山東省菏澤市2021年中考數(shù)學(xué)試卷 (含答案與解析)

山東省荷澤市2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.（2021?攸縣模擬）如圖，點A所表示的數(shù)的倒數(shù)是（）

A

-5-4-3-2-1012345>

A.3B.-3C.1D.—]

【答案】D

【考點】數(shù)軸及有理數(shù)在數(shù)軸上的表示

【解析】【解答】解：由數(shù)軸可知，點A表示—3,

-3的倒數(shù)是一:；

故答案為：D.

【分析】由數(shù)軸和倒數(shù)的定義，即可得到答案.

2.（2021?范澤）下列等式成立的是（）

A.a3+a3=a6B.a-a3=a3C.（a-b）2=a2—b2D.（—2a3）2=4a6

【答案】D

【考點】同底數(shù)基的乘法，完全平方公式及運用，合并同類項法則及應(yīng)用，積的乘方

【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3,故A選項不符合題意；

B、a-a3=a4,故B選項不符合題意；

C、（a-b）2=a2-2ab+b2,故C選項不符合題意；

D、（—2a3）2=4a6,故D選項符合題意，

故答案為：D.

【分析】熟練掌握合并同類項、同底數(shù)幕、完全平方式、積的乘方運算法則。

3.（2021?荷澤）如果不等式組｛X+5<4x—1的解集為％>2,那么m的取值范圍是（）

x>m

Km<2B.m>2C.m>2D.m<2

【答案】A

【考點】不等式的解及解集，解一元一次不等式組

%+5<4x—1(2)

【解析】【解答】

x>zn②

解①得x>2,解②得x>m,

???不等式組+的解集為％>2,根據(jù)大大取大的原則,

x>m

m<2,

故答案為：A.

【分析】解題關(guān)鍵：掌握解一元一次不等式，再根據(jù)不等式組的解集來確定m的值。

4.（2021?薄澤）一副三角板按如圖方式放置，含45°角的三角板的斜邊與含30。角的三角板的長直角邊

平行，則N&的度數(shù)是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【考點】角的運算，平行線的性質(zhì)

【解析】【解答】如圖，??.ABHDE,

ZBAE=ZE=30°,

/.Za=ZCAB-ZBAE=45°-30°=15°,

故答案為：B

【分析】兩直線平行，內(nèi)錯角相等。解題關(guān)鍵：熟記平行線的性質(zhì)和三角板各個角的度數(shù)。

5.（2021?范澤）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標數(shù)據(jù)計算這個幾何體的體積為（）

A.127rB.18?rC.247rD.30兀

【答案】B

【考點】圓柱的計算，由三視圖判斷幾何體

【解析】【解答】解：先由三視圖確定該幾何體是空心圓柱體，底面外圓直徑是4,內(nèi)圓直徑是2,高是6.

空心圓柱體的體積為KX（｝2x6-nx（|）2x6=1871.

故答案為：B.

【分析】圓柱的體積=底面積x高，解題關(guān)鍵：掌握觀察三視圖。

6.(2021?荷澤)在2021年初中畢業(yè)生體育測試中，某校隨機抽取了10名男生的引體向上成績，將這組數(shù)

據(jù)整理后制成如下統(tǒng)計表：

成績(次)1211109

人數(shù)(名)1342

關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論錯誤的是()

A.中位數(shù)是10.5B.平均數(shù)是10.3C.眾數(shù)是10D.方差是0.81

【答案】A

【考點】分析數(shù)據(jù)的集中趨勢

【解析】【解答】解：將該組數(shù)據(jù)從小到大排列依次為：9,9,10,10,10,10,11,11,11,12；

位于最中間的兩個數(shù)是10,10,它們的平均數(shù)是10,

所以該組數(shù)據(jù)中位數(shù)是10,故A選項符合題意；

該組數(shù)據(jù)平均數(shù)為：^(12x1+11x3+10x4+9x2)=10.3,故B選項不符合題意；

該組數(shù)據(jù)10出現(xiàn)次數(shù)最多，因此眾數(shù)是10,故C選項不符合題意；

該組數(shù)據(jù)方差為：卷[(12-10.3)2+3x(11-10.3)2+4x(10-10.3)2+2x(9-10.3)2]=0.81,故

D選項不符合題意；

故答案為：A.

【分析】解題關(guān)鍵：熟記中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差的計算方法或公式。

7.(2021?荷澤)關(guān)于x的方程(k-l)2x2+(2/c+l)x+1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是()

1111

A.k>-且k于1B.kN;且kHlC.k>-D.k>-

4444

【答案】D

【考點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：分類討論：當方程為一元二次方程時

關(guān)于x的方程(k-1)2/+(2fc+l)x+1=0有實數(shù)根，

4=(2/c+I)2-4x(fc-I)2x1>0,且k.1,

解得，k2；且k￥1,

4

當方程為一元一次方程時，k-l=0,故k=l.故方程為：3x+l=0有實數(shù)根：x=?

綜上可得，k>\

4

故答案為：D.

【分析】注意沒有說明方程是一元次方程，還是一元一次方程，一定要分類討論。根據(jù)根判別式判別一

元二次方程有根的情況。解題關(guān)鍵：注意分類討論，熟練掌握一元二次方程的根的情況的判別。

8.（2021?范澤）如圖（1）,在平面直角坐標系中，矩形ABCD在第一象限，且BC“X軸，直線y=2x+

1沿x軸正方向平移，在平移過程中，直線被矩形ABCD截得的線段長為a,直線在x軸上平移的

距離為b,a、b間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）所示，那么矩形ABCD的面積為（）

【答案】C

【考點】通過函數(shù)圖象獲取信息并解決問題，動點問題的函數(shù)圖象

【解析】【解答】如圖：根據(jù)平移的距離b在4至7的時候線段長度不變,

可知圖中BF=7—4=3,

根據(jù)圖像的對稱性，AE=CF=1,

BC=BF+FC=3+1=4

由圖（2）知線段最大值為V5,即BE=岳

根據(jù)勾股定理AB=\lBE2-AE2=（V5）2—I2=2

矩形ABCD的面積為4BXBC=2x4=8

故答案為：C

【分析】直線經(jīng)過A點時a的值為0,直線過B點時a的值達到最大值遙.直線平移的矩離為1.根據(jù)解直

角三形可得AB的長為2.從直線過B點到經(jīng)D點，a的值不變。這時平移的矩離為3.故直線從經(jīng)A點到D

點平移的矩離就是AD的長度4.故可求矩形面積。

二、填空題

9.(2021?荷澤)2021年5月11日，國家統(tǒng)計局、國務(wù)院第七次全國人口普查領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室對外發(fā)布:

截至2020年11月1日零時，全國人口共約1410000000人.數(shù)據(jù)1410000000用科學(xué)記數(shù)法表示為

【答案】1.41X109.

【考點】科學(xué)記數(shù)法一表示絕對值較大的數(shù)

【解析】【解答】解：將1410000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.41x109.

故答案是：1.41X109.

【分析】大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法：axlO。，其中l(wèi)<|a|V10,n=這個大數(shù)的總位數(shù)-1,解題關(guān)鍵：如何確定

a,n的值。

10.(2021?薄澤)因式分解：-a3+2a2-a=.

【答案】-a(a-l)2

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】???-a3+2a2-a

=-a(a?—2a+1)

=—a(a-l)2

故答案為：-a(a-I)2.

【分析】因式分解，有公因式先提取公因式，再利用公式分解。

11.(2021?荷澤)如圖，在RtAABC中，4=30。，D,E分別為AC、BC的中點，DE=

2,過點B作BF“AC,交DE的延長線于點F,則四邊形ABFD的面積為.

【答案】8V3

【考點】勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：。，E分別為AC、BC的中點，DE=2,

：.AB=2DE=4,DE“AB,

???在RtAZBC中，4=30。，

AC=2AB=8,

???BC=y/AC2-AB2=V82-42=4百，

又??,點E為BC中點，

???BE=iBC=2/3，

BFi^ACfDE11AB,

四邊形ABFD為平行四邊形，

四邊形ABFD的面積=ABxBE=4x28=8百，

故答案為：8V3.

【分析】三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，30度所對的直角邊等于斜邊的一半。

12.（2021?端澤）如圖，在△ABC中，AD1BC,垂足為D,AD=5,BC=10,四邊形EFGH

和四邊形HGNM均為正方形，且點E、F、G、H、N、M都在△48C的邊上，那么△

AEM與四邊形BCME的面積比為.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：:四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形,

...設(shè)四邊形EFGH和四邊形HGNM的邊長為x,

則EM=2x,EF=x,EF±BC,EMUBC,

?JAD±BC,

PD=EF=x,

???AD=5,

AP=AD-PD=5-x,

EM//BC,

△AEM—△ABC,

.AP_EM

-AD~BC9

.5-X_2x

一-10'

解得：x=2.5,

??.AP=2.5,EM=5,

125

，SAAEM==；EM-AP=T,

24

又,?'SAABC=IBC,AD=25,

??s四邊形BCME=ABC—SAAEM

=25--

4

_75

-4，

.r.s_25,75—

一0△AEM?、四邊形BCME——?——1?3,

44

故答案為：1:3.

【分析】易證△AEM-△ABC,可得而=就，可求EF的長。再求得S?AEM.S?ABC.從而符SXBCME.即可

求解結(jié)果。解題關(guān)鍵：利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長的長度。

13.(2021?荷澤)定義：［a,b,c］為二次函數(shù)y=a無2+bx+c(a^O)的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)

為［m,1-犯2-6］的二次函數(shù)的一些結(jié)論：①當7n=l時，函數(shù)圖象的對稱軸是y軸；②當m=

2時，函數(shù)圖象過原點；③當僧>0時，函數(shù)有最小值；④如果爪<0,當時，y隨x的

增大而減小，其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③.

【考點】定義新運算

【解析】【解答】解：當zn=1時，

把m=1代入［m,1-m,2-,可得特征數(shù)為［1,0,1］

a=1,6=0,c=1,

???函數(shù)解析式為y=M+1,函數(shù)圖象的對稱軸是y軸，故①符合題意；

當m=2時，

把TH=2代入［租,1一771,2-m］,可得特征數(shù)為［2,-1,0］

a=2,b=-1,c=0,

函數(shù)解析式為y=2x2-x,

當x=0時，y=0,函數(shù)圖象過原點，故②符合題意；

函數(shù)y=mx2+(1—m)x+(2-m)

當TH>0時，函數(shù)y=zn/+(1一小)%+Q-m)圖像開口向上，有最小值，故③符合題意；

當？n<0時，函數(shù)y=mx2+(1-m)x4-(2-m)圖像開口向下，

對稱軸為：》=一愛=喘

.??%>：時，X可能在函數(shù)對稱軸的左側(cè)，也可能在對稱軸的右側(cè)，故不能判斷其增減性，故④不符

合題意；

綜上所述，正確的是①②③，

故答案是：①②③.

【分析】每一結(jié)論，根據(jù)題意，得出二次函數(shù)的解析式，再驗證。拋物線開方向向上有最小值，向下有

最大值。拋物線向下時，在對稱軸左側(cè)y隨X的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨X的增大而減小。解題關(guān)

鍵：熟記和理解二次函數(shù)最值，開口方向，對稱軸，增減性規(guī)律的判別方法。

14.(2021?荷澤)如圖，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=i(x>0)的圖象交于點4,過點4作

4B104,交x軸于點B；作BA、“OA,交反比例函數(shù)圖象于點&；過點公作A1B11交

x軸于點B；再作B1A2//BA1,交反比例函數(shù)圖象于點A2,依次進行下去.....則點A2021的橫

坐標為.

【答案】V2022+V20H

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】解：過八作AnCn1x軸于點Cn

:點A是直線y=x與雙曲線y=［的交點

y=x

］解得｛叁

尸，

???4(1,1)

0C=AC=1,ZAOC=45°

???AB1AO

??.AAOB是等腰直角三角形

???OB=2AC=2

???BA1//OA

??.是等腰直角三角形

???A1C=BC1

設(shè)的縱坐標為m1(m1>0)，則的橫坐標為24-mi

,??點兒在雙曲線上

???m1(2+mt)=1

解得m1=V2—1

設(shè)A2的縱坐標為m2(Tn2>0),貝ij4的橫坐標為2+2瓶1+如=2或+Tn2

???m2(2y/2+m2)=1

解得m2=V3—V2

同理可得

TH3=V4—V3

由以上規(guī)律知：mn=VnTT一Vn

即的縱坐標為

/.m202i=V2022-V2021A2Q2IV2022-V2021

???&02i的橫坐標為7=^=72022+72021

故答案是：V2022+V2021.

【分析】先求出A(1,1),易得2L4OB是等腰直角三角形，AB=2,設(shè)A］的縱坐標為mi,故A

(2+mi,mD,再代入反比例函數(shù)解析式，即可求出A的坐標。同理可A2,A3的坐標。再根據(jù)

Ai,A2,A3的橫坐標的特點總結(jié)規(guī)律可得結(jié)果。

三、解答題

15.(2021?荷澤)計算：(2021-7r)°一|3-g|+4cos30°-(^)-1.

【答案】(2021-7T)°-|3-V12|+4cos300-(^)-1

=1+3—2\/3+4X——4

2

=0.

【考點】實數(shù)的運算

【解析】【分析】非零數(shù)的0次基為I.解題關(guān)鍵：熟記0次幕，絕對值、特殊三角函數(shù)值，負整數(shù)基等運

算法則。

16.(2021?荷澤)先化簡，再求值：—廣仔2，其中機，凡滿足g=一］.

m-2nm2-4mn+4n2J乙

【答案】］+卓+

m-2nm2-4mn+4n2

4,m-n(m-2n)2

=1H---------X-------------

m-2n(n-m)(n+m)

“m-2n

=1----------

n+m

3n

m+n

mn

T2

m=—3n

2

原式=一型+n=-6.

【考點】利用分式運算化簡求值

【解析】【分析】a2-b2=(a+b)(a-b),a2-2ab+b2=(a-b)2,解題關(guān)鍵：掌握分式的混合運算和運算法則。

17.(2021?荷澤)如圖，在菱形ABCD中，點M、N分別在AB、CB上，且ZADM=NCDN,

求證：BM=BN.

【答案】V四邊形ABCD是菱形

BA=BC,DA=DC,ZA=/C

在△AMD和LCND中

ZA=ZC

{DA=DC

NADM=/CDN

△AMD三△CND（ASA）

AM=CN

???BA=BC

BA-AM=BC-CN

即BM=BN.

【考點】菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定（ASA）

【解析】【分析】菱形的四條邊相等，對角相等。全等三角形證明方法之一：ASA

解題關(guān)鍵：熟記菱形的性質(zhì)及掌握全等三角形的判定與性質(zhì)。

18.（2021?荷澤）某天，北海艦隊在中國南海例行訓(xùn)練，位于A處的濟南艦突然發(fā)現(xiàn)北偏西30°方向上

的C處有一可疑艦艇，濟南艦馬上通知位于正東方向200海里B處的西安艦，西安艦測得C處位于其

北偏西60°方向上，請問此時兩艦距C處的距離分別是多少？

【答案】如圖，過點C作CDLAB,交BA的延長線于點D,

根據(jù)題意，得NCAD=60°,ZCBA=30°,

---ZCAD=ZCBA+ZACB

ZCBA=ZACB=30",

AB=AC=200（海里），

在RtAADC中，

CD=ACsin600=200x9=100百,

2

在RtABDC中，

BC=CD+sin30°=200痘（海里）.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

【解析X分析】易得NB=NC=30°,從而得AC=BA=200,解RTZiADC可求CD=100百，再解RTAADB

可得BC=200^.解題關(guān)鍵：熟練掌握解直角三角形。

19.（2021,蒲澤）列方程（組）解應(yīng)用題

端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：

小王：該水果的進價是每千克22元；

小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120

千克.

根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，

求這種水果的銷售價為每千克多少元？

【答案】解：設(shè)這種水果每千克降價X。>0)元，

則每千克的利潤為：(38-22-%)元，銷售量為：(160+40為千克，

(16-%)(160+40x)=3640

整理得，

x2-12X-27=0

(%-3)(%-9)=0

-,?x=3或x=9,

???要盡可能讓顧客得到實惠，

.?,%=9

即售價為38-9=29(元)

答：這種水果的銷售價為每千克29元.

【考點】一元二次方程的實際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【分析】每千克利潤=售價-進價，總利潤=每千克利潤x銷售量

解題關(guān)鍵：找等量關(guān)系，列出一元二次方程。

20.(2021?范澤)如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標軸上，且。4=

2,0C=4,連接OB.反比例函數(shù)y=B(x>0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點D,并與

AB、BC分別交于點E,F.一次函數(shù)y=k2x+b的圖象經(jīng)過E、F兩點.

(1)分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，點P的坐標為

【答案】(I)：四邊形04BC是矩形，OA=2,OC=4

B(4,2)

D為線段OB的中點

???Z)(2,l)

將。(2,1)代入y=B，得的=2

?:AB”O(jiān)C,AO“BC

如=2,4=4

F(l,2),F(4,i)

將E(1,2),F(4,},代入y=k2%+b，得:

2=k2+bk2=--

乜=也+b，解得{b-l

2乙u一

N2

1,5

???y=——x+-

J22

(2)如圖：作尸關(guān)于x軸的對稱點F'，連接EF,交%軸于點p

PE+PF=PE+PF'>EFf當E,Ff,P三點共線時，PE+PF有最小值EF'丁"(4*)???

F(4,—》,設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n將E(1,2),F'(4,—》，代入y=mx+n，得

2=m+nm=-7q171717

{==4m+n，解得{17=一齊+%令y=°，得x”(三,0)

2n=—o

【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點

問題，軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【分析】(1)易得B(4,2),再根據(jù)中點坐標公式可得D(2,1)從而可得反比例函數(shù)的解析式，

從而求得E,F的坐標。根據(jù)待定系數(shù)法可求一次函數(shù)的解析式。

(2)作F的對稱點F,連結(jié)EF,與x軸交點P為所求。根據(jù)待定系數(shù)法可求EF一次函數(shù)的解析式，從

而可求P的坐標。

解題關(guān)鍵：掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、將軍飲馬模型解題。

21.(2021?荷澤)2021年5月，荷澤市某中學(xué)對初二學(xué)生進行了國家義務(wù)教育質(zhì)量檢測，隨機抽取了部分

參加15米折返跑學(xué)生的成績，學(xué)生成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級，學(xué)校繪制了如下不

完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

15米折返這條形城計圖15米折返跑麻形饒計用

（1）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；

（2）合格等級所占百分比為%:不合格等級所對應(yīng)的扇形圓心角為度：

（3）從所抽取的優(yōu)秀等級的學(xué)生4、8、C......中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學(xué)校運動會，請

利用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到A、B兩位同學(xué)的概率.

【答案】（1）總?cè)藬?shù)為：12^-40%=30（人）；

優(yōu)秀人數(shù)為：30-12-9-3=6（人）.

15米折返這條形燒計出

（2）30；36°

（3）用列表法如圖:

ABCDEF

AABACADAEAF

BBABCBDBEBF

CCACBCDCECF

DDADBDCDEDF

EEAEBECEDEF

FFAFBFCFDFE

從表中可以看出，共有30種等情況數(shù)，符合題意選中A、B兩位同學(xué)共2種I

???恰好抽到力、B兩位同學(xué)的概率為=5=2.

【考點】扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，列表法與樹狀圖法

【解析】【解答】（2）合格等級：卷x100%=30%.

不合格等級對應(yīng)的扇形圓心角：-x100%x360°=36°.

【分析】部分數(shù)量+其所占百分比=總數(shù)，部分數(shù)量=總數(shù)x其所占百分比。

解題關(guān)鍵：學(xué)會觀看統(tǒng)計圖，知道其中的數(shù)量關(guān)系。掌握樹狀圖法或列表法列出所有可能，根據(jù)概率公

式求解。

22.(2021?荷澤)如圖，在。。中，AB是直徑，弦CDA.AB,垂足為H,E為既上一點，F(xiàn)

為弦DC延長線上一點，連接FE并延長交直徑AB的延長線于點G,連接4E交CD于點P,若

FE=FP.

(1)求證：FE是。。的切線；

(2)若0。的半徑為8,sinF=1,求BG的長.

【答案】(1)解：證明：連接OE,如圖，

G

?/OA=OE

??.ZOAE=ZOEA.

*/EF=PF,

/.ZEPF=ZPEF

,/ZAPH=ZEPF,

/.ZAPH=ZEPF,

ZAEF=ZAPH.

?/CD±AB,

ZAHC=90°.

ZOAE+ZAPH=90°.

??.ZOEA+ZAEF=90°

/.ZOEF=90°

/.OE±EF.

OE是O。的半徑

「?EF是圓的切線,

(2)?/CD±AB

AFHG是直角三角形

.L3

sinr=-

.GH3

一'FG~5

設(shè)GH=3%,貝I」FG=5x

由勾股定理得，F(xiàn)H=4x

由（1）得，AOEG是直角三角形

.cOEFH4X

??sinG=—=—=—

OGFG5x

—=-,即-^―=-

0G5OE+BG5

0E=8

8_4

8+BG-5

解得，BG=2

【考點】切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NFEP二NFPE,ZA=ZAEO,對頂角相等，ZFPE=ZAPH0

根據(jù)等量代換可求NFEP+NAEO=90。,從而求得結(jié)果。

（2）由已知條件可設(shè)GH=3x,FG=5x,由勾股定理可得FH=4x,根據(jù)相似三角形性質(zhì)得

在RTAOEG中，器,從而求得結(jié)果。

OGFG5

23.（2021?荷澤）在矩形ABCD中，BC=yf3CD，點E,F分別是邊AD、BC上的動點，且

AE=CF,連接EF,將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點。落在點H處.

（1）如圖1,當EH與線段BC交于點P時，求證：PE=PF；

（2）如圖2,當點P在線段CB的延長線上時，GH交AB于點M,求證：點M在線段EF的垂

直平分線上；

（3）當4B=5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長.

【答案】（1）明：.??在矩形ABCD中，

AD//BC,AB=CD；

ZDEF=NEFB,

V折疊，

ZDEF=ZHEF,

??.ZHEF=ZEFB,

/.PE=PF；

在矩形ABCD中，

??.AD=BC,ZD=ZABC=ZPBA=90°,

又「AE=CF,

??.AD-AE=BC-CF,

即：DE=BF,

V折疊,

??.DE=HE,ND=NEHM=NPHM=90°,

??,BF=HE,ZPBA=NPHM=90°,

又「由(1)得：PE=PF,

??,PE-HE=PF-BF,

即：PH=PB,

在Rt△PHM與Rt△PBM中，

.PH=PB

=PM'

Rt△PHMMRt△PBM(HL),

??.ZEPM=NFPM,

在△EPM與△FPM中，

PE=PF

{/EPM=ZFPM,

PM=PM

△EPMM△FPM(SAS),

ME=MF,

???點M在線段EF的垂直平分線上；

（3）解：如圖，連接AC,交EF于點0,連接0G,

?.,AB=CD=5,BC=V3CD,

?*-BC=5^3,

?，.在Rt△ABC中，AC=JAB?+BC2=10,

「AD〃BC,

/.ZEAO=ZFCO,

在△EAO與△FCO中，

AE=CF

{ZEAO=NFCO,

ZAOE=ZCOF

：.△EAO^△FCO(AAS),

OA=OC=-AC=5,

2

文:折疊，

/.OG=OC=5,

當點E與點A重合時，如圖所示，此時點F,點G均與點C重合,

???點G的運動路線為以點0為圓心，5為半徑的圓弧，且圓心角為NBOC,

在Rt△ABC中，tanNBAC=丁=V5,

ZBAC=60°,

OA=OB=OC=OG,

點A、B、C、G在以點。為圓心，5為半徑的圓上,

ZB0C=2ZBAC=120°,

120"10n

凱的長為

180°3

..?點G運動的路線長為詈.

【考點】矩形的性質(zhì)，翻折變換(折疊問題)，四邊形的綜合

【解析】【分析】(1)只要證NHEF=NEFB便可得結(jié)果

(2)先證PH=PB,再證△PHMg△PBM,后證△PME合△PMF,即可得MF=ME,故可得結(jié)果

(3)分析可得G點運動軌跡是以O(shè)C為半徑的弧BC,根據(jù)弧長公式可求。

24.(2021?荷澤)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx-4交x軸于4(一1,0),

6(4,0)兩點，交y軸于點C.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接PB,過點C作CQ“BP交x軸于點Q,連接PQ,

求△PBQ面積的最大值及此時點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，將拋物線y=a/+bx-4向右平移經(jīng)過點(：,0)時，得到新拋物線y=a.x2+

b】x+Q,點E在新拋物線的對稱軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在一點F,使得以A.P、E、F

為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

參考：若點B(xi，yi)、P2(%2,y2)，則線段PH的中點P。的坐標為(牛，左芳).

【答案】(1)解：將A(-1,0),B(4