安徽省六安三校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

安徽省六安三校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．空間直角坐標系中，點關(guān)于點的對稱點的坐標是A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)2．一個三位數(shù)的百位，十位，個位上的數(shù)字依次是，當(dāng)且僅當(dāng)時稱為“凹數(shù)”，若，從這些三位數(shù)中任取一個，則它為“凹數(shù)”的概率是A． B． C． D．3．命題“任意”為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．4．從圖示中的長方形區(qū)域內(nèi)任取一點，則點取自圖中陰影部分的概率為()A． B．C． D．5．的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)是（）A． B． C． D．6．多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標系，已知、、、、、.若為平行四邊形，則點到平面的距離為A． B． C． D．7．定積分的值為()A． B． C． D．8．已知，則的值是A． B． C． D．9．已知等比數(shù)列中,，則等于（）A．9 B．5 C． D．無法確定10．設(shè)非零向量滿足，，則向量間的夾角為()A．150° B．60°C．120° D．30°11．“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．將5件不同的獎品全部獎給3個學(xué)生，每人至少一件獎品，則不同的獲獎情況種數(shù)是（）A．150 B．210 C．240 D．300二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知過點的直線交軸于點，拋物線上有一點使,若是拋物線的切線，則直線的方程是___．14．設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為__________．15．若點的柱坐標為，則點的直角坐標為______；16．若直線為曲線的一條切線，則實數(shù)的值是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線：與橢圓交于A，B兩點，是否存在實數(shù)，使線段AB的中點在圓上，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18．（12分）已知是奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的值19．（12分）如圖，有一塊半徑為的半圓形空地，開發(fā)商計劃征地建一個矩形游泳池和其附屬設(shè)施，附屬設(shè)施占地形狀是等腰，其中為圓心，在圓的直徑上，在圓周上．（1）設(shè)，征地面積記為，求的表達式；（2）當(dāng)為何值時，征地面積最大？20．（12分）如圖，一條小河岸邊有相距的兩個村莊（村莊視為岸邊上兩點），在小河另一側(cè)有一集鎮(zhèn)（集鎮(zhèn)視為點），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當(dāng)?shù)卣疄榉奖愦迕癯鲂?，擬在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點，且垂直河岸，在的左側(cè)），建橋要求：兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和最短，已知兩村的人口數(shù)分別是人、人，假設(shè)一年中每人去集鎮(zhèn)的次數(shù)均為次．設(shè)．（小河河岸視為兩條平行直線）（1）記為一年中兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和，試用表示；（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．21．（12分）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，．（1）求c的值；（2）求的面積．22．（10分）在平面直角坐標系中，過點作直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A，B.（1）若，求直線的一般式方程；（2）求當(dāng)取得最小值時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

直接利用中點坐標公式求解即可.【題目詳解】設(shè)點關(guān)于點的對稱點的坐標是,根據(jù)中點坐標公式可得，解得，所以點關(guān)于點的對稱點的坐標是(－10,2,－8)，故選B.【題目點撥】本題主要考查中點坐標公式的應(yīng)用，意在考查對基本公式的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

先分類討論求出所有的三位數(shù)，再求其中的凹數(shù)的個數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解.【題目詳解】先求所有的三位數(shù)，個位有4種排法，十位有4種排法，百位有4種排法，所以共有個三位數(shù).再求其中的凹數(shù)，第一類：凹數(shù)中有三個不同的數(shù)，把最小的放在中間，共有種，第二類，凹數(shù)中有兩個不同的數(shù)，將小的放在中間即可，共有種方法，所以共有凹數(shù)8+6=14個，由古典概型的概率公式得P=.故答案為：C【題目點撥】本題主要考查排列組合的運用，考查古典概型的概率，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.3、C【解題分析】試題分析：對此任意性問題轉(zhuǎn)化為恒成立，當(dāng)，即，，若是原命題為真命題的一個充分不必要條件，那應(yīng)是的真子集，故選C.考點：1.集合；2.充分必要條件.4、C【解題分析】

先利用定積分公式計算出陰影部分區(qū)域的面積，并計算出長方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率計算公式可得出答案．【題目詳解】圖中陰影部分的面積為，長方形區(qū)域的面積為1×3＝3，因此，點M取自圖中陰影部分的概率為．故選C．【題目點撥】本題考查定積分的幾何意義，關(guān)鍵是找出被積函數(shù)與被積區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

根據(jù)只有第5項系數(shù)最大計算出，再計算展開式中含項的系數(shù)【題目詳解】只有第5項系數(shù)最大,展開式中含項的系數(shù),系數(shù)為故答案選C【題目點撥】本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.6、D【解題分析】

利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，結(jié)合，利用空間向量夾角余弦公式求出與所求法向量的夾角余弦，進而可得結(jié)果.【題目詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)，為平行四邊形，由得，，，，設(shè)為平面的法向量，顯然不垂直于平面，故可設(shè)，，即，，所以，又，設(shè)與的夾角為，則，到平面的距離為，故選D.【題目點撥】本題主要考查利用空間向量求點面距離，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.7、C【解題分析】

根據(jù)微積分基本定理，可知求解，即可.【題目詳解】故選：C【題目點撥】本題考查微積分基本定理，屬于較易題.8、D【解題分析】，,又,故選D.9、A【解題分析】

根據(jù)等比中項定義，即可求得的值。【題目詳解】等比數(shù)列，由等比數(shù)列中等比中項定義可知而所以所以選A【題目點撥】本題考查了等比中項的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。10、C【解題分析】

利用平方運算得到夾角和模長的關(guān)系，從而求得夾角的余弦值，進而得到夾角.【題目詳解】即本題正確選項：【題目點撥】本題考查向量夾角的求解，關(guān)鍵是利用平方運算和數(shù)量積運算將問題變?yōu)槟ｉL之間的關(guān)系，求得夾角的余弦值，從而得到所求角.11、C【解題分析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時x是值，然后確定充分性和必要性即可.詳解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則：，即：，據(jù)此可知，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的充要條件本題選擇C選項.點睛：本題主要考查充分必要條件的判斷，已知復(fù)數(shù)類型求參數(shù)的方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12、A【解題分析】將5本不同的書分成滿足題意的3組有1，1，3與2，2，1兩種，分成1、1、3時，有C53?A33=60種分法，分成2、2、1時，根據(jù)分組公式90種分法，所以共有60+90=150種分法，故選A．點睛：一般地，如果把不同的元素分配給幾個不同對象，并且每個不同對象可接受的元素個數(shù)沒有限制，那么實際上是先分組后排列的問題，即分組方案數(shù)乘以不同對象數(shù)的全排列數(shù)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或.【解題分析】分析：由題設(shè)，求導(dǎo)得到直線然后分和兩種情況討論即可得到直線的方程.詳解：由題設(shè)，求導(dǎo)即，則直線當(dāng)時，驗證符合題意，此時，故，當(dāng)時，，，或（重合，舍去）此時，故點睛：本題考查曲線的切線方程的求法，垂直關(guān)系的斜率表示等，屬基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達式，進而確定其最小值.【題目詳解】因為對任意的實數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因為，所以當(dāng)時，取最小值為.【題目點撥】函數(shù)的性質(zhì)（1）.（2）周期（3）由求對稱軸，最大值對應(yīng)自變量滿足，最小值對應(yīng)自變量滿足，（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.15、【解題分析】

由柱坐標轉(zhuǎn)化公式求得直角坐標。【題目詳解】由柱坐標可知，所以，所以直角坐標為。所以填?！绢}目點撥】空間點P的直角坐標(x,y,z)與柱坐標(ρ,θ,Z)之間的變換公式為。16、1【解題分析】設(shè)切點為，又，所以切點為（0,1）代入直線得b=1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）實數(shù)不存在，理由見解析．【解題分析】試題分析：（1）運用橢圓的離心率公式和的關(guān)系，解方程可得，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)，，線段的中點為．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，求得的坐標，代入圓的方程，解方程可得，進而判斷不存在．試題解析：（1）由題意得，解得故橢圓的方程為；（2）設(shè)，，線段的中點為聯(lián)立直線與橢圓的方程得，即，即，，所以，即．又因為點在圓上，可得，解得與矛盾．故實數(shù)不存在．考點：橢圓的簡單性質(zhì)．18、（1）；（2）4【解題分析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，代入化簡得，進而可得的值；（2）設(shè)，可得，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，進而可得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得，又，所以（2）設(shè)，因為，所以因為是奇函數(shù)，所以所以【題目點撥】本題主要考查了已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值，屬于中檔題.19、（1）；（2）時，征地面積最大．【解題分析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運用梯形面積公式建立函數(shù)關(guān)系求解；(2)依據(jù)題設(shè)運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進行探求.試題解析：（1）連接，可得，，，，所以，．（2），令，∴（舍）或者．因為，所以時，，時，，所以當(dāng)時，取得最大，故時，征地面積最大．考點：梯形面積公式、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系等有關(guān)知識的綜合運用．20、（1），；（2）當(dāng)時，符合建橋要求.【解題分析】

（1）利用正切值之比可求得，；根據(jù)可表示出和，代入整理可得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得時，取得最小值，得到結(jié)論.【題目詳解】（1）與的正切值之比為則，，，，（2）由（1）知：，，令，解得：令，且當(dāng)時，，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)取最小值，即當(dāng)時，符合建橋要求【題目點撥】本題考查函數(shù)解析式和最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過根據(jù)題意建立起所求函數(shù)和變量之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值.21、（1）；（2）【解題分析】

（1）由正弦定理及，得，再代入角A的余弦定理，求得。（2）由角C的余弦定理求得，再由面積公式求得面積?！绢}目詳解】，，，，在中，由正弦定理，可得，可得：，即：，解得：2在中，由余弦定理，可得，故【題目點撥】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向第二步：定工