河南省焦作市重點中學2022-2023學年高一下學期4月月考數(shù)學試題（含答案）

—2023學年河南省焦作市重點中學高一下學期4月月考數(shù)學時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1、若，則（）A.1 B. C. D.2、已知復數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B. C.2 D.3、已知一個圓錐的母線長為2，其側面積為，則該圓錐的高為（）A.1 B. C. D.24、如圖，設，兩點在河的兩岸，在點所在的河岸邊選定一點，測出的距離為，，后，就可以計算出，兩點的距離為（）（其中，，精確到0.1）A. B. C. D.5、設非零向量，，，滿足，，則向量，的夾角等于（）A.150° B.120° C.60° D.30°6、已知向量與的夾角為120°，，，則A. B.2 C. D.47、下列命題不正確的是（）A.正方體一定是正四棱柱B.底面是正多邊形的棱柱是正棱柱C.有相鄰兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱D.平行六面體的六個面均為平行四邊形8、下列四個命題中，正確的個數(shù)是（）①；②“”等價于“存在實數(shù)，使得”；③A.0個 B.1個 C.2個 D.3個二、多選題（每小題5分，共4小題20分）9、有關平面向量的說法，下列錯誤的是（）A.若，，則B.若與共線且模長相等，則C.若且與方向相同，則D.恒成立10、已知，，是三個不同的點，，，，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.，，三點共線11、已知中，其內(nèi)角，，的對邊分別為，，下列命題正確的有（）A.若，則B.若，，則外接圓半徑為10C.若，則為等腰三角形D.若，，，則12、在中，，，.若滿足條件的有且只有一個，則的可能取值是（）A. B. C.1 D.三、填空題（每小題5分，共4小題20分）13、臺風中心從地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市在的正東40千米處，則城市處于危險區(qū)的時間為______小時.14、設函數(shù)，的值域是，則實數(shù)的取值范圍為______.15、已知向量，，則的最大值為______.16、化簡：______.四、解答題（第17題10分，第18題12分，第19題12分，第20題12分，第21題12分，第22題12分，共6小題70分）17、計算：（1）；（2）.18、已知函數(shù)（）.（1）若，用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖象.（2）若為偶函數(shù)，求.（3）在（2）的前提下，將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞減區(qū)間.19、在①，且，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答該問題.問題：銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且______.（1）求；（2）求的最大值.20、已知向量，滿足，，.（1）求在上的投影的數(shù)量：（2）求與夾角的余弦值.21、設，為兩個不共線的向量，若，.（1）若與共線，求實數(shù)的值；（2）若，為互相垂直的單位向量，且，求實數(shù)的值.22、如圖所示，某公路一側有一塊空地，其中，，，當?shù)卣當M在中間開挖一個人工湖，其中，都在邊上（，不與，重合，在，之間），且.（1）若在距離點處，求點，之間的距離；（2）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，試確定的位置，使的面積最小，并求出最小面積.答案解析第1題答案C第1題解析利用共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的運算法則求解.因為，則，所以，則.故選C.第2題答案B第2題解析由可知，則復數(shù)在復平面對應的點的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓.又的幾何意義為點與點的距離，又，則.故選：B.第3題答案C第3題解析設圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.第4題答案C第4題解析由題意可知，由正弦定理可知，即，解得，故選：C.第5題答案B第5題解析由已知得，則，所以.，即第6題答案B第6題解析因為，所以，，，，故選B.第7題答案B第7題解析對于A，上、下底面都是正方形，且側棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱，故A正確；對于B，底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形但側棱與底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故B錯誤；對于C，有兩個相鄰的側面是矩形，說明公共側棱與底面兩條相交直線垂直，則側棱與底面垂直，而側棱與底面垂直的棱柱為直棱柱，所以有相鄰兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正確；對于D，底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，而棱柱的各個側面都是平行四邊形，故D正確.故選：B.第8題答案A第8題解析對于①，等式左邊，等式右邊，故①不正確；對于②，“（）”等價于“存在實數(shù)，使得（），故②不正確；對于③，，故③不正確；故選：A.第9題答案A，B，C第9題解析對于A選項，取，因為，，則、不一定共線，A錯；對于B選項，若與共線且模長相等，則或，B錯；對于C選項，任何兩個向量不能比大小，C錯；對于D選項，恒成立，D對.故選：ABC.第10題答案A，B，D第10題解析由題可得，，，∴，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；由可得，為公共點故，，三點共線，故D正確.故選：ABD.第11題答案A，C，D第11題解析因為，所以，由正弦定理，可得，即，A正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因為，所以，即，整理可得，即，因為，為三角形的內(nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；因為，，，所以，D正確.故選：ACD.第12題答案B，D第12題解析由題意知：；由余弦定理得：，即，則；當，即時，，滿足題意；當，即時，方程兩根需一正一負或一根為零、一根為正，∴，解得：.綜上所述：的可能取值為或.故選：BD.第13題答案1第13題解析設地東北方向上存在點到的距離為30干米，，在中，，故，化簡得，設方程的兩根為，，則，，所以，即圖中千米，所以城市處于危險區(qū)的時間為小時，故答案為：1.第14題答案第14題解析因為，所以，又，所以，所以，故答案為：.第15題答案3第15題解析根據(jù)題意，由于向量，，則可知，那么可知當取得最大值時，即可知當時，滿足題意，最大值為3.第16題答案第16題解析原式故答案為：第17題答案（1）；（2）.第17題解析（1）.（2）方法一：.方法二：.第18題答案（1）見解析；（2）；（3）.第18題解析（1）當時，.列表：012001函數(shù)在區(qū)間上的圖象是：（2）.∵為偶函數(shù)，則軸是圖像的對稱軸，所以，則（）即（），又∵，故.（用偶函數(shù)的定義解也給分）（3）由（2）知，將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，∴.當（），即（）時，的單調(diào)遞減，因此在的單調(diào)遞減區(qū)間.第19題答案見解析；（1）若選①∵，∴，∴，∵，∴.若選②∵，，∵，∴，∴，∵，∴.若選③，由正弦定理得，∵，∴，即，∴，又∵，∴.（2）在三角形中，由正弦定理：，∴，∴，由余弦定理：，∴，又∵，∴，當?shù)忍柍闪ⅰ?故最大值為.第20題答案見解析（1）∴，∴，設和的夾角為，在上的投影的數(shù)量為：；（2）設與夾角為，第21題答案見解析；（1）若與共線，則存在實數(shù)，使得，即，則且，解得；（2）由題可知，，，若，則，變形可得：，即.第22題答案見解析（1）在中，因為，，，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，