山東省濟南市三年（2020-2022）中考數學真題分類匯編-解答題

山東省濟南市三年（2020-2022）中考數學真題分類匯編-解答題

一.實數的運算（共3小題）

1.（2022?濟南）計算：|-3|-4sin30°+日+（A）

3

2.（2021?濟南）計算：C1）T+（兀-1）°+|-3卜2tan45。?

3.（2020?濟南）計算：（工）0-2sin30°+?+（A），

22

二.分式方程的應用（共1小題）

4.（2021?濟南）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗.某超市節(jié)前購進了甲、乙兩種暢銷

口味的粽子.已知購進甲種粽子的金額是1200元，購進乙種粽子的金額是800元，購進

甲種粽子的數量比乙種粽子的數量少50個，甲種粽子的單價是乙種粽子單價的2倍.

（1）求甲、乙兩種粽子的單價分別是多少元？

（2）為滿足消費者需求，該超市準備再次購進甲、乙兩種粽子共200個，若總金額不超

過1150元，問最多購進多少個甲種粽子?

三.一元一次不等式組的整數解（共3小題）

衛(wèi)〈工①

5.（2022?濟南）解不等式組：｛23,并寫出它的所有整數解.

.2x-543（x-2）.②

，3（x-l）＞2x-5,①

6.（2021?濟南）解不等式組：＜并寫出它的所有整數解.

2x〈啜②

4（2x-l）＜3x+l①

7.（2020?濟南）解不等式組:2x〉罕②并寫出它的所有整數解.

四.一次函數的應用（共2小題）

8.（2022?濟南）為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗.已知購買20棵甲種

樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元.

（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？

（2）若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數量不超過甲種樹苗的3倍.則

購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時花費最少？請說明理由.

9.（2020?濟南）5G時代的到來，將給人類生活帶來巨大改變.現(xiàn)有A、8兩種型號的5G

手機，進價和售價如表所示：型號價格

價格進價（元/部）售價（元/部）

型號

A30003400

B35004000

某營業(yè)廳購進4、B兩種型號手機共花費32000元，手機銷售完成后共獲得利潤4400元.

（1）營業(yè)廳購進A、B兩種型號手機各多少部？

（2）若營業(yè)廳再次購進4、8兩種型號手機共30部，其中B型手機的數量不多于4型

手機數量的2倍，請設計一個方案：營業(yè)廳購進兩種型號手機各多少部時獲得最大利潤，

最大利潤是多少？

五.反比例函數綜合題（共3小題）

10.（2022?濟南）如圖，一次函數產」b+1的圖象與反比例函數產區(qū)（x>0）的圖象交于

2x

點A（a,3）,與y軸交于點B.

（1）求a,?的值;

（2）直線CD過點A,與反比例函數圖象交于點C,與x軸交于點。，AC=AD,連接

CB.

①求AABC的面積；

②點P在反比例函數的圖象上，點。在x軸上，若以點A,B,P,。為頂點的四邊形是

平行四邊形，請求出所有符合條件的點P坐標.

11.（2021?濟南）如圖，直線），=旦乂與雙曲線），=K交于A,B兩點，點A的坐標

2x

為（〃［，-3）,點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接8C并延長交x軸于點。，且

BC=2CD.

(1)求k的值并直接寫出點B的坐標；

(2)點G是y軸上的動點，連接GB,GC,求GB+GC的最小值；

(3)尸是坐標軸上的點，。是平面內一點，是否存在點P,。，使得四邊形ABPQ是矩

形？若存在，請求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

12.(2020?濟南)如圖，矩形OABC的頂點A,C分別落在x軸，y軸的正半軸上，頂點8

(2,2禽)，反比例函數)，=K(x>0)的圖象與BC,A8分別交于。，E,8力=1.

x2

(1)求反比例函數關系式和點E的坐標；

(2)寫出。E與AC的位置關系并說明理由；

(3)點F在直線AC上，點G是坐標系內點，當四邊形BCFG為菱形時，求出點G的

坐標并判斷點G是否在反比例函數圖象上.

六.二次函數綜合題(共3小題)

13.(2022?濟南)拋物線)，=0?+里=-6與x軸交于A(n0),B(8,0)兩點，與y軸交

4

于點C,直線y=fcv-6經過點8點P在拋物線上，設點尸的橫坐標為日

(1)求拋物線的表達式和f,%的值；

(2)如圖1,連接AC,AP,PC,若△4PC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐

標；

(3)如圖2,若點尸在直線BC上方的拋物線上，過點P作尸。，BC,垂足為Q,求CQ+1-PQ

2

的最大值.

(1)求拋物線的表達式及點C的坐標；

(2)如圖1,點尸在拋物線上，連接CP并延長交x軸于點。，連接AC,若△ZMC是

以AC為底的等腰三角形，求點尸的坐標；

(3)如圖2,在(2)的條件下，點E是線段4c上(與點4,C不重合)的動點，連接

PE,作NP￡F=ZCAB,邊E廣交x軸于點F,設點尸的橫坐標為機,求"?的取值范圍.

15.(2020?濟南)如圖1,拋物線y=-W+bx+c過點A(-1,0),點8(3,0),與y軸交

于點C.在x軸上有一動點0)(0V〃?<3),過點E作直線軸，交拋物線于

點M.

(1)求拋物線的解析式及C點坐標;

(2)當初=1時，O是直線/上的點且在第一象限內，若△ACQ是以NQCA為底角的等

腰三角形，求點。的坐標;

（3）如圖2,連接并延長交y軸于點N,連接AM,0M,設△4加的面積為Si,△

七.平行四邊形的性質（共1小題）

16.（2020?濟南）如圖，在。A8CO中，對角線AC,8。相交于點。，過點O的直線分別交

AD,8c于點E,F.求證：AE=CF.

八.菱形的性質（共2小題）

17.（2022?濟南）已知：如圖，在菱形ABC。中，E,尸是對角線4c上兩點，連接DE,

18.（2021?濟南）已知：如圖，在菱形ABCD中，E,產分別是邊A。和C。上的點，且N

ABE=NCBF.求證：DE=DF.

九.四邊形綜合題(共1小題)

19.(2021?濟南)在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。在邊8c上，BD=^BC,

3

將線段DB繞點。順時針旋轉至QE,記旋轉角為a,連接BE,CE,以CE為斜邊在其

一側作等腰直角三角形CEF,連接AF.

(1)如圖1,當a=180°時，請直接寫出線段A尸與線段BE的數量關系；

(2)當0°<a<180°時，

①如圖2,(1)中線段AF與線段BE的數量關系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,當B,E,尸三點共線時，連接4E,判斷四邊形4EC尸的形狀，并說明理由.

一十.切線的性質(共3小題)

20.(2022?濟南)己知：如圖，A8為。。的直徑，CC與。。相切于點C,交48延長線于

點、D,連接AC,BC,/。=30°,CE平分/ACB交。。于點E,過點B作8HLeE,

垂足為F.

(1)求證：CA=CD；

(2)若A8=12,求線段8F的長.

21.(2021?濟南)已知：如圖，A8是。。的直徑，C,。是。0上兩點，過點C的切線交

D4的延長線于點E,DELCE,連接CO,BC.

(1)求證：ZDAB=2ZABC；

(2)若tanNADC=工，BC=4,求。。的半徑.

2

D

22.（2020?濟南）如圖，A8為。O的直徑，點C是。。上一點，與。。相切于點C,

過點A作ADJ_DC,連接AC,BC.

（1）求證：AC是ND4B的角平分線;

(2)若A￡>=2,AB=3,求AC的長.

一十一.幾何變換綜合題（共1小題）

23.（2022?濟南）如圖1,△ABC是等邊三角形，點。在△ABC的內部，連接AO,將線段

A。繞點A按逆時針方向旋轉60°,得到線段AE,連接8D,DE,CE.

（1）判斷線段與CE的數量關系并給出證明;

（2）延長ED交直線BC于點F.

①如圖2,當點F與點3重合時，直接用等式表示線段AE,BE和CE的數量關系

為

②如圖3,當點尸為線段BC中點，且E￡>=EC時，猜想的度數并說明理由.

AAA

一十二.相似形綜合題（共1小題）

24.（2020?濟南）在等腰△ABC中，AC=BC,△ADE是直角三角形，ZDAE=9Q°,ZADE

=』/ACB,連接BQ,BE,點F是的中點，連接CF.

2

（1）當NCAB=45°時.

①如圖1,當頂點D在邊AC上時，請直接寫出NEAB與NCBA的數量關系是.線

段BE與線段CF的數量關系是；

②如圖2,當頂點。在邊AB上時，（1）中線段BE與線段C尸的數量關系是否仍然成立？

若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；

學生經過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰AABC底邊上的高CM,并取8E的中點M再利用三角形全等或相似有

關知識來解決問題；

思路二：取DE的中點G,連接AG,CG,并把△CAG繞點C逆時針旋轉90°,再利用

旋轉性質、三角形全等或相似有關知識來解決問題.

（2）當NC48=30°時，如圖3,當頂點。在邊AC上時，寫出線段8E與線段C尸的數

量關系，并說明理由.

圖2圖3

一十三.頻數（率）分布直方圖（共2小題）

25.（2022?濟南）某校舉辦以2022年北京冬奧會為主題的知識競賽，從七年級和八年級各

隨機抽取了50名學生的競賽成績進行整理、描述和分析，部分信息如下：

外七年級抽取成績的頻數分布直方圖如圖.

（數據分成5組,50Wx〈60,60Wx<70,70Wx<80,80Wx<90,90WxW100）

70,72,73,73,75,75,75,76,

77,77,78,78,79,79,79,79.

c：七、八年級抽取成績的平均數、中位數如下:

年級平均數中位數

七年級76.5m

八年級78.279

請結合以上信息完成下列問題：

（1）七年級抽取成績在60Wx<90的人數是,并補全頻數分布直方圖；

（2）表中m的值為;

（3）七年級學生甲和八年級學生乙的競賽成績都是78,則（填“甲”或"乙”）

的成績在本年級抽取成績中排名更靠前；

（4）七年級的學生共有400人，請你估計七年級競賽成績90分及以上的學生人數.

26.（2020?濟南）促進青少年健康成長是實施“健康中國”戰(zhàn)略的重要內容.為了引導學生

積極參與體育運動，某校舉辦了一分鐘跳繩比賽，隨機抽取了40名學生一分鐘跳繩的次

數進行調查統(tǒng)計，并根據調查統(tǒng)計結果繪制了如下表格和統(tǒng)計圖：

人數，

12

10

0

100120140160180次數

等級次數頻率

不合格100Wx<120a

合格120Wx<140b

良好140?160

優(yōu)秀160Wx<180

請結合上述信息完成下列問題：

（1）a—,b=；

（2）請補全頻數分布直方圖；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，“良好”等級對應的圓心角的度數是；

（4）若該校有2000名學生，根據抽樣調查結果，請估計該校學生一分鐘跳繩次數達到

合格及以上的人數.

一十四.扇形統(tǒng)計圖（共1小題）

27.（2021?濟南）為倡導綠色健康節(jié)約的生活方式，某社區(qū)開展“減少方便筷使用，共建節(jié)

約型社區(qū)”活動.志愿者隨機抽取了社區(qū)內50名居民，對其5月份方便筷使用數量進行

了調查，并對數據進行了統(tǒng)計整理，以下是部分數據和不完整的統(tǒng)計圖表：

方便筷使用數量在5Wx<15范圍內的數據：

5,1,12,9,10,12,8,8,10,11,6,9,13,6,12,8,7.

不完整的統(tǒng)計圖表：

方便筷使用數量統(tǒng)計表

組別使用數量頻數

（雙）

A0?514

B5Wx<10

C10?

15

D—a

20

E元22010

合計50

請結合以上信息回答下列問題:

(1)統(tǒng)計表中的。=;

(2)統(tǒng)計圖中E組對應扇形的圓心角為度；

(3)C組數據的眾數是：調查的50名居民5月份使用方便筷數量的中位數

是:

(4)根據調查結果，請你估計該社區(qū)2000名居民5月份使用方便筷數量不少于15雙的

人數.

方便筷使用數量占比統(tǒng)計圖

山東省濟南市三年（2020-2022）中考數學真題分類匯編-解答題

參考答案與試題解析

一.實數的運算（共3小題）

1.（2022?濟南）計算：|-3|-4sin30°+日+（A）

3

【解答】解：原式=3-4X工+2+3

2

=3-2+2+3

=6.

0

2.（2021?濟南）計算：（l）-l+（K-l）+|-3|-2tan450-

【解答】解：念）-1+（兀|-2tan450

=4+l+3-2Xl

=8-2

=6.

3.（2020?濟南）計算：（工）0-2sin30°+?+（A）

22

【解答】解：原式=1-2X2+2+2

2

=1-1+2+2

=4.

二.分式方程的應用（共1小題）

4.（2021?濟南）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗.某超市節(jié)前購進了甲、乙兩種暢銷

口味的粽子.已知購進甲種粽子的金額是1200元，購進乙種粽子的金額是800元，購進

甲種粽子的數量比乙種粽子的數量少50個，甲種粽子的單價是乙種粽子單價的2倍.

（1）求甲、乙兩種粽子的單價分別是多少元？

（2）為滿足消費者需求，該超市準備再次購進甲、乙兩種粽子共200個，若總金額不超

過1150元，問最多購進多少個甲種粽子？

【解答】解：（1）設乙種粽子的單價為x元，則甲種粽子的單價為2x元，

依題意得：800-120p_=5O,

x2x

解得：x=4,

經檢驗，x=4是原方程的解,

則2x=8,

答：甲種粽子的單價為8元，乙種粽子的單價為4元.

（2）設購進甲種粽子m個，則購進乙種粽子（200-/7?）個,

依題意得：8〃?+4(200-w)＜1150,

解得：加W87.5,

答：最多購進87個甲種粽子.

三.一元一次不等式組的整數解（共3小題）

士~三，①

5.（2022?濟南）解不等式組：｛23,并寫出它的所有整數解.

,2x-543（x-2）.②

【解答】解：解不等式①得：尤<3,

解不等式②得：

二原不等式組的解集為：l<x<3,

???整數解為1,2.

’3（x-l）>2x-5,①

6.（2021?濟南）解不等式組：，/x+3d并寫出它的所有整數解.

2x〈號，②

【解答】解：解不等式①，得x2-2,

解不等式②，得xVl,

不等式組的解集為-2Wx<l,

二不等式組的整數解有-2、-1.0.

14（2x-l）43x+l①

7.（2020?濟南）解不等式組：2x＞掾②,并寫出它的所有整數解.

’4(2x-l)43x+l①

【解答】解：2x＞掾②

解不等式①得：xWl,

解不等式②得：x>-1,

不等式組的解集為-IVxWl,

二不等式組的所有整數解為0,1.

四.一次函數的應用（共2小題）

8.（2022?濟南）為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗.已知購買20棵甲種

樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元.

(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？

(2)若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數量不超過甲種樹苗的3倍.則

購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時花費最少？請說明理由.

【解答】解：(1)設甲種樹苗每棵的價格是x元，乙種樹苗每棵的價格是)，元，

根據題意得：華+同=1280,

[x-y=10

解得卜嗎

ly=30

答：甲種樹苗每棵的價格是40元，乙種樹苗每棵的價格是30元；

(2)設購買兩種樹苗共花費w元，購買甲種樹苗，"棵，則購買乙種樹苗(100-/M)棵，

?.?購買乙種樹苗的數量不超過甲種樹苗的3倍，

:.100-mW3，n,

解得加225,

根據題意：w=40，〃+30(100-/n)=10，”+3000,

V10>0,

隨，”的增大而增大，

...〃?=25時，w取最小值,最小值為10X25+3000=3250(元)，

此時100-m=75,

答：購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵，花費最少.

9.(2020?濟南)5G時代的到來，將給人類生活帶來巨大改變.現(xiàn)有4、B兩種型號的5G

手機，進價和售價如表所示：型號價格

價格進價(元/部)售價(元/部)

型號

A30003400

B35004(X)0

某營業(yè)廳購進A、B兩種型號手機共花費32000元，手機銷售完成后共獲得利潤4400元.

(1)營業(yè)廳購進A、B兩種型號手機各多少部？

(2)若營業(yè)廳再次購進A、B兩種型號手機共30部，其中8型手機的數量不多于4型

手機數量的2倍，請設計一個方案：營業(yè)廳購進兩種型號手機各多少部時獲得最大利潤,

最大利潤是多少？

【解答】解：(1)設營業(yè)廳購進A、B兩種型號手機分別為a部、h部，

p000a+3500b=32000,

I(3400-3000)a+(4000-3500)b=4400，

解得，卜=6,

Ib=4

答：營業(yè)廳購進A、8兩種型號手機分別為6部、4部；

(2)設購進A種型號的手機x部，則購進B種型號的手機(30-%)部，獲得的利潤為

w元，

卬=(3400-3000)x+(4000-3500)(30-x)=-100x+15000,

???8型手機的數量不多于A型手機數量的2倍，

.?.30-xW2x,

解得，x210,

-100x+15000,k=-100,

隨x的增大而減小，

...當x=10時，w取得最大值，此時w=14000,30-x=20,

答：營業(yè)廳購進A種型號的手機10部，B種型號的手機20部時獲得最大利潤，最大利

潤是14000元.

五.反比例函數綜合題(共3小題)

10.(2022?濟南)如圖，一次函數y=L+l的圖象與反比例函數尸K(x>0)的圖象交于

2x

點A(a,3),與y軸交于點B.

(1)求。，&的值；

(2)直線8過點A,與反比例函數圖象交于點C,與x軸交于點￡>,AC=AD,連接

CB.

①求△A8C的面積；

②點P在反比例函數的圖象上，點。在x軸上，若以點A,B,P,。為頂點的四邊形是

平行四邊形，請求出所有符合條件的點尸坐標.

/U\X/O\"

備用圖

【解答】解：(1)把x=〃，y=3代入y=L+l得，

2

/a+l=3，

?IQ=4,

把犬=4,y=3代入y=K得，

X

3=區(qū)，

4

"=12；

(2)??,點4(4,3),。點的縱坐標是0,AD=AC,

???點C的縱坐標是3X2-0=6,

把y=6代入y=超得x=2,

X

：.C(2,6),

①如圖1,

1圖1

作CD_Lx軸于。，交AB于E,

當x=2時，y——x2+1~2,

2

：.E(2,2),

VC(2,6),

：.CE=6-2=4,

?11

??S2UBcWCEN4=qX4X4=8o；

當A3是對角線時，即：四邊形AP5Q是平行四邊形，

VA(0,1),B(4,3),點Q的縱坐標為0,

??.)，P=1+3-0=4,

當y=4時，4=n2,

.?.x=3,

：.P(3,4),

當AB為邊時，即：四邊形4%尸是平行四邊形(圖中的口AB。'P'),

由yQ_y8=yp，-%得，

0-1=yp-3,

=2,

當y=2時，x=-l^_=6,

2

：.P'(6,2),

綜上所述：P(3,4)或(6,2).

11.(2021?濟南)如圖，直線)=2_欠與雙曲線丫=上(ZW0)交于A,8兩點，點A的坐標

2x

為(m,-3),點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點。，且

BC=2CD.

(1)求k的值并直接寫出點B的坐標；

(2)點G是y軸上的動點，連接GB,GC,求GB+GC的最小值；

（3）P是坐標軸上的點，。是平面內一點，是否存在點P,。，使得四邊形ABPQ是矩

形？若存在，請求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

得-3=3/〃,

2

解得：m--2,

??A(-2,-3),

：.k=-2X(-3)=6,

反比例函數解析式為y=旦,

x

.?.點8的坐標為(2,3)；

(2)如圖1,作軸于點E,CF_Lx軸于點幾

J.BE//CF,

:.△DCFsXDBE,

?DC=CF；

"DBBE，

?：BC=2CD,BE=3,

???C“D—-I-,

DB3

?-?CF-_-1,

33

:.CF=1,

：.C(6,1),

作點B關于y軸的對稱點"，連接B'C交y軸于點G,

則B'C即為BG+GC的最小值，

；B'(-2,3),C(6,1),

?由C={(-2-6)2+(3-1)2=2717,

：.BG+GC=B'C=2A/17；

(3)存在.理由如下：

①當點P在x軸上時，如圖2,設點Pi的坐標為(a,0),

過點B作BE_Lx軸于點E,

'：ZOEB=ZOBPi=90°,ZBOE=ZP\OB,

:AOBESAOPIB,

.OB=0E

"OP7OB'

,:B(2,3),

OB=-^22+32=>/13，

.Vl3_2

??------,

aV13

???"Cl―—13,

2

.,.點PI的坐標為(也，o)；

2

②當點P在y軸上時，過點B作BNLy軸于點N,如圖2,

設點P2的坐標為(0,b),

；NONB=NP2BO=90°,ZBON=ZP2OB,

：.4BONs叢PX)B,

.-._OB_=PN,即逗=工，

0P2OBbA/13

“也，

3

，點尸2的坐標為(o,顯)；

3

綜上所述，點?的坐標為(至，0)或(0,迫).

23

12.（2020?濟南）如圖，矩形OABC的頂點A,C分別落在x軸，y軸的正半軸上，頂點8

（2,2愿），反比例函數>=區(qū)（x>0）的圖象與BC,AB分別交于。，E,工.

x2

（1）求反比例函數關系式和點E的坐標；

（2）寫出。E與AC的位置關系并說明理由；

（3）點F在直線AC上，點G是坐標系內點，當四邊形BCFG為菱形時，求出點G的

坐標并判斷點G是否在反比例函數圖象上.

【解答】解：⑴,:B（2,2如）,則8c=2,

而BD=工,

2

.\CD=2-A=2,故點0（旦，2愿），

222

將點。的坐標代入反比例函數表達式得：2料=告，解得k=3愿,

~2

故反比例函數表達式為），=2近，

X

當x=2時，），=苣叵，故點￡（2,■^叵）；

-22

（2）由（1）知，D（旦，2?）,點E（2,為區(qū)），點、B（2,2愿）,

_22

則BD=L,BE=YL

22

1_V3_

故BD=2=1EB=2=1=BD

BC~2TAB273W而，

：.DE//AC；

（3）①當點尸在點C的下方時，

當點G在點尸的右方時，如下圖,

過點尸作尸H_Ly軸于點”,

四邊形BCFG為菱形，則BC=CF=FG=BG=2,

在Rt^OAC中，0A=BC=2,0C=AB=2五，

則tan/OC4=2^=/_=1>,故/0c4=30°,

CO2V33_

則FH=LFC=1,C4=CF?COSNOCA=2X返=F，

22

故點尸（1,遂）,則點G（3,V3）.

當x=3時，巨=我，故點G在反比例函數圖象上；

x

②當點尸在點C的上方時，

同理可得，點G(1,3炳),

同理可得，點G在反比例函數圖象上；

綜上，點G的坐標為(3,我)或(1,3代)都在反比例函數圖象上.

六.二次函數綜合題(共3小題)

13.(2022?濟南)拋物線y=o?+4-6與x軸交于A(n0),B(8,0)兩點，與y軸交

4

于點C,直線丫=區(qū)-6經過點8.點P在拋物線上，設點尸的橫坐標為日

(1)求拋物線的表達式和f,k的值：

(2)如圖1,連接AC,AP,PC,若△4PC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐

標；

(3)如圖2,若點尸在直線BC上方的拋物線上，過點P作PQLBC,垂足為。，求CQ+工產。

【解答】解：（1）將8（8,0）代入y=o?+烏-6,

4

二64〃+22-6=0,

.".a--A,

4

；.y=--kx2+Aljc-6,

44

當y=0時，--6=0,

44

解得f=3或P=8（舍），

**?t=3.

；B(8,0)在直線y=fcr-6上，

二8八6=0,

解得人=3,

4

.?.丫=當-6；

4

(2)作PM_Lx軸交于M,

???P點橫坐標為，力

:.P(m,-A/n2+JJw??-6),

44

：.PM=—nr-皂5+6,AM=m-3,

44

在RtZ\CQ4和RtZ\4MP中，

ZOAC+ZPAM=90Q,ZAPM+ZPAM=90°,

：.ZOAC^ZAPM,

：./\COA^/^AMP,

A0A=PM,(即0A?M4=CO?PM,

OCAM

3(wi-3)=6(AVM2-JJw?+6),

44

解得加=3(舍)或機=10,

：.P(10,-二)；

2

(3)作PMLx軸交于BC于N,過點汽作的工丫軸交于E,

PN--A/w2+Aljn-6--6)=--im2+2zn.

4444

由△PQNSABOC,

.PN=NQ=PQ；

"BCOCOB'

：OB=8,0c=6,BC=10,

:.QN=3PN,PQ=&PN,

55

由△CNESACBO,

:.CN==EN=3n,

44

CQ+^PQ=CN+NQ+^PQ=CN+PN,

22

CQ+-PQ=^-m-^-m2+2m=-^Lm2+—m=-_L(x--)2+_l^,,

244444216

當機=」3時，CQ+」PQ的最大值是期.

圖2

14.(2021?濟南)拋物線y=/+灰+3過點A(-1,0),點B(3,0),頂點為C.

(1)求拋物線的表達式及點C的坐標；

(2)如圖1,點P在拋物線上，連接C尸并延長交x軸于點。，連接AC,若4c是

以4c為底的等腰三角形，求點P的坐標；

(3)如圖2,在(2)的條件下，點E是線段AC上(與點4,C不重合)的動點，連接

PE,作NPEF=NC43,邊EF交x軸于點F,設點F的橫坐標為〃?，求”?的取值范圍.

V

【解答】解：(1)將點A(-1,0),點8(3,0)代入y=o?+以+3得:

(a-b+3=0

19a+3b+3=0

解得：(a=-1.

lb=2

拋物線的表達式為y=-/+2x+3.

Vy=-/+2x+3=-(x-1)2+4,

???頂點C(1,4).

(2)設AC交y軸于點尸，連接OR過點。作CELx軸于點￡,如圖,

：.OA=1,OE=1,CE=4.

：.OA=OE,AC=A/AE24＜：E2=2V5.

"：FO-LAB,CE±AB,

J.FO//CE,

；.OF=JLCE=2,F為AC的中點.

2

,/△D4C是以AC為底的等腰三角形，

：,DFVAC.

\'FOLAD,

：.AAFO^AFDO.

-AO_0F

*,0F=OD'

-1_2

,3而

：.OD=4.

：.D(4,0).

設直線CD的解析式為y="+〃?,

.jk+m=4

I4k+m=0

4

3

解得：

16

m^3

?,?直線CO的解析式為y=■里x*

33

416

y—氣

y=-x2+2x+3

7

xl=1

解得：

y1=420

丫25

:.p(二，歿).

39

(3)過點P作于點”，如下圖,

00=4,

:.HD=0D-0H=>,

3

???9=?2+皿2=爭

y

：.PC=CD-PD=5-型="

99

由（2）知：AC=2后.

設AF=x,AE=y,則CE=2相-y.

'：DA=DC,

：.ZDAC=ZC.

VZCAB+ZA￡F+ZAF￡=180°,

NAEF+NPEF+/CEP=180°,

又；NPEF=NCAB,

：.NCEP=NAFE.

:.XCEPsXAFE.

?PCEC

"AE"AF'

20

?---T---=-2--V--5--y-.

yx

當y=遙時，x即AF有最大值旦.

4

VOA=1,

OF的最大值為9-1=5.

44

：點尸在線段AD上，

二點尸的橫坐標，〃的取值范圍為-1<，"W5.

4

15.(2020?濟南)如圖1,拋物線y=-f+6x+c過點4(-1,0),點、B(3,0),與y軸交

于點C.在x軸上有一動點E(m,0)(0<w<3),過點E作直線Ux軸，交拋物線于

點M.

(1)求拋物線的解析式及C點坐標；

(2)當機=1時，。是直線/上的點且在第一象限內，若△AC。是以NDCA為底角的等

腰三角形，求點。的坐標:

(3)如圖2,連接8M并延長交了軸于點N,連接AM,0M,設△/1而的面積為Si,△

MON的面積為S2,若5I=2S2,

-l-b+c=0,解得b=2

【解答】解：(1)將點A、8的坐標代入拋物線表達式得

-9+3b+c=0c=3

故拋物線的表達式為y=-/+2x+3,

當x=0時，y=3,故點C(0,3)；

(2)當機=1時，點E(1,0),設點。的坐標為(1,a),

由點A、C、。的坐標得，AC=\(0+1)(3-0)2=近3,同理可得：AD=爪2+4,

CD=y]1+(a-3)2'

①當CD=AD時，即{「2+4={1+(@-3)2，解得。=1；

②當AC=A￡＞時，同理可得。=±V6(舍去負值)；

故點。的坐標為(1,1)或(1,V6);

(3)”(m,0),則設點-機2+2團+3),

f2z

設直線的表達式為y=sx+f,則|-1n+2m+3=sm+t,解得

0=3s+tIt=3m+3

故直線BM的表達式為y=-1)x+3m+3,

當x=0時，y=3m+3,故點N(0,3加+3),則ON=3m+3；

S\=—x^EXyM=—X(機+1)X(-ni2+2m+3),

22

2s2=0N?XM=（3，〃+3）X/n=Si=Ax（m+1）X（-W2+2/M+3）,

2

解得，〃=-2±4或-1（舍去負值），

故/M=V?-2.

七.平行四邊形的性質（共1小題）

16.（2020?濟南）如圖，在。48co中，對角線AC,BO相交于點O,過點O的直線分別交

【解答】證明：：aA3C￡>的對角線AC,8。交于點。，

：.AO=CO,AD//BC,

:.NEAC=2FC0,

在△AOE和△COF中

，ZEAO=ZFCO

?AO=OC>

ZAOE=ZCOF

AAAOE^ACOF（ASA）,

：.AE=CF.

A.菱形的性質（共2小題）

17.（2022?濟南）已知：如圖，在菱形ABCC中，E,F是對角線AC上兩點，連接DE,

【解答】證明：；四邊形ABCD是菱形,

：.DA=DC,

：.ZDAC=ZDCA,

"：ZADF=ZCDE,

ZADF-NEDF=ZCDE-NEDF,

：.NADE=NCDF,

在△￡>?!￡和△￡><;尸中，

，ZDAC=ZDCA

<DA=DC，

ZADE=ZCDF

.,.△DAE妾△￡>CFCASA）,

J.AE^CF.

18.（2021?濟南）己知：如圖，在菱形48CD中，E,尸分別是邊AD和C。上的點，且/

ABE=NCBF.求證：DE=DF.

【解答】證明：???四邊形ABC。是菱形，

：.AD=CD,AB=BC,/A=/C,

又：NABE=NCBF,

:./\ABE9XCBF(ASA),

：.AE=CF,

：.AD-AE=CD-CF,

：.DE=DF.

九.四邊形綜合題(共1小題)

19.(2021?濟南)在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。在邊8c上，

3

將線段繞點。順時針旋轉至QE,記旋轉角為a,連接BE,CE,以CE為斜邊在其

一側作等腰直角三角形CEF,連接AF.

(1)如圖1,當a=180°時，請直接寫出線段A尸與線段BE的數量關系；

(2)當0。<a<180"時,

①如圖2,(1)中線段AF與線段BE的數量關系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,當8,E,F三點共線時，連接AE,判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

A

圖3

【解答】解：（1）如圖1,當a=180°時，點E在線段8c上,

:BD=LBC,

3

,.DE=BD=LBC,

3

\BD=DE=EC,

.?△CEF是等腰直角三角形,

\ZCFE=ZBAC=90°,

ZECF=ZBCA=45a,

AABCS4FEC,

?氏=氏=4

,ACBCy

?AF=BE=_2

.而而不

:BC=?AC,

BE=BE=2

BCV2AC3,_

BE-2V2即AC=3=3后

AC3BE2A/24

?空.AC23V2V2.

?AF==y=

BEAcBE亙T，

(2)①AF=亞仍然成立.

BE

2

理由如下:

如圖2,是等腰直角三角形，

：.ZECF=45°,空=亞，

CE2

:在△ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,

.,.ZBCA=45°,生=返_,

CB2

：.ZECF=ZBCA,空=生

CECB

ZACF+ZACE=NBCE+NACE,

???/ACF=NBCE,

.?.—CF_CE>

CACB

：.^CAF^/\CBE,

.AF=CF=V2

，，7BECEW

...迪=Y2仍然成立.

BE2

②四邊形AECF是平行四邊形.

理由如下：

如圖3,過點。作QGL8F于點G,

由旋轉得：DE=BD=