中考數(shù)學(xué)平行四邊形(講義及答案)及解析

中考數(shù)學(xué)平行四邊形（講義及答案）及解析

一、選擇題

1.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為定值，E是邊CZ）上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C,D重合），AE

交對(duì)角線于點(diǎn)F,FGLAE交BC于點(diǎn)、G,6"1_8。于點(diǎn)次連結(jié)AG交50于點(diǎn)

N.現(xiàn)給出下列命題：①Af=bG；②DF=DE；③FH的長(zhǎng)度為定值；

④GE=BG+DE：（§）BN2+DF2=NF2.真命題有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

2.如圖，在平行四邊形A8CO中，NBC￡>=30°,BC=6,CD=6G,E是邊上的

中點(diǎn)，尸是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AAEF沿EF所在直線翻折得到AA'EE,連接AC,則

A.3719B.3舊C.3>/19-3D.673

3.將兀個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)4、及、…、4”分別是正方形

對(duì)角線的交點(diǎn)，則2019個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）

2019

C.—cm2

4

4.如圖，菱形ABCD的邊，AB=8,N8=60,P是AB上一點(diǎn)，BP=3,。是CO

邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQO沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'.當(dāng)C4'的長(zhǎng)度最小時(shí),

C'Q的長(zhǎng)為（）

DO

P-B

A.5

5.如圖所示，在RfAABC中，NABC=90°，ABAC=30°?分別以直角邊A3、斜邊

AC為邊，向外作等邊AA8。和等邊A4CE,尸為AC的中點(diǎn)，DE與AC交于點(diǎn)0,

。產(chǎn)與A8交于點(diǎn)G.給出如下結(jié)論：①四邊形AOFE為菱形；②AB；

（§）AO=-AE；@CE=4FG；其中正確的是（）

C

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.如圖所示，在周長(zhǎng)是10cm的ABC￡>中，ABAD,AC>3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E

在AO邊上，且OEL3D,是AABE的周長(zhǎng)是（）

B

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，ND為銳角，Nfi4Z）的平分線AE交CO于點(diǎn)

F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且=若A8=25,A8CO面積為300,則AR

的長(zhǎng)度為（）

8.如圖，點(diǎn)A,8,E在同一條直線上，正方形ABC。、正方形BEFC的邊長(zhǎng)分別為

2、3,H為線段。尸的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A后RV26

22

nV29

22

9.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點(diǎn),且80=‘CO.點(diǎn)

2

E,F分別在邊AB,AC上，且/皮甲=90°,M為邊E尸的中點(diǎn)，連接CM交。產(chǎn)

于點(diǎn)N.若DFHAB,則CM的長(zhǎng)為()

BDc

A.—\/3B.—>/3C.—>/3D.V3

346

10.如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，BE=4,EC=8,將正方形邊AB延AE折

疊刀AF,延長(zhǎng)EF交DC于G,連接AG,現(xiàn)在有如下結(jié)論：①NEAG=45°；②GC=CF；

③FC〃AG；@SAGFC=14.4；其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起,若重合部分構(gòu)成的四邊形A5CO中,

=3,AC=2,則8￡)的長(zhǎng)為

12.如圖，在矩形ABCD中，NBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,點(diǎn)G

是EF的中點(diǎn)，連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論：①BC=DF；②N￡)GR=135°;

325

(§)BG±DG；?AB——AD,則SBDG=—SFDG,正確的有__________________.

44

13.如圖，菱形A8CO的邊長(zhǎng)是4,NABC=60°,點(diǎn)E,尸分別是AB,8c邊上的

動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B>C重合)，且BE=BF,若EG//BC,FGHAB,EG與FG相

交于點(diǎn)G,當(dāng)AOG為等腰三角形時(shí)，3E的長(zhǎng)為.

14.菱形A8CD的周長(zhǎng)為24,ZABC=60°,以AB為腰在菱形外作底角為45。的等腰AABE,

連結(jié)AC,CE,則4ACE的面積為.

15.如圖，nABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD

的最小值等于.

DP

AB

16.已知I：一組鄰邊分別為6c6和10cm的平行四邊形A5CO,NOA8和NABC的平分

線分別交CO所在直線于點(diǎn)E，F(xiàn),則線段EE的長(zhǎng)為cm.

17.如圖，矩形A8CO中，CE=CB=BE,延長(zhǎng)BE交A。于點(diǎn)延長(zhǎng)CE交A。

于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EN工BE,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,FE=2,AN=3,貝U

BC=_________

18.如圖，長(zhǎng)方形ABC。中，A。=26,AB=12,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AO邊

上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)VBPQ是以QP為腰的等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為,

19.如圖，點(diǎn)E、F分別在平行四邊形A8C。邊8c和4。上（E、F都不與兩端點(diǎn)重合），

A/7

連結(jié)AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于點(diǎn)G,DE和CF交于點(diǎn)令'—=〃，

BC

EC

——=m.若機(jī)=〃，則圖中有.個(gè)平行四邊形（不添加別的輔助線）；若

BC

m+n=l,且四邊形ABC。的面積為28,則四邊形FGEH的面積為.

20.如圖，在四邊形ABC。中，4。//30。=5,8。=18出是8。的中點(diǎn).點(diǎn)尸以每秒

1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng);點(diǎn)。同時(shí)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

從點(diǎn)。出發(fā)，沿CB向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

r秒時(shí)，以點(diǎn)P,Q,E,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，貝V的值等于.

三、解答題

21.如圖1,在矩形紙片A8CD中，A8=3cm,AD=5cm,折疊紙片使8點(diǎn)落在邊AD上的

E處，折痕為PQ,過點(diǎn)E作EF〃A8交PQ于F,連接BF.

(1)(2)

(1)求證：四邊形BFEP為菱形；

(2)當(dāng)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨著移動(dòng).

①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，(如圖2),求菱形BFEP的邊長(zhǎng)；

②如果限定P、Q分別在線段B48c上移動(dòng)，直接寫出菱形8FEP面積的變化范圍.

22.共頂點(diǎn)的正方形ABCD與正方形AEFG中，AB=13,AE=S0.

(1)如圖1,求證：DG=BE；

(2)如圖2,連結(jié)8F,以BF、BC為一組鄰邊作平行四邊形8C”

①連結(jié)B”，BG,求力；的值；

BG

②當(dāng)四邊形8CHF為菱形時(shí)，直接寫出的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

23.已知四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),得到

線段CE,聯(lián)結(jié)BE、CE、DE.過點(diǎn)B作BF_LDE交線段DE的延長(zhǎng)線于F.

(1)如圖，當(dāng)BE=CE時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a的大小發(fā)生變化時(shí)，NBEE的度數(shù)是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)用含a的

代數(shù)式表示；如果不變，請(qǐng)求出NBEF的度數(shù)；

24.已知：如下圖，ABC和BCD中，ABAC=ZBDC=90°E為BC的中點(diǎn)，連

接￡>E、AE.若。CAE,在DC上取一點(diǎn)E,使得DF=DE,連接交AO于。.

（1）求證：EFIDA.

（2）若BC=4,AD=2g，求EF的長(zhǎng).

25.如圖，在四邊形0A8C是邊長(zhǎng)為4的正方形點(diǎn)P為0A邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)。、A不

重合），連接CP,過點(diǎn)「作加_1。尸，且過點(diǎn)M作MN〃A。，交B0

于點(diǎn)M聯(lián)結(jié)BM、CN,設(shè)OP=x.

（1）當(dāng)x=l時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（,）

（2）設(shè)S四邊形6岫=>，求出）'與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的自變量的取值范圍.

（3）在X軸正半軸上存在點(diǎn)Q,使得QMN是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出不少于4個(gè)符合

條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)（用x的式子表示）

26.（問題情境）

在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)P為BC所在直線上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDJ_AB,PE1AC,垂足

分別為D、E,過點(diǎn)C作CF_LAB,垂足為F.當(dāng)P在BC邊上時(shí)（如圖1）,求證：

PD+PE=CF.

圖①圖②圖③

證明思路是：如圖2,連接AP,由AABP與AACP面積之和等于AABC的面積可以證得：

PD+PE=CF.（不要證明）

（變式探究）

當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并

說明理由.

請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：

（結(jié)論運(yùn)用）

如圖4,將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，點(diǎn)P為折痕EF

上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PGLBE、PH1BC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

（遷移拓展）

4

在直角坐標(biāo)系中.直線/1：y=-]X+4與直線6y=2x+4相交于點(diǎn)A,直線/1、/2與X軸分別

交于點(diǎn)B、點(diǎn)C.點(diǎn)P是直線12上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線/!的距離為1.求點(diǎn)P的坐標(biāo).

27.如圖，ABC。中，AABC=60°,連結(jié)8。，E是BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)4E交5。

于點(diǎn)F.

(1)如圖1,連結(jié)AC,若A8=AE=6,8C:CE=5:2,求△ACE的面積；

(2)如圖2,延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G,連結(jié)AG、DG,點(diǎn)、H在BD上,且5尸=。”，

AF=AH,過4作AMJ.DG于點(diǎn)M.若NABG+NADG=180。，求證：

BG+GD=6AG.

28.如圖，在矩形A8CD中，AD=nAB,E,F分別在AB,BC±.

(1)若n=l,AFJ.DE.

①如圖1,求證：AE=BF；

②如圖2,點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線交AG于H,若AH=AD,求證：AE+BG

=AG；

CF

(2)如圖3,若E為AB的中點(diǎn)，ZADE=ZEDF.則——的值是(結(jié)果用

含"的式子表示).

29.如圖，在平行四邊形ABC。中，NBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交。C的延長(zhǎng)線于

F,以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECbG。

(1)證明平行四邊形ECFG是菱形；

(2)若NABC=I20°，連結(jié)3G、CG、DG,①求證：DGCmBGE；②求NBDG

的度數(shù)；

30.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AEVAD),連接DE、BF,P是

DE的中點(diǎn)，連接AP.將AAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

(1)如圖①，當(dāng)AAEF的頂點(diǎn)E、F恰好分別落在邊AB、AD時(shí)，則線段AP與線段BF的位

置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為一.

(2)當(dāng)AAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置時(shí)，證明：第(1)問中的結(jié)論仍然成

立.

(3)若AB=3,AE=1,則線段AP的取值范圍為.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.c

解析：c

【分析】

根據(jù)題意，連接CF,由正方形的性質(zhì)，可以得到AABF絲Z\CBF,則AF=CF,ZBAF=ZBCF,

由NBAF=NFGC=NBCF,得到AF=CF=FG,故①正確；連接AC,與BD相交于點(diǎn)0,由正方

形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)，證明AA0F四△FHG,即可得到EH=A0,則③正確；把

△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ZkABM,則證明△MAGgz^EAG,得到MG=EG,即可得到

EG=DE+BG,故④正確：②無法證明成立，即可得到答案.

【詳解】

解：連接CF,

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABF=ZCBF=45°,

在AABF和ACBF中，

AB=BC

<ZABF=^CBF=45°,

BF=BF

.".△ABF^ACBF(SAS),

；.AF=CF,ZBAF=ZBCF,

VFG±AE,

.?.在四邊形ABGF中，ZBAF+ZBGF=360°-90°-90°=180<,,

XVZBGF+ZCGF=180°,

AZBAF=ZCGF,

AZCGF=ZBCF

，CF=FG,

，AF=FG；①正確；

連接AC交BD于O.

:四邊形ABCD是正方形，HG1BD,

.\ZAOF=ZFHG=90°,

VZOAF+ZAFO=90°,ZGFH+ZAFO=90°,

.\ZOAF=ZGFH,

VFA=FG,

.,.△AOF^AFHG,

?，.FH=OA二定值,③正確；

如圖，把AADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得到ZkABM,

AAM=AE,BM=DE,ZBAM=ZDAE,

VAF=FG,AF±FG,

???△AFG是等腰直角三角形，

AZFAG=45",

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

AZMAG=ZFAG,

在ZkAMG和z\AEG中，

AM=AE

<ZE4G=ZMAG=45°,

AG=AG

/.△AMG^AAEG,

.\MG=EG,

VMG=MB+BG=DE+BG,

/.GE=DE+BG,故④正確；

如圖,AADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)’90。,得到AABM,記F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,連接BP、PN,

則有BP=DF,ZABP=ZADB=45°,

VZABD=45°,

AZPBN=90",

.".BP2+BN2=PN2,

由上可知AAFG是等腰直角三角形，NFAG=45。，

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

.".ZMAG=ZFAG,

在AANP和AANF中，

AP=AF

<NEAG=NMAG=45°,

AN=AN

/.△ANP^AANF,

；.PN=NF,

.\BP2+BN2=NF2,

即DF2+BN2=NF2,

故⑤正確；

根據(jù)題意，無法證明②正確，

...真命題有四個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造

出等腰三角形和全等三角形.

2.C

解析：C

【分析】

如圖，先作輔助線，首先根據(jù)垂直條件，求出線段ME、DE長(zhǎng)度，然后運(yùn)用勾股定理求出

DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)翻折的性質(zhì)，當(dāng)折線￡4',AC與線段CE重合時(shí)，線段4。長(zhǎng)度最

短，可以求出最小值.

【詳解】

D

如圖，連接EC,過點(diǎn)E作EM1CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

四邊形ABCD是平行四邊形，

ADBC,AD=BC=6,

E為AD的中點(diǎn)，ZBC￡>=30°,

二DE=￡A=3,NMDE=NBCD=30。,

又EMLCD,

：.ME=-DE=-,DM=—,

222

個(gè)A/of么03A/315G

/.CM=CD+DM—6。3H-----=------.

22

根據(jù)勾股定理得：

CE=+CM2==3曬.

根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得E4'=E4=3,

當(dāng)折線￡4'，AC與線段CE重合時(shí)，線段AC長(zhǎng)度最短，此時(shí)4'C=3炳一3.

【點(diǎn)睛】

本題是平行四邊形翻折問題，主要考查直角三角形勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

1

根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的才，已知兩個(gè)正方形可得到一個(gè)陰影部

分，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分即為n-1陰影部分的和.由此即可解答.

【詳解】

11

由題意可得一個(gè)陰影部分面積等于正方形面積的牙，即一個(gè)陰影部分的面積為六機(jī)2

1

如圖，5個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為斤X4cm2,

1

，n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為x（n-1）cm92,

34r

11009

???2019個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為彳X(2019-1)=——cm2.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到n個(gè)這樣的正方形重疊部分(陰影部

分)的面積和的計(jì)算方法，難點(diǎn)是求得一個(gè)陰影部分的面積.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

作C”_LA3于〃，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷A4BC為等邊三角形，則

CH=2AB=46AH=B"=4,再利用CP=7勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)折疊的

2

性質(zhì)得點(diǎn)A'在以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的弧上，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點(diǎn)A'在

PC上時(shí)，CA'的值最小，然后證明即可.

【詳解】

解：作C”_LA3于〃，如圖，

菱形A6Q9的邊AB=8,Z5=60，

...A4BC為等邊三角形，

：.CH=—AB=4y/3>AH=BH=4,

2

PB=3,

HP=1,

在放中，CP=J(4后+『=7,

梯形APQO沿直線PQ折疊，4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',

..?點(diǎn)A'在以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的弧上，

..?當(dāng)點(diǎn)A'在PC上時(shí)，C4'的值最小，

:.ZAPQ=ZCPQ,

而CD//AB,

:.ZAPQ=ZCQP,

;.NCQP=NCPQ,

:.CQ=CP=Q.

DQ

AHPB

故選：B.

【點(diǎn)睛】

考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條

對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.也考查了折疊的性質(zhì).解決本題的關(guān)

鍵是確定A在PC上時(shí)CA，的長(zhǎng)度最小.

5.D

解析：D

【分析】

由題意得出條件證明△ABCg^DAF,根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等可推出②正確;由F是AB中點(diǎn)根據(jù)邊長(zhǎng)

轉(zhuǎn)換可以推出④正確;先推出△ECFgZXDFA得出對(duì)應(yīng)邊相等推出ADFE為平行四邊形且有組

臨邊不等得出①錯(cuò)誤;再由以上全等即可得出④正確.

【詳解】

VAABD是等邊三角形，

AZBAD=60°,AB=AD,

VZBAC=30°,知

ZFAD=ZABC=90°,AC=2BC,

OF為AC的中點(diǎn)道，

；.AC=2AF,

；.BC=AF,

AAABC^ADAF,

，F(xiàn)D=AC,

.".ZADF=ZBAC=30°,

ADFlAB,故②正確，

VEF±AC,ZACB=90",

；.FG〃BC,

是AB的中點(diǎn)，

1

；.GF=-BC,

2

1

VBC=—AC,AC=CE,

2

.\GF=-CE,故④說法正確；

4

VAE=CE,CF=AF,

，/EFC=90",NCEF=30",

ZFAD=ZCAB+ZBAD=90°,

AZEFC=ZDAF,

VDFXAB,

.\ZADF=30",

/.ZCEF=ZADF,

AAECF^ADFA(AAS),

，AD=EF,

：FD=AC,

四邊形屬ADFE為平行四邊形，

VAD*DF,

...四邊形ADFE不是菱形；

故①說法不正確；

1

，A0=—AF,

2

1

.\A0=—AC,

2

VAE=AC,

則AE=4A0,故③說法正確，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本體主要考查平行四邊形的判定，等邊三角形，三角形全等的判定，關(guān)鍵在于熟練掌握基

礎(chǔ)知識(shí)，根據(jù)圖形結(jié)合知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推導(dǎo).

6.D

解析：D

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出AB+AD=5cm,根據(jù)線段的垂直平分線求出BE=DE,求出\ABE的

周長(zhǎng)等于AB+AD,代入求出即可.

【詳解】

C舫8=1。的

:.AB-i-AD=5cm

???在ABC。中，OB=OD,OEA.BD

；.EB=ED

AFR

CALD=AB+AE+BE=AB+AE+BE—AB+AD

:，cAEB=5cm

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形對(duì)邊相等的這條性質(zhì)，結(jié)合線段的垂直平分線的性質(zhì)

來進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

7.B

解析：B

【分析】

由題意先根據(jù)ASA證明aADF絲ZXECF,推出SABCD=300,再證明BE=AB=25,根

據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BF_LAE.設(shè)AF=x,BF=y,由NABFCNBAF可得xVy,

進(jìn)而根據(jù)勾股定理以及4ABE的面積為300列出方程組并解出即可.

【詳解】

解：???四邊形ABCD為平行四邊形，

.".AD//BCBPAD//BE,AB//CD,

；.NDAF=NE.

在4ADF與4ECF中，

NDAF=NE

<AF=EF,

NAFD=NEFC

.,.△ADF^AECF(ASA),

^AADF=S4ECF>

5'BPE=SABCD=300-

VAE平分/BAD,

.\ZBAE=ZDAF,

VZDAF=ZE,

；.NBAE=NE,

；.BE=AB=25,

VAF=FE,

/.BFXAE.

設(shè)AF=x,BF=y,

?..ND為銳角，

AZDAB=180°-ND是鈍角,

，NDC/DAB,

—ZABC<—ZDAB,

22

ZABF<ZBAF,

.".AF<BF,x<y.

X2+/=252

戶15"i=20

則有<,解得：\或（舍去），

12xy=300y=20y=15

即AF=15.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理

等知識(shí).由題意證明出S.=S謖8=300以及BF1AE是解題的關(guān)鍵.

8.B

解析：B

【分析】

連接BD、BF,由正方形的性質(zhì)可得：ZCBD=ZFBG=45°,ZDBF=90",再應(yīng)用勾股定理

求BD、BF和DF,最后應(yīng)用“直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半”可求得BH.

【詳解】

四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形,

；.AB=AD=2,BE=EF=3,NA=NE=90°,NABD=NCBD=NEBF=/FBG=45°,

/.ZDBF=90°,BD=2&,BF=3^,

...在RtABDF中，DF7BD?+BF2=J（2夜）2+（3&『=A/26，

VH為線段DF的中點(diǎn),

.,.BH=—DF=2^.

22

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形邊的關(guān)系、勾股定理、直角三角形性質(zhì)等，解

題關(guān)鍵添加輔助線構(gòu)造直角三角形.

9.C

解析：c

【分析】

根據(jù)等邊三角形邊長(zhǎng)為2,在R3BDE中求得OE的長(zhǎng)，再根據(jù)CM垂直平分。尸，在

RtACDN中求得CN,利用三角形中位線求得的長(zhǎng)，最后根據(jù)線段和可得CM的

長(zhǎng).

【詳解】

解：等邊三角形邊長(zhǎng)為2,BD」CD,

2

24

BD=-,CD=-,

33

等邊三角形ABC中，DF11AB,

ZFDC=NB=60°,

ZEDF=90°,

Z.BDE=30°,

...DELBE,

如圖，連接DM,貝IjRtADEF中，DM=-EF=FM,

2

ZFDC=NFCD=60°,

?.\CDF是等邊三角形,

4

,\CD=CF=-,

3

:.CM垂直平分DF,

/.4DCN=30°,

429Fz

.?.RtACDN中，DF=—，DN=-,CN=—,

333

"：EM=FM,DN=FN,

.....1石

..MN=—ED=—,

26

366

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)、勾股定

理、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等.熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.C

解析：c

【分析】

選項(xiàng)①正確.證明/GAF=/GAD,/EAB=NEAF即可.選項(xiàng)②錯(cuò)誤.可以證明

DG=GC=FG,顯然AGFC不是等邊三角形，可得結(jié)論.選項(xiàng)③正確.證明CF1.DF,AG1DF

即可.選項(xiàng)④正確.證明FG：EG=3：5,求出4ECG的面積即可.

【詳解】

解：如圖，連接DF.

:四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD=BC=CD,ZABE=ZBAD=ZADG=ZECG=90°,

由折疊可知：AB=AF,ZABE=ZAFE=ZAFG=90°,BE=EF=4,ZBAE=ZEAF,

VZAFG=ZADG=90°,AG=AG,AD=AF,

/.RtAAGD^RtAAGF(HL),

/GAF=NGAD,

AZEAG=ZEAF+ZGAF=y(ZBAF+ZDAF)=45°,故①正確，

設(shè)GD=GF=x,

在ECG中，,/EG2=EC2+CG2,

(4+X)2=82+(12-X)2,

??x=6,

VCD=BC=BE+EC=12,

???DG=CG=6,

AFG=GC,

易知AGFC不是等邊三角形，顯然FGKFC,故②錯(cuò)誤，

：GF=GD=GC,

AZDFC=90°,

；.CFJ_DF,

VAD=AF,GD=GF,

AAG1DF,

；.CF〃AG,故③正確，

1

"?'SAECG=—X6X8=24,FG：FE=6：4=3：2,

AFG：EG=3：5,

372

?'?SAGFc=yX24=--=14.4,故④正確,

故①③④正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題時(shí)

設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x,然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)

度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.

二、填空題

11.4夜

【分析】

首先由對(duì)邊分別平行可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC和BD,過A點(diǎn)分別作DC

和BC的垂線，垂足分別為F和E,通過證明4ADF/Z\ABC來證明四邊形ABCD為菱形，

從而得到AC與BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD長(zhǎng)度.

【詳解】

解：連接AC和BD,其交點(diǎn)為0,過A點(diǎn)分別作DC和BC的垂線，垂足分別為F和E,

VAB/7CD,AD〃BC,

四邊形ABCD為平行四邊形，

；.NADF=NABE,

???兩紙條寬度相同，

.".AF=AE,

-ZADF=NABE

；?ZAFD=ZAEB=90°

AF=AE

.,.△ADF^AABE,

；.AD=AB,

二四邊形ABCD為菱形，

；.AC與BD相互垂直平分，

BD=2^AB2-A(f=40

故本題答案為：472

【點(diǎn)睛】

本題考察了菱形的相關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了三角形全等和勾股定理，注意輔助線的構(gòu)造一定

要從相關(guān)條件以及可運(yùn)用的證明工具入手，不要盲目作輔助線.

12.①③④

【分析】

由矩形的性質(zhì)可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

線的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得NF=NFAD=45°,可得AD=DF=BC,可判斷①；通過證明

△DCG^ABEG,可得NBGE=/DGC,BG=DG,即可判斷②③；過點(diǎn)G作GH_LCD于H,設(shè)

AD=4x=DF,AB=3x,由勾股定理可求BD=5x,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

HG=CH=FH=!X,DG=GB=5&x,由三角形面積公式可求解，可判斷④.

22

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,NBAD=NABC=/BCD=NADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE=45",

AZF=ZFAD,

，AD=DF,

ABC=DF,故①正確;

VZEAB=ZBEA=45",

；.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,NECF=90。，

...△CEF是等腰直角三角形，

:點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，

/.CG=EG,NFCG=45°,CG±AG,

ZBEG=ZDCG=135",

在aDCG和ABEG中，

BE=CD

<NBEG=NDCG,

CG=EG

AADCG^ABEG(SAS).

.\ZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

.".ZDGC=ZBGE<45°,

,.?ZCGF=90°,

.\ZDGF<135°,故②錯(cuò)誤；

VZBGE=ZDGC,

?.ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

.,.ZCGA=ZDGB=90",

.,.BG±DG,故③正確；

過點(diǎn)G作GH±CD于H,

.?.設(shè)AD=4x=DF,AB=3x,

，CF=CE=X,BD=7XB2+AT>2=5X>

VACFG,Z\GBD是等腰直角三角形，

]55

.?.HG=CH=FH=-x,DG=GB=—1—x,

22

12125,

=X=

??SADGF"DFXHG=X,SZiBDG~DGXGB=x,

25

S30G=ISFDG，故④正確；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練

掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

13.一或4-W6

33

【分析】

連接AC交BD于0,由菱形的性質(zhì)可得AB=BC=4,/ABD=30°,AC1BD,B0=D。，

A0=C0,可證四邊形BEGF是菱形，可得NABG=30。，可得點(diǎn)B,點(diǎn)G,點(diǎn)D三點(diǎn)共線，由

直角三角形性質(zhì)可求BD=4g,AC=4,分兩種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

如圖，連接AC交BD于。，

，AB=BC=4,NABD=30°,AC1BD,BODO,AO=C。,

VEGZ/BC,FG〃AB,

四邊形BEGF是平行四邊形，

又：BE=BF,

四邊形BEGF是菱形，

ZABG=30",

點(diǎn)B,點(diǎn)G,點(diǎn)D三點(diǎn)共線，

VAC1BD,ZABD=30°,

AO=yAB=2,B0=JAB?_A02="2_2?=2>/3,

：.BD=4y/j,AC=4,

?「BG

同理可求BG=6BE,即BE二一,

A/3

若AD=DG*=4時(shí)，

.".BG'=BD-DG'=4\^-4，

.4^-4，473

.?.BE'=、「=4—；

百3

若AG"=G"D時(shí)，過點(diǎn)G”作G"H±AD于H,

，AH=HD=2,

；NADB=30°,G"H±AD,

，DG"=2HG",

HD2+HG"2=DG"2.

解得：HG"=^^,DG"=2HG”=^^,

33

.".BG"=BD-DG"=4V3=>

33

8

3

綜上所述：BE為5或4-迪.

33

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用分類討論

思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

14.9或9a5+1).

【分析】

分兩種情況畫圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理矩形計(jì)算即可.

【詳解】

解：①如圖1,延長(zhǎng)EA交DC于點(diǎn)F,

:菱形ABCD的周長(zhǎng)為24,

AAB=BC=6,

VZABC=60°,

???三角形ABC是等邊三角形，

AZBAC=60°,

當(dāng)EALBA時(shí)，4ABE是等腰直角三角形,

???AE=AB=AC=6,ZEAC=90°+60°=150°,

AZFAC=30°,

VZACD=60°,

/.ZAFC=90°,

1

ACF=—AC=3,

2

則ZkACE的面積為：AExCF=yx6x3=9；

②如圖2,過點(diǎn)A作AFLEC于點(diǎn)F,

由①可知：ZEBC=ZEBA+ZABC=90°+60°=150°,

VAB=BE=BC=6,

.\ZBEC=ZBCE=15O,

ZAEF=45°-15°=30°,ZACE=60°-15°=45°,

；.AF=yAE,AF=CF=qAC=3亞,

VAB=BE=6,

，AE=6及，

，EF=JA￡2_AF2=3限’

??.EC=EF+FC=3V^+30

則AACE的面積為：-ECxAF=-xO瓜+3夜)X3垃=9(73+1).

22

故答案為：9或9(6+1).

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵

是掌握菱形的性質(zhì).

15.6

【分析】

過點(diǎn)P作PELAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得至ljAB〃CD,

推出PE=gpD,由此得到當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條

直線上，利用NDAB=30°,NAEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值='AB=3,得到2PB+

2

PD的最小值等于6.

【詳解】

過點(diǎn)P作PEXAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,

，NEDC=NDAB=30°,

1

二PE=—PD,

2

V2PB+PD=2(PB+JPD)=2(PB+PE),

當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上,

VZDAB=30o,/AEP=90°,AB=6,

.;PB+PE的最小值=^AB=3,

；.2PB+PD的最小值等于6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30。角的問題，動(dòng)點(diǎn)問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化

為三點(diǎn)共線的形式是解題的關(guān)鍵.

16.2或14

【分析】

利用當(dāng)AB=10cm,AD=6cm,由于平行四邊形的兩組對(duì)邊互相平行，又AE平分/BAD,由此

可以推出所以NBAE=/DAE,則DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF長(zhǎng)；同理可得：當(dāng)AD=10cm,AB=6cm時(shí)，可以求出EF長(zhǎng)

【詳解】

解：如圖1,當(dāng)AB=10cm,AD=6cm

VAE平分/BAD

AZBAE=ZDAE,

又：AD〃CB

.?.ZEAB=ZDEA,

.,.ZDAE=ZAED,則AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如圖2,當(dāng)AD=10cm,AB=6cm,

VAE平分/BAD,

AZBAE=ZDAE

又：AD〃CB

.\ZEAB=ZDEA,

.,.ZDAE=ZAED則AD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案為：2或14.

圖1圖2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是平行

四邊形的不同可能性進(jìn)行分類討論.

17.6+6^3

【分析】

通過四邊形ABCD是矩形以及=得到△FEM是等邊三角形，根據(jù)含30。直

角三角形的性質(zhì)以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，進(jìn)而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性質(zhì)及勾股定理得到BN,BE即可.

【詳解】

解：如圖，設(shè)NE交AD于點(diǎn)K,

?四邊形ABCD是矩形，

.".AD//BC,ZABC=90°,

.".ZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

,/CE=CB=BE,

/.△BCE為等邊三角形，

ZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

???ZFEM=ZMFE=ZFME=60°,

工△FEM是等邊三角形，F(xiàn)M=FE=EM=2,

VEN1BE,

AZNEM=ZNEB=90°,

.\ZNKA=ZMKE=30°,

AKM=2EM=4,NK=2AN=6,

在RtAKME中，KE=4KM--EM2=26>

，NE=NK+KE=6+2/，

VZABC=90°,

...NABE=30°,

.,.BN=2NE=12+4V3，

???BE=4BN2-NE2=6+673-

BC=BE=6+6G，

故答案為：6+6^3

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形，等邊三角形的性質(zhì)，以及含30。直角三角形的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用,

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用30。直角三角形的性質(zhì).

18.6.5或8或18

【分析】

根據(jù)題意分8P=QP、8Q=QP兩種情況分別討論，再結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】

解：.??四邊形ABC。是矩形，AD=26,點(diǎn)。是的中點(diǎn)

BQ=\3

.??①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)尸作「仞，8。交BQ于點(diǎn)M,如圖，

則BM=MQ=6.5，且四邊形ABMP為矩形

AP=BM=6.5

②當(dāng)BQ=Q尸時(shí)，以點(diǎn)。為圓心，3Q為半徑作圓，與A。交于p'、P"兩點(diǎn)，如圖，

/FP：W-----、q尸〃D

_________皿_________

RQic

\/

\/

X、//

、——"

過。作QV_LPP",交P/"于點(diǎn)N,則可知P'N=P'N

；在RtP'NQ,PQ=13,NQ=AB=12

-'.P'N=y/p'Q2-NQ2=7132-122=5

同理，在吊尸NQ中，P〃N=5

AD-P'N—P"N26-5-5

AP'=-------------=--=^=8,AP〃=AP'+P'N+P〃N=8+5+5=18

22

即P'、P"為滿足條件的P點(diǎn)的位置

/.AP=8或18

綜上所述，當(dāng)VBPQ是以QP為腰的等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為6.5或8或18.

故答案是：6.5或8或18

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

進(jìn)行分類討論是一個(gè)難點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵.

19.7

【分析】

①若相=〃，則AF=￡C,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD〃8C,AO=8C,再根據(jù)平

行四邊形的判定（一組對(duì)邊平行且相等或兩組對(duì)邊分別平行）即可得；②先根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)與判定得出四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形，從而可得

S^EFG~=WSCDFE'再根據(jù)ABEF+SCDF