高中數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)-求解曲線的離心率的值或范圍問題（原卷版）

一．方法綜述離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義橢圓、雙曲線直接求解；②由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于橢圓、雙曲線消去b，構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．解題時要注意橢圓本身所含的一些范圍的應(yīng)用，如橢圓上的點的橫坐標(biāo)等．二．解題策略類型一直接求出或求出與的比值，以求解【例1】【2019年4月28日三輪《每日一題》】已知雙曲線的右焦點為拋物線的焦點，且點到雙曲線的一條漸近線的距離為，若點在該雙曲線上，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．【指點迷津】求雙曲線離心率的值或離心率取值范圍的兩種方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齊次關(guān)系式,將用表示,令兩邊同除以或化為的關(guān)系式,解方程或者不等式求值或取值范圍．【舉一反三】1.【廣西桂林市2019屆高三4月（一?！吭O(shè)拋物線的焦點為，其準(zhǔn)線與雙曲線的兩個交點分別是，若存在拋物線使得是等邊三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2.【四川省廣元市2019屆高三第二次高考適應(yīng)】平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線：的兩條漸近線與拋物線C：交于O，A，B三點，若的垂心為的焦點，則的離心率為A． B． C．2 D．類型二構(gòu)造的齊次式，解出【例2】【江蘇省揚州中學(xué)2019屆高三下學(xué)期3月月考】已知雙曲線(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，直線MN過F2，且與雙曲線右支交于M、N兩點，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，則雙曲線的離心率等于_______．【指點迷津】本題考查雙曲線離心率的求法，解題的關(guān)鍵是把題中的信息用雙曲線的基本量（）來表示，然后根據(jù)余弦定理建立起間的關(guān)系式，再根據(jù)離心率的定義求解即可.對待此類型的方程常見的方法就是方程左右兩邊同除一個參數(shù)的最高次項即可轉(zhuǎn)化成一個一元二次方程，化簡整理的運算能力是解決此題的關(guān)鍵.【舉一反三】已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值是（）A.B.C.2D.3【指點迷津】本題綜合性較強，難度較大，運用基本知識點結(jié)合本題橢圓和雙曲線的定義給出與、的數(shù)量關(guān)系，然后再利用余弦定理求出與的數(shù)量關(guān)系，最后利用基本不等式求得范圍.類型三尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形【例3】【北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三一?！繖E圓：的左、右焦點分別為，，為橢圓上任一點，且的最大值的取值范圍是，其中，則橢圓的離心率的取值范圍是_____.【指點迷津】（1）解決圓錐曲線問題時要注意常見結(jié)論的運用，如橢圓的通徑（過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦）長的結(jié)論.（2）圖象特征的運用，本題根據(jù)題意，從的最大值為，由題意知，由此能夠?qū)С鰴E圓的離心率的取值范圍.【舉一反三】1.【2019年4月27日三輪《每日一題》】．已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，線段與以該雙曲線虛軸為直徑的圓相切于點，且切點為線段的中點，則該雙曲線的離心率為()A． B．5 C． D．32.【貴州省凱里市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬考試《黃金卷三》】已知是橢圓的右焦點，是橢圓短軸的一個端點，若為過的橢圓的弦的三等分點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【指點迷津】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)可把橢圓內(nèi)每條線段的長度用表示，然后利用余弦定理，在兩個三角形里分別表示同一角的余弦，得到關(guān)系，求出離心率.類型四利用圓錐曲線性質(zhì)【例4】已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則，的關(guān)系為（）A.B.C.D.【指點迷津】解決圓錐曲線問題時要注意常見結(jié)論的運用，如橢圓的通徑（過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦）長的結(jié)論、焦點三角形的面積公式等.【舉一反三】已知橢圓E：的短軸的兩個端點分別為A，B，點C為橢圓上異于A，B的一點，直線AC與直線BC的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【指點迷津】研究解幾問題，一是注重幾何性，利用對稱性減少參數(shù)；二是巧記一些結(jié)論，簡約思維、簡化運算，如本題利用關(guān)于原點對稱，為橢圓上三點).類型五利用平面幾何性質(zhì)【例5】【湖南省永州市2019屆高三第三次?！窟^雙曲線左焦點的直線與交于兩點，且，若，則的離心率為（）A． B． C． D．【指點迷津】注意平面幾何知識的運用，對于本題中的雙曲線右焦點為，取中點，連接；根據(jù)已知可知為線段的垂直平分線，得到；結(jié)合雙曲線定義可以求解出，從而得到的長度，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，從而求得離心率.【舉一反三】【湖南省永州市2019屆高三三?！恳阎獮樽鴺?biāo)原點，是橢圓的左焦點，分別為橢圓的左、右頂點和上頂點，為上一點，且軸，過點的直線與直線交于，若直線與線段交于點，且，則橢圓的離心率為_____．【指點迷津】1.對于求離心率的題，重要的是根據(jù)幾何關(guān)系，或代數(shù)關(guān)系建立關(guān)于或的等式，再進(jìn)一步求出離心率.2.常構(gòu)建等式的方法有：（1）利用圓錐曲線定義（2）利用幾何關(guān)系（3）利用點在曲線上.3.本題由題意作出圖形，先由是橢圓的左焦點，得到的坐標(biāo)，求出的長度，根據(jù)，表示出的長度，再由，表示出的長度，列出等式，求解即可得出結(jié)果.類型六利用數(shù)形結(jié)合【例6】【山東省濟寧市2019屆高三一模】已知雙曲線的左、右焦點分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．【指點迷津】本題首先可以通過題意畫出圖形并過點作垂線交于點，然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度，的長度即點縱坐標(biāo)，然后將點縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點坐標(biāo)，最后將點坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果.【舉一反三】【2019屆高三第二次全國大聯(lián)考】已知橢圓的右焦點為，左頂點為，上頂點為，若點在直線上，且軸，為坐標(biāo)原點，且，若離心率，則的取值范圍為A． B． C． D．三．強化訓(xùn)練1.【安徽省宣城市2019屆高三第二次調(diào)研】已知，分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓上位于第二象限內(nèi)的點，延長交橢圓于點，若，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2.【新疆維吾爾自治區(qū)2019年普通高考第二次適應(yīng)】橢圓的左右焦點為，，若在橢圓上存在一點，使得的內(nèi)心I與重心滿足，則橢圓的離心率為（）A． B．C． D．3．【2019年4月28日三輪《每日一題》】已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個交點，點是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，且以為直徑的圓過點，則雙曲線的離心率為()A． B．C． D．4．【內(nèi)蒙古2019屆高三高考一?！恳阎p曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上與不重合的動點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C．4 D．25．【湖南省常德市2019屆高三上學(xué)期檢測】已知雙曲線：的左焦點為，，為曲線的左、右頂點，點在曲線上，且軸，直線與軸交于點，直線與軸交于點，為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．36．【貴州省凱里市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬《黃金卷三》】已知為雙曲線的右頂點，為雙曲線右支上一點，若點關(guān)于雙曲線中心的對稱點滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線：(，)，過點作直線交雙曲線的兩條漸近線于、兩點，若為的中點，且，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．8．【安徽省毛坦廠中學(xué)2019屆高三校區(qū)4月聯(lián)考】已知是雙曲線的左焦點，過點作垂直于軸的直線交該雙曲線的一條漸近線于點，若，記該雙曲線的離心率為，則（）A． B． C． D．9．【寧夏平羅中學(xué)2019屆高三二?！恳阎?，是雙曲線E：的左、右焦點，點M在E上，與x軸垂直，，則雙曲線E的離心率為A． B． C．2 D．310．【湖南省常德市2019屆高三上學(xué)期檢測】已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，實半軸長為半徑的圓與雙曲線的某一條漸近線交于兩點，若（其中為原點），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題11．【黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2019屆高三二模】已知雙曲線，其漸近線與圓相交，且漸近線被圓截得的兩條弦長都為2，則雙曲線的離心率為__________．12．【貴州省2019屆高三高考適應(yīng)】已知點是雙曲線的右焦點，過原點且傾斜角為的直線與的左、右兩支分別交于，兩點，且，則的離心率為__________..13．【江蘇省南通市2019屆高三下學(xué)期4月階段測試】已知橢圓上有一個點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且滿足AF⊥BF，當(dāng)∠ABF＝時，橢圓的離心率為_______.14．【浙江省湖州三校2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試】已知橢圓的兩個頂點，，