初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固復(fù)習(xí)（十） 圓

中考初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固復(fù)習(xí)專題（十）圓

【知識要點】

知識點1:知識點之間的關(guān)系

知識點2：圓的有關(guān)性質(zhì)和計算

①弧、弦、圓心角之間的關(guān)系：

在同圓或等圓中，如果兩條劣?。▋?yōu)?。?、兩個圓心角中有一組量對應(yīng)相等，那么它們

所對應(yīng)的其余各組量也分別對應(yīng)相等.

②垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

垂徑定理的推論：

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

③在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半.

④圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

圓的內(nèi)接四邊形對角互補，并且任何一個外角等于它的內(nèi)對角.

知識點3：點與圓的位置關(guān)系

①設(shè)點與圓心的距離為d,圓的半徑為尸，

則點在圓外。d〉r；點在圓上。d=r；點在圓內(nèi)=d<r.

②過不在同一直線上的三點有且只有一個圓.一個三角形有且只有一個外接圓.

③三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點.

三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.

知識點4：直線與圓的位置關(guān)系

①設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r,

則直線與圓相離<=>">r；直線與圓相切<=>"=「；直線與圓相交=

②切線的性質(zhì)：與圓只有一個公共點；

圓心到切線的距離等于半徑；

圓的切線垂直于過切點的半徑.

③切線的識別：如果一條直線與圓只有一個公共點，那么這條直線是圓的切線.

到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

④三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點.

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.

⑤切線長：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.

⑥切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等.

這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.

知識點5：圓與圓的位置關(guān)系

①圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.

設(shè)兩圓心的距離為d,兩圓的半徑為r2,則兩圓外離=4〉4

兩圓外切=d=r\+r2

兩圓相交-q<_<?+.

兩圓內(nèi)切Od=心一回

兩圓內(nèi)含<卜一回

②兩個圓構(gòu)成軸對稱圖形，連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線）是對稱軸.

由對稱性知：兩圓相切，連心線經(jīng)過切點.兩圓相交，連心線垂直平分公共弦.

③兩圓公切線的定義：和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線.

兩個圓在公切線同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.

兩個圓在公切線兩旁時，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線.

④公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.

知識點6：與圓有關(guān)的計算

①弧長公式：/=絲扇形面積公式：s扇形=2—=上＞

180扇形3602

(其中〃為圓心角的度數(shù)，7?為半徑)

②圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.

圓柱體也可以看成是一個矩形以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體.

圓柱的側(cè)面積=底面周長X高

圓柱的全面積=側(cè)面積+2X底面積

③圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓

錐的母線長.

圓錐體可以看成是由一個直角三角形以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體.

④圓錐的側(cè)面積=工義底面周長X母線；圓錐的全面積=側(cè)面積+底面積

2

【復(fù)習(xí)點撥】

(1)掌握圓的有關(guān)概念和計算

①知道圓由圓心與半徑確定，了解圓的對稱性.

②通過圖形直觀識別圓的弦、弧、圓心角等基本元素.

③利用圓的對稱性探索弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，并會進行簡單計算和說理.

④探索并了解圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對圓周角的特征.

⑤掌握垂徑定理及其推論，并能進行計算和說理.

⑥了解三角形外心、三角形外接圓和圓內(nèi)接三角形的概念.

⑦掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

(2)點與圓的位置關(guān)系

①能根據(jù)點到圓心的距離和半徑的大小關(guān)系確定點與圓的位置關(guān)系.

②知道“不在同一直線上的三個點確定一個圓”并會作圖.

（3）直線與圓的位置關(guān)系

①能根據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系確定直線與圓的位置關(guān)系.

②了解切線的概念.

③能運用切線的性質(zhì)進行簡單計算和說理.

④掌握切線的識別方法.

⑤了解三角形內(nèi)心、三角形內(nèi)切圓和圓的外切三角形的概念.

⑥能過圓上一點畫圓的切線并能利用切線長定理進行簡單的切線計算.

（4）圓與圓的位置關(guān)系

①了解圓與圓的五種位置關(guān)系及相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.

②能根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系判定兩圓的位置關(guān)系.

③掌握兩圓公切線的定義并能進行簡單計算

（5）圓中的計算問題

①掌握弧長的計算公式，由弧長、半徑、圓心角中已知兩個量求第三個量.

②掌握求扇形面積的兩個計算公式，并靈活運用.

③了解圓錐的高、母線等概念.

④結(jié)合生活中的實例（模型）了解圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖.

⑤會求圓柱、圓錐的側(cè)面積、全面積，并能結(jié)合實際問題加以應(yīng)用.

⑥能綜合運用基本圖形的面積公式求陰影部分面積.

【典例解析】

例題1：（2017山東棗莊）如圖，在網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中選取9個格點（格

線的交點稱為格點），如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個

在圓內(nèi)，則r的取值范圍為（）

A.B.Vn<r<3V2C.5/17<r<5D.

【考點】M8：點與圓的位置關(guān)系；KQ：勾股定理.

【分析】利用勾股定理求出各格點到點A的距離，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【解答】解：給各點標(biāo)上字母，如圖所示.

AB=^22+22=2V2>AC=AD=山2+]2=AE=-^32+32=3AF=V52+22=V29>

AG=AM=AN=V42+32=5,

；?JT?VrV3、歷時，以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓

內(nèi).

故選B.

例題2：如圖，OA、0C是。0的半徑，點B在。0上，連接AB、BC,若/ABC=40°,則/AOC=

80度.

【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：：NABC與A0C是同弧所對的圓周角與圓心角，ZABC=40°,

AZA0C=2ZABC=80°.

故答案為：80.

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，

都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

例題3：(2017浙江衢州)如圖，AB為半圓0的直徑，C為BA延長線上一點，CD切半圓0

于點D,連接0D.作BE_LCD于點E,交半圓0于點F.已知CE=12,BE=9.

(1)求證:ACOD^ACBE.

(2)求半圓0的半徑r的長.

E

2

CAOB

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；MC：切線的性質(zhì).

【分析】（1）由切線的性質(zhì)和垂直的定義得出/E=90°=ZCDO,再由/C=/C,得出△?）口

^△CBE.

（2）由勾股定理求出BC-^CE2+BE2=15,由相似三角形的性質(zhì)得出比例式，即可得出答

案.

【解答】（1）證明：「CD切半圓0于點D,

ACDIOD,

.\ZCD0=90°,

VBE1CD,

AZE=90°=ZCDO,

又?.,NC=NC,

ACOD^ACBE.

（2）解：在Rt^BEC中，CE=12,BE=9,

ABC=7CE2+BE2=15,

ACOD^ACBE.

?0D_PC即r_15-r

BE^BC，勺二15，

解得：廠等.

例題4：（2017山東棗莊）如圖，在。ABCD中，AB為。。的直徑，。。與DC相切于點E,與

AD相交于點F,已知AB=12,ZC=60°,則前的長為—.

【考點】MC：切線的性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)；MN：弧長的計算.

【分析】先連接OE、OF,再求出圓心角NE0F的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式即可求出標(biāo)的長.

【解答】解：如圖連接OE、OF,

〈CD是。。的切線，

AOE1CD,

AZ0ED=90°,

???四邊形ABCD是平行四邊形，ZC=60°,

???NA二NC=60°,ND=120°,

V0A=0F,

AZA=Z0FA=60°,

.\ZDF0=120°,

JZE0F=360°-ZD-ZDFO-ZDE0=30°,

/■'協(xié)i/30?兀.6

EF的

故答案為：”.

例題5：（2017浙江衢州）運用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，AB是。0的直徑，CD、

EF是。0的弦，且AB〃CD〃EF,AB=10,CD=6,EF=8.則圖中陰影部分的面積是（）

A.—JiB.10JtC.24+4頁D.24+5K

2

【考點】M0：扇形面積的計算；M5：圓周角定理.

【分析】作直徑CG,連接OD、OE、OF、DG,則根據(jù)圓周角定理求得DG的長，證明DG=EF,

則S扇形ODG二S崩形OEF，然后根據(jù)二角形的面積公式證明SA0CD=SAACD>SA0EF=SAAEF，則S陰影二S崩形OCD+S

扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圓，即可求解.

【解答】解：作直徑CG,連接OD、OE、OF,DG.

：CG是圓的直徑，

.,.ZCDG=90°,則DG=K齊于=

又；EF=8,

；.DG=EF,

??DG=EF-

S國彩0M=S聰般OEF,

：AB〃CD〃EF,

??SAOCD=SAA<H>SAOEF=SAAEF，

?'?S用影=S?K(X：D+S用般OEF=S第彩(0+S扇般ODG=S華nX5-=-^-n.

22

故選A.

例題6：（2017山東棗莊）如圖，在△ABC中，ZC=90°,NBAC的平分線交BC于點D,點0

在AB上，以點0為圓心，0A為半徑的圓恰好經(jīng)過點D,分別交AC,AB于點E,F.

（1）試判斷直線BC與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

【考點】MB：直線與圓的位置關(guān)系；M0：扇形面積的計算.

【分析】（1）連接0D,證明0D〃AC,即可證得N0DB=90°,從而證得BC是圓的切線；

（2）在直角三角形0BD中，設(shè)0F=0D=x,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解

得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數(shù)，直角三角形0DB的面積減去扇形D0F面積

即可確定出陰影部分面積.

【解答】解：（1）BC與。0相切.

證明：連接0D.

：AD是/BAC的平分線，

，ZBAD=ZCAD.

又?.,OD=OA,

AZOAD=ZODA.

ZCAD=ZODA.

.,.0D/7AC,

AZ0DB=ZC=90°,即OD_LBC.

XVBC過半徑OD的外端點D,

；.BC與。0相切.

（2）設(shè)OF=OD=x,則OB=OF+BF=x+2,

根據(jù)勾股定理得：0B2=0D2+BD2,即（x+2）2=X?+12,

解得：x=2,即0D=0F=2,

；.0B=2+2=4,

VRtAODB41,0D=—OB,

2

ZB=30°,

AZD0B=60°,

?《_6。兀X42"

3603

則陰影部分的面積為S/XODB-S扇形DO尸得X2X25/3---25/3-

故陰影部分的面積為2道-等.

例題7：（2017江西）如圖1,00的直徑AB=12,P是弦BC上一動點（與點B,C不重合）,

ZABC=30°,過點P作PDLOP交。0于點D.

(1)如圖2,當(dāng)PD〃AB時，求PD的長；

(2)如圖3,當(dāng)羽=余時，延長AB至點E,使BE=*AB,連接DE.

①求證：DE是。。的切線；

②求PC的長.

【考點】MR：圓的綜合題.

【分析】(1)根據(jù)題意首先得出半徑長，再利用銳角三角三角函數(shù)關(guān)系得出OP,PD的長;

(2)①首先得出AOBD是等邊三角形，進而得出/0DE=/0FB=90°,求出答案即可；

②首先求出CF的長，進而利用直角三角形的性質(zhì)得出PF的長，進而得出答案.

【解答】解：(1)如圖2,連接0D,

VOP1PD,PD〃AB,

ZP0B=90",

二。0的直徑AB=12,

，0B=0D=6,

在Rt/XPOB中，ZABC=30°,

義萍2仃

.1.0P=0B?tan300=6

在RtAPOD中,

22=

PD=VOD-OP762-(2V3)2=2瓜

(2)①證明：如圖3,連接0D,交CB于點F,連接BD,

?DCAC，

AZDBC=ZABC=30°,

ZABD=60°,

V0B=0D,

AAOBD是等邊三角形,

A0D1FB,

VBE=-AB,

2

/.OB=BE,

???BF〃ED,

AZ0DE=Z0FB=90°,

???DE是。。的切線；

②由①知，OD±BC,

???CF=FB=0B?cos30°=6X返=3逐，

2

在RtZ\POD中，OF=DF,

.?.PF=1DO=3（直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半）,

2

.\CP=CF-PF=3^-3.

圖2圖3

例題8：（2017湖南株洲）

.如圖示AB為。。的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優(yōu)弧AB上一點，點F在AE的延

長線上，且BE=EF,線段CE交弦AB于點D.

①求證：CE//BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：瓜求4BCD的面積（注：根據(jù)圓的對稱性可知OCLAB）.

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；M2：垂徑定理.

【分析】①連接AC,BE,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出NF=￡NAEB,由圓

周角定理得出/AEC=NBEC,證出NAEC=NF,即可得出結(jié)論；

②證明△ADEs^CBE,得出黑.，證明△CBEs^CDB,得出毀型，求出CB=2

CBV5CBCE

得出AD=6,AB=8,由垂徑定理得出OC±AB,AG=BG=-1-AB=4,由勾股定理求出CG=^CB2_B(;2

=2,即可得出4BCD的面積.

【解答】①證明：連接AC,BE,作直線0C,如圖所示：

VBE=EF,

ZF=ZEBF；

VZAEB=ZEBF+ZF,

.\ZF=—ZAEB,

2

：C是金的中點，...京二食，

ZAEC=ZBEC,

VZAEB=ZAEC+ZBEC,

.*.ZAEC=—ZAEB,

2

，ZAEC=ZF,

，CE〃BF；

②解：VZDAE=ZDCB,ZAED=ZCEB,

.?.△ADEs/XCBE,

.ADAEAD3

??瓦Wp'nCB市，

VZCBD=ZCEB,ZBCD=ZECB,

.'.△CBE^ACDB,

.BDBEHII21

'*CB=CE'艮CB^TB'

；.CB=2灰，

，AD=6,

，AB=8,

,??點C為劣弧AB的中點,

AOC1AB,AG=BG=—ABM,

CG=VCB2^G2=2，

.,.△BCDW—BD?CG=_X2X2=2.

22

【達標(biāo)檢測】

一、選擇題

1.（2017張家界）如圖，在。0中，AB是直徑，AC是弦，連接0C,若NAC0=30°,則/

BOC的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

【考點】M5：圓周角定理.

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出NA=NAC0=30°,再由圓周角定理即可得出答案.

【解答】解：：0A=0C,

AZA=ZAC0=30°,

；AB是。0的直徑,

.,./B0C=2NA=2X30°=60°.

故選D.

2..（2017湖北宜昌）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接。0,AC平分NBAD,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=ADB.BC=CDC.窟=俞D.ZBCA=ZDCA

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進行逐一判斷即可.

【解答】解：A、：/ACB與/ACD的大小關(guān)系不確定，.?.AB與AD不一定相等，故本選項錯

誤；

B、：AC平分NBAD,.\ZBAC=ZDAC,；.BC=CD,故本選項正確；

C、:/ACB與NACD的大小關(guān)系不確定，.?.余與應(yīng)不一定相等，故本選項錯誤；

D、/BCA與/DCA的大小關(guān)系不確定，故本選項錯誤.

故選B.

3.（2017青海西寧）如圖，AB是。0的直徑,弦CD交AB于點P,AP=2,BP=6,ZAPC=30°,

則CD的長為（）

A.V15B.275C.2^/15D.8

【考點】M2：垂徑定理；K0：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理.

【分析】作OH±CD于11,連結(jié)0C,如圖，根據(jù)垂徑定理由OH±CD得到HC=HD,再利用AP=2,

BP=6可計算出半徑0A=4,則OP=OA-AP=2,接著在RtAOPH中根據(jù)含30度的直角三角形的

性質(zhì)計算出OH=-14）P=1,然后在RtAOHC中利用勾股定理計算出CH二任，所以CD=2cH=2任.

【解答】解：作OHLCD于H,連結(jié)0C,如圖，

VOH1CD,

AHC=HD,

VAP=2,BP=6,

AAB=8,

A0A=4,

.\OP=OA-AP=2,

在RtZkOPH中,VZ0PH=30°，

.\ZP0H=30°,

.*.0H=ZP=1,

2

在RtZ\OHC中，V0C=4,OH=1,

CH=VOC2-OH2=V15，

.,.CD=2CH=2-v/15.

故選C.

4.（2017湖北咸寧）如圖，。。的半徑為3,四邊形ABCD內(nèi)接于。0,連接0B、OD,若NB0D=

ZBCD,則面的長為（）

【考點】MN：弧長的計算；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理求出/A=60°,得出NB0D=120°,再由弧長

公式即可得出答案.

【解答】解：???四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

.,.ZBCD+ZA=180o,

ZB0D=2ZA,ZB0D=ZBCD,

.?.2ZA+ZA=180°,

解得：ZA=60°,

.-.ZB0D=120o,

.-,z120nX3

??BD的1V長i=-面—=2”；

故選：C.

5.（2017甘肅天水）如圖，AB是圓0的直徑，弦CD_LAB,ZBCD=30°,CD=4jj，則SM

影=()

243

A.2nB.—JiC.—nD.—n

338

【考點】M5：圓周角定理；M2：垂徑定理；M0：扇形面積的計算.

【分析】根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=2?,然后由圓周角定理知/D0E=60°,然后通過解直

角三角形求得線段0D、0E的長度，最后將相關(guān)線段的長度代入S陰砂=Ssi）eooB-SADOE+SABEC.

【解答】解：如圖，假設(shè)線段CD、AB交于點E,

；AB是。。的直徑，弦CDLAB,

.*.CE=ED=2?,

又；NBCD=30°,

ZD0E-2ZBCD=60°,Z0DE=30°,

.?.0E=DE?cot600=2?X*=2,0D=20E=4,

?'?SB]R；-S由彩（?B-SADOE+SABEC=兀=QD—--^0EXDE+-^BE?CE=—2J^+2J^=&彳一.

360223vJJ3

故選B.

二、填空題：

6.（2017浙江義烏）如圖，一塊含45°角的直角三角板，它的一個銳角頂點A在。0上,

邊AB,AC分別與。。交于點D,E,則ND0E的度數(shù)為90°.

【考點】M5：圓周角定理.

【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：,??NA=45°,

/DOE=2/A=90°.

故答案為：90°.

7.（2017甘肅張掖）如圖，^ABC內(nèi)接于。0,若NOAB=32°,則NC=58°.

【考點】M5：圓周角定理.

【分析】由題意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)求出/AOB,再利用圓周

角定理確定/C.

【解答】解：如圖，連接OB,

V0A=0B,

/.AA0B是等腰三角形,

.\Z0AB=Z0BA,

VZ0AB=32°,

AZ0AB=Z0AB=32°，

：.ZA0B=116°,

.,.ZC=58".

故答案為58.

8.（2017甘肅張掖）如圖，在aABC中，ZACB=90°,AC=1,AB=2,以點A為圓心、AC的

長為半徑畫弧，交AB邊于點D,則弧CD的長等于，上.（結(jié)果保留口）

0

BC

【考點】MN：弧長的計算：K0：含30度角的直角三角形.

【分析】先根據(jù)ACB=90°,AC=1,AB=2,得到/ABC=30°,進而得出NA=60°,再根據(jù)AC=1,

即可得到弧CD的長.

【解答】解：；NACB=90°,AC=1,AB=2,

；./ABC=30°,

.,.ZA=60°,

又*=1,

弧CD的長為60X7TX17T

jr

故答案為："

3

9.（2017湖南岳陽）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，認為圓內(nèi)接正多邊形

邊數(shù)無限增加時，周長就越接近圓周長，由此求得了圓周率”的近似值，設(shè)半徑為r的圓

內(nèi)接正n邊形的周長為L,圓的直徑為d,如圖所示，當(dāng)n=6時，n、士二里3,那么當(dāng)n=12

d2r

時，3.10.（結(jié)果精確到0.01,參考數(shù)據(jù)：sinl50=cos75°七0.259）

d

【分析】圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成頂角為30°的十二個等腰三角形，作輔助線構(gòu)造

直角三角形，根據(jù)中心角的度數(shù)以及半徑的大小，求得L=6.207r,d=2r,進而得到w士

普50.

【解答】解：如圖，圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成如圖所示的十二個等腰三角形，其頂角

為30°,即/0=30°,ZABO=ZA=75°,

作BC_LA0于點C,則NABC=15°，

VAO=BO=r,

.,.BC=—r,0C=

2

：.\C=(1

?；RtZ\ABC中，cosA=—,

AB

即0.259=(1)r

AB

AB^O.517r,

AL=12X0.517r=6.207r,

又???d=2r,

故答案為：3.10

【點評】本題主要考查了正多邊形和圓以及解直角三角形的運用，把一個圓分成n（n是大

于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做

這個正多邊形的外接圓.

10.（2017湖南岳陽）如圖，。。為等腰AABC的外接圓，直徑AB=12,P為弧前上任意一

點（不與B,C重合），直線CP交AB延長線于點Q,。0在點P處切線PD交BQ于點D,下

列結(jié)論正確的是②③⑷.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①若NPAB=30°,則弧霸的長為n；②若PD〃BC,則AP平分NCAB；

③若PB=BD,則PD=6?；④無論點P在弧前上的位置如何變化，CPCQ為定值.

p

A\.OJBDQ

【分析】①根據(jù)NP0B=60°,0B=6,即可求得弧竊的長；②根據(jù)切線的性質(zhì)以及垂徑定理，

即可得到施康，據(jù)此可得AP平分/CAB；③根據(jù)BP=B0=P0=6,可得aBOP是等邊三角形，

據(jù)此即可得出PD=6?；④判定△ACPS^QCA,即可得到孚=絲，即CPCQ=CA2,據(jù)此可得

CACQ

CPCQ為定值.

【解答】解：如圖，連接0P,

VA0=0P,ZPAB=30°,

???NP0B=60°,

VAB=12,

A0B=6,

弧前的長為迎需冬2n,故①錯誤；

：PD是。0的切線，

AOPIPD,

VPD//BC,

A0P1BC,

??CP=BP，

???ZPAC=ZPAB,

???AP平分NCAB,故②正確；

若PB=BD,則NBPD=NBDP,

V0P1PD,

???NBPD+NBP0=NBDP+NBOP,

AZB0P=ZBP0,

???BP=B0=P0=6,即ABOP是等邊三角形，

???PD=故③正確；

VAC=BC,

\ZBAC=ZABC,

又?.,NABC=NAPC,

???ZAPC=BAC,

又TNACP=NQCA,

/.△ACP^AQCA,

異絲，即CPCQ=CA?（定值），故④正確;

CACQ

故答案為：②③④.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，切線的性質(zhì)以及弧長公式的

綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形，解題時注意：垂直弦的直徑平分這條

弦，并且平分弦所對的弧.

三、解答題

11.

12.

13.(2017甘肅張掖)如圖，AN是OM的直徑，NB〃x軸，AB交。M于點C.

(1)若點A(0,6),N(0,2),ZABN=30°,求點B的坐標(biāo)；

(2)若D為線段NB的中點，求證：直線CD是。M的切線.

【考點】MD：切線的判定；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【分析】(1)在RtaABN中，求出AN、AB即可解決問題;

(2)連接MC,NC.只要證明NMCD=90°即可；

【解答】解：(1)的坐標(biāo)為(0,6),N(0,2),

，AN=4,

,?ZABN=30°,ZANB=90°,

，AB=2AN=8,

由勾股定理可知：2〃32_6共偵，

AB(4>/3.2).

(2)連接MC,NC

：AN是。M的直徑，

.?.ZACN=90",

：.ZNCB=90",

在RtZ\NCB中,D為NB的中點,

;.CD=4B=ND,

2

ZCND=ZNCD,

VMC=MN,

ZMCN=ZMNC,

VZMNC+ZCND=90°,

.?.ZMCN+ZNCD=90°,

即MCXCD.

直線CD是。M的切線.

14.(2017張家界)在等腰aABC中，AC=BC,以BC為直徑的。0分別與AB,AC相交于點D,

E