2024屆河南省許昌市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆河南省許昌市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前n項和為，滿足，，若，則m的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．92．已知雙曲線x2a2-yA．x212-y283．設(shè)，滿足約束條件則的最大值為（）A． B． C． D．4．?dāng)?shù)列中，，（），那么（）A．1 B．-2 C．3 D．-35．已知函數(shù)，滿足和均為偶函數(shù)，且，設(shè)，則A． B． C． D．6．若能被整除，則的值可能為（）A． B． C．x="5,n=4" D．7．一個算法的程序框圖如圖所示，則該程序框圖的功能是A．求a，b，c三數(shù)中的最大數(shù) B．求a，b，c三數(shù)中的最小數(shù)C．將a，b，c按從小到大排列 D．將a，b，c按從大到小排列8．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B．C． D．9．若集合，函數(shù)的定義域為集合B，則A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）10．奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．11．給出命題①零向量的長度為零，方向是任意的．②若，都是單位向量，則．③向量與向量相等．④若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點共線．以上命題中，正確命題序號是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④12．甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，滿足約束條件，則的最小值為__________．14．若復(fù)數(shù)滿足，則__________．15．已知函數(shù)的值域為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，則________.16．設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，斜三棱柱中，側(cè)面為菱形，底面是等腰直角三角形，，C．（1）求證：直線直線；（2）若直線與底面ABC成的角為，求二面角的余弦值．18．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．首屆中國國際進(jìn)口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬．如圖所示，在陽馬中，底面．（1）若，斜梁與底面所成角為，求立柱的長（精確到）；（2）證明：四面體為鱉臑；（3）若，，，為線段上一個動點，求面積的最小值．19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為.20．（12分）已知動點M（x，y）滿足，點M的軌跡為曲線E.（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點F（1,0）作直線交曲線E于P,Q兩點，交軸于R點，若，證明：為定值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．22．（10分）已知.（1）求證：恒成立；（2）試求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，，且，其中，求證：恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)an＝sn﹣sn﹣1可以求出{an}的通項公式，再利用裂項相消法求出sm，最后根據(jù)已知，解出m即可．【題目詳解】由已知可得，，，，（n≥2），1，即，解之得，或7.5，故選：C．【題目點撥】本題考查前n項和求通項公式以及裂項相消法求和，考查了分式不等式的解法，屬于中等難度．2、D【解題分析】試題分析：因為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，所以ca考點：雙曲線的性質(zhì)．3、C【解題分析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求目標(biāo)函數(shù)的最大值即可．【題目詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由得到，平移直線，當(dāng)過A時直線截距最小，最大，由得到，所以的最大值為，故選：C．【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】∵，∴，即，∴，∴，∴是以6為周期的周期數(shù)列.∵2019=336×6+3，∴．故選B.5、C【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案詳解：由題意可得：故，周期為故選點睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，運用周期性進(jìn)行化簡，結(jié)合已知條件求出結(jié)果，本題的解題方法需要掌握。6、C【解題分析】

所以當(dāng)時，能被整除，選C.7、B【解題分析】

根據(jù)框圖可知，當(dāng)a>b時，把b的值賦給a，此時a表示a、b中的小數(shù)；當(dāng)a>c時，將c的值賦給a，a表示a、c中的小數(shù)，所以輸出a表示的是a，b，c中的最小數(shù).【題目詳解】由程序框圖，可知若a>b，則將b的值賦給a，a表示a，b中的小數(shù)；再判斷a與c的大小，若a>c，則將c的值賦給a，則a表示a，c中的小數(shù)，結(jié)果輸出a，即a是a，b，c中的最小數(shù)．【題目點撥】本題考查程序框圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是在解題的過程中模擬程序框圖的運行過程，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

首先利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式，之后應(yīng)用余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到所求單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】因為，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，令，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選C.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)余弦型函數(shù)的單調(diào)怎區(qū)間的求解問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，余弦型函數(shù)的性質(zhì)，注意整體角思維的運用.9、D【解題分析】試題分析：，，所以?？键c：1.函數(shù)的定義域；2.集合的運算。10、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，以及上的單調(diào)性，判斷出上的單調(diào)性，求得的值，對分為四種情況討論，由此求得不等式的解集，進(jìn)而求得的解集.【題目詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，故在上遞減，由于，所以當(dāng)或時，；當(dāng)或時，.所以當(dāng)或時.故當(dāng)或即或時，.所以不等式的解集為.故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查函數(shù)變換，考查含有函數(shù)符號的不等式的解法，屬于中檔題.11、A【解題分析】

根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯誤，由向量的表示方法可知③錯誤，由共線向量的定義和四點共線的意義可判斷④錯誤【題目詳解】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；與向量互為相反向量，故③錯誤；若與是共線向量，那么可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，故④錯誤，故選A.【題目點撥】向量中有一些容易混淆的概念，如共線向量，它指兩個向量方向相同或相反，這兩個向量對應(yīng)的起點和終點可以不在一條直線上，實際上共線向量就是平行向量．12、A【解題分析】

設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案?！绢}目詳解】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，則，，所以【題目點撥】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

畫出滿足條件的平面區(qū)域，結(jié)合的幾何意義以及點到直線的距離求出的最小值即可．【題目詳解】畫出，，滿足約束條件，的平面區(qū)域，如圖所示：而的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點到點的距離，顯然到直線的距離是最小值，由，得最小值是，故答案為．【題目點撥】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．14、1【解題分析】

設(shè)，,代入方程利用復(fù)數(shù)相等即可求解，求模即可.【題目詳解】設(shè)，,則，整理得：解得，所以，故答案為1【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)方程，屬于中檔題.15、【解題分析】

由的值域為，，可得，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求．【題目詳解】由的值域為，，可得，，，，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，可知及是的根，且，把代入可得，，解可得，或，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，代入可得不符合題意，故，故答案為：．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．16、【解題分析】分析：函數(shù)在上是增函數(shù)等價于，從而可得結(jié)果.詳解：因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以恒成立，因為，實數(shù)的取值范圍是故答案為.點睛：本題主要考查“分離常數(shù)”在解題中的應(yīng)用以及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的;②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問題求參數(shù)范三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）先證平面，再證平面，可證直線直線（2）由作AB的垂線，垂足為D，則平面ABC，過A作的平行線，交于E點，則平面ABC，以AB,AC,AE分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法可求得二面角．【題目詳解】證明：連接，側(cè)面為菱形，，又C，，平面，，又，，平面，平面，直線直線；解：由知，平面平面，由作AB的垂線，垂足為D，則平面ABC，，得D為AB的中點，過A作的平行線，交于E點，則平面ABC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則為平面的一個法向量，則0，，2，，，設(shè)平面的法向量，由，取，得，，故二面角的余弦值為．【題目點撥】利用向量法求二面角的注意事項：(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角，有可能是兩法向量夾角的補角為所求；(2)求平面的法向量的方法有，①待定系數(shù)法，設(shè)出法向量坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系建立坐標(biāo)的方程，解之即可得法向量；②先確定平面的垂線，然后取相關(guān)線段對應(yīng)的向量，即確定了平面的法向量．18、（1）；（2）詳見解析；（3）.【解題分析】

（1）推導(dǎo)出側(cè)棱在平面上的射影是，從而是側(cè)棱與平面所成角，，從而求得立柱的長.（2）四邊形是長方形，從而是直角三角形，由此得出，從而三角形是直角三角形，由平面，得是直角三角形，由此能證明四面體為鱉臑.（3）利用轉(zhuǎn)化法求出異面直線與的距離，即可求得三角形面積的最小值.【題目詳解】（1）因為側(cè)棱平面，所以側(cè)棱在底面上的射影是，所以是側(cè)棱與平面所成角，所以，在中，，所以，即，，所以.（2）證明：由題意知四邊形是長方形，所以三角形是直角三角形.由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.因為，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以四面體為鱉臑.（3）與是兩異面直線，，所以平面，則兩異面直線與的距離等于到平面的距離，也即到平面的距離，等于到直線的距離.因為，所以，則到的距離為.所以線段上的動點到的最小距離為.則三角形面積的最小值為.【題目點撥】本小題主要考查空間中直線與直線，直線與平面位置關(guān)系，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）利用和項與通項關(guān)系，當(dāng)時，，將條件轉(zhuǎn)化為項之間遞推關(guān)系：，再構(gòu)造等比數(shù)列：，根據(jù)等比數(shù)列定義及通項公式求得，即得；注意驗證當(dāng)時是否滿足題意，（2）由于可裂成相鄰兩項之差：，所以利用裂項相消法求數(shù)列的前項和.試題解析：（Ⅰ）因為，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，兩式對減可得；經(jīng)檢驗，當(dāng)時也滿足；故，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，故，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，故.點睛：裂項相消法是指將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如或.20、(1);(2)-1.【解題分析】分析：（Ⅰ）由，根據(jù)橢圓的定義可得點的軌跡是以為焦點的橢圓，可求得，從而可得曲線的方程；（II）設(shè)，由，點在曲線上可得…，①同理可得…，②，由①②可得是方程的兩個根，為定值.詳解：（Ⅰ）由，可得點M（x，y）到定點A（﹣1，0），B（1，0）的距離等于之和等于．且AB，所以動點N的軌跡是以C（﹣1，0），A（1，0）為焦點的橢圓，且長軸長為，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，曲線E的方程為：；（Ⅱ）法1：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），由，（x1，y1﹣y0）=λ1（1﹣x1，﹣y1），∴，∵過點F（1，0）作直線l交曲線E于P，∴，∴…①同理可得：…②由①②可得λ1、λ2是方程x2+1x+2﹣2y02=0的兩個根，∴λ1+λ2為定值﹣1．法2：依題意得的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，則直線方程為代入橢圓方程得：設(shè)，則，由得：得同理得：則為定值。點睛：本題主要考查待定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定值問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.21、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）將代入，可得等價于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對求導(dǎo)，其中又分①若②③三種情況，利用函數(shù)的零點存在定理可得a的取值范圍.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時，等價于，即；設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，而，故，即．（2），設(shè)函數(shù)，則；（i）當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，取b滿足且，則，故在上有唯一一個零點，且當(dāng)時，，時，，由于，所以是的唯一極值點；（ii）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無極值點；（iii）當(dāng)時，若時，；若時，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，①若時，由于，故只有一個零點，所以時，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；②若時，由于，即，所以，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；③若時，，即．又，且，而由（1）知，所以，取c滿足，則故在有唯一一個零點，在有唯一一個零點；且當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，由于，故在處取得極小值，在處取得極大值，即在上有兩個極值點．綜上，只有一個極值點時，的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查