1

構造函數尸(x)=/(x)-g(x)+機=e"-妨一+"—，可得產(x)=ex---,

22x

函數尸(x)=e*—2在(0,+8)上為增函數，由于kd)=&-2<0,F'(1)=e—1>0,

X6

則存在teg,1),使得F(f)=e'-；=O,可得t=

當0<X<f時，FUXO；當次>￡時,F(X)>0.

F(x).=F(t)=d-iJ+m——=el-bit+zn4-ln2——

a222

1…1…137c八

=-+t+m+ln2——>2Jr--+m+ln2——=—+ln2+m>0,

/2V/22

?.?函數W=fM-g(x)+機沒有零點,C選項正確；

設曲線y=/U)在點A處的切線與曲線y=g(x)相切于點C(n,gS)),

則曲線y=f(x)在點A處的切線方程為y-rn=e'"m(x-Inin),BPy=mx+,

1n1

同理可得曲線y=g(x)在點C處的切線方程為y=-x+ln---

n22f

1

"i=一

.二,n,消去〃得〃2-(加-1)濟加+加2+—=0,

機(1-Inm)=//7---

22

1r-11

令G(x)=x-(x-V)lwc+ln2+—,貝ljG'(x)=1------Inx=——Inx,

2xx

函數y=G'(x)在(0,+oo)上為減函數，QG'(1)=l>0,G'(2)=g-/〃2<0,

則存在se(l,2),使得G'(s)△—加=0,且

s3—e

當0cxes時、G'(x)>0,當x>s時，G'(x)<0.

函數y=G(X)在(2,+8)上為減函數，

517

QG(2)=->0,G(8)=萬-20/〃2<0,

由零點存定理知，函數y=G(x)在(2,+o。)上有零點，

即方程機-("?一1)/〃相+/〃2+—=0有解.

2

???玉77使得曲線y=/(x)在點A處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

故選：BCD.

【點睛】

本題考查導數的綜合應用，涉及函數的最值、零點以及切線問題，計算量較大，考查了轉

化思想和數形結合思想，屬難題.

13.關于函數〃x)=2+lnx,下列判斷正確的是()

A.x=2是/(%)的極大值點

B.函數y=/(》)-x有且只有1個零點

C.存在正實數3使得了(%)>丘恒成立

D.對任意兩個正實數項，X,,且々>%，若/(3)=/(9)，則％+82>4

【答案】BD

【分析】

對于A,利用導數研究函數/(X)的極值點即可；

對于B,利用導數判斷函數》=/(》)-x的單調性，再利用零點存在性定理即得結論；

對于c,參變分離得到&二，構造函數g(x)=W+“X，利用導數判斷函數

XXJCX

g(x)的最小值的情況；

對于D,利用“X)的單調性，由/(內)=/(9)得到0<%<2<々，令，

由=得％,+/=2；球2,所以要證為+%>4,即證2r-2-4rlnf>0,構

造函數即得.

【詳解】

2]Y—2

A：函數/(x)的定義域為(0,+?),=+-=—>當xe(O,2)時，

XXX

/")<0,4X)單調遞減，當xw(2,”)時，用工)>0,/(X)單調遞增，所以

x=2是“X)的極小值點，故A錯誤.

B：y=f(x)-x=-+\nx-x,y'=-1=-A-f+2<0,所以函數在(0,+?)

XXX\)

上單調遞減.又/(1)一l=2+lnl—1=1>0,/(2)-2=l+ln2-2=ln2-l<0,所以

函數y=/'(x)-x有且只有1個零點，故B正確.

oOY0]nv

C：若y(x)>依，即一+lnx>依，則左<-y+——.令g(x)=-y+——，貝I]

XXXXX

/(x)=心十元3xlnx令/z(x)=T+x-xln尤，則〃'(x)=-lnx,當尤￡(0,1)時，

”(%)>0,〃(力單調遞增，當X￡(l,+8)時，”(x)v0,〃(x)單調遞減，所以

C1

〃(￡)"⑴=一3<0,所以曲勾<0,所以8⑺二福+?在(0,+?)上單調遞減，

函數無最小值，所以不存在正實數M使得/(x)>丘恒成立，故C錯誤.

D：因為/(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,+?)上單調遞增，

x=2是“X)的極小值點.

???對任意兩個正實數占，X2，且無2>玉，若/.(百)=/(工2)，則。<玉<2<々?

22

令，=」x■(，>1)，則々=3，由/(玉)=/(%2)，得一+lnX|=—+111工2，

---=lnx2-Inx,,即21三_')=山上，即2('-1)X|=其/,解得玉=@二II,

石西X2X1t\nt

2/(r-l)/z2t2-2

=tx.=-----，所以X+工2=-----.

Hnrtint

故要證司+々>4,需證占+看一4>0,需證3_i-4>0,需證〃z

t\ntt\nt

■：/=上>1,則"nt>0,

X

二.證2/一2-4"nr>0.令H(f)=2/-2-4八nf(r>1),"'(f)=4f-4Inf-4(f>1),

“"⑺=4一：=當2>0(/>1),所以⑺在(1,+?)上是增函數.

因為/.1時，則〃'⑺>0,所以H⑺在(1,+?)上是增函數.

因為ffl時，”(f)f0,則”(7)>0,所以2「-2-4flnf>0,

\'t\nt

二不+Z>4,故D正確.

故選：BD.

【點睛】

關鍵點點睛：利用導數研究函數的單調性、極值點，結合零點存在性定理判斷A、B的正

誤；應用參變分離，構造函數，并結合導數判斷函數的最值；由函數單調性，應用換元法

并構造函數，結合分析法、導數證明D選項結論.

14.對于函數〃x)=x2+or-lnx-a+l,其中aeR,下列4個命題中正確命題有()

A.該函數定有2個極值B.該函數的極小值一定不大于2

C.該函數一定存在零點D.存在實數。，使得該函數有2個零點

【答案】BD

【分析】

求出導函數，利用導數確定極值，結合零點存在定理確定零點個數.

【詳解】

函數定義域是(0,+8),

由已知/'(x)=2x+a—L土竺二1,

XX

A=/+8>0，zV+ar-1=0有兩個不等實根藥,々，但%W=-g<0,項戶?一正一

負.

由于定義域是(0,+8),因此尸")=0只有一個實根，/(幻只有一個極值，A錯；

不妨設玉<0<%2，則0<%<彳2時，f\x)<0,/(X)遞減，x>w時，f\x)>0,

/(%)遞增.所以/(々)是函數的極小值.2*+”-1=0，。=匕注，

&

f(x2)=%2+以2-m%-+1=

-

尤；+1-—In------—+1=一尤；+2%Inx2----F2,

-/一X2

設8(x)=—%2+2x—Inx---F2,則g'(x)——2x+2---1—z-=(1—x)(2H—,

XXXx~

Ovxvl時,g\x)>0,g(x)遞增,%>1時,gr(x)<0,g(x)遞減，

所以g(x)極大值=g6=2,即g(九)<2,所以/(w)<2,B正確；

由上可知當/*)的極小值為正時，/(?無零點.C錯；

fM的極小值也是最小值為/(/)=一只+2X2-1nx2---+2,

17

例如當工2=3時，a=---,/(x2)<0,x-0時，f(x)+oo,又

2、4172c1712/217、14?,217、

f(e)=e--e~-2+一+l=e(e-----)+—>0((e>—),

33333

所以f(x)在(0,3)和(3,+o。)上各有一個零點，D正確.

故選：BD.

【點睛】

思路點睛：本題考查用導數研究函數的極值，零點，解題方法是利用導數確定函數的單調

性，極值，但要注意在函數定義域內求解，對零點個數問題，注意結合零點存在定理，否

則不能確定零點的存在性.

15.下列說法正確的是()

A.函數〃％)=sin2x+百cos%—1XG()卷])的最大值是1

COSX

B.函數/(X)=sinx-tanx+XE

tanx

C.函數4x)=gsin2x+a-cosx在(0,%)上單調遞增，則。的取值范圍是(一叫一日

D.函數，/、2z+"sin[t+/+”的最大值為。，最小值為"，若。+0=2,

/(x)=-;——-------——

2x2+cosx

貝卜=1

【答案】ACD

【分析】

(八丫

化簡函數解析式為/(x)=-COSX-三+1,利用二次函數的基本性質可判斷A選項的

3,一/

正誤；令/=sinx+cosx,可得/(x)=g(r)="L,利用導數法可判斷B選項的正

廠一1

誤；利用導數與函數單調性的關系可判斷c選項的正誤；計算出/(x)+〃-x)=2r,利

用函數的對稱性可判斷D選項的正誤.

【詳解】

A選項，

,31(

=1-cos2x+v3cosx——=-cos2x+x/3cosx+—=-cosx----+1,

v'44(2J

又門€0,^可得：cosxe[0,1],則當cosx=￥時函數取得最大值1，A對；

「、4m、s?i2mcos2xsn?r3x+cos、3x

B選項，：.f(x)=