節(jié)函數(shù)連續(xù)性教學講稿

函數(shù)的連續(xù)【教學目的】使學生掌握函數(shù)連續(xù)性的概念和連續(xù)函數(shù)的概【教學要函數(shù)的連續(xù)【教學目的】使學生掌握函數(shù)連續(xù)性的概念和連續(xù)函數(shù)的概【教學要求1.一點連續(xù)的各種等價2.數(shù)在一點間斷以及函數(shù)間斷點的概念，從反面加深對函數(shù)在一點連續(xù)這一概的理解，并能熟練準確地識別不同類型的間斷點3.清楚區(qū)分“連續(xù)函數(shù)”與“函數(shù)連續(xù)”所表述的不同內(nèi)涵【教學重點】函數(shù)連續(xù)性概念【教學難點】函數(shù)連續(xù)性概念【教學時數(shù)】2（4）學時極限思想所反映出的函數(shù)的第一個動態(tài)性質(zhì)就是函數(shù)的連續(xù)性，這里續(xù)性實際上也是實際問題中的常態(tài)，因此，連續(xù)性是實際研究中不可回避的題1刻畫性定義（定義f(x在點x0的某鄰域U(x0內(nèi)有定義，若limf(xf(x0)【limf(x存在x（即xU(x0,)時，f(x)f(x0，則f(xx0連續(xù)，此時x0也稱f(x)的連續(xù)點-1下面關(guān)于連續(xù)的各種描述是由極限的結(jié)果延伸出來的【討論中很有用】下面關(guān)于連續(xù)的各種描述是由極限的結(jié)果延伸出來的【討論中很有用】改變量定義記xxx0—稱為x在點x0處的增量（或改變量yf(x0f(xf(x0f(x0xf(x0—稱改變量f(x在點x0處的（單側(cè)定義Heine定義。Cauchy定義，-2f(x)在點x0的某鄰域U(x0f(x在點x0連續(xù)對任意0，存在0，當xxU(x0,(x0x0f(xf(x)f(x)在點x0的某鄰域U(x0f(x在點x0連續(xù)對任意給定的數(shù)列xnlimxnx0，總有l(wèi)imf(xnf 【此關(guān)系由極限的歸結(jié)原則立即可以推出。右連續(xù)f(x在點x的某右鄰域Ux[xx limf(xf(x0，則f(x在點x0右連續(xù)0左連續(xù)f(x在點x的某左鄰域U(xxx limf(xf(x0，則f(x在點x0左連續(xù)0連續(xù)與單側(cè)連續(xù)的關(guān)系f(xx0連續(xù)f(xx0既右連續(xù)也左連續(xù)【此關(guān)系由極限與單側(cè)極限的關(guān)系立即可以推出。f(x在點x0連續(xù)limylimf(x0xf(x0)0 2.連續(xù)性舉例1（1）設(shè)x0R據(jù)理說明sinx，cosx，ax都在點x0連續(xù)理由 limsinx2.連續(xù)性舉例1（1）設(shè)x0R據(jù)理說明sinx，cosx，ax都在點x0連續(xù)理由 limsinxsinx0limcosxcosx0limax0，表明sinxcosxax在R的每一點都連續(xù)?！縳sin1,x（2f(x則f(x)在x0連續(xù)理由 xx【limf(xlimxsin10f(0)。xsinx1xx（3）設(shè)f(xx，f(x)(1x)xf(xg(x在x0x理由 ?！纠碛赏?）2證明函f(xxD(x在x0連續(xù)，其中D(x是狄利克雷函f(0)01，limx0，所limf(xlimxD(x0f(0)xx二、間斷點及其分1.函數(shù)在一點連續(xù)的條件——連續(xù)的三要由函數(shù)在一點連續(xù)的定義知，函數(shù)f(x)在點x0滿足的條實際上上述等式蘊含了三個要-3（1）f(x)在x0有定義（即f(x0存在。limf(x)f思考：例2中的函數(shù)在x0【答案：由D(x的極限特點f(xxD(x在任何點x0都不連續(xù)似作出僅在兩點ab（ab）連續(xù)，在其它點都不連續(xù)的函數(shù)?！俊敬岁P(guān)系由極限的 準則立即可以推出。。這三個要求習慣上稱為函數(shù)連續(xù)的三要素limf(x)要存在是核心要求如果上述三個要求至少有一個不滿足，f(x)在點x0不連2.函。這三個要求習慣上稱為函數(shù)連續(xù)的三要素limf(x)要存在是核心要求如果上述三個要求至少有一個不滿足，f(x)在點x0不連2.函數(shù)的間若函數(shù)(x)在點x0不連續(xù)x0的間斷點（或不連續(xù)點）ff3.間斷點的先分析影響間斷點的【由連續(xù)的三要素知，影響f(x)在x0連續(xù)的核心要素x0f(x)的間斷點的“核心”情況limf(x有兩種情形一limf(x存在，但f(x0二limf(x不存在進一步，由極限與單側(cè)極限的關(guān)系，對limf(x)不存在，又有兩種一limf(x和limf(x至少有一個不存00二limf(x和limf(x都存在，但兩者不相等00實際上可見下面，根據(jù)limf(x和limf(x的情況，對間斷點進行分類00間斷點的分類定義-4設(shè)x0f(x的間斷（1）若limf(x和limf(x存在，且兩者相等，即limf(x 影響間斷點的因素，完全取決于兩個單側(cè)limf(x)limf(x)的情況 limf(x存也取決于limf(x和limf(x都存在，且兩者相等 limflimf（2）limf(x要存在；（3）limf(xf xf(x)的可去間斷點，作函f(x)xf(x)的可去間斷點，作函f(x)注：若x，則f(x在連limf(x),x00續(xù)，f(xf(xx0的連續(xù)延拓sin3xxxf(x)sinx例 ，使得它在x0連續(xù)。。f(x) -5練習：寫出下列函數(shù)的間斷點，并指出類型（1）sinx【x0x（2）x【xkk01,2,，第一，跳躍】（3）1x0，第二，無窮】；（4）sin1【x0 進一步練習（5）黎曼函數(shù)R(x)【(0,1)中的有理點，第一，可去】；狄利克雷函數(shù)D(x)【R中的每一點，第二】。，則稱x0為f(x)的可去間斷點；【此時補充f(x0 limf(x)，則f(x)在x0連續(xù)?！咳鬺imf(x)和limf(x)存在， ，則稱x0為f(x)的跳 間斷點，此時區(qū)間limf(x),limf(x或limf(x),limf(xf(x在x的跳 區(qū)間若limf(x和limf(x至少有一個不存在，則稱x0f(x的第二類間 點為f(x)的第一類間斷點。在第二類間斷點中，若limf(x（）或limf(x（） 成立，則x0也f(x)的無窮間斷點limf(x)limf limf(x)f(x0三、區(qū)間上的連續(xù)函由定義知，常函數(shù)c，冪函數(shù)xn三、區(qū)間上的連續(xù)函由定義知，常函數(shù)c，冪函數(shù)xn（n為正整數(shù)），sinxcosx，指數(shù)ax（a0a1），ex都是R上的連續(xù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)logx（a0a1），lnxa是(0,上的連續(xù)函數(shù)；1x2是[1,1]上的連續(xù)5討論下列函數(shù)在[2,2]上的連續(xù)性（1）f(x)x(x2其中x0和x1是第一類的x1（2）f(x)x【解答要點：不連續(xù)，有一個不連續(xù)點x0，是第二類的，且是無窮間點。-6按段連續(xù)（分段連續(xù)稱f(x)在[ab]上按段連續(xù)（或分段連續(xù)）。x(x在此定義中，當I為閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間時，對這些區(qū)間的f(x)這些端點連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù)I[ab，左端點aIf(x在a連續(xù)是f(x)在點a右連續(xù)。區(qū)間上連續(xù)的定義f(x定義在區(qū)間I上f(x在I上的每一點都連續(xù)，則f(x在區(qū)間I上連續(xù)，此時也稱f(x)為I上的連續(xù)函數(shù)If(x)的連續(xù)區(qū)間。f(x在I上不連續(xù)f(x在I上至少有一個不連續(xù)點中的（1）在[12上按段連續(xù)，x和xx在[3根據(jù)定義不難知道，例2上按段連續(xù)?！舅伎家幌聻槭裁?？舉出定義在[0,1]上且僅在點x11間中的（1）在[12上按段連續(xù)，x和xx在[3根據(jù)定義不難知道，例2上按段連續(xù)。【思考一下為什么？舉出定義在[0,1]上且僅在點x11間斷的函數(shù)的例子，如果要,23函數(shù)為上的按段連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)又如何作1【解答要點：顯滿足要求f(x)x1x1x1 2 3 4要使函數(shù)按段連續(xù)x1x1x1 2 3 4（特點：間斷點均為可去間斷點）f(x)x1x1x1 2 3 4f(x)sgnx1x1x1（特點：間斷點均為跳躍間斷點）即2 34；-7探索與思考在I內(nèi)的間斷點（不是I的端點）的類型有何【解答要點（1）不一定連續(xù)，例如：f(x)1,x0是單調(diào)遞增的，但它在x0不連0,x【觀察：x0f(x)1,x0的跳躍間斷點0,x結(jié)果也是真的嗎？（2）設(shè)x0If(x的間斷點，由函數(shù)的單調(diào)有界定理limf(x和limf 都存在，即x0f(x的第