四川省成都市列五中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

成都列五中學(xué)20232024學(xué)年度（上）階段性考試（三）高2022級數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某校高一?高二?高三的住校生人數(shù)分別為120，180，150，為了解他們對學(xué)校宿舍的滿意程度，按人數(shù)比例用分層抽樣的方法抽取90人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高一?高二?高三被抽到的住校生人數(shù)分別為（）A.12，18，15 B.20，40，30 C.25，35，30 D.24，36，30【答案】D【解析】【分析】由題意求出抽樣比，根據(jù)抽樣比求高一?高二?高三被抽到的住校生人數(shù)即可.【詳解】三個年級的住校生一共有人，∴抽樣比為，故三個年級抽取的人數(shù)分別為，，.故選：D.2.已知向量，且，其中，則（）A.4 B.－4 C.2 D.－2【答案】B【解析】【分析】由兩向量的橫坐標(biāo)可以看出，，則可得到的值.【詳解】由，設(shè)，則有，可解得，，所以.故選：B.3.如圖，在空間四邊形中，，，，點滿足，點為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在空間四邊形中，，點為的中點，則.故選：B4.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E為CD的中點，F(xiàn)為PC的中點，則異面直線BF與PE所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出直線方向向量，利用夾角公式，可得答案.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，由分別為的中點，則，，取，，設(shè)異面直線與的夾角為，.故選：C.5.圓與直線的位置關(guān)系A(chǔ).相切 B.相離 C.相交 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】據(jù)題意，先求出直線過定點（1,1），再判斷出點與圓的位置關(guān)系，可得直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】直線化簡為易知直線過定點(1,1)而知點在圓內(nèi)直線與圓相交.故選：C.【點睛】本題目考查直線過定點的問題以及點與圓的位置關(guān)系，注意沒必要聯(lián)立方程解方程組，然后用判別式來求解，這樣子運(yùn)算量較大，屬于中檔題.6.已知雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于5，那么點P到另一個焦點F的距離等于（）A.3 B.3或7 C.5 D.7【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，求解到另一個焦點的距離.【詳解】由題意可知，,，則，所以或，又因為,所以，故選：D.7.已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過作于，根據(jù)拋物線的定義可知，則當(dāng)三點共線時，可求得最小值，答案可得.【詳解】解：拋物線：焦點為，準(zhǔn)線的方程為，如圖，過作于，由拋物線的定義可知，所以則當(dāng)三點共線時，最小為.所以的最小值為.故選：C.8.已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，設(shè)直線、分別與圓切于點A、B，，根據(jù)題意得到，在直角三角形中，利用正弦函數(shù)的定義得到，再結(jié)合，得到的離心率的取值范圍．【詳解】連接，當(dāng)不為橢圓的上、下頂點時，設(shè)直線、分別與圓切于點A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，連接，則，∴．又是上任意一點，則，又，∴，則由，得，又，∴．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則曲線C是圓B.若，則曲線C是焦點在y軸上的橢圓C.若，則曲線C是焦點在x軸上的雙曲線D.曲線C可以是拋物線【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線的有關(guān)知識求得正確答案.【詳解】A選項，當(dāng)時，曲線，表示圓心在原點，半徑為的圓，所以A選項正確.B選項，當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，B選項錯誤.C選項，當(dāng)時，，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，C選項正確.D選項，由于是非零實數(shù)，所以的最高次項都是，所以曲線不可能是拋物線，D選項錯誤.故選：AC10.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲的點數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（）A.與互斥 B.C. D.與相互獨(dú)立【答案】BCD【解析】【分析】列出兩次出現(xiàn)的點數(shù)組，由互斥事件與對立事件的定義可判斷A選項；由對立事件和獨(dú)立事件的概率公式可判斷BCD選項.【詳解】先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次出現(xiàn)的點數(shù)組如下表所示：第二次第一次123456123456共有種，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”,表示事件“兩次擲出的點數(shù)不同”，其中包括，即與不互斥，故A錯誤；“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”的對立事件是“兩次擲的點數(shù)都是偶數(shù)”，故B正確；表示事件“第一次為奇數(shù)，第二次為偶數(shù)”共9種：，故C正確；事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”共18種；，事件“兩次擲出的點數(shù)相同”共6種：，表示事件“兩次為相同的偶數(shù)”共3種：，即，與相互獨(dú)立，故D正確.故選：BCD11.已知拋物線：，為坐標(biāo)原點，直線交拋物線于，兩點，若，則（）A. B.直線過定點C.的最小值為 D.的最小值為2【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線方程并消去，利用韋達(dá)定理可求得，在把轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，可求得，并進(jìn)一步計算可判定直線所過的定點，繼而判斷出;利用三角形面積公式,進(jìn)一步計算即可求出最小值，可判斷;根據(jù)，把變化為，展開利用基本不等式即可判定【詳解】設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，則，又，則即所以，(舍），，則即，所以直線的方程為則直線過定點，故正確；，當(dāng)時，等號成立，即的最小值為，故錯誤；因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故正確.故選：12.如圖，在棱長為6的正方體中，分別為的中點，點是正方形面內(nèi)（包含邊界）動點，則（）A.與所成角為B.平面截正方體所得截面的面積為C.平面D.若，則三棱錐的體積最大值是【答案】BCD【解析】【分析】A選項，如圖建立以A為原點的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可判斷選項；做出截面求得截面面積可判斷B；利用線線平行可得線面平行判斷C，求得P的軌跡方程可求得三棱錐的體積最大值判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，，對A選項，，則直線與所成角為，故A錯誤；對B選項，由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取的中點的中點，的中點，連接，延長一定與交于一點，所以四點共面，同理可證四點共面，則過點作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長為，則正六邊形的面積為，故B正確.由正方體，可得，∵分別為的中點，∴，∴平面平面，∴平面，故C正確；如圖，面，又面，故，同理，又，根據(jù)題意可得，設(shè)，又，∴，整理得，∴在正方形面內(nèi)(包括邊界)，是以為圓心，半徑的圓上的點，令，可得，∴當(dāng)為圓與線段的交點時，到底面的距離最大，最大距離為，∴三棱錐的體積最大值是，故D正確.故選:BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法研究點線面的位置關(guān)系及數(shù)量計算.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.甲、乙兩名優(yōu)秀大學(xué)畢業(yè)生準(zhǔn)備應(yīng)聘某世界五百強(qiáng)企業(yè)，甲通過面試的概率是，乙通過面試的概率是，且甲、乙是否通過面試是相互獨(dú)立的．那么這兩名大學(xué)生至少有一名通過面試的概率為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率和對立事件的概率之和等于1即可求解．【詳解】甲乙兩射手的射擊相互獨(dú)立，甲乙兩射手同時瞄準(zhǔn)一個目標(biāo)射擊且目標(biāo)被射中的對立事件是：甲乙二人都沒有射中目標(biāo)，∴目標(biāo)被射中的概率為．故答案為：．14.數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為6，方差為4，若數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，利用性質(zhì)，求出所求數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.【詳解】數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為6，數(shù)據(jù)，，，平均數(shù),數(shù)據(jù)，，，的方差為4，數(shù)據(jù)，，，的方差,.故答案為：.15.已知點在曲線上運(yùn)動，則的最大值為__________．【答案】##【解析】【分析】曲線表示以原點為圓心，2為半徑的上半個圓，表示上半圓上的點與連線的斜率，作出圖形，可知當(dāng)直線與半圓相切時的斜率即得解.【詳解】變形為，它是以原點為圓心，2為半徑的上半圓，如圖，在上半圓上，表示點與連線的斜率，由題意得，當(dāng)直線與半圓相切時斜率最大，設(shè)直線與半圓相切時直線斜率為，直線方程，即，因此，解得（由圖舍去），所以的最大值為.故答案為：16.雙曲線的兩個焦點為，，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點，且，則的離心率為__________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意分析交點，的分布情況，利用正余弦定理求出和的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，，由題意知，切線與雙曲線的交點，的分布可以是在雙曲線的兩支和雙曲線的一支兩種情況：設(shè)過的直線與圓相切于點，則在中，，，，①當(dāng)，兩點位于雙曲線的一支時，，且點的位置如圖所示，在中，由正弦定理得，，，，，在中，，即，化簡得，即；②當(dāng)，兩點位于雙曲線的兩支時，，且點位于雙曲線的右支，如圖所示，在中，由正弦定理得，，，，在中，，即，化簡得，即.綜上，的離心率或.故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會（簡稱大運(yùn)會）將于2023年7月28日在四川成都開幕，這是中國西部城市第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動會.為普及大運(yùn)會相關(guān)知識，營造良好的賽事氛圍，某學(xué)校舉行“大運(yùn)會百科知識”答題活動，并隨機(jī)抽取了20名學(xué)生，他們的答題得分（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中的值及這20名學(xué)生得分的80%分位數(shù)；（2）若從樣本中任選2名得分在內(nèi)的學(xué)生，求這2人中恰有1人的得分在內(nèi)的概率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由直方圖知，求解可得；設(shè)分位數(shù)為.由前3組的頻率之和為0.65，前4組的頻率之和為0.9，可得；（2）由已知可得：得分在內(nèi)的人數(shù)為，記為，得分在內(nèi)的人數(shù)為，記為，從而利用列舉法，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.【小問1詳解】由直方圖知，.設(shè)分位數(shù)為.前3組的頻率之和為0.65，前4組的頻率之和為0.9.，且.故這20名學(xué)生得分的分位數(shù)為.【小問2詳解】由已知可得：得分在內(nèi)的人數(shù)為，得分在內(nèi)的人數(shù)為.記得分在內(nèi)的學(xué)生為，得分在內(nèi)的學(xué)生為.則所有的樣本點為：，，共15個，其中恰有1人的得分在內(nèi)的樣本點為：,，共8個，故這2人中恰有1人的得分在內(nèi)的概率.18.已知圓，圓上存在關(guān)于x－y+1=0對稱的兩點.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）配方后得到圓心為，利用x－y+1=0過圓心，求出，進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)弦長公式得到圓心到直線的距離，分直線斜率不存在和存在兩種情況，進(jìn)行求解直線的方程【小問1詳解】配方得：，所以圓心為，因為圓上存在關(guān)于x－y+1=0對稱的兩點，所以x－y+1=0一定經(jīng)過圓心，即，解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為小問2詳解】設(shè)圓心到直線距離為，由圓的弦長公式得，解得，①當(dāng)斜率不存在時，直線方程為，滿足題意；②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線的方程為；綜上，直線方程為或19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，點分別為的中點.（1）證明：直線平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，利用平行的傳遞性構(gòu)建平行四邊形，證得，則直線平面可證.（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面法向量，直線的方向向量，利用點到平面的距離公式計算即可.【小問1詳解】證明：取中點，點均為中點，，又正方形中，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面，直線平面；【小問2詳解】因為平面為正方形，且底面，所以兩兩互相垂直，所以分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有可得，設(shè)平面法向量為，則有，即，令，得，所以點到平面的距離.則點到平面的距離為.20.已知過點的直線與雙曲線交于.（1）求與雙曲線共漸近線且過點的雙曲線的方程；（2）若線段的中點為，求直線的方程和三角形面積.【答案】（1）（2），12【解析】【分析】（1）設(shè)所求雙曲線為，將代入即可求解.（2）利用點差法求出直線的方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求解.【小問1詳解】設(shè)所求雙曲線為，點代入得【小問2詳解】設(shè)，，，，點在雙曲線上所以，相減得，即所以所求的直線的方程為設(shè)，，，，則由得所以，代入的所以.21.如圖甲，在矩形中，為線段的中點，沿直線折起，使得，如圖乙.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點的位置.【答案】（1）證明見解析（2）存在，點是線段的中點【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到，，從而得到線面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性