南京航空航天大學(xué)-飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)-課后習(xí)題答案

第一章彈性力學(xué)基礎(chǔ)

1-1上端懸掛、下端自由的等厚度薄板，其厚度為1,容重為P。試求在自

重作用下的位移分量表達(dá)式。

解：如圖1-1建立坐標(biāo)系.

利用外沿y方向均勻分布及x方向的力平衡條件>>可得，

%=pQ-x)

q=0

了盯=0

又因?yàn)?=.(巴一)=卜(1_X)

oxEE

蘭=一町)=_借

dyEE

積分得

〃=占(以-8—)+/(y)

v=-^[l-x)y+fAx)

E

又由對稱性%=0=>人(幻=。

dudv?.1

由%°n/(>')=--p^y2

dyox2E

綜上所述有

u~~(lx-—x2)——Lpuy2

E22E-

v=_《(/_x)y

E

1-2寫出圖1-2所示平面問題的應(yīng)力邊界條件。

——/—1*

解：上表面為力邊界，X=0,y=------q,Z=0,m=\o代入

1(J+mr=X

<Xvv

iIn+mo\y,=Y

中得到上表面的邊界條件為

/一x

4=0；b>=一一廠0%,=0

下表面為自由邊，邊界條件為

CTX=0；by=0；=0

側(cè)面為位移邊界。

x

圖1-1

1-3矩形板厚為1。試用應(yīng)力函數(shù)°

x

圖

Sl-3l-3a

A

解：應(yīng)力函數(shù)夕=5町2滿足應(yīng)力函數(shù)表示的變形協(xié)調(diào)方程，可以作為解。在無體力

的情況下，矩形板的應(yīng)力為

d2(p

CTAx

^y2

d2(p

(y0

dx1

dxdy

根據(jù)應(yīng)力邊界條件公式

l(Jx+mq、=X

IT、、.+mcr=Y

?vyv

各邊的應(yīng)力邊界為

—A

X=-Ay=--h

ad邊:/=0,zn=1

Y=0

一A

X=Ay=--h

cb邊:/=0,m=-l

Y=0

X=0

ab邊:I=-l,/n=0

Y=Ay

X=Ax=Al

cd邊:/=1,772=0

Iy=

根據(jù)以上各邊的應(yīng)力邊界條件，可畫出矩形板的面力分布圖如圖l-3a。

1-4如圖1-4設(shè)三角形懸臂梁只受重力作用，梁容重為「。試用完全三次多

項(xiàng)式的應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分量。

解：設(shè)完全三次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)為

(P=Ax'+Bx2y+Cxy2+Dy3(1)

顯然應(yīng)力函數(shù)滿足變形協(xié)調(diào)方程

v>=o

則應(yīng)力分量:

八2

er.=—-Xx=2Cx+6Dy(2)

xdy2

g2

%=常36325”(3)

d2(p

=—2fix—2Cy(4)

dxdy

利用邊界條件來確定應(yīng)力函數(shù)中的系數(shù)

根據(jù)上表面的邊界條件，當(dāng)y=0口寸

。)產(chǎn)0=0,(%)戶0=。

代入(3)、(4)得

A=0；B=0

根據(jù)斜邊的邊界條件，當(dāng)y=x-tana時(shí)，面力X=Y=O,即

/4+，〃%,=X=°(5)

/rvv+mo\=K=0

其中：

/=cos(N,x)=cos(90+a)=-sina

m=cos(N,y)=cosa

代入(5)得

-sina(2Cx+6Dxtana)+cosa(-2Cxtana)=0(6)

cosa(-pxtana)-sina(-2Cxtana)=0(7)

聯(lián)立(6)、(7)得到

C「=-p-ct)anof

2

￡)=——-ctan26Z

3

將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式中，得到應(yīng)力各分量為

2

av-px-ctana-2py-ctana

%.=-py

%=-py?ctana

圖1-5

1-5對圖1-5所示簡支梁，試驗(yàn)證應(yīng)力函數(shù)

（P-Ar'/+坊,5+0c3y++&3+

成立，并求解各系數(shù)和應(yīng)力分量。

解：由夕=Ar3y3+Cr）+出廣+&3+出

可知:

券+*=0n34+5B=0(1)

應(yīng)力分量：

3

crv=——=6Ax3y+20Bxy+6Dxy

'Sy

3

<<7V=--=6Axy+6Cxy+6Ex(*)

dx

%==—9Ax2y2-5fi/-3Cr2-3Dy2-F

dxdy

利用邊界條件來確定待定系數(shù)

上表面

區(qū),3

"=>-hA+3hC+6E^-^-(2)

y/°4/

2422

rA.v=0=--Af^x--Bh-3Cx--Dh-F

“4164

f92

-h2A+3C^0(3)

二4

53

-h4B+-h2D+F^0(4)

1164

下表面

3

b=0=>--h^A-3hC+6E=0(5)

v4

彎矩：

h

(「2

M\v1=O=0=2-A+/?B+2D=0(6)

2x=l

聯(lián)立(1)?(6)可解得

A=%5=_&；C=-A

3加5//?34lh

q/9%

嚕;1

D;瑞挈E=4/z80/

代入（*）式可得各應(yīng)力分量

%=舞（4，-3內(nèi)-町；

1-6圖1-6所示懸臂梁受自重作用，試用應(yīng)力函數(shù)Q=Ax2y+Bx2y3+Q3+Dy5

求解。并將所得應(yīng)力分量與材料力學(xué)的結(jié)果進(jìn)行比較。

解：應(yīng)力函數(shù)必須滿足變形協(xié)調(diào)條件，滿足

vV=o

44A

d(ptd(p,d(p

Wdx2dy2dy4

將應(yīng)力函數(shù)代入上式，得

3+50=0(1)

應(yīng)力分量

o2

%=芳=6BPy+6Cy+20Dy3

b=-^--Yy=2Ay+2By3-py

)dx2

o2

T=---------=-2Ax-6Bxy2

孫dxdy7

利用邊界條件確定待定系數(shù)

當(dāng)y=±g時(shí)，

（?）」=o

產(chǎn)±5

（%）+八=°

得到

2A+-BA2=0(2)

2

A+-Bh2(3)

42

聯(lián)立方程（1）、（2）、（3）可解得

4=28=4D=-號

4h25h2

在待定系數(shù)中，C還沒有求出?，F(xiàn)根據(jù)x=0截面上的條件來求C值；因?yàn)?/p>

（crt）x=0*0,應(yīng)用圣維南原理得

丸（。）句力=。

因?yàn)楸环e函數(shù)是y的奇次函數(shù)，積分必恒等于零，此積分等式一定成立。

此外，尚需滿足

J](b)=oWy=。

R(60+20分3)的=0

203"也，5\=0

將各個(gè)系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得

20/

3h2

%=|小

材料力學(xué)的解答：

設(shè)載荷4=0〃，故在某一截面上的彎矩為

剪力為

Q=phx

由此得

M

*-7y

<7=0（假設(shè)纖維間不存在擠壓）

1Z"

/2

此y

-I一-z

2K43r

%---

A32-

k

12

現(xiàn)將彈性力學(xué)的解答化為下列形式以便于材料力學(xué)解答進(jìn)行比較:

巴.=”丹即/1_=口（與材料力學(xué)解不同）

J53）

%=—號11—?卜與材料力學(xué)解不同）

7=經(jīng)（與材料力學(xué)解一致）

“Jh

■y

y

A1

1-7如圖『8,已知平面圓環(huán)的應(yīng)力為%=0,4=0,試檢查這組

2萬r

應(yīng)力存在的可能性。并闡明其邊界條件。（體力不計(jì)）

解：方法（一）

因?yàn)閎,.=O,b0=0,酊0=/■-y,由々=三孑=0積分得：

設(shè)。=/的）r+力（。）

由"二?1濟(jì)。=/（。）?4（。）?f；（。）

=0

''rdrr~602rrr-

"（e）+/'（e）=o

7'（e）=o

A

于是可得f（，）=（asin6+bcos。）；f網(wǎng)=——。+c

x2〃

A

即9=（osin。+Z2cos-----8+c；（a,〃,c為任意常數(shù)）

2〃

將O代入變形協(xié)調(diào)方程檢驗(yàn)可知9滿足變形協(xié)調(diào)條件。

A1

因此為b,.=0,々=0,%=---^可以存在。

2萬r

A1

邊界條件為：廠=。時(shí)，cr=O,cr=0,T=------

ror02"a7

A1

r=Z?時(shí)，cr,=0,cr0=0,7〃=至5

1-7題方法（二）

A1

將2=0,々=0,7〃=fS?代入平衡方程

0+0+0=0

成立；

由物理方程可得，將

一1,_1,、_C”_2（1+〃）一4（1-"）1

%―￡-ua0）—O,s0——（a0-uar）—0,y——Tr（/——5

EEETIEr

代入變形協(xié)調(diào)方程

@23、1a213、1a1a2,

（數(shù)+7/）為+（z3薩一7石）*=（z廣而+：嬴