2024屆湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市數(shù)學高一第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市數(shù)學高一第二學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．己知關于的不等式解集為，則突數(shù)的取值范圍為()A． B．C． D．2．若平面α∥平面β，直線平面α，直線n?平面β，則直線與直線n的位置關系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面3．某小組由名男生、名女生組成，現(xiàn)從中選出名分別擔任正、副組長，則正、副組長均由男生擔任的概率為（）A． B． C． D．4．l：與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．35．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學生參加演講比賽，那么下列互斥但不對立的兩個事件是（）A．“至少1名男生”與“全是女生”B．“至少1名男生”與“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”與“全是男生”D．“恰好有1名男生”與“恰好2名女生”6．將所有的正奇數(shù)按以下規(guī)律分組，第一組：1；第二組：3，5，7；第三組：9，11，13，15，17；…表示n是第i組的第j個數(shù)，例如，，則（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，令，若，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．8．點關于直線對稱的點的坐標是（）A． B． C． D．9．已知點到直線的距離為1，則的值為（）A． B． C． D．10．已知，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則__________．12．函數(shù)f(x)＝coscos的最小正周期為________．13．已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則；14．數(shù)列是等比數(shù)列，，，則的值是________．15．已知圓C:，點M的坐標為(2，4)，過點N(4，0)作直線交圓C于A，B兩點，則的最小值為________16．已知數(shù)列的通項公式為，則該數(shù)列的前1025項的和___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)(1)若關于的不等式的解集為,求的值;(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.18．某廠每年生產(chǎn)某種產(chǎn)品萬件，其成本包含固定成本和浮動成本兩部分.已知每年固定成本為20萬元，浮動成本，.若每萬件該產(chǎn)品銷售價格為40萬元，且每年該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡.（1）設年利潤為（萬元），試求與的關系式；（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠所獲利潤最大？并求出最大利潤.19．四棱錐中，，，底面，，直線與底面所成的角為，、分別是、的中點．（1）求證：直線平面；（2）若，求證：直線平面；（3）求棱錐的體積．20．本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數(shù)列滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時相應數(shù)列的公差.21．已知函數(shù)（）．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當時，解不等式；（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用絕對值的幾何意義求解，即表示數(shù)軸上與和－2的距離之和，其最小值為．【題目詳解】∵，∴由解集為，得，解得．故選C．【題目點撥】本題考查絕對值不等式，考查絕對值的性質，解題時可按絕對值定義去絕對值符號后再求解，也可應用絕對值的幾何意義求解．不等式解集為，可轉化為的最小值不小于1，這是解題關鍵．2、D【解題分析】

由面面平行的定義，可得兩直線無公共點，可得所求結論．【題目詳解】平面α∥平面β，可得兩平面α，β無公共點，即有直線與直線也無公共點，可得它們異面或平行，故選：D．【題目點撥】本題考查空間線線的位置關系，考查面面平行的定義，屬于基礎題．3、B【解題分析】

根據(jù)古典概型的概率計算公式，先求出基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔任包含的基本事件總數(shù)，由此能求出正、副組長均由男生擔任的概率．【題目詳解】某小組由2名男生、2名女生組成，現(xiàn)從中選出2名分別擔任正、副組長，基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔任包含的基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔任的概率為．故選．【題目點撥】本題主要考查古典概型的概率求法。4、D【解題分析】

先求出直線與坐標軸的交點，再求三角形的面積得解.【題目詳解】當x=0時，y=2,當y=0時，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查直線與坐標軸的交點的坐標的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、D【解題分析】

從3名男生和2名女生中任選2名學生的所有結果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．選項A中的兩個事件為對立事件，故不正確；選項B中的兩個事件不是互斥事件，故不正確；選項C中的兩個事件不是互斥事件，故不正確；選項D中的兩個事件為互斥但不對立事件，故正確．選D．6、C【解題分析】

由等差數(shù)列求和公式及進行簡單的合情推理可得：2019為第1010個正奇數(shù)，設2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個奇數(shù)，則2019為第32組的第1010-961=49個數(shù)，得解．【題目詳解】由已知有第n組有2n-1個連續(xù)的奇數(shù)，則前n組共有個連續(xù)的奇數(shù)，又2019為第1010個正奇數(shù)，設2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個奇數(shù)，則2019為第32組的第1010-961=49個數(shù)，即2019=（32，49），故選：C．【題目點撥】本題考查歸納推理，解題的關鍵是根據(jù)等差數(shù)列求和公式分析出規(guī)律，再結合數(shù)列的性質求解，屬于中等題.7、D【解題分析】該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù).當時，，解得；當時，，解得；當時，，無解.綜上，，則實數(shù)a的取值范圍是.故選D.8、A【解題分析】

設點關于直線對稱的點為，根據(jù)斜率關系和中點坐標公式，列出方程組，即可求解.【題目詳解】由題意，設點關于直線對稱的點為，則，解得，即點關于直線對稱的點為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了點關于直線的對稱點的求解，其中解答中熟記點關于直線的對稱點的解法是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.9、D【解題分析】

根據(jù)點到直線的距離公式列式求解參數(shù)即可.【題目詳解】由題,,因為,故.故選：D【題目點撥】本題主要考查了點到線的距離公式求參數(shù)的問題,屬于基礎題.10、A【解題分析】

由，代入運算即可得解.【題目詳解】解：因為，，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查了兩角差的正切公式，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】12、2【解題分析】f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期為T＝＝213、1【解題分析】

若數(shù)列{an}為等差數(shù)列則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差數(shù)列．所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差數(shù)列．因為在等差數(shù)列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=1．故答案為1．14、【解題分析】

由題得計算得解.【題目詳解】由題得,所以.因為等比數(shù)列同號，所以.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質和等比中項的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15、8【解題分析】

先將所求化為M到AB中點的距離的最小值問題，再求得AB中點的軌跡為圓，利用點M到圓心的距離減去半徑求得結果.【題目詳解】設A、B中點為Q，連接QC，則QC，所以Q的軌跡是以NC為直徑的圓，圓心為P（5，0），半徑為1，又，即求點M到P的距離減去半徑，又，所以，故答案為8【題目點撥】本題考查了向量的加法運算，考查了求圓中弦中點軌跡的幾何方法，考查了點點距公式，考查了分析解決問題的能力，屬于中檔題.16、2039【解題分析】

根據(jù)所給分段函數(shù),依次列舉出當時的值,即可求得的值.【題目詳解】當時,,當時,,,共1個2.當時,,,共3個2.當時,,,共7個2.當時,,,共15個2.當時,,,共31個2.當時,,,共63個2.當時,,,共127個2.當時,,,共255個2.當時,,,共511個2.當時,,,共1個2.所以由以上可知故答案為:2039【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)的應用,由所給式子列舉出各個項,即可求和,屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

(1)不等式可化為，而解集為，可利用韋達定理或直接代入即可得到答案；（2）法一：討論和時，分離參數(shù)利用均值不等式即可得到取值范圍；法二：利用二次函數(shù)在上大于等于0恒成立，即可得到取值范圍.【題目詳解】（1）法一：不等式可化為，其解集為，由根與系數(shù)的關系可知，解得，經(jīng)檢驗時滿足題意.法二：由題意知，原不等式所對應的方程的兩個實數(shù)根為和4，將（或4）代入方程計算可得，經(jīng)檢驗時滿足題意.（2）法一：由題意可知恒成立，①若，則恒成立，符合題意。②若，則恒成立，而，當且僅當時取等號，所以，即.故實數(shù)的取值范圍為.法二：二次函數(shù)的對稱軸為.①若，即，函數(shù)在上單調遞增，恒成立，故；②若，即，此時在上單調遞減，在上單調遞增，由得.故；③若，即，此時函數(shù)在上單調遞減，由得，與矛盾，故不存在.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的性質，不等式恒成立中含參問題，意在考查學生的分析能力，計算能力及轉化能力，難度較大.18、（1）；（2）產(chǎn)量（萬件）時，該廠所獲利潤最大為100萬元．【解題分析】

（1）由銷售收入減去成本可得利潤；（2）分段求出的最大值，然后比較可得．【題目詳解】（1）由題意；即；（2）時，，時，，當時，在是遞增，在上遞減，時，綜上，產(chǎn)量（萬件）時，該廠所獲利潤最大為100萬元．【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的應用，根據(jù)所給函數(shù)模型求出函數(shù)解析式，然后由分段函數(shù)性質分段求出最大值，比較后得出函數(shù)最大值．考查學生的應用能力．19、（1）見解析（2）見解析（3）【解題分析】

（1）由中位線定理可得，，再根據(jù)平行公理可得，，即可根據(jù)線面平行的判定定理證出；（2）根據(jù)題意可計算出，而是的中點，可得，又，即可根據(jù)線面垂直的判定定理證出；（3）根據(jù)等積法，即可求出．【題目詳解】（1）證明：連接，，，、是、中點，，從而．又平面，平面，直線平面；（2）證明：，，．底面，直線與底面成角，．．是的中點，．，．面，面，直線平面；（3）由題可知，，．【題目點撥】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理的應用，以及利用等積法求三棱錐的體積，意在考查學生的直觀想象能力，邏輯推理能力和轉化能力，屬于基礎題．20、（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時公差為.【解題分析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項：，由求出，對q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題意得到關于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時a1，a2，…ak的公差．【題目詳解】（1）依題意：，∴；又∴3≤x≤27，綜上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，當q＝1時，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．當1＜q≤3時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而對于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又當1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，當時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴時，不等式恒成立，∴q的取值范圍為：．（3）設a1，a2，…ak的公差為d．由，且a1＝1，得即當n＝1時，d≤2；當n＝2，3，…，k﹣1時，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值為1999，k＝1999時，a1，a2，…ak的公差為．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和的求法；考查不等式組的解法；找好分類討論的起點是解決本題的關鍵，屬于一道難題．21、（1）；（2）.；（3）.【解題分析】試題分析：（1）對二項式系數(shù)進行討論，可得求出解集即可；（2）分為，，分別解出3種情形對應的不等式即可；（3）將問題轉化為對任意的，不等式恒成立，利用分離參數(shù)的思想得恒成立，求出其最大值即可.試題解析：（1）①當即時，，不合題意；②當即時，，即，∴，∴（2）即即①當即時，解集為②當即