數(shù)學(xué)-青島市2023屆高三第一次模擬考試

青島市2023年高三年級(jí)第一次適應(yīng)性檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

本試卷共6頁，22題。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考

證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.回答選擇題時(shí):選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需

要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí).，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知全集（7=1<,A={x|3<x<7},8={刈％—2卜4卜則下圖中陰影部分表示的集合

為----------------------

A.|x|-2<x<3|B.卜卜2Vx<3}/

C.{-1,0,1,2)D.{-1,0,1,2,3)

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足（l+i）z=2,則復(fù)數(shù)Z的虛部為

C.-1D.-i

3.在平面直角坐標(biāo)系中，若角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)

則sina-

4.龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以

近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高15cm,盆口直徑40cm,

盆底直徑20cm.現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體

積近似為

A.1824cm'B.2739cm'

C.3618cm3D.4512cm3

5.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：當(dāng)xe[0,l)時(shí)，=且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,均有

/(x)+/(x+l)=l,則/(log.41

42

A.3B.2C.—D.一

33

22

6.己知雙曲線C：2?-芯=l(a>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線y=Gx與C

的左、右兩支分別交于A,8兩點(diǎn)，若四邊形A6B6為矩形，則C的離心率為

A.-----B.3C.V3+1D.V5+1

2

7.某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對(duì)其中3道題有思路，1道題完全沒有思路.有思路的題

目每道做對(duì)的概率為0.8,沒有思路的題目，只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)的概率為0.25.若從這

4道題中任選2道，則這個(gè)學(xué)生2道題全做對(duì)的概率為

A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43

8.已知函數(shù)〃x)=x3-gsinx,若a=/((cose)'"'),/?=/((sine)""'"),

則小b,c的大小關(guān)系為

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.在(2x—的展開式中，下列說法正確的是

A.常數(shù)項(xiàng)是1120B.第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等

C.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256D.各項(xiàng)的系數(shù)之和為256

10.下列說法正確的是

A.若直線a不平行于平面a,a^a,則a內(nèi)不存在與。平行的直線

B.若一個(gè)平面a內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面夕，則?！??

C.設(shè)/，機(jī)，〃為直線，加，〃在平面a內(nèi)，則“/_La”是“/，加且/_L〃”的充要條件

D.若平面a_L平面4,平面￡_1_平面夕?,則平面a與平面口所成的二面角和平面/與平面4

所成的二面角相等或互補(bǔ)

11.1979年，李政道博士給中國(guó)科技大學(xué)少年班出過一道智趣題：“5只猴子分一堆桃子，怎么

也不能分成5等份，只好先去睡覺，準(zhǔn)備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來，先吃掉1個(gè)

桃子，然后將其分成5等份，藏起自己的一份就去睡覺了；第2只猴子又爬起來，吃掉1個(gè)桃

子后，也將桃子分成5等份，藏起自己的一份睡覺去了；以后的3只猴子都先后照此辦理.問

最初至少有多少個(gè)桃子？最后至少剩下多少個(gè)桃子？”.下列說法正確的是

A.若第〃只猴子分得打個(gè)桃子(不含吃的)，則52=42_|一1(〃=2,3,4,5)

B.若第〃只猴子連吃帶分共得到個(gè)桃子，貝ij{q,}(〃=1,2,3,4,5)為等比數(shù)列

C.若最初有3121個(gè)桃子，則第5只猴子分得256個(gè)桃子(不含吃的)

D.若最初有2個(gè)桃子，則Z+4必有的倍數(shù)

12.已知A,8是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，若。4=208(/1eR),OAOB=r2(r>0),

則稱B是A關(guān)于圓x2+j2=r2的對(duì)稱點(diǎn).下面說法正確的是

A?點(diǎn)(1,1)關(guān)于圓f+V=4的對(duì)稱點(diǎn)是(-2,-2)

B.圓/+y2=4上的任意一點(diǎn)A關(guān)于圓/+/=4的對(duì)稱點(diǎn)就是A自身

2

C.圓x+(y—4=官僅>0)上不同于原點(diǎn)0的點(diǎn)M關(guān)于圓/+/=］的對(duì)稱點(diǎn)N的軌跡

方程是

D.若定點(diǎn)E不在圓C：/+V=4上，其關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)為A為圓C上任意一點(diǎn)，則四

\AE\

為定值

三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.

13.已知0(0,0),A(l,2),3(3,—1),若向量加〃。4,且加與。8的夾角為鈍角，寫出一

個(gè)滿足條件的加的坐標(biāo)為.

14.己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在拋物線丁=2〃;《〃>0)上存在兩點(diǎn)后，F(xiàn),使得AOEF是邊長(zhǎng)為

4的正三角形，則〃=.

15.濕地公園是國(guó)家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計(jì)劃在

如圖所示的四邊形4BCO區(qū)域建一處濕地公園.已知(/

ZDAB=90°,ZD3A=45°,ZR4c=30°,ZZ)5c=60°,/

AB=2啦千米，則CO=千米.<匕----------乜

16.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)，且滿足/(0)=1,/(1)=0,對(duì)任意的x,yeZ

都有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),則/⑶=------；

/（12+22+---+20232）

--T7-------/J=______.（本小題第一空2分，第二空3分）

/（12）+/（22）+-+/（20232）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知函數(shù)/（x）=2cos2Q）x+sin2&x（0>O）,再，々是/（x）的兩個(gè)相鄰極值

點(diǎn)，且滿足|石一到=》.

（1）求函數(shù)“X）圖象的對(duì)稱軸方程：

⑵若/（q）=；,求sin2a.

分）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為

18.（12S”,公差d/O,S2,S5+4成等差數(shù)列,

a2,%,小成等比數(shù)列.

（1）求S“；

〃+2,證明數(shù)列｛b—一卜為等比數(shù)列，并求也｝

（2）記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為7；,2b?-Tnn

飛廠S“J

的通項(xiàng)公式.

19.（12分）如圖，在用鉆中，PA±AB,且24=4,A3=2,將繞直角邊刑

2萬

旋轉(zhuǎn)把到△PAC處，得到圓錐的一部分，點(diǎn)D是底面圓弧BC（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

3

（1）是否存在點(diǎn)。，使得BC上PD?若存在，求出NC4O的大??；若

不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）當(dāng)四棱錐P—ABOC體積最大時(shí)，求平面尸8與平面夾角的

余弦值.

20.（12分）今天，中國(guó)航天仍然邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索，取得了

舉世矚目的非凡成就.某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知

識(shí)測(cè)試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，按照[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,10（）]分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖:

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)；

（2）用樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績(jī)，用P（X=A）表示

這10名學(xué)生中恰有h名學(xué)生的成績(jī)?cè)冢?0,100］上的概率，求P(X=%)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的上的

值；

(3)從測(cè)試成績(jī)?cè)冢?0,1()()］的同學(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選

出4道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽.現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道

題中甲能答對(duì)4道，乙能答對(duì)3道，且甲、乙兩人各題是否答對(duì)相互獨(dú)立.記甲、乙兩人中進(jìn)

入復(fù)賽的人數(shù)為〈，求J的分布列及期望.

21.(12分)已知O