空間中的點、直線與空間向量+第2課時 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第一冊

1.2.1

空間中的點、直線與空間向量

第2課時新授課1.理解兩直線所成的角與它們的方向向量的夾角的關(guān)系，會用向量求兩條直線所成的角.2.會用向量證明兩條直線垂直.兩條相交直線所成角的大小，即相交所得到的不大于直角的角的大??；

兩條異面直線a，b所成角的大小，即兩條相交直線a'，b'所成角的大小，其中a'∥a且b'∥b.知識點一：兩直線所成的角與它們的方向向量的夾角的關(guān)系

回顧：空間中兩條直線的位置分為幾種情況？不同情況下兩條直線的夾角大小如何確定？αaba'b'θ規(guī)定：兩條平行直線所成角的大小為0°.當(dāng)空間中兩條直線l，m所成角的大小為90°時，l與m垂直，記作l⊥m.平行（重合），相交，異面.

思考：設(shè)v1，v2分別是空間中直線l1，l2的方向向量，且l1與l2所成角的大小為θ，觀察下圖討論θ與〈v1，v2〉的關(guān)系.θ

=π-〈v1，v2〉.特別的，sinθ=sin〈v1，v2〉，cosθ=|cos〈v1，v2〉|.

θ=〈v1，v2〉v1v2〈v1，v2〉θv1v2〈v1，v2〉θ例1已知a，b是平面α內(nèi)的兩條相交直線，直線n滿足n⊥a，n⊥b.求證：n⊥α.證明：設(shè)m是α內(nèi)的任意一條直線，且n，a，b，m分別為直線n，a，b，m的方向向量，如圖所示.因為a與b相交，所以a，b不共線，又因為a，b，m共面，所以由共面向量定理可知，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使m=xa+yb，從而可知n⊥m，所以n⊥m.因為直線n垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，所以n⊥α.根據(jù)已知有n·a=0，n·b=0因為

n·m=xn·a+yn·b=0，已知A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，1，0)，(-1，0，-1)，(2，1，1)，點的坐標(biāo)是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，求點P的坐標(biāo)．練一練解：根據(jù)題意，可得∵PA⊥平面ABC，∴且，可得，解之得x=-1，y=2，可得P的坐標(biāo)是(-1，0，2)．

例2

如圖，在三棱錐O-ABC中，OA，

OB，OC兩兩垂直，E為OC的中點，且OB=OC=2OA=2，

求直線AE與BC所成角的余弦值的大小.

所以又因為

所以

又因為由OB=OC=2OA=2，可知A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，

求解異面直線夾角方法:(1)定義法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進(jìn)而構(gòu)造三角形求解.歸納總結(jié)

運用向量法常有以下兩種途徑:①基底法

在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中，采用取定基底的方法求解.再由公式

②坐標(biāo)法

根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)各點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求線線角，避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過程變得簡單.

求向量a，b的夾角時，關(guān)鍵是求出a·b及|a|與|b|，一般是把a，b用基向量表示出來，再求有關(guān)的量.知識點二：異面直線與方向向量的關(guān)系設(shè)v1，v2分別是空間中直線，l1，l2的方向向量.(1)如果l1與l2異面，那么v1與v2可能平行嗎？(2)如果v1與v2不平行，那么l1與l2一定異面嗎？l1與l2異面l1與l2相交v1與v2不平行“v1與v2不平行”是“l(fā)1與l2異面”的

條件必要不充分如圖所示，如果A∈l1，B∈l2，

l1與l2異面

充要

例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷滿足下列條件的點M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD.

因此，滿足條件的M，N是存在的.

則從而

由共線向量基本定理可知，t和s是唯一的.所以空間中任意兩條異面直線的公垂線段都存在并且唯一.思考：例3中滿足條件的點M和N是否是唯一的？

一般地，如果l1與l2是空間中兩條異面直線，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l1，則稱MN為l1與l2的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長，稱為這兩條異面直線之間的距離.問題：例3中，異