2024屆遼寧省遼河油田二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆遼寧省遼河油田二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則（）A．8 B．7 C．6 D．52．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，成等差數(shù)列，則的值是（）A． B． C． D．3．己知復(fù)數(shù)z1=3+ai(a∈R),z2A．-1 B．1 C．10 D．34．已知集合，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．5．某研究機(jī)構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個變量和進(jìn)行統(tǒng)計分析時，得到的數(shù)據(jù)如下表所示．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點中任取一點，該點落在回歸直線上方的概率為（）4681012122.956.1A． B． C． D．無法確定6．岳陽高鐵站進(jìn)站口有3個閘機(jī)檢票通道口，高考完后某班3個同學(xué)從該進(jìn)站口檢票進(jìn)站到外地旅游，如果同一個人進(jìn)的閘機(jī)檢票通道口選法不同，或幾個人進(jìn)同一個閘機(jī)檢票通道口但次序不同，都視為不同的進(jìn)站方式，那么這3個同學(xué)的不同進(jìn)站方式有（）種A．24 B．36 C．42 D．607．已知命題；命題若，則．則下列命題為真命題的是A． B．C． D．8．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．-832 B．-672 C．-512 D．-1929．曾玉、劉云、李夢、張熙四人被北京大學(xué)、清華大學(xué)、武漢大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)錄取，他們分別被哪個學(xué)校錄取，同學(xué)們做了如下的猜想甲同學(xué)猜：曾玉被武漢大學(xué)錄取，李夢被復(fù)旦大學(xué)錄取同學(xué)乙猜：劉云被清華大學(xué)錄取，張熙被北京大學(xué)錄取同學(xué)丙猜：曾玉被復(fù)旦大學(xué)錄取，李夢被清華大學(xué)錄取同學(xué)丁猜：劉云被清華大學(xué)錄取，張熙被武漢大學(xué)錄取結(jié)果，恰好有三位同學(xué)的猜想各對了一半，還有一位同學(xué)的猜想都不對那么曾玉、劉云、李夢、張熙四人被錄取的大小可能是（）A．北京大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)B．武漢大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、北京大學(xué)C．清華大學(xué)、北京大學(xué)、武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)D．武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)10．已知直線傾斜角是，在軸上截距是，則直線的參數(shù)方程可以是（）A． B． C． D．11．設(shè)，則等于（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下圖，則___________．123414．在的展開式中，項的系數(shù)為_______..（用數(shù)字作答）15．設(shè)函數(shù)（，，為常數(shù)，且，，）的部分圖象如圖所示，則_____.16．某校共有教師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為的樣本，已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為50人，那么的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對任意正整數(shù)n，設(shè)表示n的所有正因數(shù)中最大奇數(shù)與最小奇數(shù)的等差中項，表示數(shù)列的前n項和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常數(shù)s，t，使得對一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請說明理由.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系.已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）設(shè)是參數(shù)，若，求直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于兩點，設(shè)且,求實數(shù)的值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，求的取值范圍；（2）若的圖像與相切，求的值．21．（12分）如圖，四邊形中，，，，為邊的中點，現(xiàn)將沿折起到達(dá)的位置（折起后點記為）．（1）求證：；（2）若為中點，當(dāng)時，求二面角的余弦值．22．（10分）一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：，，，（I）從中任意拿取張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)，在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；（II）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由得，即，然后即可求出答案【題目詳解】因為，所以所以即，即解得故選：D【題目點撥】本題考查的是排列數(shù)和組合數(shù)的計算，較簡單.2、B【解題分析】

因為成等差數(shù)列，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，即，數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，，故選B.3、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和純虛數(shù)的概念求得.【題目詳解】由已知得：z1z所以3-3a=09+a≠0,解得：故選B.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和純虛數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

先分別求出集合A與集合B，再判別集合A與B的關(guān)系，得出結(jié)果.【題目詳解】，【題目點撥】本題考查了集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

求出樣本的中心點，計算出，從而求出回歸直線方程，個點中落在回歸直線上方的有三個，算出概率即可?！绢}目詳解】由題可得，因為線性回歸方程過樣本中心點，所以，所以，所以，故個點中落在回歸直線上方有，，，共個，所以概率為.故選B.【題目點撥】本題考查線性回歸方程和古典概型，解題的關(guān)鍵是求出線性回歸方程，屬于一般題。6、D【解題分析】分析：三名同學(xué)可以選擇1個或2個或3個不同的檢票通道口進(jìn)站，三種情況分別計算進(jìn)站方式即可得到總的進(jìn)站方式.詳解：若三名同學(xué)從3個不同的檢票通道口進(jìn)站，則有種；若三名同學(xué)從2個不同的檢票通道口進(jìn)站，則有種；若三名同學(xué)從1個不同的檢票通道口進(jìn)站，則有種；綜上，這3個同學(xué)的不同進(jìn)站方式有種，選D.點睛：本題考查排列問題，屬于中檔題，解題注意合理分類討論，而且還要注意從同一個進(jìn)站口進(jìn)入的學(xué)生的不同次序.7、B【解題分析】試題分析：顯然命題是真命題；命題若，則是假命題，所以是真命題，故為真命題.考點：命題的真假.8、A【解題分析】

求出展開式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即可.【題目詳解】含的項的系數(shù)即求展開式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即含的項的系數(shù)是．故選A.【題目點撥】本題考查二項式定理，屬于中檔題．9、D【解題分析】

推理得到甲對了前一半，乙對了后一半，丙對了后一半，丁全錯，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意：甲對了前一半，乙對了后一半，丙對了后一半，丁全錯，曾玉、劉云、李夢、張熙被錄取的大學(xué)為武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)（另外武漢大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)也滿足）.故選：.【題目點撥】本題考查了邏輯推理，意在考查學(xué)生的推理能力.10、D【解題分析】

由傾斜角求得斜率,由斜截式得直線方程,再將四個選項中的參數(shù)方程化為普通方程,比較可得答案.【題目詳解】因為直線傾斜角是,所以直線的斜率,所以直線的斜截式方程為:,由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故正確;故選:D.【題目點撥】本題考查了直線方程的斜截式,參數(shù)方程化普通方程,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

利用計算出定積分的值.【題目詳解】依題意得，故選C.【題目點撥】本小題主要考查定積分的計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點．則實數(shù)a的取值范圍是（0，）．故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

依題意可知，根據(jù)分布列計算可得；【題目詳解】解：依題意可得故答案為：【題目點撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與和概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、6【解題分析】

將題中所給的式子變形，即，可以發(fā)現(xiàn)展開式中項的系數(shù)為中展開式中項的系數(shù)，借助于二項展開式的通項求得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意，可得，的展開式的通項為，所以展開式中項的系數(shù)為中展開式中項的系數(shù)，為，故答案是：6.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)二項展開式中某一項的系數(shù)的問題，涉及到的知識點有二項展開式的通項，在解題的過程中，也可以將兩個式子按照二項式定理展開，從而求得其系數(shù)，屬于簡單題目.15、【解題分析】

由圖像可以計算出，，的值，即可得到三角函數(shù)表達(dá)式，然后計算出結(jié)果【題目詳解】由圖可知：，由，得，從而.將點代入，得，即，又，所以，得.所以.【題目點撥】本題考查了由函數(shù)圖像求三角函數(shù)的表達(dá)式，熟練掌握圖像是解題關(guān)鍵，較為基礎(chǔ)16、120【解題分析】分析：根據(jù)分層抽樣的原則先算出總體中女學(xué)生的比例，再根據(jù)抽取到女學(xué)生的人數(shù)計算樣本容量n詳解：因為共有教師200人,男學(xué)生1200人,女學(xué)生1000人所以女學(xué)生占的比例為女學(xué)生中抽取的人數(shù)為50人所以所以n=120點睛：分層抽樣的實質(zhì)為按比例抽，所以在計算時要算出各層所占比例再乘以樣本容量即為該層所抽取的個數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，，；（2），見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)定義計算即可；（2）先由，，確定出s，t的值，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【題目詳解】（1）1的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，2的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，3的最大正奇因數(shù)為3，最小正奇因數(shù)為1，所以，4的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，5的最大正奇因數(shù)為5，最小正奇因數(shù)為1，所以.（2）由（1）知，，，，所以，解得.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，，成立；②假設(shè)當(dāng)（，）時，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)時，易知當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，.所以.所以當(dāng)時，結(jié)論成立.綜合①②可知，對一切且恒成立.【題目點撥】本題考查數(shù)列中的新定義問題，利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.18、（1）(t為參數(shù))；（2）.【解題分析】

（1）先將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，代入，求得的值，由此求得直線的參數(shù)方程.（2）先求得曲線的直角坐標(biāo)方程，然后將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合利用參數(shù)的幾何意義列方程，解方程求得的值.【題目詳解】（1）由得直線，代入，求得，故直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）由得.將代入并化簡得，所以，由于在直線上，由得，即，化簡得，解得（負(fù)根舍去）.【題目點撥】本小題主要考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查直線參數(shù)方程及直線參數(shù)的運(yùn)用，屬于中檔題.19、（1），；（2）【解題分析】分析：（1）將參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)可得直線的普通方程，利用即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）先證明直線過定點，點在圓的內(nèi)部.當(dāng)直線與線段垂直時，取得最小值，利用勾股定理可得結(jié)果..詳解：（1）將（為參數(shù)，）消去參數(shù)，得直線，，即.將代入，得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)直線的普通方程為，其中，又，∴，則直線過定點，∵圓的圓心，半徑，，故點在圓的內(nèi)部.當(dāng)直線與線段垂直時，取得最小值，∴.點睛：本題考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及勾股定理求圓的弦長，屬于中檔題.消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，只要將和換成和即可.20、（1）；（2）1【解題分析】

（1）由題意可得，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極值和最值，即可得到所求范圍；（2）設(shè)的圖象與相切于點，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點滿足曲線方程，解方程即可得到所求值．【題目詳解】（1）由得.，從而，即．設(shè).，則，（）所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，故的取值范圍是．（2）設(shè)的圖像與相切于點，依題意可得因為，所以消去可得．令，則，顯然在上單調(diào)遞減，且，所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時．故．【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為在改點處切線的斜率，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值和最值的關(guān)系，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．21、(1)見證明；(2)【解題分析】

（１）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明面，從而推得；（２）以為原點，以，分別為，建立空間直角坐標(biāo)，分別求出面的法向量和面的法向量為，根據(jù)二面角的余弦值公式即可求解出結(jié)果．【題目詳解】（1）證明：因為，，，所以面，又因為面，所以．（2）解：以為原點，以，分別為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，