2024屆安徽省蕪湖市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末考試模擬試題含解析

2024屆安徽省蕪湖市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．2．若某校研究性學(xué)習(xí)小組共6人，計劃同時參觀科普展，該科普展共有甲，乙，丙三個展廳，6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在每個展廳參觀一小時后去其他展廳，所有展廳參觀結(jié)束后集合返回，設(shè)事件A為：在參觀的第一小時時間內(nèi)，甲，乙，丙三個展廳恰好分別有該小組的2個人；事件B為：在參觀的第二個小時時間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人，則（）．A． B． C． D．3．下列推理是歸納推理的是（）A．，為定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，得的軌跡為橢圓.B．由，，求出，，，猜想出數(shù)列的前項和的表達(dá)式.C．由圓的面積，猜出橢圓的面積.D．科學(xué)家利用鳥類的飛行原理制造飛機(jī).4．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)，則（）A． B． C． D．6．已知,則等于(

)A． B． C． D．7．4名老師、2位家長以及1個學(xué)生站在一排合影，要求2位家長不能站在一起，學(xué)生必須和4名老師中的王老師站在一起，則共有（）種不同的站法．A．1920 B．960 C．1440 D．7208．二項式(ax-36)3(a>0)的展開式的第二項的系數(shù)為A．3B．73C．3或73D．39．有本相同的數(shù)學(xué)書和本相同的語文書，要將它們排在同一層書架上,并且語文書不能放在一起，則不同的放法數(shù)為（）A． B． C． D．10．“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知一列數(shù)按如下規(guī)律排列：,則第9個數(shù)是()A．-50 B．50 C．42 D．—4212．設(shè)函數(shù)，則（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正三棱錐中，，，記二面角，的平面角依次為，，則______．14．在的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256，則n等于_________.15．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________．16．棱長為的正四面體的高為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖為一簡單組合體，其底面為正方形，平面，，且，為線段的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求三棱錐的體積．18．（12分）如圖，在多面體中，四邊形為等腰梯形，，已知，，，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù)（1）若在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）當(dāng)時，函數(shù)在有零點(diǎn)，求的最大值20．（12分）近年來，我國大力發(fā)展新能源汽車工業(yè)，新能源汽車（含電動汽車）銷量已躍居全球首位.某電動汽車廠新開發(fā)了一款電動汽車，并對該電動汽車的電池使用情況進(jìn)行了測試，其中剩余電量與行駛時間（單位：小時）的測試數(shù)據(jù)如下：如果剩余電量不足，則電池就需要充電.（1）從組數(shù)據(jù)中選出組作回歸分析，設(shè)表示需要充電的數(shù)據(jù)組數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)電池放電的特點(diǎn)，剩余電量與時間工滿足經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式：，通過散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)與之間具有相關(guān)性.設(shè)，利用表格中的前組數(shù)據(jù)求相關(guān)系數(shù)，并判斷是否有的把握認(rèn)為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系.（當(dāng)相關(guān)系數(shù)滿足時，則認(rèn)為的把握認(rèn)為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系）；（3）利用與的相關(guān)性及前組數(shù)據(jù)求出與工的回歸方程.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）附錄：相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，.前9組數(shù)據(jù)的一些相關(guān)量：合計相關(guān)公式：對于樣本.其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).21．（12分）在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面BEF；Ⅱ若，求二面角的余弦值．22．（10分）設(shè)函數(shù)．（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對于任意，都有，求m的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.2、A【解題分析】

先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得.【題目詳解】由于6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在參觀的第一小時時間內(nèi)，總的基本事件有個；事件A包含的基本事件有個；在事件A發(fā)生的條件下，在參觀的第二個小時時間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人的基本事件為個，而總的基本事件為，故所求概率為,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查條件概率的求解，注意使用縮小事件空間的方法求解.3、B【解題分析】

根據(jù)歸納推理的定義即可選出答案?！绢}目詳解】歸納推理是由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。A為演繹推理B為歸納推理C為類比推理D為類比推理故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，屬于簡單題。4、C【解題分析】試題分析：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則必有解得：，所以答案為C．考點(diǎn)：1．純虛數(shù)的定義；2．解方程．5、A【解題分析】

通過變形，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義可以直接得出答案.【題目詳解】.選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，適當(dāng)?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵.6、C【解題分析】分析：根據(jù)條件概率的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意，根據(jù)條件概率的計算公式，則，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了條件概率的計算公式的應(yīng)用，其中熟記條件概率的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.7、B【解題分析】

先將學(xué)生和王老師捆綁成一個團(tuán)隊，再將團(tuán)隊與另外3個老師進(jìn)行排列，最后將兩位家長插入排好的隊中即可得出．【題目詳解】完成此事分三步進(jìn)行：（1）學(xué)生和王老師捆綁成一個團(tuán)隊，有種站法；（2）將團(tuán)隊與另外3個老師進(jìn)行排列，有種站法；（3）將兩位家長插入排好的隊中，有種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，所以有種不同的站法，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理、捆綁法以及插空法的應(yīng)用．8、A【解題分析】試題分析：∵展開式的第二項的系數(shù)為-32，∴C31a2(-當(dāng)a=1時，-2a考點(diǎn)：二項式定理、積分的運(yùn)算.9、A【解題分析】由題意，故選A．點(diǎn)睛：本題是不相鄰問題，解決方法是“插空法”，先把數(shù)學(xué)書排好（由于是相同的數(shù)學(xué)書，因此只有一種放法），再在數(shù)學(xué)書的6個間隔（含兩頭）中選3個放語文書（語文書也相同，只要選出位置即可），這樣可得放法數(shù)為，如果是5本不同的數(shù)學(xué)書和3本不同的語文書，則放法為．10、B【解題分析】時，，當(dāng)時，，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)不是奇函數(shù)時，不一定奇函數(shù)，當(dāng)是奇函數(shù)時，由可得，所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的必要不充分條件，故選B.11、A【解題分析】分析：根據(jù)規(guī)律從第3個數(shù)起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)之差，確定第9個數(shù).詳解：因?yàn)閺牡?個數(shù)起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)之差，所以第9個數(shù)是，選A.點(diǎn)睛：由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法為：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.12、C【解題分析】

根據(jù)的取值計算的值即可.【題目詳解】解：，故，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)求值問題，考查對數(shù)以及指數(shù)的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

作平面ABC，連接CO延長交AB于點(diǎn)D，連接可得D為AB的中點(diǎn)，，于是二面角的平面角為作，垂足為E點(diǎn)，連接BE，根據(jù)≌，可得可得為的平面角，利用余弦定理即可得出．【題目詳解】如圖所示，作平面ABC，連接CO延長交AB于點(diǎn)D，連接PD．則D為AB的中點(diǎn)，，．二面角的平面角為．，，，．．作，垂足為E點(diǎn)，連接BE，≌，．為的平面角，．．在中，．．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正三棱錐的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、余弦定理、勾股定理、二面角、三角形全等，屬于難題．14、8【解題分析】

由題意可知，，解得n，得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式中所有項的二項式系數(shù)之和為256，所以有，解得，故答案是8.【題目點(diǎn)撥】這是一道考查二項式定理的題目，解題的關(guān)鍵是明確二項展開式的性質(zhì)，由二項式定理可得，二項式所有項的二項式系數(shù)和為，從而求得結(jié)果.15、【解題分析】分析：過作，垂足為，則平面，則即為所求平面角，從而可得結(jié)果.詳解：依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，由平面，可得，所以平面，則即為所求平面角，因?yàn)椋?，所以，故答案?點(diǎn)睛：本題考查長方體的性質(zhì)，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統(tǒng)法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.16、【解題分析】

利用正弦定理計算出正四面體底面三角形的外接圓半徑，再利用公式可得出正四面體的高.【題目詳解】設(shè)正四面體底面三角形的外接圓的半徑為，由正弦定理得，，因此，正四面體的高為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查正四面體高的計算，解題時要充分分析幾何體的結(jié)構(gòu)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計算，考查空間想象能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）要證線線垂直，一般先證線面垂直，注意到底面，考慮證明與平面平行（或其內(nèi)一條直線平行），由于是中點(diǎn)，因此取中點(diǎn)（實(shí)質(zhì)上是與的交點(diǎn)），可證是平行四邊形，結(jié)論得證；（Ⅱ）求三棱錐的體積，采用換底，即，由已知可證就是三棱錐的高，從而易得體積．試題解析：（Ⅰ）連結(jié)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連結(jié)，∵為線段的中點(diǎn)，∴且又且∴且∴四邊形為平行四邊形，∴,即．又∵平面,面,∴,∵,∴,（Ⅱ）∵平面，平面,∴平面平面∵，平面平面，平面，∴平面.三棱錐的體積考點(diǎn)：線面垂直的判定與性質(zhì)，三棱錐的體積．18、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）通過取AD中點(diǎn)M，連接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中點(diǎn)O建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面CAE與直線BE向量，根據(jù)直線與法向量的夾角即可求得直線與平面夾角的正弦值．詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，由四邊形為平行四邊形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如圖，取的中點(diǎn)為，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，不妨令，得.故直線與平面所成角的正弦值.點(diǎn)睛：本題考查了空間幾何體面面垂直的綜合應(yīng)用，利用法向量法求線面夾角的正弦值，關(guān)鍵注意計算要準(zhǔn)確，屬于中檔題．19、（1）；（2）最大值為【解題分析】

（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，利用參數(shù)分離得到答案.（2）當(dāng)時，代入函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依次判斷每個區(qū)間的零點(diǎn)情況，綜合得到答案.【題目詳解】解：（1）的定義域?yàn)樵谏虾愠闪?，即即?shí)數(shù)的取值集合是（2）時，，即在區(qū)間和單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減.在最小值為且在上沒有零點(diǎn).要想函數(shù)在上有零點(diǎn)，并考慮到在區(qū)間上單調(diào)且上單減，只須且，易檢驗(yàn)當(dāng)時，且時均有，即函數(shù)在上有上有零點(diǎn).的最大值為【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，恒成立問題，參數(shù)分離法，零點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)難度大，需要靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)各個知識點(diǎn).20、（1）見解析；（2）有的把握認(rèn)為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)題知隨機(jī)變量的可能取值為、，利用古典概型概率公式計算出和時的概率，可列出隨機(jī)變量的分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可計算出；（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計算出相關(guān)系數(shù)的值，結(jié)合題中條件說明由的把握認(rèn)為變量與變量有線性相關(guān)關(guān)系；（3）對兩邊取自然對數(shù)得出，設(shè)，由，可得出，利用最小二乘法計算出關(guān)于的回歸直線方程，進(jìn)而得出關(guān)于的回歸方程.【題目詳解】（1）組數(shù)據(jù)中需要充電的數(shù)據(jù)組數(shù)為組.的所有可能取值為、.，.的分布列如下：；（2）由題意知，，有的把握認(rèn)為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；（3）對兩邊取對數(shù)得，設(shè)，又，則，，易知，.，，所求的回歸方程為，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)變量分布列與數(shù)學(xué)期望、相關(guān)系數(shù)的計算、非線性回歸方程的求解，解題時要理解最小二乘法公式及其應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.21、(1)見解析;(2).【解題分析】

（1）連接交于，并連接，，由空間幾何關(guān)系可證得，利用線面平行的判斷定理可得平面.（2）（法一）取中點(diǎn)，連，，，由二面角的定義結(jié)合幾何體的特征可知為二面角的平面角,計算可得二面角的余弦值為.（法二）以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則平面法向量可?。?平面的法向量,由空間向量的結(jié)論計算可得二面角的余弦值為.【題目詳解】（1）連接交于，并連接，，，，為中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）（法一）由為正方形可得，.取中點(diǎn)，連，，，側(cè)面底面，且交于，，面，又，為二面角的平面角,又，，，，所以二面角的余弦值為.（法二）由題意可知面，，如圖所示，以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則，，，.平面法向量可取：,平