1.4.2單位圓與任意角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)和正切函數(shù)的基本性質(zhì)教案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1、利用單位圓判斷任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的基本性質(zhì)；2、利用單位圓判斷定區(qū)間內(nèi)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的單調(diào)性；3、利用單位圓求解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)在定區(qū)間內(nèi)的最值；教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的基本性質(zhì)難點(diǎn)：定區(qū)間內(nèi)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的單調(diào)性與最值問題教學(xué)設(shè)計(jì)情景導(dǎo)入如圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于Pu,v，回答下列問題：寫出任意角α的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)和正切函數(shù)的解析式？對應(yīng)的定義域是什么？根據(jù)單位圓的性質(zhì)，當(dāng)自變量角α發(fā)生變化時，其終邊與單位圓的交點(diǎn)Pu,v的橫坐標(biāo)u與縱坐標(biāo)v與角α終邊相同的角怎樣表示？根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義，你能發(fā)現(xiàn)終邊相同的角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值和正切函數(shù)值有怎樣的關(guān)系嗎？根據(jù)（3）的結(jié)論，你能判斷出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)時周期函數(shù)嗎？最小正周期分別是多少？（設(shè)計(jì)意圖：帶領(lǐng)學(xué)生在單位圓中分析相關(guān)的性質(zhì)和取值，方便總結(jié)）新知概念2、1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的基本性質(zhì)定義域：正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義域均為：實(shí)數(shù)集R正切函數(shù)的定義域：αα≠最值和值域：根據(jù)單位圓中的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義得到（1）當(dāng)α=π2+2kπ當(dāng)α=?π2+2kπ正弦函數(shù)v=sinα的值域?yàn)椋?）當(dāng)α=2kπ,k∈Z當(dāng)α=π+2kπ,k余弦函數(shù)u=cosα的值域?yàn)椋?）正切函數(shù)：根據(jù)其定義可以發(fā)現(xiàn)其沒有最大值和最小值，值域?yàn)?周期性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)主要從終邊相同的角去處理，正切函數(shù)結(jié)合定義處理（1）終邊相同的角正弦函數(shù)值相等：sinα+2kπ（2）終邊相同的角余弦函數(shù)值相等：cosα+2kπ（3）正切函數(shù)值相等的情況：tanα+kπ=tanα單調(diào)性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合角的終邊余單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來觀察，正切函數(shù)的單調(diào)性從定義來觀察，一個比值關(guān)系。問題引入：如圖1，在單位圓中，當(dāng)角α由?π2增加到π2如圖2，在單位圓中，當(dāng)角α由π2增加到3π2如圖3，在單位圓中，當(dāng)角α由0增加到π時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)怎樣變化？說明了余弦函數(shù)的哪個性質(zhì)？如圖4，在單位圓中，當(dāng)角α由?π增加到0時，點(diǎn)P如圖5，在單位圓中，當(dāng)角α由?π2增加到π2如圖6，在單位圓中，當(dāng)角α由π2增加到3π2歸納總結(jié)：正弦函數(shù)的單調(diào)性：對任意的k∈Z，正弦函數(shù)在區(qū)間正弦函數(shù)在區(qū)間π2余弦函數(shù)的單調(diào)性：對任意的k∈Z，余弦函數(shù)在區(qū)間余弦函數(shù)在區(qū)間π+2k正切函數(shù)的單調(diào)性：正切函數(shù)只有單調(diào)遞增區(qū)間，沒有單調(diào)遞減區(qū)間。對任意的k∈Z，正切函數(shù)在區(qū)間對點(diǎn)練習(xí)若函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=cosx在區(qū)間D上都單調(diào)遞增，則區(qū)間D可以是（）A、0,B、πC、πD、3例題講解求函數(shù)y=lgsinx?解：對數(shù)的真數(shù)大于零，二次根式的被開方數(shù)不小于零由題意可知，定義域滿足不等式組：sinx?22解得：2k所以函數(shù)的定義域?yàn)椋簒求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出其最大值和最小值以及對應(yīng)的自變量的取值y=2sinx,xy=?解：（1）根據(jù)單位圓可知：在x∈π6所以當(dāng)x=π2時，取得最大值，最大值為因?yàn)?sinπ6=1,2sin（2）根據(jù)單位圓可知：y=cosx在x∈?π所以：y=?12cosx,x在x∈所以：當(dāng)x=0時，取得最小值，最小值為：?因?yàn)?12cos?求函數(shù)y=2sin解：注意分析使用換元法，換元法注意新元范圍令t=sinα,t∈?1,1，則y=2sin（變成了一個定區(qū)間內(nèi)的最值問題：主要考慮對稱軸）對稱軸為直線：t=?54，所以在區(qū)間所以當(dāng)t=?1時，取得最小值為：?4當(dāng)t=1時，取得最大值為：6求下列各式的值cossin解：（1）原式=cos8（2）原式==比較下列各組值的大小sin21πcos2π3與tan2與tan3解：先將角轉(zhuǎn)化成0,2因?yàn)椋簊in又因?yàn)椋?<π5<2π5<π2因?yàn)棣?<2π3<4因?yàn)棣?<2<3<π已知函數(shù)y1=a?bcosxb>0的最大值是32，最小值是解：因?yàn)楹瘮?shù)y1=a?bcosxb>0的最大值是由題意可知：a+b=32a?b=?12已知函數(shù)fx=2asinx+b的定義域?yàn)?π3,2π解：因?yàn)?π3≤x≤2π3，所以當(dāng)a>0時，f所以：2a+b=1?3當(dāng)a<0時，f所以：?3a+b=1綜上所