2024屆新疆吐魯番市高昌區(qū)二中高二數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆新疆吐魯番市高昌區(qū)二中高二數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a15，且A．S23 B．S24 C．S2．已知，為銳角，且，若，則的最大值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則()A． B． C． D．5．在如圖所示的“莖葉圖”表示的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別（）.A．23與26 B．31與26 C．24與30 D．26與306．設,，，則（）A． B． C． D．7．若1a<1bA．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<8．設銳角的三個內(nèi)角的對邊分別為且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．9．橢圓的左右焦點分別是，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點，若直線恰好與圓相切于點，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．10．已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則的解析式為（）A． B．C． D．11．函數(shù)（）A． B．C． D．12．復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．半徑為的圓形鐵片剪去一個扇形，用剩下的部分卷一個圓錐．圓錐的體積最大值為______14．已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量方向上的投影為________．15．一個碗中有10個籌碼，其中5個都標有2元，5個都標有5元，某人從此碗中隨機抽取3個籌碼，若他獲得的獎金數(shù)等于所抽3個籌碼的錢數(shù)之和，則他獲得獎金的期望為________．16．若復數(shù)z滿足方程，其中i為虛數(shù)單位，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．18．（12分）為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結果如下：性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）請根據(jù)上面的數(shù)據(jù)分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關嗎19．（12分）已知四棱錐的底面是菱形，且，，，O為AB的中點.（1）求證：平面；（2）求點B到平面的距離.20．（12分）某市教育部門為了了解全市高一學生的身高發(fā)育情況，從本市全體高一學生中隨機抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。經(jīng)數(shù)據(jù)處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100名學生中,身不低于1.69米的學生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示，用樣本的身高頻率估計該市高一學生的身高概率.(I)求該市高一學生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.(II)若從該市高一學生中隨機選取3名學生,記為身高在的學生人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望；(Ⅲ)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果該市高一學生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認為該市高一學生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學生的身高發(fā)育總體是否正常,并說明理由.21．（12分）在平面直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設直線與C交于A，B兩點．k為何值時？此時的值是多少？22．（10分）（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系，已知曲線（為參數(shù)），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，的距離之積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】因a8=a1+7d,a15=a1+14d，故由題設3a8=5a152、B【解題分析】

把代入等式中，進行恒等變形，用表示，最后利用基本不等式，求出的最大值.【題目詳解】，.因為為銳角，且，所以，，，（當且僅當時取等號），所以，因此的最大值為，故本題選B.【題目點撥】本題考查了三角恒等變形，考查了兩角差的正切公式，考查了應用基本不等式求代數(shù)式最值問題.3、A【解題分析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因為，所以,為偶函數(shù)，因為當時，單調(diào)遞增，所以等價于，即，或，選A.點睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi).4、A【解題分析】分析：根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，求得其圖象的對稱軸，再根據(jù)曲線的對稱性，即可求解答案．詳解：由題意，隨機變量服從正態(tài)分布，所以，即圖象的對稱軸為，又由，則，則，故選A．點睛：本題主要考查了正態(tài)分布的應用，其中熟記正態(tài)分布的圖象關于對稱，利用圖象的對稱性求解相應的概率是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力．5、B【解題分析】

根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，結合眾數(shù)與中位數(shù)的概念，即可求解，得到答案.【題目詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，可得眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即眾數(shù)為，又由中位數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了莖葉圖的應用，其中解答中正確讀取莖葉圖的數(shù)據(jù)，以及熟記眾數(shù)、中位數(shù)的概念是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、A【解題分析】

先研究函數(shù)單調(diào)性，再比較大小.【題目詳解】,令，則因此當時，即在上單調(diào)遞減，因為，所以，選A.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.7、D【解題分析】

不妨令a=-1，b=-2【題目詳解】由題1a<1b<0，不妨令a=-1，b=-2，可得a2＜ba-b=-1【題目點撥】本題主要考查不等式與不等關系，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于基礎題8、C【解題分析】因為△為銳角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因為，所以，又因為，所以；由，即，所以，令，則，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值域為，故選C點睛：本題解題關鍵是利用正弦定理實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化得到周長關于角的函數(shù)關系，借助二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，易錯點是限制角的取值范圍.9、A【解題分析】

由題得，再利用橢圓定義得的長度，利用勾股定理求解即可【題目詳解】由題得，且又由勾股定理得，解得故選：A【題目點撥】本題考查橢圓的定義及幾何意義，準確求得是關鍵，是基礎題10、D【解題分析】結合函數(shù)圖像可得：，，結合周期公式有：，且當時，，令可得：，據(jù)此可得函數(shù)的解析式為：.本題選擇D選項.點睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t可用誘導公式變換使其符合要求.11、A【解題分析】

由于函數(shù)為偶函數(shù)又過（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接選A.【考點定位】對圖像的考查其實是對性質(zhì)的考查，注意函數(shù)的特征即可，屬于簡單題.12、A【解題分析】

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】解：由，得．∴復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應點的坐標為，位于第一象限．故選A．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設圓錐的底面半徑為，高為，可得，構造關于圓錐體積的函數(shù)，可得，利用導數(shù)可求得最大值.【題目詳解】設圓錐的底面半徑為，高為則，即圓錐的體積：則，令，解得：則時，；時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減本題正確結果：【題目點撥】本題考查圓錐體積最值的求解，關鍵是能夠利用圓錐體積公式將所求體積構造為關于圓錐的高的函數(shù)，從而可利用導數(shù)求解得到函數(shù)的最值.14、【解題分析】

由題知，，再根據(jù)投影的概念代入計算即可.【題目詳解】，，所以向量在向量方向上的投影為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了向量模的坐標計算，投影的概念與計算.15、【解題分析】分析：先確定隨機變量取法，再分別求對應概率，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求期望.詳解：獲得獎金數(shù)為隨機變量ξ，則ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列為：ξ691215PE(ξ)＝6×＋9×＋12×＋15×＝.點睛：本題考查數(shù)學期望公式，考查基本求解能力.16、2【解題分析】

設，利用復數(shù)的乘法運算計算得到即可.【題目詳解】由已知，設，則，所以，解得，故，.故答案為：2.【題目點撥】本題考查復數(shù)的乘法、復數(shù)模的運算，涉及到復數(shù)相等的概念，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）8（2）[－2,0].【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)f（x）最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（﹣2）的值；（2）由于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x2+bx，進而在滿足|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]恒成立時，求出即可．【題目詳解】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，從而|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立等價于－1≤x2＋bx≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.又－x的最小值為0，－－x的最大值為－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范圍是[－2，0].【題目點撥】利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.18、（1）；（2）有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關.【解題分析】試題分析：（1）由列聯(lián)表可知調(diào)查的500位老年人中有位需要志愿者提供幫助，兩個數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值；（2）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機變量的觀測值公式，得到觀測值的結果，把觀測值的結果與臨界值進行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關.試題解析：解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：。由于9.967>6.635,所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關。考點：獨立性檢驗.19、(1)證明見解析;(2)【解題分析】

(1)連結,推導出,由此能證明平面.(2)利用等體積法求距離即可.【題目詳解】(1)證明:連結,四棱錐的底面是菱形,且，,,O為AB的中點...平面.(2)在中,,則,,.故點B到平面的距離.【題目點撥】本題考查線面垂直的判斷定理,考查等體積法求點到面的距離,難度一般.20、(I)見解析;（Ⅱ）見解析；(Ⅲ)見解析.【解題分析】分析:(I)先求出身高高于1.70米的人數(shù),再利用概率公式求這批學生的身高高于1.70的概率.分別利用面積相等求出a、b、c的值.(II)先求出從這批學生中隨機選取1名，身高在的概率，再利用二項分布寫出的分布列和數(shù)學期望.(Ⅲ)先分別計算出和，再看是否滿足且,給出判斷.詳解：(I)由圖2可知，100名樣本學生中身高高于1.70米共有15名，以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批學生的身高高于1.70的概率為0.15.記為學生的身高，結合圖1可得:，,,又由于組距為0.1,所以，（Ⅱ）以樣本的頻率估計總體的概率，可得:從這批學生中隨機選取1名，身高在的概率.因為從這批學生中隨機選取3名，相當于三次重復獨立試驗，所以隨機變量服從二項分布，故的分布列為:01230.0270.1890.4410.343（或(Ⅲ)由，取由（Ⅱ）可知，,又結合(I)，可得:，所以這批學生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，應該認為該市高一學生的身高發(fā)育總體是正常的.點睛：(1)本題不難，但是題目的設計比較新穎，有的同學可能不能適應.遇到這樣的問題,首先是認真審題，理解題意，再解答就容易了.(2)在本題的解答過程中，要靈活利用頻率分布圖計算概率.21、（Ⅰ）曲線C的方程為．（Ⅱ）時，．【解題分析】

（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P